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Colle n° 6

Chapitre 5 - Nombres complexes (révisions)

Chapitre 6 - Fonctions trigonométriques

• Cosinus et sinus, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Tangente, domaine, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Fonctions $\mathrm{Arccos}$, $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arctan}$. Dérivées, variations, courbes.

Questions de cours (avec démonstration) :

1. Pour tout $x \in \mathbb R,\ |\sin x| \leqslant |x|$.
2. Formules d'addition de $\cos$, $\sin$ et $\tan$.
3. Dérivabilité d'Arcsin et expression de la dérivée.
4. Pour tout $x \in \mathbb R^*,\ \operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan} \frac1x = \operatorname{signe}(x) \frac\pi2$.
5. Calcul d'une primitive de $x \mapsto x{\,\mathrm e}^{2x}\sin(3x)$ sur $\mathbb R$.
6. Calcul d'une primitive de $x \mapsto \frac1{x^2+x+1}$ sur $\mathbb R$.

Prochainement : calcul de primitives et d'intégrales, équations différentielles linéaires.

Colle n° 5

Chapitre 5 - Nombres complexes

• Corps $(\mathbb C,+,\times)$. Partie réelle, partie imaginaire. Le nombre $\mathrm j =-\tfrac12 + \mathrm i\tfrac{\sqrt 3}2$ et ses propriétés algébriques.
• Conjugué d'un complexe. Caractérisation des réels et des imaginaires purs. Module. Inverse d'un complexe non nul.
• Affixe d'un point ou d'un vecteur du plan. Interprétation du conjugué. Colinéarité de vecteurs, alignement de points.
• Formule d'Al-Kashi et inégalités triangulaires, avec cas d'égalité. Distance entre deux complexes, cercles.
• Racines carrées et équations du second degré dans $\mathbb C$, relations coefficients-racines.
• Équations se ramenant au second degré par factorisation ou changement d'inconnue.
• Exponentielle complexe avec ses propriétés de morphisme, conjugaison et noyau.
• Cercle unité $\mathbb U$, paramétrisation $\theta \mapsto \mathrm e^{\mathrm i\theta}$ et cas d'égalité, cosinus et sinus, technique de l'angle moitié .
• Formules d'Euler de Moivre, linéarisation. Calcul de $\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
• Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul, cas de $\mathrm e^z$. Arguments.
• Congruences dans $\mathbb R$ et mesures d'un angle orienté de vecteurs par les arguments.
• Racines $n$-ièmes, paramétrisation de $\mathbb U_n$, structure générale des solutions de $z^n = c$ pour $c \in \mathbb C^*$.
• Interprétation géométrique du rapport $\frac{c-a}{b-a}$, application aux alignements et à l'orthogonalité.
• Similitudes directes. Cas des translations, des homothéties, des rotations et cas général.

Questions de cours (avec démonstration) :

1. Formule d'Al-Kashi et inégalité triangulaire pour le module.
2. Factorisation de $\mathrm e^{\mathrm i\alpha} \pm \mathrm e^{\mathrm i\beta}$ par la technique de l'angle moitié.
3. Linéarisation de $\cos^4$ et $\sin^3$.
4. Paramétrisation de $\mathbb U_n$ par les entiers de $0$ à $n-1$.
5. Calcul de $S_n = \sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $T_n = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.

Prochainement : fonctions trigonométriques, calcul de primitives.