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Chapitre 26. Représentations matricielles

• Matrices de passage, inversibilité, formules de passage.
• Matrices équivalentes dans $\mathscr M_{n,p}(K)$, matrices $J_r$, classification par le rang.
• Rang de la transposée, rang de la famille des lignes, caractérisation du rang par les matrices extraites.
• Matrices semblables dans $\mathscr M_n(K)$, trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.

Chapitre 27. Fractions rationnelles

• Corps $K(X)$, représentant irréductible d'une fraction rationnelle, degré, partie entière.
• Zéros et pôles, multiplicités. Partie polaire, méthodes de calcul.
• Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$, cas d'une dérivée logarithmique.
• Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$.

Questions de cours : démonstration et exercices classiques

1. Propriétés des matrices de passages.
2. Formules de passage pour un vecteur et pour une application linéaire.
3. Toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$ dans $\mathscr M_{n,p}(K)$.
4. Décomposition en éléments simples de $\frac{P'}{P}$ pour $P \in \mathbb C[X]$ non nul.

Révisions sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, particulièrement en dimension finie.

Chapitre 25. Équations linéaires

• Formes linéaires, hyperplans. Cas de la dimension finie, intersections et systèmes d'équations.
• Notations affines. Sous-espaces affines, intersections. Équations linéaires.

Chapitre 26. Représentations matricielles

• Matrice d'un vecteur ou d'une famille de vecteurs dans une base.
• Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases. Inversibilité. Cas des endomorphismes.
• Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Image, noyau, rang d'une matrice. Propriétés et calcul du rang.

Questions de cours : démonstration et exercices classiques

1. Caractérisation des hyperplans comme supplémentaires d'une droite vectorielle
2. $\dim(H_1 \cap \cdots \cap H_p) \geqslant n - p$ pour $p$ hyperplans en dimension $n$
3. Sur un exemple, déterminer un système d'équations linéaires pour un sous-espace vectoriel de $K^n$ à partir d'une famille génératrice
4. Matrice de l'image d'un vecteur, matrice d'une composée d'applications linéaires.
5. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de la matrice de Vandermonde $V(x_1,\dots,x_n)$

Chapitre 24. Intégration sur un segment

• Continuité uniforme, théorème de Heine.
• Subdivisions, fonctions continues par morceaux et fonctions en escalier sur un segment.
• Intégrale des fonctions en escaliers puis continues par morceaux via approximation en norme $\|\ \|_\infty$.
• Linéarité, inégalité triangulaire et positivité de $\int_{[a,b]}$. Notation $\int_a^b$ et relations de Chasles.
• Inégalités dans $\mathbb R$ : croissance, valeur moyenne, fonction continue positive d'intégrale nulle.
• Convergence des sommes de Riemann. Cas lipschitzien. Comparaison somme-intégrale (cas monotone).
• Théorème fondamental de l'analyse. Formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange.

Questions de cours : démonstration et exercices classiques

1. Théorème de Heine [seulement pour celles et ceux qui visent une classe $\star$].
2. $\|\lambda f\|_\infty = |\lambda|\,\|f\|_\infty$ et $\|f+g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty$.
3. Toute fonction continue positive d'intégrale 0 est nulle.
4. Convergence des sommes de Riemann (pour une fonction lipschitzienne).
5. Formule de Taylor avec reste intégral.
6. Établir par inégalité de Taylor-Lagrange la limite : $$\lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln 2.$$