Mathématiques
Colle n° 18
Chapitre 17. Polynômes (révisions)
Chapitre 18. Calcul matriciel
- Ensembles $\mathscr M_{n,p}(K)$, combinaisons linéaires, matrices élémentaires, produit matriciel, transposition.
- Anneau $\mathscr M_n(K)$, calcul de puissances par binôme de Newton et par polynôme annulateur.
- Sous-groupes des matrices symétriques et antisymétriques, sous-anneaux des matrices triangulaires et diagonales.
- Trace d'une matrice carrée, linéarité et pseudo-commutativité sous la trace.
- Produit par une colonne. Produits par blocs. Forme matricielle d'un système linéaire, structure de l'ensemble des solutions.
- Matrices d'opérations élémentaires, matrices échelonnées et pivot de Gauss.
- Matrices inversibles, groupe linéaire $\mathrm{GL}_n(K)$, transposée d'une matrice inversible, conditions nécessaires d'inversibilité.
- Caractérisation de l'inversibilité et expression de l'inverse dans $\mathscr M_2(K)$.
- Caractérisation de l'inversibilité et forme de l'inverse pour les matrices triangulaires ou diagonales.
- Caractérisation de l'inversibilité par système de Cramer et détermination de l'inverse.
- Méthode de Gauss-Jordan pour étudier l'inversibilité et calculer l'inverse.
Questions de cours :
- Produit de matrices élémentaires $E_{i,j} \in \mathscr M_{n,p}(K)$ par $E_{k,\ell} \in \mathscr M_{p,q}(K)$.
- Transposée d'un produit de deux matrices.
- Stabilité de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures par produit matriciel.
- Pseudo-commutativité sous la trace.
- Critère d'inversibilité pour $A \in \mathscr M_2(K)$ et expression de l'inverse.
- Une matrice $A \in \mathscr M_n(K)$ est inversible ssi $\forall Y \in \mathscr M_{n,1}(K),\exists ! X \in \mathscr M_{n,1}(K): AX=Y$.
