Mathématiques
Colle n° 22
Chapitre 20. Espaces vectoriels
- Somme de sous-espaces vectoriels, somme directe, supplémentaires.
- Existence de supplémentaire en dimension finie, base adaptée à un couple de supplémentaires.
- Dimension d'une somme directe, formule de Grassmann.
Chapitre 21. Applications linéaires
- Applications linéaires, espace vectoriel $\mathscr L(E,F)$.
- Application linéaire canoniquement associée à une matrice.
- Composition d'applications linéaires, bilinéarité de la composition, isomorphismes.
- Image et noyau d'une application linéaire ; propriétés fondamentales. Image et noyau d'une matrice.
- Isomorphisme avec un supplémentaire du noyau (version géométrique du théorème du rang).
- Détermination d'une application linéaire sur des supplémentaires.
- Endomorphismes, algèbre $\mathscr L(E)$, homothéties, endomorphismes nilpotents.
- Projecteurs et symétries : définition géométrique et caractérisation algébrique.
- Automorphismes d'espace vectoriel et groupe linéaire $\mathrm{GL}(E)$.
- Détermination d'une application linéaire par l'image d'une base ; caractérisation de l'injectivité/surjectivité/bijectivité.
- Isomorphismes et dimension. Dimensions de $E\times F$ et $\mathscr L(E,F)$. Retour sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.
Questions de cours :
- Isomorphisme avec un supplémentaire du noyau (version géométrique du théorème du rang).
- Caractérisation algébrique des projecteurs $p \in \mathcal L(E)$ par $p^2= p$.
- Caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité d'une application linéaire par l'image d'une base.
- Dimensions de $E\times F$ et $\mathscr L(E,F)$ lorsque $E$ et $F$ sont de dimension finie.
Prochainement : rang d'une application linéaire et théorème du rang (déjà vus) ; formes linéaires et hyperplans, sous-espaces affines (à venir).
