Mathématiques
Colle n° 7
Chapitre 7. Primitives et calcul intégral
- Primitives d'une fonction, structure de l'ensemble des primitives, notation $\int^x f(t)\,\mathrm{d}t$, primitives usuelles
- Rappels sur les intégrales ; théorème fondamental de l'analyse pour une fonction continue [tout est admis].
- Primitives des polynômes trigonométriques, des fonctions $x\mapsto P(x) e^{ax}\cos(bx)$ et des fonctions rationnelles $x\mapsto \frac1{ax^2 + bx +c}$.
- Formule d'intégration par parties.
- Formule de changement de variable ; intégrales des fonctions paires, impaires ou périodiques.
Chapitre 8. Équations différentielles linéaires [début]
- Ordre 1 : structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène, recherche d'une solution particulière et principe de superposition, méthode de variation de la constante, problème de Cauchy d'ordre 1.
Questions de cours
- Relation de récurrence des intégrales de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t$ pour $n \in \mathbb N$. Qu'en déduire pour $W_nW_{n+1}$ ?
- Calcul de $\int_{-1}^1 \sqrt{1-t^2}\,\mathrm{d}t$ par changement de variable.
- Structure de l'ensemble des solutions de $y' + a(x) y = b(x)$.
- Théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1.
Prochainement : équations différentielles linéaires.
