Mathématiques
Colle n° 30
Chapitre 32 - Espaces préhilbertiens réels
- Produits scalaires, espace préhilbertien, espace euclidien.
- Produit scalaire canonique sur $\mathbb R^n$, expression matricielle. Produit scalaire usuel sur $\mathscr C^0([a,b],\mathbb R)$.
- Norme associée au produit scalaire, distance. Identités remarquables, formules de polarisation.
- Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire, avec cas d'égalité.
- Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie. Familles orthogonales, liberté et théorème de Pythagore.
- Algorithme de Gram-Schmidt, bases orthonormées. Complément sur les matrices orthogonales.
- Projection orthogonale sur un sous-espace euclidien. Supplémentaire orthogonal d'un s.e.v. euclidien.
- Dans un espace euclidien, dimension de $F^\perp$ et relation $F^{\perp\perp} = F$, description des hyperplans par vecteur normal.
- Distance à un s.e.v. $F$, lien avec la projection orthogonale dans le cas où $F$ est euclidien.
Exemples de questions de cours :
- Inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité.
- Liberté des familles orthogonales de vecteurs non nuls + théorème de Pythagore.
- Expression des coordonnées, du produit scalaire et de la norme dans une BON.
- Expression du projeté orthogonal et égalité $E = F \oplus F^\perp$ pour $F$ un s.e.v. euclidien de $E$.
- Expression de la distance à un s.e.v. euclidien en utilisant le projeté orthogonal.
C'est le dernier programme pour cette année scolaire !
