Mathématiques
Colle n° 13
Chapitre 13. Structures algébriques (fin)
- Révision sur les lois de composition internes et les groupes.
- Anneaux, diviseurs de zéros et anneaux intègres.
- Sous-anneau, morphisme d'anneaux.
- Groupe $A^\times$ des inversibles d'un anneau $A$.
- Corps, exemple des $\mathbb Z/p\mathbb Z$ avec $p$ premier, corps des fractions d'un anneau intègre.
Chapitre 14. Limites et continuité (début)
- Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
- Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
- Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
- Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
- Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.
Révision sur les calculs de limites par équivalents usuels et croissances comparées.
Questions de cours (énoncé et démonstration)
- Dans tout anneau, « $0$ est absorbant » et la « règle des signes » s'applique.
- Montrer que $\mathbb Z[\mathrm i]$ est un sous-anneau de $(\mathbb C, +, \cdot)$ et déterminer ses inversibles. [Exercice]
- Tout corps est intègre.
- Caractérisation séquentielle d'une limite $\ell$ réelle en un point $a$ réel.
On vérifiera, sur 2 des 9 cas possibles, que chaque élève sait décliner la définition de la limite d'une fonction.
