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Colle n° 21

Chapitre 20. Espaces vectoriels

• Structure d'espace vectoriel, exemples fondamentaux, espace vectoriel produit, sous-espace vectoriel.
• Combinaisons linéaires d'une famille finie ou quelconque de vecteurs, s.e.v. engendré par une partie ou une famille.
• Familles (parties) génératrices ; familles (parties) libres, familles de polynômes non nuls de degrés échelonnés.
• Bases et coordonnées ; bases canoniques de $K^n,\ \mathscr M_{n,p}(K),\ K[X]$ et $K_n[X]$.
• Espaces vectoriels de dimension finie, existence de base, théorème de la base extraite, théorème de la base incomplète.
• Notion de dimension. Caractérisation des bases en dimension finie.
• Dimension des s.e.v. d'un espace vectoriel de dimension finie, existence de base adaptée.
• Rang d'une famille de vecteurs ; lien avec la liberté et le caractère générateur.

Questions de cours :

1. Caractérisation des bases en dimension finie.
2. Dimension des s.e.v. d'un espace vectoriel de dimension finie.
3. Si $F,G$ sont des s.e.v. de $E$, alors $F + G$ est le plus petit s.e.v. contenant $F$ et $G$.
4. Caractérisation des sommes directes de deux s.e.v. par intersection.
5. Formule de Grassmann.

Colle n° 20

Révisions sur les études de suites et de fonctions.

Chapitre 19. Analyse asymptotique

• Utilisation d'équivalents et développements limités pour le calcul de limite en un point.
• Étude locale d'une fonction : tangente et position relative, extremum local.
• Recherche de développement limité d'une fonction réciproque.
• Utilisation d'équivalents et développements asymptotiques pour le calcul de limite en $+\infty$.
• Asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ : existence et position relative.
• Exemples de développements asymptotiques pour des suites définies par récurrence ou implicitement.

Questions de cours :

1. $\operatorname{Vect}(A)$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant $A$.
2. Liberté d'une famille de polynômes non nuls de degrés échelonnés.
3. Caractérisation des bases par les combinaisons linéaires.

Colle n° 19

Chapitre 18. Calcul matriciel (révisions)

Chapitre 19. Analyse asymptotique (début du chapitre)

• Relation de négligeabilité, notation $o()$ et règles de calcul : transitivité, opérations et substitution.
• Relation de domination, notation $O()$ et règles de calcul. Liens avec les $o()$.
• Notion de développement limité à l'ordre $n$ au voisinage d'un réel $a$ ; partie régulière et reste.
• Caractérisation de la dérivabilité en $a$ par l'existence d'un $DL_1(a)$.
• Exemple fondamental : $DL_n(0)$ de $x\mapsto \frac1{1-x}$ et $x\mapsto \frac1{1+x}$.
• Troncature d'un développement limité ; unicité des coefficients ; cas des fonctions paires ou impaires.
• Lemme de primitivation du $DL_n(a)$ d'une fonction dérivée $f'$.
• Exemples fondamentaux : $DL_n(0)$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ et $x\mapsto \operatorname{Arctan}(x)$.
• Calcul du $DL_5(0)$ de $\tan$ par primitivations successives.
• Formule de Taylor-Young pour une fonction de classe $\mathcal C^n$.
• $DL_n(0)$ des fonctions $\exp, \operatorname{ch}, \operatorname{sh}, \cos, \sin$ et $x \mapsto (1+x)^\alpha$ pour $\alpha \in \mathbb R$.
• Calcul de $DL$ pour un produit ; prédiction de l'ordre avant calcul.
• Calul de $DL$ par substitution pour les quotients $x \mapsto \frac1{1+u(x)}$ et composées $x \mapsto f(u(x))$, où $\lim\limits_{x\to 0} u(x)=0$.
• Rappels et compléments sur les équivalents ; lien fondamental entre $\sim$ et $o()$ ; calcul d'équivalent par DL.

Questions de cours :

1. $DL_n(0)$ de $x\mapsto \frac1{1-x}$ et $x\mapsto \frac1{1+x}$ pour $n \in \mathbb N$.
2. $DL_n(0)$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ pour $n \in \mathbb N^*$.
3. $DL_n(0)$ de $x \mapsto \operatorname{Arctan}(x)$ pour $n \in \mathbb N^*$.
4. $DL_5(0)$ de $x \mapsto \tan(x)$ par primitivations successives.
5. Formule de Taylor-Young pour une fonction de classe $\mathscr C^n$.
6. Équivalent de $u_n = \frac{\ln(n+1)}{n} - \frac{\ln(n)}{n+1}$ lorsque $n \to +\infty$.