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Colle n° 4

Chapitre 4 - Fonctions réelles

• Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
• Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.
• Continuité et la dérivabilité. Ensembles $\mathcal C^0(I,\mathbb R)$ et $\mathcal C^1(I,\mathbb R)$. Signe de la dérivée et variations.
• Construction de fonction par théorème de bijection monotone, dérivation d'une réciproque. Exemple de $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ pour $n \in \mathbb N^*$.
• Logarithme. Propriété de morphisme. Variations. Inégalité de concavité. Limites usuelles. Courbe.
• Exponentielle. Propriété de morphisme. Dérivée. Inégalité de convexité. Limites usuelles. Courbe.
• Puissances généralisées. Propriétés calculatoires. Étude de $x\mapsto x^\alpha$ pour $\alpha$ réel fixé. Fonctions de la forme $x \mapsto u(x)^{v(x)}$.
• Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles.
• Fonctions hyperboliques. Propriété fondamentales, dérivées, variations et limites, courbes.

Questions de cours :

1. Propriétés de morphisme du logarithme & de l'exponentielle.
2. Inégalité de concavité du logarithme & inégalité de convexité de l'exponentielle.
3. Pour $x \in \mathbb R_+^*$, limite de $\left(1+\frac xn\right)^n$ lorsque $n \to +\infty$.
4. Théorème des croissances comparées.
5. Étude complète de la tangente hyperbolique (imparité, dérivée, variations, limites, graphe).

Prochainement : nombres complexes, trigonométrie.

Document de 15 ko, dans Anglais

Colle n° 3

Chapitre 3 - Inégalités dans l'ensemble des réels

• Réflexivité, transitivité et antisymétrie ; compatibilité avec les opérations.
• Valeur absolue, distance entre deux réels, propriétés, inégalités triangulaires.
• Partie entière d'un réel (existence admise), caractérisation par encadrement, propriétés.
• Parties de $\mathbb R$ majorées, minorées, bornées. Majorant (resp. minorant), maximum (resp. minimum).
• Borne supérieure, borne inférieure. Caractérisation des intervalles de $\mathbb R$.
• Parties denses. Densité de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.

Chapitre 4 - Fonctions réelles [début]

• Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
• Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.

Questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Caractérisation de la partie entière par encadrement.
2. Toute partie non vide et minorée de $\mathbb R$ admet une borne inférieure (dém. au choix).
3. Densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.
4. Une fonction $f: D\to \mathbb R$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
5. Soit $f : D \to \mathbb R$ strictement croissante. Alors $\forall (x_1,x_2) \in D^2,\ \big(x_1 \leqslant x_2 \iff f(x_1) \leqslant f(x_2)\big)$.

Prochainement : fonctions réelles & premières fonctions usuelles, nombres complexes.

Colle n° 2

Chapitre 1 - Calculs algébriques

Révisions.

Chapitre 2 - Logique et raisonnement

• Révisions sur la logique
• Notations ensemblistes, appartenance, inclusion, produit cartésien
• Ensemble des parties, opérations sur les parties, fonctions indicatrices
• Méthodes de résolution : analyse-synthèse, systèmes linéaires (pivot de Gauss)

Chapitre 3 - Inégalités dans l'ensemble des réels [cours uniquement]

• Réflexivité, transitivité et antisymétrie ; compatibilité avec les opérations
• Valeur absolue, distance entre réels, inégalité triangulaire.

Questions de cours

1. Distributivité d'une intersection sur une union $A \cap (B \cup C)$ dans $\mathcal P(E)$.
2. Pour toute fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$, il existe un unique couple de fonctions $(g,h)$ tel que $f = g + h$ avec $g$ paire et $h$ impaire.
3. Résolution, en fonction de $(a,b) \in \mathbb R^2$, du système linéaire : $\begin{cases}x + 2y = 1\\ ax + 3y = b\end{cases}$
4. Démontrer l'inégalité triangulaire : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\ |x+y| \leq |x| + |y|$.
5. Montrer la 2e inégalité triangulaire : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\quad \big||x| - |y|\big| \leq |x-y|$.

Document de 2 Mo, dans Anglais

Colle n° 1

Chapitre 1 - Calculs algébriques

• Sommes et produits, sommes usuelles, factorielles et puissances entières
• Changements d'indice (décalage ou retournement), télescopage, regroupement par paquets
• Coefficients binomiaux, binôme de Newton
• Sommes doubles (rectangulaires, triangulaires, découpage carré-triangles)

Chapitre 2 - Logique et raisonnement [début]

• Rudiments de logique classique, implication et équivalence, modes usuels de raisonnement
• Quantificateurs, modèles de rédaction, existence et unicité
• Raisonnement par récurrence (simple, double, forte).

Exemples de questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Calcul de $\sum_{k=1}^n k$ et de $\sum_{k=1}^n k^2$.
2. Simplification télescopique de $\sum_{k=m}^n (a_{k+1} - a_k)$ et calcul de $\sum_{k=0}^n q^k$.
3. Identité de factorisation de Bernoulli.
4. Formules de symétrie et de Pascal pour les coefficients binomiaux.
5. Formule du binôme de Newton.
6. Énoncé des lois de De Morgan, définition et négation de $P \implies Q$.