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 Colles du 13/10 en Mathématiques

Publication le 11/10 à 11h37

Colle n° 5

Chapitre 5 - Nombres complexes (tout le chapitre)

  • Reprise du programme précédent sur les aspects algébriques.
  • Exponentielle complexe, propriétés de morphisme et de conjugaison.
  • Congruences dans $\mathbb R$, paramétrisation $\theta \mapsto e^{i\theta}$ du cercle unité et cas d'égalité, cosinus et sinus.
  • Formule d'Euler et linéarisation, formule de Moivre et dé-linéarisation, technique de l'angle moitié et applications.
  • Forme trigonométrique d'un norme complexe non nul, arguments, argument principal.
  • Expression complexe des rotations. Similitudes directes, classification.
  • Interprétation géométrique du quotient $\frac{c-a}{b-a}$, application aux alignements et à l'orthogonalité.
  • Racines $n$-ièmes, paramétrisation de $\mathbb U_n$, calculs usuels, structure générale des solutions.
  • Continuité et dérivabilité des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. Dérivée d'une composée $x \mapsto \exp f(x)$.

Chapitre 6 - Fonctions trigonométriques

  • Cosinus et sinus, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
  • Tangente, domaine, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.

Questions de cours (avec démonstration) :

  1. Linéarisation de $\cos^3 x$ et $\sin^3 x$.
  2. Dé-linéarisation de $\cos(3x)$ et $\sin(3x)$.
  3. Factorisation de $\cos \alpha + \cos \beta$ et $\sin \alpha + \sin \beta$ par la technique de l'angle moitié dans $\mathbb C$.
  4. Calcul de $S_n = \sum\limits_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $T_n = \sum\limits_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
  5. Paramétrisation de $\mathbb U_n$ par les entiers de $0$ à $n-1$.
  6. Formules d'addition, de duplication, de linéarisation des carrés et produits pour $\cos$ et $\sin$.
Il est indispensable de savoir se repérer sur le cercle unité en utilisant les valeurs remarquables de $\cos\theta,\ \sin\theta$ et les changements $\theta \mapsto -\theta,\ \theta \mapsto \theta + \pi$, etc.

 Colles du 6/10 en Mathématiques (mise à jour)

Publication le 08/10 à 08h44 (publication initiale le 04/10 à 10h30)

Colle n° 4

Chapitre 4 - Étude de fonctions réelles (fin)

  • Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles.
  • Cosinus, sinus et tangente hyperboliques, identité de l'hyperbole. études complètes.

Chapitre 5 - Nombres complexes (début)

  • Corps $(\mathbb C,+,\times)$. Partie réelle, partie imaginaire, conjugué. Propriétés de morphisme de la conjugaison. Caractérisation des réels et des imaginaires purs. Inverse d'un complexe non nul, forme algébrique d'une fraction.
  • Affixe d'un point ou d'un vecteur du plan. Expression des translations et homothéties. Condition d'alignement de points. Interprétation géométrique de la conjugaison.
  • Module, distance entre deux complexes. Formule d'Al-Kashi et inégalités triangulaires, avec cas d'égalité. Cercle unité $\mathbb U$.
  • Racines carrées et équations du second degré dans $\mathbb C$, relations coefficients-racines. Cas réel.
  • Exemples d'équations se ramenant au second degré par factorisation ou changement d'inconnue.

Questions de cours (avec démonstration) :

  1. Théorème des croissances comparées pour les logarithmes, puissances et exponentielles en $+\infty$.
  2. Étude complète de la tangente hyperbolique.
  3. Formule d'Al-Kashi et inégalité triangulaire pour le module.
  4. Factorisation et résolution des équations $az^2+bz+c =0$ pour $(a,b,c)\in\mathbb C^3$ tel que $a \neq 0$.

 Colles du 22/09 en Mathématiques (mise à jour)

Publication le 04/10 à 10h57 (publication initiale le 20/09 à 15h15)

Colle n° 2

Chapitre 2 - Logique et raisonnement [fin]

  • Raisonnement par récurrence : simple, double, forte.
  • Méthodes générales de résolution : analyse-synthèse, disjonction de cas.
  • Résolution de petits systèmes linéaires par échelonnement (pivot de Gauss).

Chapitre 3 - Inégalités dans $\mathbb R$

  • Propriétés de $\leqslant$ sur $\mathbb R$, compatibilité avec les opérations.
  • Valeur absolue, distance entre deux réels, propriétés, inégalités triangulaires.
  • Partie entière d'un réel, caractérisation par encadrement, propriétés.
  • Parties de $\mathbb R$ majorées, minorées, bornées. Majorant (resp. minorant), plus grand (resp. petit) élément.
  • Borne supérieure, borne inférieure. Droite réelle achevée $\overline{\mathbb R} = [-\infty,+\infty]$.
  • Caractérisation des intervalles. Parties denses. Densité de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R\setminus\mathbb Q$.

Exemples de questions de cours

  1. Résolution de l'équation fonctionnelle : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\ f(x+y) = x + f(y)$
  2. Résolution, en fonction de $(p,q) \in \mathbb R^2$, du système linéaire : $\begin{cases}x + 2y = 1\\ mx + 3y = p\end{cases}$
  3. Inégalités triangulaires pour des réels (une partie des résultats) :
    • $|x+y| \leqslant |x|+|y|$
    • $\big||x|-|y|\big| \leqslant |x-y|$
    • $\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leqslant \sum_{i=1}^n |x_i|$
  4. Caractérisation de la partie entière par encadrement.
  5. Toute partie non vide et minorée de $\mathbb R$ admet une borne inférieure.
  6. Densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.

 Colles du 29/09 en Mathématiques (mise à jour)

Publication le 26/09 à 14h14 (publication initiale le 26/09 à 13h13)

Colle n° 3

Chapitre 4 - Étude de fonctions réelles

  • Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
  • Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.
  • Continuité, dérivabilité. Ensembles $\mathcal C^0(I,\mathbb R)$ et $\mathcal C^1(I,\mathbb R)$, théorèmes généraux. Dérivée et variations.
  • Bijection et réciproque, théorème de bijection monotone, théorème de dérivabilité d'une réciproque.
  • Logarithme. Propriété de morphisme. Variations. Inégalité de concavité. Limites usuelles. Courbe.
  • Exponentielle (réciproque de $\ln$). Propriété de morphisme. Dérivée. Inégalité de convexité. Limites usuelles. Courbe.
  • Puissances généralisées. Propriétés calculatoires. Dérivées de $x\mapsto x^\alpha$ et $\alpha \mapsto x^\alpha$. Variations, limites et courbes de $x \mapsto x^\alpha$.

Deux questions de cours cette semaine.

  1. Énoncé précis de définition ou théorème du cours (introduire rigoureusement les variables et les hypothèses).
  2. Démonstration :
    1. Une fonction $f: D\to \mathbb R$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
    2. Propriété de morphisme du logarithme + logarithme d'un quotient.
    3. Inégalité de concavité du logarithme + inégalité de convexité de l'exponentielle.
    4. Pour $x \in \mathbb R_+^*$, étudier la limite éventuelle de $\left(1+\frac xn\right)^n$ lorsque $n \to +\infty$.
N.B. Les théorèmes généraux d'analyse sont tous admis à ce stade. Priorité à la pratique.

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