Mathématiques
Chapitre 29 - Dénombrement
Révision de tout le chapitre.
Chapitre 30 - Probabilités sur un univers fini
- Univers finis et issues, évènements, variables aléatoires.
- Probabilités, probabilité uniforme, distributions de probabilités, propriétés générales, formule des probabilités totales.
- Loi d'une variable aléatoire $X$, lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale), loi image de $f(X)$.
- Loi conjointe et lois marginales d'un couple de variables aléatoires, généralisation aux $n$-uplets.
- Probabilités conditionnelles, lois conditionnelles, formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes.
- Indépendance d'un couple d'évènements, d'une famille d'évènements.
- Indépendance de variables aléatoires, caractérisation, théorème binomial, images et coalitions.
Exemples de questions de cours (énoncé et démonstration) :
- Système complet d'évènements associé à une variable aléatoire $X : \Omega \to E$.
- Formule des probabilités totales (deux versions, sans et avec conditionnement).
- La loi conjointe d'un couple $(X,Y)$ détermine les lois marginales.
- Formule des probabilités composées.
- Si deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline B$ aussi.
- Loi de $X_1 +\dots + X_n$ pour un $n$-uplet $(X_1,\dots,X_n)$ de variables indépendantes de loi $\mathscr B(p)$.
Remarques :
- Les variables aléatoires et les notations $(X=a)$, $(X\in A)$, [...] doivent être privilégiées pour les modélisations.
- La modélisation par des lois uniformes amène naturellement des questions de dénombrement.
- L'étude élémentaire de chaînes de Markov est bienvenue pour les probabilités conditionnelles.
- Pas d'exercice sur l'indépendance en début de semaine.
Français-Philosophie
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