Colle n° 5
Chapitre 5 - Nombres complexes
- Corps $(\mathbb C,+,\times)$. Partie réelle, partie imaginaire. Le nombre $\mathrm j =-\tfrac12 + \mathrm i\tfrac{\sqrt 3}2$ et ses propriétés algébriques.
- Conjugué d'un complexe. Caractérisation des réels et des imaginaires purs. Module. Inverse d'un complexe non nul.
- Affixe d'un point ou d'un vecteur du plan. Interprétation du conjugué. Colinéarité de vecteurs, alignement de points.
- Formule d'Al-Kashi et inégalités triangulaires, avec cas d'égalité. Distance entre deux complexes, cercles.
- Racines carrées et équations du second degré dans $\mathbb C$, relations coefficients-racines.
- Équations se ramenant au second degré par factorisation ou changement d'inconnue.
- Exponentielle complexe avec ses propriétés de morphisme, conjugaison et noyau.
- Cercle unité $\mathbb U$, paramétrisation $\theta \mapsto \mathrm e^{\mathrm i\theta}$ et cas d'égalité, cosinus et sinus, technique de l'angle moitié .
- Formules d'Euler de Moivre, linéarisation. Calcul de $\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
- Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul, cas de $\mathrm e^z$. Arguments.
- Congruences dans $\mathbb R$ et mesures d'un angle orienté de vecteurs par les arguments.
- Racines $n$-ièmes, paramétrisation de $\mathbb U_n$, structure générale des solutions de $z^n = c$ pour $c \in \mathbb C^*$.
- Interprétation géométrique du rapport $\frac{c-a}{b-a}$, application aux alignements et à l'orthogonalité.
- Similitudes directes. Cas des translations, des homothéties, des rotations et cas général.
Questions de cours (avec démonstration) :
- Formule d'Al-Kashi et inégalité triangulaire pour le module.
- Factorisation de $\mathrm e^{\mathrm i\alpha} \pm \mathrm e^{\mathrm i\beta}$ par la technique de l'angle moitié.
- Linéarisation de $\cos^4$ et $\sin^3$.
- Paramétrisation de $\mathbb U_n$ par les entiers de $0$ à $n-1$.
- Calcul de $S_n = \sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $T_n = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
Prochainement : fonctions trigonométriques, calcul de primitives.
