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Colle n° 8

Chapitre 9. Applications et relations binaires

• Applications, restriction, prolongement. Composition. Images directes et images réciproques.
• Injections, surjections, bijections. Réciproque d'une bijection, caractérisation par composition.
• Familles d'éléments, réunion et intersection d'une familles de parties, recouvrements disjoints.
• Relation binaires. Relation d'équivalence, classes d'équivalence. Relation d'ordre, totale ou partielle, éléments extrémaux.

Questions de cours (à démontrer)

1. Propriété des images réciproques relativement aux opérations ensemblistes.
2. Inclusions pour vérifiées par $f(f^{-1}(B))$ et $f^{-1}(f(A))$ pour $f : E \to F$ une application et $A \in \mathcal P(A), B \in \mathcal P(F)$.
3. Composition d'injections. Composition de surjections.
4. Caractérisation de la bijectivité de $f$ par l'existence de $g$ telle que $g\circ f = \mathrm{id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{id}_F$.
5. Pour toute relation d'équivalence sur $E$, l'ensemble des classes d'équivalence est une partition de $E$.
6. Toute partie non vide de $\mathbb N$ admet un plus petit élément.

Colle n° 7

Chapitre 7. Primitives

• Primitives d'une fonction, structure de l'ensemble des primitives, notation $\int^x f(t)\,\mathrm{d}t$, primitives usuelles. Lien avec les intégrales.
• Techniques particulières pour les $x \mapsto P(x)e^{\alpha x}$ ; $x \mapsto \cos^n (x)$ et $x \mapsto \sin^n(x)$ ; ainsi que $x\mapsto \frac1{a x^2 + b x + c}$ (avec $a,b,c$ réels).
• Intégration par parties. Changement de variable, application aux intégrales de fonctions paires ou impaires.

Chapitre 8. Équations différentielles linéaires

• Ordre 1 : structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène, recherche d'une solution particulière et principe de superposition, variation de la constante, théorème de Cauchy à l'ordre 1.
• Ordre 2 à coefficients constants : structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène dans $\mathbb C$ et dans $\mathbb R$, recherche de solution particulière et principe de superposition, théorème de Cauchy d'ordre 2.

Questions de cours (à démontrer)

1. Calcul d'une primitive de $\mathrm{Arccos}$.
2. Calcul de $\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,\mathrm{d}t$.
3. [TD] Calcul des intégrales de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t$ pour $n \in \mathbb N$ pair.
4. Structure de l'ensemble des solutions de $y' + a(x)y = b(x)$ pour $a,b$ dans $\mathcal C^0(I,\mathbb K)$.
5. Résolution générale de l'équation homogène $y' + a(x) y = 0$ pour $a$ dans $\mathcal C^0(I, \mathbb K)$.

Document de 13 ko, dans Anglais

Colle n° 6

Chapitre 4 - Étude de fonctions (révision)

Chapitre 5 - Nombres complexes (révision)

Chapitre 6 - Fonctions trigonométriques

• Cosinus et sinus, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Tangente, domaine, variations et valeurs particulières, cas d'égalité, formules usuelles.
• Fonctions $\mathrm{Arccos}$, $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arctan}$. Dérivées, variations, courbes.

Questions de cours (avec démonstration) :

• Pour tout $x \in \mathbb R,\ |\sin x| \leqslant |x|$.
• Limites usuelles en $0$ pour $\sin, \cos$ et $\tan$.
• Dérivabilité d'Arcsin et expression de la dérivée.
• Pour tout $x \in \mathbb R^*,\ \operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan} \frac1x = \operatorname{signe}(x) \frac\pi2$.
• Calcul d'une primitive de $x \mapsto x\,{\mathrm e}^{2x}\sin(3x)$.
• Calcul de primitives de : $$x\mapsto \frac{2x+3}{x^2-5x+6}\quad\text{et}\quad x \mapsto \frac1{x^2+x+1}.$$