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Chapitre 11. Limites de suites

• Convergence dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Unicité de la limite. Propriétés des suites convergentes. Opérations. Suites extraites.
• Suites réelles. Limites infinies. Droite réelle achevée $\overline{\mathbb R}$. Composition avec une limite de fonction. Opérations et limites infinies.
• Localisation asymptotique stricte. Passage à la limite dans les inégalités larges. Existence de limite par comparaison. Étude de $(q^n)$.
• Densité, caractérisation séquentielle. Bornes supérieure et inférieure, caractérisation séquentielle.
• Théorème de limite monotone, théorème des suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb R$ et dans $\mathbb C$.

Deux questions de cours

1. Un énoncé précis de définition ou de théorème.
2. Une démonstration :
   • Lemme de Cesàro [exercice].
   • Densité de $\mathbb D$, de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R\setminus \mathbb Q$ dans $\mathbb R$.
   • Théorème de limite monotone.
   • Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb C$ [en corollaire du cas réel].

Chapitre 9. Primitives

• Formule de changement variable.
• Intégration par parties.

Chapitre 10. Équations différentielles linéaires

• Ordre 1 : théorème de structure, résolution de l'équation homogène, recherche d'une solution particulière et principe de superposition, variation de la constante, problème de Cauchy d'ordre 1.
• Ordre 2 à coefficients constants : théorème de structure, résolution de l'équation homogène dans $\mathbb C$ et $\mathbb R$, recherche d'une solution particulière pour les seconds membres $P(x)e^{\lambda x}$ et $A \cos(\omega x) + B \sin (\omega x)$, principe de superposition, problème de Cauchy d'ordre 2.

Questions de cours

• Calcul des intégrales de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t$ pour $n \in \mathbb N$.
• Résolution de l'équation $y' + a(x) y = 0$ pour $a \in \mathcal C^0(I, \mathbb K)$.
• Théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1.
• Unicité de la limite pour les suites convergentes.
• Convergence de la somme de deux suites convergentes.

Notions étudiées

Chapitre 8. Fonctions usuelles trigonométriques

• Cosinus et sinus, cas d'égalité, formulaire, étude de $\cos$ et $\sin$ sur $\mathbb R$, études locales en $0$.
• Tangente, cas d'égalité, formulaire, étude globale, étude locale en $0$.
• Fonctions $\mathrm{Arccos}$, $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arctan}$. Dérivées, variations, courbes.

Chapitre 9. Primitives

• Primitives d'une fonction, structure de l'ensemble des primitives, notation $\int^x f(t)\,\mathrm{d}t$, primitives des fonctions usuelles
• Primitives de $x\mapsto e^{ax}\cos(bx)$ et $x\mapsto e^{ax}\sin(bx)$ ; primitive de $x\mapsto \frac1{ax^2 + bx +c}$ pour $a,b,c$ réels tels que $a \neq 0$, selon les cas.
• Théorème fondamental de l'analyse pour une fonction continue. Application au calcul d'intégrales et au calcul de primitives.
• Formule de changement variable.

Questions de cours

1. Deux formules de trigonométrie pour $\cos$, $\sin$ ou $\tan$.
2. Une démonstration ou un calcul :
   • Équivalents usuels de $\sin x,\ \cos x - 1$ et $\tan x$ en $0$.
   • Dérivabilité et dérivées des fonctions $\operatorname{Arccos}$, $\operatorname{Arcsin}$ et $\operatorname{Arctan}$.
   • Existence d'une unique solution de $\operatorname{Arcos}(x) = \operatorname{Arcsin}(2x)$ et calcul de la solution.
   • Primitiver les fonctions $f_k : x \mapsto \frac{x^k}{x^2+3x-4}$ sur $\left]1,+\infty\right[$ pour $k \in \{0,1,2\}$.
   • Déterminer une primitive de $x \mapsto \frac{x^3}{x^2+x+1}$ sur $\mathbb R$.
   • Calcul de $\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,\mathrm{d}t$ par changement de variable.