Mathématiques
Chapitre 11. Limites de suites
- Convergence dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Unicité de la limite. Propriétés des suites convergentes. Opérations. Suites extraites.
- Suites réelles. Limites infinies. Droite réelle achevée $\overline{\mathbb R}$. Composition avec une limite de fonction. Opérations et limites infinies.
- Localisation asymptotique stricte. Passage à la limite dans les inégalités larges. Existence de limite par comparaison. Étude de $(q^n)$.
- Densité, caractérisation séquentielle. Bornes supérieure et inférieure, caractérisation séquentielle.
- Théorème de limite monotone, théorème des suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb R$ et dans $\mathbb C$.
Deux questions de cours
- Un énoncé précis de définition ou de théorème.
- Une démonstration :
- Lemme de Cesàro [exercice].
- Densité de $\mathbb D$, de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R\setminus \mathbb Q$ dans $\mathbb R$.
- Théorème de limite monotone.
- Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb C$ [en corollaire du cas réel].
Les études de suites définies par récurrence seront au programme de la semaine prochaine (chapitre 12).
