Mathématiques
Colle n° 26
Chapitre 26. Dénombrement
- Notion d'ensemble fini, cardinal, principe de bijection (équipotence).
- Cardinal d'un sous-ensemble, injectivité/surjectivité/bijectivité et cardinaux, principe des tiroirs.
- Union disjointe d'ensembles finis, complémentaire et union quelconque.
- Produit cartésien d'ensembles finis, principe des choix successifs.
- Dénombrement des applications et des parties sur les ensembles finis.
- $p$-listes, $p$-listes d'éléments distincts, dénombrement des injections.
- permutations, $p$-combinaisons.
- Preuves combinatoires d'identités sur les coefficients binomiaux (Pascal, Newton, Vandermonde).
Chapitre 27. Probabilités sur un univers fini
- Univers finis et issues, évènements, variables aléatoires.
- Opérations sur les évènements, systèmes complets d'évènements.
- Probabilités, probabilité uniforme, distributions de probabilité, propriétés générales, formule des probabilités totales.
- Loi d'une variable aléatoire $X$, lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale), loi image de $f(X)$.
- Loi conjointe et lois marginales d'un couple de variables aléatoires, généralisation aux $n$-uplets.
- Probabilités conditionnelles, lois conditionnelles, formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes.
Questions de cours :
- Cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis ; nombre d'applications entre deux ensembles finis.
- Nombre de parties à $p$ éléments ($p$-combinaisons) d'un ensemble à $n$ éléments.
- Preuve combinatoire de la formule de Vandermonde.
- Détermination de la loi de $f(X)$ pour une v.a. $X : \Omega\to E$ et $f: E \to F$.
- Formule des probabilités composées.
- Formules des probabilités totales (rappeler la définition d'un s.c.e).
Prochainement : indépendance, espérance et variance.
