Derniers contenus

Document de 13 ko, dans Anglais

Colle n° 6

Chapitre 4 - Étude de fonctions (révision)

Chapitre 5 - Nombres complexes (révision)

Chapitre 6 - Fonctions trigonométriques

• Cosinus et sinus, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Tangente, domaine, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Fonctions $\mathrm{Arccos}$, $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arctan}$. Dérivées, variations, courbes.

Questions de cours (avec démonstration) :

• Pour tout $x \in \mathbb R,\ |\sin x| \leqslant |x|$.
• Limites usuelles en $0$ pour $\sin, \cos$ et $\tan$.
• Dérivabilité d'Arcsin et expression de la dérivée.
• Pour tout $x \in \mathbb R^*,\ \operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan} \frac1x = \operatorname{signe}(x) \frac\pi2$.
• Calcul d'une primitive de $x \mapsto x\,{\mathrm e}^{2x}\sin(3x)$.
• Calcul de primitives de : $$x\mapsto \frac{2x+3}{x^2-5x+6}\quad\text{et}\quad x \mapsto \frac1{x^2+x+1}.$$

Colle n° 5

Chapitre 5 - Nombres complexes (tout le chapitre)

• Reprise du programme précédent sur les aspects algébriques.
• Exponentielle complexe, propriétés de morphisme et de conjugaison.
• Congruences dans $\mathbb R$, paramétrisation $\theta \mapsto e^{i\theta}$ du cercle unité et cas d'égalité, cosinus et sinus.
• Formule d'Euler et linéarisation, formule de Moivre et dé-linéarisation, technique de l'angle moitié et applications.
• Forme trigonométrique d'un norme complexe non nul, arguments, argument principal.
• Expression complexe des rotations. Similitudes directes, classification.
• Interprétation géométrique du quotient $\frac{c-a}{b-a}$, application aux alignements et à l'orthogonalité.
• Racines $n$-ièmes, paramétrisation de $\mathbb U_n$, calculs usuels, structure générale des solutions.
• Continuité et dérivabilité des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. Dérivée d'une composée $x \mapsto \exp f(x)$.

Chapitre 6 - Fonctions trigonométriques

• Cosinus et sinus, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Tangente, domaine, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.

Questions de cours (avec démonstration) :

1. Linéarisation de $\cos^3 x$ et $\sin^3 x$.
2. Dé-linéarisation de $\cos(3x)$ et $\sin(3x)$.
3. Factorisation de $\cos \alpha + \cos \beta$ et $\sin \alpha + \sin \beta$ par la technique de l'angle moitié dans $\mathbb C$.
4. Calcul de $S_n = \sum\limits_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $T_n = \sum\limits_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
5. Paramétrisation de $\mathbb U_n$ par les entiers de $0$ à $n-1$.
6. Formules d'addition, de duplication, de linéarisation des carrés et produits pour $\cos$ et $\sin$.

Colle n° 4

Chapitre 4 - Étude de fonctions réelles (fin)

• Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles.
• Cosinus, sinus et tangente hyperboliques, identité de l'hyperbole. études complètes.

Chapitre 5 - Nombres complexes (début)

• Corps $(\mathbb C,+,\times)$. Partie réelle, partie imaginaire, conjugué. Propriétés de morphisme de la conjugaison. Caractérisation des réels et des imaginaires purs. Inverse d'un complexe non nul, forme algébrique d'une fraction.
• Affixe d'un point ou d'un vecteur du plan. Expression des translations et homothéties. Condition d'alignement de points. Interprétation géométrique de la conjugaison.
• Module, distance entre deux complexes. Formule d'Al-Kashi et inégalités triangulaires, avec cas d'égalité. Cercle unité $\mathbb U$.
• Racines carrées et équations du second degré dans $\mathbb C$, relations coefficients-racines. Cas réel.
• Exemples d'équations se ramenant au second degré par factorisation ou changement d'inconnue.

Questions de cours (avec démonstration) :

1. Théorème des croissances comparées pour les logarithmes, puissances et exponentielles en $+\infty$.
2. Étude complète de la tangente hyperbolique.
3. Formule d'Al-Kashi et inégalité triangulaire pour le module.
4. Factorisation et résolution des équations $az^2+bz+c =0$ pour $(a,b,c)\in\mathbb C^3$ tel que $a \neq 0$.