Mathématiques
Colle n° 23
Chapitre 21. Applications linéaires
- Révision du dernier programme.
- Rang d'une application linéaire. Majoration de $\operatorname{rg}(g\circ f)$ et cas d'un isomorphisme.
- Théorème du rang.
- Caractérisation des isomorphismes et automorphismes en dimension finie.
- Inversibilité à gauche/droite en dimension finie (endomorphismes et matrices).
Chapitre 22. Compléments sur les équations linéaires
- Formes linéaires, espace dual, formes linéaires coordonnées associées à une base.
- Hyperplans, équation dans une base, caractérisation par supplémentaire, cas d'égalité de deux hyperplans.
- Hyperplans en dimension finie, intersections d'hyperplans et systèmes d'équations linéaires.
- Sous-espaces affines, exemple des solutions d'une équation linéaire.
- Notations affines. Intersection de sous-espaces affines.
Questions de cours :
- Théorème du rang.
- Caractérisation des hyperplans comme supplémentaires d'une droite vectorielle.
- $\dim(H_1 \cap \cdots \cap H_p) \geqslant n - p$ pour $p$ hyperplans en dimension $n$.
- En dimension $n$, tout sous-espace vectoriel de dimension $m$ est intersection de $n - m$ hyperplans.
On a évoqué les notions de bases duale/antéduale en dimension finie. Mais la théorie générale de la dualité est hors-programme et il n'y a aucun attendu à ce sujet.
Prochainement : Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ et $\mathbb R$ (et révisions sur les polynômes).
