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Chapitre 30 - Probabilités sur un univers fini

Révision de tout le chapitre.

Chapitre 31 - Espérance et variance

• Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe, linéarité, croissance.
• Espérance des lois usuelles, formule de transfert, condition nécessaire d'indépendance.
• Variance et écart-type, propriétés, covariance, variance d'une somme.
• Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Chapitre 32 - Groupe symétrique

• Support d'une permutation, transpositions, décomposition en produit de transpositions.
• Cycles, orbites, décomposition unique en produit de cycles à supports disjoints.
• Signature d'une permutation, groupe alterné $A_n$.

Chapitre 33 - Déterminants

• Formes $n$-linéaires alternées, déterminant d'une famille de vecteurs dans une base.
• Formule de Leibniz pour le déterminant, cas des dimensions $2$ et $3$ (règle de Sarrus).
• Déterminant d'un endomorphisme, déterminant d'une matrice carrée, de sa transposée.
• Cas des matrices triangulaires (par blocs), opérations sur les colonnes/lignes, déterminant de Vandermonde.
• Développement de Laplace selon les colonnes/lignes, formule de la comatrice.

Exemples de questions de cours

1. Propriétés de la variance : cas d'annulation, $V(a X + b)$, formule de König-Huygens.
2. Espérance et variance d'une variable aléatoire $X \sim \mathcal B(n,p)$.
3. Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
4. Calculer en pratique la signature d'une permutation (trois manières distinctes).
5. Déterminant de Vandermonde.

Chapitre 29 - Dénombrement

Révision de tout le chapitre.

Chapitre 30 - Probabilités sur un univers fini

• Univers finis et issues, évènements, variables aléatoires.
• Probabilités, probabilité uniforme, distributions de probabilités, propriétés générales, formule des probabilités totales.
• Loi d'une variable aléatoire $X$, lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale), loi image de $f(X)$.
• Loi conjointe et lois marginales d'un couple de variables aléatoires, généralisation aux $n$-uplets.
• Probabilités conditionnelles, lois conditionnelles, formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes.
• Indépendance d'un couple d'évènements, d'une famille d'évènements.
• Indépendance de variables aléatoires, caractérisation, théorème binomial, images et coalitions.

Exemples de questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Système complet d'évènements associé à une variable aléatoire $X : \Omega \to E$.
2. Formule des probabilités totales (deux versions, sans et avec conditionnement).
3. La loi conjointe d'un couple $(X,Y)$ détermine les lois marginales.
4. Formule des probabilités composées.
5. Si deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline B$ aussi.
6. Loi de $X_1 +\dots + X_n$ pour un $n$-uplet $(X_1,\dots,X_n)$ de variables indépendantes de loi $\mathscr B(p)$.