Mathématiques
Colle n° 24
Chapitres à réviser
- Polynômes.
- Calcul de primitives.
Chapitre 23. Fractions rationnelles
- Corps $K(X)$, représentant irréductible d'une fraction rationnelle.
- Degré, partie entière, fraction dérivée, fraction conjuguée, substitution.
- Zéros et pôles, multiplicités. Partie polaire, méthodes de calcul.
- Décomposition en éléments simples dans $\mathbb C(X)$, cas d'une dérivée logarithmique.
- Décomposition en éléments simples dans $\mathbb R(X)$.
Chapitre 24. Intégration (début)
- Uniforme continuité, théorème de Heine.
- Subdivisions d'un segment, fonctions continues par morceaux, fonctions en escalier.
- Norme $\|\,\|_\infty$ des fonctions bornées, convergence uniforme et densité de $\mathscr E([a,b];\mathbb K)$ dans $\mathscr C^0_{\text{pm}}([a,b];\mathbb K)$.
- Intégration sur $\mathscr E([a,b];\mathbb K)$ puis passage à $\mathscr C^0_{\text{pm}}([a,b];\mathbb K)$ par convergence uniforme.
- Relations de Chasles et extension de la notation intégrale. Convergence des sommes de Riemann.
- Positivité et croissance de l'intégration, fonctions continues positives d'intégrale nulle.
Questions de cours :
- Décomposition en éléments simples de $\frac{P'}{P}$ pour $P \in \mathbb C[X]$ non nul.
- Théorème de Heine.
- Homogénéité, inégalité triangulaire et séparation pour $\|\,\|_\infty$.
- Convergence des sommes de Riemann dans le cas d'une fonction lipschitzienne.
- Fonctions continues d'intégrale nulle sur un segment non trivial.
Pour l'intégration, on se limitera à des questions proches du cours permettant de réviser les calculs de primitives [nous commencerons les exercices seulement mardi].
Attention, la semaine de rentrée ne comportera pas de colle : reprise la semaine du 4 mai !
Attention, la semaine de rentrée ne comportera pas de colle : reprise la semaine du 4 mai !
Prochainement : Intégration (fin), dénombrement.
