Mathématiques
Colle n° 25
Chapitre 24. Intégration (fin)
- Comparaison somme-intégrale pour une fonction monotone continue par morceaux.
- Théorème fondamental de l'analyse.
- Formule de Taylor avec reste intégral (de Laplace), inégalité de Taylor-Lagrange.
Chapitre 25. Séries
- Terme général, sommes partielles, convergence et somme, divergence.
- Divergence grossière, divergence de la série harmonique, restes d'une série convergente.
- Lien suite-série, séries géométriques, séries exponentielles.
- Séries à termes positifs : CNS de convergence, comparaisons $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \sim v_n$.
- Comparaison à une intégrale : séries de Riemann, équivalents de sommes partielles et restes.
- Critère spécial des séries alternées.
- Convergence absolue dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Utilisation de développements asymptotiques en $O()$.
Questions de cours :
- Comparaison somme-intégrale pour une fonction décroissante.
- Formule de Taylor avec reste intégral.
- Nature et somme des séries exponentielles $\sum \frac{z^n}{n!}$ pour $z \in \mathbb C$.
- Nature des séries de Riemann $\sum \frac1{n^\alpha}$ pour $\alpha \in \mathbb R$.
- Critère spécial des séries alternées.
- Toute série $\sum u_n$ absolument convergente est convergente.
Attention, la semaine du pont de Pentecôte ne comportera pas de colle : reprise le 18 mai !
Prochainement : Dénombrement, Probabilités sur un univers fini.
