Mathématiques
Colle n° 14
Chapitre 14. Limites et continuité
- Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
- Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
- Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
- Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
- Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.
- Théorème des valeurs intermédiaires. Image continue d'un intervalle.
- Théorème des bornes atteintes. Image continue d'un segment.
- Monotonie des fonctions continues et injectives sur un intervalle.
- Théorème de bijection monotone.
- Continuité pour les fonctions à valeurs complexes.
Questions de cours (théorème ou exercice type)
- Théorème des valeurs intermédiaires (par dichotomie).
- Toute fonction $f : [a,b] \to \mathbb R$ continue telle que $f([a,b]) \subset [a,b]$ admet un point fixe.
- Théorème des bornes atteintes.
- Toute fonction $f : \mathbb R_+ \to \mathbb R$ continue, de limite finie en $+\infty$, est bornée et admet un minimum ou un maximum.
- Théorème de bijection monotone.
