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Colle n° 26

Chapitre 26. Dénombrement

• Notion d'ensemble fini, cardinal, principe de bijection (équipotence).
• Cardinal d'un sous-ensemble, injectivité/surjectivité/bijectivité et cardinaux, principe des tiroirs.
• Union disjointe d'ensembles finis, complémentaire et union quelconque.
• Produit cartésien d'ensembles finis, principe des choix successifs.
• Dénombrement des applications et des parties sur les ensembles finis.
• $p$-listes, $p$-listes d'éléments distincts, dénombrement des injections.
• permutations, $p$-combinaisons.
• Preuves combinatoires d'identités sur les coefficients binomiaux (Pascal, Newton, Vandermonde).

Chapitre 27. Probabilités sur un univers fini

• Univers finis et issues, évènements, variables aléatoires.
• Opérations sur les évènements, systèmes complets d'évènements.
• Probabilités, probabilité uniforme, distributions de probabilité, propriétés générales, formule des probabilités totales.
• Loi d'une variable aléatoire $X$, lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale), loi image de $f(X)$.
• Loi conjointe et lois marginales d'un couple de variables aléatoires, généralisation aux $n$-uplets.
• Probabilités conditionnelles, lois conditionnelles, formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes.

Questions de cours :

1. Cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis ; nombre d'applications entre deux ensembles finis.
2. Nombre de parties à $p$ éléments ($p$-combinaisons) d'un ensemble à $n$ éléments.
3. Preuve combinatoire de la formule de Vandermonde.
4. Détermination de la loi de $f(X)$ pour une v.a. $X : \Omega\to E$ et $f: E \to F$.
5. Formule des probabilités composées.
6. Formules des probabilités totales (rappeler la définition d'un s.c.e).

Prochainement : indépendance, espérance et variance.

Colle n° 25

Chapitre 24. Intégration (fin)

• Comparaison somme-intégrale pour une fonction monotone continue par morceaux.
• Théorème fondamental de l'analyse.
• Formule de Taylor avec reste intégral (de Laplace), inégalité de Taylor-Lagrange.

Chapitre 25. Séries

• Terme général, sommes partielles, convergence et somme, divergence.
• Divergence grossière, divergence de la série harmonique, restes d'une série convergente.
• Lien suite-série, séries géométriques, séries exponentielles.
• Séries à termes positifs : CNS de convergence, comparaisons $u_n \leqslant v_n$ et $u_n \sim v_n$.
• Comparaison à une intégrale : séries de Riemann, équivalents de sommes partielles et restes.
• Critère spécial des séries alternées.
• Convergence absolue dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Utilisation de développements asymptotiques en $O()$.

Questions de cours :

1. Comparaison somme-intégrale pour une fonction décroissante.
2. Formule de Taylor avec reste intégral.
3. Nature et somme des séries exponentielles $\sum \frac{z^n}{n!}$ pour $z \in \mathbb C$.
4. Nature des séries de Riemann $\sum \frac1{n^\alpha}$ pour $\alpha \in \mathbb R$.
5. Critère spécial des séries alternées.
6. Toute série absolument convergente est convergente.

Prochainement : Dénombrement, Probabilités sur un univers fini.

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