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Colle n° 5

Chapitre 5 - Nombres complexes

• Corps $(\mathbb C,+,\times)$. Partie réelle, partie imaginaire. Le nombre $\mathrm j =-\tfrac12 + \mathrm i\tfrac{\sqrt 3}2$ et ses propriétés algébriques.
• Conjugué d'un complexe. Caractérisation des réels et des imaginaires purs. Module. Inverse d'un complexe non nul.
• Affixe d'un point ou d'un vecteur du plan. Interprétation du conjugué. Colinéarité de vecteurs, alignement de points.
• Formule d'Al-Kashi et inégalités triangulaires, avec cas d'égalité. Distance entre deux complexes, cercles.
• Racines carrées et équations du second degré dans $\mathbb C$, relations coefficients-racines.
• Équations se ramenant au second degré par factorisation ou changement d'inconnue.
• Exponentielle complexe avec ses propriétés de morphisme, conjugaison et noyau.
• Cercle unité $\mathbb U$, paramétrisation $\theta \mapsto \mathrm e^{\mathrm i\theta}$ et cas d'égalité, cosinus et sinus, technique de l'angle moitié .
• Formules d'Euler de Moivre, linéarisation. Calcul de $\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
• Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul, cas de $\mathrm e^z$. Arguments.
• Congruences dans $\mathbb R$ et mesures d'un angle orienté de vecteurs par les arguments.
• Racines $n$-ièmes, paramétrisation de $\mathbb U_n$, structure générale des solutions de $z^n = c$ pour $c \in \mathbb C^*$.
• Interprétation géométrique du rapport $\frac{c-a}{b-a}$, application aux alignements et à l'orthogonalité.
• Similitudes directes. Cas des translations, des homothéties, des rotations et cas général.

Questions de cours (avec démonstration) :

1. Formule d'Al-Kashi et inégalité triangulaire pour le module.
2. Factorisation de $\mathrm e^{\mathrm i\alpha} \pm \mathrm e^{\mathrm i\beta}$ par la technique de l'angle moitié.
3. Linéarisation de $\cos^4$ et $\sin^3$.
4. Paramétrisation de $\mathbb U_n$ par les entiers de $0$ à $n-1$.
5. Calcul de $S_n = \sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $T_n = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.

Prochainement : fonctions trigonométriques, calcul de primitives.

Colle n° 4

Chapitre 4 - Fonctions réelles

• Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
• Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.
• Continuité et la dérivabilité. Ensembles $\mathcal C^0(I,\mathbb R)$ et $\mathcal C^1(I,\mathbb R)$. Signe de la dérivée et variations.
• Construction de fonction par théorème de bijection monotone, dérivation d'une réciproque. Exemple de $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ pour $n \in \mathbb N^*$.
• Logarithme. Propriété de morphisme. Variations. Inégalité de concavité. Limites usuelles. Courbe.
• Exponentielle. Propriété de morphisme. Dérivée. Inégalité de convexité. Limites usuelles. Courbe.
• Puissances généralisées. Propriétés calculatoires. Étude de $x\mapsto x^\alpha$ pour $\alpha$ réel fixé. Fonctions de la forme $x \mapsto u(x)^{v(x)}$.
• Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles.
• Fonctions hyperboliques. Propriété fondamentales, dérivées, variations et limites, courbes.

Questions de cours :

1. Propriétés de morphisme du logarithme & de l'exponentielle.
2. Inégalité de concavité du logarithme & inégalité de convexité de l'exponentielle.
3. Pour $x \in \mathbb R_+^*$, limite de $\left(1+\frac xn\right)^n$ lorsque $n \to +\infty$.
4. Théorème des croissances comparées.
5. Étude complète de la tangente hyperbolique (imparité, dérivée, variations, limites, graphe).

Prochainement : nombres complexes, trigonométrie.

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Semaine annulée en raison des blocages.

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