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Chapitre 29 - Dénombrement

Révision de tout le chapitre.

Chapitre 30 - Probabilités sur un univers fini

• Univers finis et issues, évènements, variables aléatoires.
• Probabilités, probabilité uniforme, distributions de probabilités, propriétés générales, formule des probabilités totales.
• Loi d'une variable aléatoire $X$, lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale), loi image de $f(X)$.
• Loi conjointe et lois marginales d'un couple de variables aléatoires, généralisation aux $n$-uplets.
• Probabilités conditionnelles, lois conditionnelles, formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes.
• Indépendance d'un couple d'évènements, d'une famille d'évènements.
• Indépendance de variables aléatoires, caractérisation, théorème binomial, images et coalitions.

Exemples de questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Système complet d'évènements associé à une variable aléatoire $X : \Omega \to E$.
2. Formule des probabilités totales (deux versions, sans et avec conditionnement).
3. La loi conjointe d'un couple $(X,Y)$ détermine les lois marginales.
4. Formule des probabilités composées.
5. Si deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline B$ aussi.
6. Loi de $X_1 +\dots + X_n$ pour un $n$-uplet $(X_1,\dots,X_n)$ de variables indépendantes de loi $\mathscr B(p)$.

Chapitre 28. Séries numériques

Révision de tout le chapitre.

Chapitre 29. Dénombrement

• Notion d'ensemble fini, cardinal, principe de bijection (équipotence).
• Cardinal d'un sous-ensemble, injectivité/surjectivité et comparaison de cardinaux, principe des tiroirs.
• Union disjointe d'ensembles finis, complémentaire et union quelconque.
• Produit cartésien d'ensembles finis, principe des choix successifs.
• Nombre d'applications, nombre de parties.
• $p$-listes, $p$-listes d'éléments distincts, nombre d'injections, permutations, $p$-combinaisons.
• Preuves combinatoires d'identités sur les coefficients binomiaux.

Questions de cours : démonstrations et exercices classiques

1. Critère de d'Alembert pour les séries à termes strictement positifs (TD 28⋅17).
2. Existence de la constante d'Euler-Mascheroni $\gamma \in [0,1]$ par le lien suite-série (TD 28⋅19).
3. Union de deux ensembles finis disjoints.
4. Produit cartésien de deux ensembles finis ; nombre d'applications entre deux ensembles finis.
5. Nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
6. Preuve combinatoire de la formule de Vandermonde.

Révisions : Limites de suites, Analyse asymptotique, Intégration.

Chapitre 28. Séries numériques

• Terme général, sommes partielles, convergence et somme, divergence.
• Divergence grossière, divergence de la série harmonique, restes d'une série convergente.
• Lien suite-série, séries géométriques, séries exponentielles.
• Séries à termes positifs : CNS de convergence, comparaisons $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \sim v_n$.
• Comparaison à une intégrale : séries de Riemann, équivalents de sommes partielles et restes.
• Critère spécial des séries alternées, avec encadrement des restes.
• Convergence absolue dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Utilisation de développements asymptotiques en $O()$.

Questions de cours : démonstrations

1. Nature et somme des séries géométriques $\sum q^n$ pour $q \in \mathbb C$.
2. Nature et somme des séries exponentielles $\sum \frac{z^n}{n!}$ pour $z \in \mathbb C$.
3. Condition nécessaire et suffisante de convergence des séries à termes positifs.
4. Nature des séries de Riemann $\sum \frac1{n^\alpha}$ pour $\alpha \in \mathbb R$.
5. Critère spécial des séries alternées.
6. Toute série $\sum u_n$ absolument convergente est convergente.

Chapitre 26. Représentations matricielles

• Matrices de passage, inversibilité, formules de passage.
• Matrices équivalentes dans $\mathscr M_{n,p}(K)$, matrices $J_r$, classification par le rang.
• Rang de la transposée, rang de la famille des lignes, caractérisation du rang par les matrices extraites.
• Matrices semblables dans $\mathscr M_n(K)$, trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.

Chapitre 27. Fractions rationnelles

• Corps $K(X)$, représentant irréductible d'une fraction rationnelle, degré, partie entière.
• Zéros et pôles, multiplicités. Partie polaire, méthodes de calcul.
• Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$, cas d'une dérivée logarithmique.
• Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$.

Questions de cours : démonstration et exercices classiques

1. Propriétés des matrices de passages.
2. Formules de passage pour un vecteur et pour une application linéaire.
3. Toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$ dans $\mathscr M_{n,p}(K)$.
4. Décomposition en éléments simples de $\frac{P'}{P}$ pour $P \in \mathbb C[X]$ non nul.