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Colle n° 4

Chapitre 4 - Fonctions réelles

• Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
• Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.
• Continuité et la dérivabilité. Ensembles $\mathcal C^0(I,\mathbb R)$ et $\mathcal C^1(I,\mathbb R)$. Signe de la dérivée et variations.
• Construction de fonction par théorème de bijection monotone, dérivation d'une réciproque. Exemple de $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ pour $n \in \mathbb N^*$.
• Logarithme. Propriété de morphisme. Variations. Inégalité de concavité. Limites usuelles. Courbe.
• Exponentielle. Propriété de morphisme. Dérivée. Inégalité de convexité. Limites usuelles. Courbe.
• Puissances généralisées. Propriétés calculatoires. Étude de $x\mapsto x^\alpha$ pour $\alpha$ réel fixé. Fonctions de la forme $x \mapsto u(x)^{v(x)}$.
• Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles.
• Fonctions hyperboliques. Propriété fondamentales, dérivées, variations et limites, courbes.

Questions de cours :

1. Propriétés de morphisme du logarithme & de l'exponentielle.
2. Inégalité de concavité du logarithme & inégalité de convexité de l'exponentielle.
3. Pour $x \in \mathbb R_+^*$, limite de $\left(1+\frac xn\right)^n$ lorsque $n \to +\infty$.
4. Théorème des croissances comparées.
5. Étude complète de la tangente hyperbolique (imparité, dérivée, variations, limites, graphe).

Prochainement : nombres complexes, trigonométrie.

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Semaine annulée en raison des blocages.

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Colle n° 3

Chapitre 3 - Inégalités dans l'ensemble des réels

• Réflexivité, transitivité et antisymétrie ; compatibilité avec les opérations.
• Valeur absolue, distance entre deux réels, propriétés, inégalités triangulaires.
• Partie entière d'un réel (existence admise), caractérisation par encadrement, propriétés.
• Parties de $\mathbb R$ majorées, minorées, bornées. Majorant (resp. minorant), maximum (resp. minimum).
• Borne supérieure, borne inférieure. Caractérisation des intervalles de $\mathbb R$.
• Parties denses. Densité de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.

Chapitre 4 - Fonctions réelles [début]

• Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
• Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.

Questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Caractérisation de la partie entière par encadrement.
2. Toute partie non vide et minorée de $\mathbb R$ admet une borne inférieure (dém. au choix).
3. Densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.
4. Une fonction $f: D\to \mathbb R$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
5. Soit $f : D \to \mathbb R$ strictement croissante. Alors $\forall (x_1,x_2) \in D^2,\ \big(x_1 \leqslant x_2 \iff f(x_1) \leqslant f(x_2)\big)$.

Prochainement : fonctions réelles & premières fonctions usuelles, nombres complexes.

Colle n° 2

Chapitre 1 - Calculs algébriques

Révisions.

Chapitre 2 - Logique et raisonnement

• Révisions sur la logique
• Notations ensemblistes, appartenance, inclusion, produit cartésien
• Ensemble des parties, opérations sur les parties, fonctions indicatrices
• Méthodes de résolution : analyse-synthèse, systèmes linéaires (pivot de Gauss)

Chapitre 3 - Inégalités dans l'ensemble des réels [cours uniquement]

• Réflexivité, transitivité et antisymétrie ; compatibilité avec les opérations
• Valeur absolue, distance entre réels, inégalité triangulaire.

Questions de cours

1. Distributivité d'une intersection sur une union $A \cap (B \cup C)$ dans $\mathcal P(E)$.
2. Pour toute fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$, il existe un unique couple de fonctions $(g,h)$ tel que $f = g + h$ avec $g$ paire et $h$ impaire.
3. Résolution, en fonction de $(a,b) \in \mathbb R^2$, du système linéaire : $\begin{cases}x + 2y = 1\\ ax + 3y = b\end{cases}$
4. Démontrer l'inégalité triangulaire : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\ |x+y| \leq |x| + |y|$.
5. Montrer la 2e inégalité triangulaire : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\quad \big||x| - |y|\big| \leq |x-y|$.

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