Mathématiques
Colle n° 29
Chapitre 30. Groupe symétrique
- Support d'une permutation, transpositions, décomposition en produit de transpositions.
- Cycles, orbites et décomposition unique en produit de cycles à supports disjoints.
- Signature d'une permutation, groupe alterné $A_n$.
Chapitre 31. Déterminants
- Applications $n$-linéaires alternées.
- Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, changement de base, caractérisation des bases.
- Formule de Leibniz pour le déterminant, cas des dimensions $2$ et $3$ (règle de Sarrus).
- Déterminant d'un endomorphisme, déterminant d'une matrice carrée, de sa transposée.
- Cas des matrices triangulaires (par blocs), opérations sur les colonnes/lignes, déterminant de Vandermonde.
- Développement de Laplace selon les colonnes/lignes, formule de la comatrice.
Questions de cours :
- Commutativité de deux permutations à supports disjoints.
- Propriété d'antisymétrie des applications $n$-linéaires alternées.
- Déterminant de la transposée.
- Calcul du déterminant de Vandermonde.
Prochainement : espaces préhilbertiens.
