Mathématiques
Colle n° 21
Chapitre 20. Espaces vectoriels
- Structure d'espace vectoriel, exemples fondamentaux, espace vectoriel produit, sous-espace vectoriel.
- Combinaisons linéaires d'une famille finie ou quelconque de vecteurs, s.e.v. engendré par une partie ou une famille.
- Familles (parties) génératrices ; familles (parties) libres, familles de polynômes non nuls de degrés échelonnés.
- Bases et coordonnées ; bases canoniques de $K^n,\ \mathscr M_{n,p}(K),\ K[X]$ et $K_n[X]$.
- Espaces vectoriels de dimension finie, existence de base, théorème de la base extraite, théorème de la base incomplète.
- Notion de dimension. Caractérisation des bases en dimension finie.
- Dimension des s.e.v. d'un espace vectoriel de dimension finie, existence de base adaptée.
- Rang d'une famille de vecteurs ; lien avec la liberté et le caractère générateur.
Questions de cours :
- Caractérisation des bases en dimension finie.
- Dimension des s.e.v. d'un espace vectoriel de dimension finie.
- Si $F,G$ sont des s.e.v. de $E$, alors $F + G$ est le plus petit s.e.v. contenant $F$ et $G$.
- Caractérisation des sommes directes de deux s.e.v. par intersection.
- Formule de Grassmann.
C'est une semaine de prise en main des notions fondamentales sur les espaces vectoriels. Les applications linéaires n'arriveront que la semaine prochaine. Les exercices sur les sommes et supplémentaires pourront attendre la prochaine semaine aussi.
