Mathématiques
Colle n° 4
Chapitre 4 - Fonctions réelles
- Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
- Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.
- Continuité et la dérivabilité. Ensembles $\mathcal C^0(I,\mathbb R)$ et $\mathcal C^1(I,\mathbb R)$. Signe de la dérivée et variations.
- Construction de fonction par théorème de bijection monotone, dérivation d'une réciproque. Exemple de $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ pour $n \in \mathbb N^*$.
- Logarithme. Propriété de morphisme. Variations. Inégalité de concavité. Limites usuelles. Courbe.
- Exponentielle. Propriété de morphisme. Dérivée. Inégalité de convexité. Limites usuelles. Courbe.
- Puissances généralisées. Propriétés calculatoires. Étude de $x\mapsto x^\alpha$ pour $\alpha$ réel fixé. Fonctions de la forme $x \mapsto u(x)^{v(x)}$.
- Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles.
- Fonctions hyperboliques. Propriété fondamentales, dérivées, variations et limites, courbes.
Questions de cours :
- Propriétés de morphisme du logarithme & de l'exponentielle.
- Inégalité de concavité du logarithme & inégalité de convexité de l'exponentielle.
- Pour $x \in \mathbb R_+^*$, limite de $\left(1+\frac xn\right)^n$ lorsque $n \to +\infty$.
- Théorème des croissances comparées.
- Étude complète de la tangente hyperbolique (imparité, dérivée, variations, limites, graphe).
Aucune théorie sur la continuité ni la dérivabilité pour l'instant (tout est admis) ! L'objectif est la manipulation pratique des fonctions (résolution d'équation, étude de variations, calcul de limites)
Prochainement : nombres complexes, trigonométrie.
