Mathématiques
Colle n° 28
Chapitre 29. Représentations matricielles
- Matrice d'un vecteur ou d'une famille de vecteurs dans une base.
- Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases. Inversibilité. Cas des endomorphismes.
- Matrices de passage, inversibilité, formules de passage.
- Rang d'une matrice. Propriétés et calcul du rang.
- Matrices équivalentes dans $\mathscr M_{n,p}(K)$, matrices $J_r$, classification par le rang.
- Rang de la transposée, rang de la famille des lignes, caractérisation du rang par les matrices extraites.
- Matrices semblables dans $\mathscr M_n(K)$, trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.
Questions de cours : démonstration et exercices classiques
- Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de la matrice de Vandermonde $V(x_1,\dots,x_n)$.
- Définition et propriétés des matrices de passage.
- Formules de passage pour un vecteur et pour une application linéaire.
- Toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$ dans $\mathscr M_{n,p}(K)$.
- Trace d'un projecteur.
Prochainement : groupe symétrique, déterminants.
