Mathématiques
Colle n° 12
Chapitre 12. Arithmétique des entiers
Révisions sur les nombres premiers et les congruences.
Chapitre 13. Structures algébriques (début)
- Loi de composition interne, associativité, commutativité, élément neutre, éléments inversibles. Lois sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
- Structure de groupe, groupes abéliens, groupe des permutations d'un ensemble.
- Sous-groupes et caractérisation des sous-groupes. Groupes monogènes et cycliques. Groupes produits.
- Morphismes de groupes, endomorphismes, images directes et réciproques d'un sous-groupe par un morphisme.
- Noyau et image d'un morphisme de groupes, caractérisation de l'injectivité par le noyau.
- Isomorphismes et automorphismes de groupes, isomorphisme réciproque.
Questions de cours (à démontrer)
- Propriétés des éléments inversibles pour une l.c.i. $\star$ associative qui admet un neutre.
- Caractérisation des sous-groupes.
- Lien entre injectivité d'un morphisme de groupes et noyau.
- Tout groupe cyclique est isomorphe à $(\mathbb Z/n\mathbb Z, +)$ pour un certain $n \in \mathbb N^*$.
On réservera aux élèves les plus avancés les questions et exercices sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$ (programme de 2e année).
