Mathématiques
Chapitre 24. Intégration sur un segment
- Continuité uniforme, théorème de Heine.
- Subdivisions, fonctions continues par morceaux et fonctions en escalier sur un segment.
- Intégrale des fonctions en escaliers puis continues par morceaux via approximation en norme $\|\ \|_\infty$.
- Linéarité, inégalité triangulaire et positivité de $\int_{[a,b]}$. Notation $\int_a^b$ et relations de Chasles.
- Inégalités dans $\mathbb R$ : croissance, valeur moyenne, fonction continue positive d'intégrale nulle.
- Convergence des sommes de Riemann. Cas lipschitzien. Comparaison somme-intégrale (cas monotone).
- Théorème fondamental de l'analyse. Formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange.
Questions de cours : démonstration et exercices classiques
- Théorème de Heine [seulement pour celles et ceux qui visent une classe $\star$].
- $\|\lambda f\|_\infty = |\lambda|\,\|f\|_\infty$ et $\|f+g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty$.
- Toute fonction continue positive d'intégrale 0 est nulle.
- Convergence des sommes de Riemann (pour une fonction lipschitzienne).
- Formule de Taylor avec reste intégral.
- Établir par inégalité de Taylor-Lagrange la limite : $$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln 2.$$
