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Chapitre 24. Intégration sur un segment

• Continuité uniforme, théorème de Heine.
• Subdivisions, fonctions continues par morceaux et fonctions en escalier sur un segment.
• Intégrale des fonctions en escaliers puis continues par morceaux via approximation en norme $\|\ \|_\infty$.
• Linéarité, inégalité triangulaire et positivité de $\int_{[a,b]}$. Notation $\int_a^b$ et relations de Chasles.
• Inégalités dans $\mathbb R$ : croissance, valeur moyenne, fonction continue positive d'intégrale nulle.
• Convergence des sommes de Riemann. Cas lipschitzien. Comparaison somme-intégrale (cas monotone).
• Théorème fondamental de l'analyse. Formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange.

Questions de cours : démonstration et exercices classiques

1. Théorème de Heine [seulement pour celles et ceux qui visent une classe $\star$].
2. $\|\lambda f\|_\infty = |\lambda|\,\|f\|_\infty$ et $\|f+g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty$.
3. Toute fonction continue positive d'intégrale 0 est nulle.
4. Convergence des sommes de Riemann (pour une fonction lipschitzienne).
5. Formule de Taylor avec reste intégral.
6. Établir par inégalité de Taylor-Lagrange la limite : $$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln 2.$$

Chapitre 23. Applications linéaires

• Applications linéaires, combinaisons linéaires et opérations, ensembles $\mathscr L(E,F)$, isomorphismes.
• Image, noyau et leurs propriétés fondamentales. Rang d'une application linéaire.
• Endomorphismes, structure de $\mathscr L(E)$, projecteurs, symétries, automorphismes.
• Utilisation d'une base pour déterminer une application linéaire, caractérisation des injections et surjections.
• Isomorphismes en dimension finie, dimensions de $E\times F$ et $\mathscr L(E,F)$.
• Utilisation de supplémentaires pour déterminer une application linéaire.
• Théorème du rang : version géométrique et formule du rang.

Questions de cours :

1. Caractérisation des projecteurs par $p^2= p$.
2. Caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité à l'aide d'une base.
3. Dimensions de $E\times F$ et $\mathscr L(E,F)$.
4. Théorème du rang.

Chapitre 22. Espaces vectoriels

• Espaces vectoriels de dimension finie : dimension, caractérisation des bases, sous-espaces vectoriels.
• Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels, supplémentaires.
• Supplémentaires et bases adaptées en dimension finie, formule de Grassmann.

Chapitre 23. Applications linéaires

• Applications linéaires, combinaisons linéaires et opérations, ensembles $\mathscr L(E,F)$, isomorphismes.
• Image, noyau et rang d'une application linéaire.

Questions de cours :

1. Dimensions des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie.
2. Si $F,G$ sont des sous-espaces vectoriels alors $F+G$ aussi ; caractérisation de la somme directe.
3. Formule de Grassmann.
4. Pour une application linéaire, les images directes et réciproques de sous-espaces vectoriels sont des sous-espaces vectoriels.

Chapitre 21. Analyse asymptotique

• Étude locale d'une fonction et de sa tangente, étude d'extremum local, DL d'une réciproque.
• Recherche d'asymptote oblique, développement asymptotique de suites définies par récurrence ou implicitement.

Chapitre 22. Espaces vectoriels

• Structure d'espace vectoriel, sous-espace vectoriel, s.e.v. engendré par une partie ou une famille
• Combinaisons linéaires d'une famille de vecteurs, point de vue interne sur les s.e.v. engendrés
• Famille (partie) génératrice ; famille (partie) libre, familles de polynômes de degré échelonnés
• Bases, coordonnées, bases canoniques, théorème de la base extraite, théorème de la base incomplète

Questions de cours :

1. Développement asymptotique à la précision $o(\frac1n)$ de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $\forall n\in\mathbb N,\ u_{n+1} = \sqrt{n^2 + u_n}$.
2. Théorème d'existence du s.e.v. engendré par une partie.
3. Liberté d'une famille de polynômes non nuls de degrés échelonnés.
4. Étant donné une base, tout vecteur se décompose comme une unique combinaison linéaire.