Derniers contenus

Colle n° 5

Chapitre 5 - Nombres complexes (tout le chapitre)

• Reprise du programme précédent sur les aspects algébriques.
• Exponentielle complexe, propriétés de morphisme et de conjugaison.
• Congruences dans $\mathbb R$, paramétrisation $\theta \mapsto e^{i\theta}$ du cercle unité et cas d'égalité, cosinus et sinus.
• Formule d'Euler et linéarisation, formule de Moivre et dé-linéarisation, technique de l'angle moitié et applications.
• Forme trigonométrique d'un norme complexe non nul, arguments, argument principal.
• Expression complexe des rotations. Similitudes directes, classification.
• Interprétation géométrique du quotient $\frac{c-a}{b-a}$, application aux alignements et à l'orthogonalité.
• Racines $n$-ièmes, paramétrisation de $\mathbb U_n$, calculs usuels, structure générale des solutions.
• Continuité et dérivabilité des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. Dérivée d'une composée $x \mapsto \exp f(x)$.

Chapitre 6 - Fonctions trigonométriques

• Cosinus et sinus, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Tangente, domaine, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.

Questions de cours (avec démonstration) :

1. Linéarisation de $\cos^3 x$ et $\sin^3 x$.
2. Dé-linéarisation de $\cos(3x)$ et $\sin(3x)$.
3. Factorisation de $\cos \alpha + \cos \beta$ et $\sin \alpha + \sin \beta$ par la technique de l'angle moitié dans $\mathbb C$.
4. Calcul de $S_n = \sum\limits_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $T_n = \sum\limits_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
5. Paramétrisation de $\mathbb U_n$ par les entiers de $0$ à $n-1$.
6. Formules d'addition, de duplication, de linéarisation des carrés et produits pour $\cos$ et $\sin$.

Colle n° 4

Chapitre 4 - Étude de fonctions réelles (fin)

• Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles.
• Cosinus, sinus et tangente hyperboliques, identité de l'hyperbole. études complètes.

Chapitre 5 - Nombres complexes (début)

• Corps $(\mathbb C,+,\times)$. Partie réelle, partie imaginaire, conjugué. Propriétés de morphisme de la conjugaison. Caractérisation des réels et des imaginaires purs. Inverse d'un complexe non nul, forme algébrique d'une fraction.
• Affixe d'un point ou d'un vecteur du plan. Expression des translations et homothéties. Condition d'alignement de points. Interprétation géométrique de la conjugaison.
• Module, distance entre deux complexes. Formule d'Al-Kashi et inégalités triangulaires, avec cas d'égalité. Cercle unité $\mathbb U$.
• Racines carrées et équations du second degré dans $\mathbb C$, relations coefficients-racines. Cas réel.
• Exemples d'équations se ramenant au second degré par factorisation ou changement d'inconnue.

Questions de cours (avec démonstration) :

1. Théorème des croissances comparées pour les logarithmes, puissances et exponentielles en $+\infty$.
2. Étude complète de la tangente hyperbolique.
3. Formule d'Al-Kashi et inégalité triangulaire pour le module.
4. Factorisation et résolution des équations $az^2+bz+c =0$ pour $(a,b,c)\in\mathbb C^3$ tel que $a \neq 0$.

Colle n° 2

Chapitre 2 - Logique et raisonnement [fin]

• Raisonnement par récurrence : simple, double, forte.
• Méthodes générales de résolution : analyse-synthèse, disjonction de cas.
• Résolution de petits systèmes linéaires par échelonnement (pivot de Gauss).

Chapitre 3 - Inégalités dans $\mathbb R$

• Propriétés de $\leqslant$ sur $\mathbb R$, compatibilité avec les opérations.
• Valeur absolue, distance entre deux réels, propriétés, inégalités triangulaires.
• Partie entière d'un réel, caractérisation par encadrement, propriétés.
• Parties de $\mathbb R$ majorées, minorées, bornées. Majorant (resp. minorant), plus grand (resp. petit) élément.
• Borne supérieure, borne inférieure. Droite réelle achevée $\overline{\mathbb R} = [-\infty,+\infty]$.
• Caractérisation des intervalles. Parties denses. Densité de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R\setminus\mathbb Q$.

Exemples de questions de cours

1. Résolution de l'équation fonctionnelle : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\ f(x+y) = x + f(y)$
2. Résolution, en fonction de $(p,q) \in \mathbb R^2$, du système linéaire : $\begin{cases}x + 2y = 1\\ mx + 3y = p\end{cases}$
3. Inégalités triangulaires pour des réels (une partie des résultats) :
   • $|x+y| \leqslant |x|+|y|$
   • $\big||x|-|y|\big| \leqslant |x-y|$
   • $\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leqslant \sum_{i=1}^n |x_i|$
4. Caractérisation de la partie entière par encadrement.
5. Toute partie non vide et minorée de $\mathbb R$ admet une borne inférieure.
6. Densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.

Colle n° 3

Chapitre 4 - Étude de fonctions réelles

• Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
• Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.
• Continuité, dérivabilité. Ensembles $\mathcal C^0(I,\mathbb R)$ et $\mathcal C^1(I,\mathbb R)$, théorèmes généraux. Dérivée et variations.
• Bijection et réciproque, théorème de bijection monotone, théorème de dérivabilité d'une réciproque.
• Logarithme. Propriété de morphisme. Variations. Inégalité de concavité. Limites usuelles. Courbe.
• Exponentielle (réciproque de $\ln$). Propriété de morphisme. Dérivée. Inégalité de convexité. Limites usuelles. Courbe.
• Puissances généralisées. Propriétés calculatoires. Dérivées de $x\mapsto x^\alpha$ et $\alpha \mapsto x^\alpha$. Variations, limites et courbes de $x \mapsto x^\alpha$.

Deux questions de cours cette semaine.

1. Énoncé précis de définition ou théorème du cours (introduire rigoureusement les variables et les hypothèses).
2. Démonstration :
   1. Une fonction $f: D\to \mathbb R$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
   2. Propriété de morphisme du logarithme + logarithme d'un quotient.
   3. Inégalité de concavité du logarithme + inégalité de convexité de l'exponentielle.
   4. Pour $x \in \mathbb R_+^*$, étudier la limite éventuelle de $\left(1+\frac xn\right)^n$ lorsque $n \to +\infty$.