Mathématiques
Colle n° 16
Révisions sur la continuité et la dérivabilité (chapitres 14 et 15).
Chapitre 16. Convexité
- Fonction convexe, fonction concave, cas des fonctions dérivables telles que $f'$ est croissante, inégalité de Jensen.
- Position par rapport aux sécantes, caractérisation de la convexité par les pentes.
- Position par rapport aux tangentes, caractérisation de la convexité pour les fonctions une ou deux fois dérivables.
Questions de cours (énoncé et démonstration) :
- Toute fonction $f$ dérivable sur $I$ et de dérivée $f'$ croissante est convexe sur $I$.
- Inégalité arithmético-géométrique par utilisation de l'inégalité de Jensen.
- Position relative des sécantes pour une fonction convexe.
- Position relative des tangentes pour une fonction convexe dérivable.
- Toute fonction $f$ convexe et dérivable sur $I$ admet une dérivée $f'$ croissante sur $I$.
