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Chapitre 19. Calcul matriciel

• Ensembles $\mathscr M_{n,p}(K)$, combinaisons linéaires, matrices élémentaires, produit matriciel, transposition.
• Forme matricielle d'un système linéaire, structure de l'ensemble des solutions, matrices d'opérations élémentaires, matrices échelonnées et pivot de Gauss.
• Anneau $\mathscr M_n(K)$, calcul de puissances par binôme de Newton et par polynôme annulateur, matrices triangulaires et diagonales, matrices symétriques et antisymétriques.
• Matrices inversibles, groupe linéaire, systèmes de Cramer et caractérisation de l'inversibilité, méthode de Gauss-Jordan.

Une démonstration de cours ou un exercice type.

1. [Révision DS 5] Expliciter le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2.
2. Associativité du produit matriciel et produit $I_nA$ pour $A\in\mathscr M_{n,p}(K)$.
3. Transposée d'un produit de deux matrices.
4. Produit de deux matrices triangulaires supérieures.
5. Critère d'inversibilité dans $\mathscr M_2(K)$ et matrice inverse.
6. Un calcul pratique d'inverse par opérations élémentaires dans $\mathscr M_3(\mathbb R)$.