Derniers contenus

Colle n° 23

Chapitre 21. Applications linéaires

• Révision du dernier programme.
• Rang d'une application linéaire. Majoration de $\operatorname{rg}(g\circ f)$ et cas d'un isomorphisme.
• Théorème du rang.
• Caractérisation des isomorphismes et automorphismes en dimension finie.
• Inversibilité à gauche/droite en dimension finie (endomorphismes et matrices).

Chapitre 22. Compléments sur les équations linéaires

• Formes linéaires, espace dual, formes linéaires coordonnées associées à une base.
• Hyperplans, équation dans une base, caractérisation par supplémentaire, cas d'égalité de deux hyperplans.
• Hyperplans en dimension finie, intersections d'hyperplans et systèmes d'équations linéaires.
• Sous-espaces affines, direction. Exemple des solutions d'une équation linéaire.
• Notations affines usuelles. Intersection de sous-espaces affines.

Questions de cours :

1. Théorème du rang.
2. Caractérisation des hyperplans comme supplémentaires d'une droite vectorielle.
3. $\dim(H_1 \cap \cdots \cap H_p) \geqslant n - p$ pour $p$ hyperplans en dimension $n$.
4. En dimension $n$, tout sous-espace vectoriel de dimension $m$ est intersection de $n - m$ hyperplans.

Prochainement : Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ et $\mathbb R$ (et révisions sur les polynômes).

Colle n° 22

Chapitre 20. Espaces vectoriels

• Somme de sous-espaces vectoriels, somme directe, supplémentaires.
• Existence de supplémentaire en dimension finie, base adaptée à un couple de supplémentaires.
• Dimension d'une somme directe, formule de Grassmann.

Chapitre 21. Applications linéaires

• Applications linéaires, espace vectoriel $\mathscr L(E,F)$.
• Application linéaire canoniquement associée à une matrice.
• Composition d'applications linéaires, bilinéarité de la composition, isomorphismes.
• Image et noyau d'une application linéaire ; propriétés fondamentales. Image et noyau d'une matrice.
• Isomorphisme avec un supplémentaire du noyau (version géométrique du théorème du rang).
• Détermination d'une application linéaire sur des supplémentaires.
• Endomorphismes, algèbre $\mathscr L(E)$, homothéties, endomorphismes nilpotents.
• Projecteurs et symétries : définition géométrique et caractérisation algébrique.
• Automorphismes d'espace vectoriel et groupe linéaire $\mathrm{GL}(E)$.
• Détermination d'une application linéaire par l'image d'une base ; caractérisation de l'injectivité/surjectivité/bijectivité.
• Isomorphismes et dimension. Dimensions de $E\times F$ et $\mathscr L(E,F)$. Retour sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

Questions de cours :

1. Isomorphisme avec un supplémentaire du noyau (version géométrique du théorème du rang).
2. Caractérisation algébrique des projecteurs $p \in \mathcal L(E)$ par $p^2= p$.
3. Caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité d'une application linéaire par l'image d'une base.
4. Dimensions de $E\times F$ et $\mathscr L(E,F)$ lorsque $E$ et $F$ sont de dimension finie.

Prochainement : rang d'une application linéaire et théorème du rang (déjà vus) ; formes linéaires et hyperplans, sous-espaces affines (à venir).

Colle n° 21

Chapitre 20. Espaces vectoriels

• Structure d'espace vectoriel, exemples fondamentaux, espace vectoriel produit, sous-espace vectoriel.
• Combinaisons linéaires d'une famille finie ou quelconque de vecteurs, s.e.v. engendré par une partie ou une famille.
• Familles (parties) génératrices ; familles (parties) libres, familles de polynômes non nuls de degrés échelonnés.
• Bases et coordonnées ; bases canoniques de $K^n,\ \mathscr M_{n,p}(K),\ K[X]$ et $K_n[X]$.
• Espaces vectoriels de dimension finie, existence de base, théorème de la base extraite, théorème de la base incomplète.
• Notion de dimension. Caractérisation des bases en dimension finie.
• Dimension des s.e.v. d'un espace vectoriel de dimension finie, existence de base adaptée.
• Rang d'une famille de vecteurs ; lien avec la liberté et le caractère générateur.

Questions de cours :

1. Caractérisation des bases en dimension finie.
2. Dimension des s.e.v. d'un espace vectoriel de dimension finie.
3. Si $F,G$ sont des s.e.v. de $E$, alors $F + G$ est le plus petit s.e.v. contenant $F$ et $G$.
4. Caractérisation des sommes directes de deux s.e.v. par intersection.
5. Formule de Grassmann.

Colle n° 20

Révisions sur les études de suites et de fonctions.

Chapitre 19. Analyse asymptotique

• Utilisation d'équivalents et développements limités pour le calcul de limite en un point.
• Étude locale d'une fonction : tangente et position relative, extremum local.
• Recherche de développement limité d'une fonction réciproque.
• Utilisation d'équivalents et développements asymptotiques pour le calcul de limite en $+\infty$.
• Asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ : existence et position relative.
• Exemples de développements asymptotiques pour des suites définies par récurrence ou implicitement.

Questions de cours :

1. $\operatorname{Vect}(A)$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant $A$.
2. Liberté d'une famille de polynômes non nuls de degrés échelonnés.
3. Caractérisation des bases par les combinaisons linéaires.