Colle n° 19
Chapitre 18. Calcul matriciel (révisions)
Chapitre 19. Analyse asymptotique (début du chapitre)
- Relation de négligeabilité, notation $o()$ et règles de calcul : transitivité, opérations et substitution.
- Relation de domination, notation $O()$ et règles de calcul. Liens avec les $o()$.
- Notion de développement limité à l'ordre $n$ au voisinage d'un réel $a$ ; partie régulière et reste.
- Caractérisation de la dérivabilité en $a$ par l'existence d'un $DL_1(a)$.
- Exemple fondamental : $DL_n(0)$ de $x\mapsto \frac1{1-x}$ et $x\mapsto \frac1{1+x}$.
- Troncature d'un développement limité ; unicité des coefficients ; cas des fonctions paires ou impaires.
- Lemme de primitivation du $DL_n(a)$ d'une fonction dérivée $f'$.
- Exemples fondamentaux : $DL_n(0)$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ et $x\mapsto \operatorname{Arctan}(x)$.
- Calcul du $DL_5(0)$ de $\tan$ par primitivations successives.
- Formule de Taylor-Young pour une fonction de classe $\mathcal C^n$.
- $DL_n(0)$ des fonctions $\exp, \operatorname{ch}, \operatorname{sh}, \cos, \sin$ et $x \mapsto (1+x)^\alpha$ pour $\alpha \in \mathbb R$.
- Calcul de $DL$ pour un produit ; prédiction de l'ordre avant calcul.
- Calul de $DL$ par substitution pour les quotients $x \mapsto \frac1{1+u(x)}$ et composées $x \mapsto f(u(x))$, où $\lim\limits_{x\to 0} u(x)=0$.
- Rappels et compléments sur les équivalents ; lien fondamental entre $\sim$ et $o()$ ; calcul d'équivalent par DL.
Questions de cours :
- $DL_n(0)$ de $x\mapsto \frac1{1-x}$ et $x\mapsto \frac1{1+x}$ pour $n \in \mathbb N$.
- $DL_n(0)$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ pour $n \in \mathbb N^*$.
- $DL_n(0)$ de $x \mapsto \operatorname{Arctan}(x)$ pour $n \in \mathbb N^*$.
- $DL_5(0)$ de $x \mapsto \tan(x)$ par primitivations successives.
- Formule de Taylor-Young pour une fonction de classe $\mathscr C^n$.
- Équivalent de $u_n = \frac{\ln(n+1)}{n} - \frac{\ln(n)}{n+1}$ lorsque $n \to +\infty$.
