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Colle n° 25

Chapitre 24. Intégration (fin)

• Comparaison somme-intégrale pour une fonction monotone continue par morceaux.
• Théorème fondamental de l'analyse.
• Formule de Taylor avec reste intégral (de Laplace), inégalité de Taylor-Lagrange.

Chapitre 25. Séries

• Terme général, sommes partielles, convergence et somme, divergence.
• Divergence grossière, divergence de la série harmonique, restes d'une série convergente.
• Lien suite-série, séries géométriques, séries exponentielles.
• Séries à termes positifs : CNS de convergence, comparaisons $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \sim v_n$.
• Comparaison à une intégrale : séries de Riemann, équivalents de sommes partielles et restes.
• Critère spécial des séries alternées.
• Convergence absolue dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Utilisation de développements asymptotiques en $O()$.

Questions de cours :

1. Comparaison somme-intégrale pour une fonction décroissante.
2. Formule de Taylor avec reste intégral.
3. Nature et somme des séries exponentielles $\sum \frac{z^n}{n!}$ pour $z \in \mathbb C$.
4. Nature des séries de Riemann $\sum \frac1{n^\alpha}$ pour $\alpha \in \mathbb R$.
5. Critère spécial des séries alternées.
6. Toute série absolument convergente est convergente.

Prochainement : Dénombrement, Probabilités sur un univers fini.

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