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Colle n° 29

Chapitre 30. Groupe symétrique

• Support d'une permutation, transpositions, décomposition en produit de transpositions.
• Cycles, orbites et décomposition unique en produit de cycles à supports disjoints.
• Signature d'une permutation, groupe alterné $A_n$.

Chapitre 31. Déterminants

• Applications $n$-linéaires alternées.
• Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, changement de base, caractérisation des bases.
• Formule de Leibniz pour le déterminant, cas des dimensions $2$ et $3$ (règle de Sarrus).
• Déterminant d'un endomorphisme, déterminant d'une matrice carrée, de sa transposée.
• Cas des matrices triangulaires (par blocs), opérations sur les colonnes/lignes, déterminant de Vandermonde.
• Développement de Laplace selon les colonnes/lignes, formule de la comatrice.

Questions de cours :

1. Commutativité de deux permutations à supports disjoints.
2. Propriété d'antisymétrie des applications $n$-linéaires alternées.
3. Déterminant de la transposée.
4. Calcul du déterminant de Vandermonde.

Prochainement : espaces préhilbertiens.

Colle n° 28

Chapitre 29. Représentations matricielles

• Matrice d'un vecteur ou d'une famille de vecteurs dans une base.
• Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases. Inversibilité. Cas des endomorphismes.
• Matrices de passage, inversibilité, formules de passage.
• Rang d'une matrice. Propriétés et calcul du rang.
• Matrices équivalentes dans $\mathscr M_{n,p}(K)$, matrices $J_r$, classification par le rang.
• Rang de la transposée, rang de la famille des lignes, caractérisation du rang par les matrices extraites.
• Matrices semblables dans $\mathscr M_n(K)$, trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.

Questions de cours : démonstration et exercices classiques

1. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de la matrice de Vandermonde $V(x_1,\dots,x_n)$.
2. Définition et propriétés des matrices de passage.
3. Formules de passage pour un vecteur et pour une application linéaire.
4. Toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$ dans $\mathscr M_{n,p}(K)$.
5. Trace d'un projecteur.

Prochainement : groupe symétrique, déterminants.

Colle n° 27

Chapitre 27. Probabilités sur un univers fini

• Indépendance de deux évènements, d'une famille d'évènements.
• Indépendance de deux variables aléatoires, notation $\perp\mkern-18mu\perp$ et caractérisation.
• Extension aux familles de variables aléatoires indépendantes, théorème binomial.
• Images et coalitions indépendantes de variables aléatoires.

Chapitre 28.Espérance et variance

• Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe, linéarité, croissance.
• Espérance des lois usuelles, formule de transfert, condition nécessaire d'indépendance.
• Variance et écart-type, propriétés, covariance, variance d'une somme.
• Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Questions de cours :

1. Si deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline A$ et $B$ le sont aussi.
2. Loi de $X_1 +\dots + X_n$ pour un $n$-uplet $(X_1,\dots,X_n)$ de variables indépendantes de loi $\mathscr B(p)$.
3. Espérance d'une variable aléatoire $X \sim \mathcal B(n,p)$ par deux méthodes.
4. Cas d'annulation de la variance, formule pour $V(a X + b)$ et formule de König-Huygens.
5. Variance d'une somme, application à la loi binomiale.
6. Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Prochainement : matrices d'applications linéaires, groupe symétrique.

Colle n° 26

Chapitre 26. Dénombrement

• Notion d'ensemble fini, cardinal, principe de bijection (équipotence).
• Cardinal d'un sous-ensemble, injectivité/surjectivité/bijectivité et cardinaux, principe des tiroirs.
• Union disjointe d'ensembles finis, complémentaire et union quelconque.
• Produit cartésien d'ensembles finis, principe des choix successifs.
• Dénombrement des applications et des parties sur les ensembles finis.
• $p$-listes, $p$-listes d'éléments distincts, dénombrement des injections.
• permutations, $p$-combinaisons.
• Preuves combinatoires d'identités sur les coefficients binomiaux (Pascal, Newton, Vandermonde).

Chapitre 27. Probabilités sur un univers fini

• Univers finis et issues, évènements, variables aléatoires.
• Opérations sur les évènements, systèmes complets d'évènements.
• Probabilités, probabilité uniforme, distributions de probabilité, propriétés générales, formule des probabilités totales.
• Loi d'une variable aléatoire $X$, lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale), loi image de $f(X)$.
• Loi conjointe et lois marginales d'un couple de variables aléatoires, généralisation aux $n$-uplets.
• Probabilités conditionnelles, lois conditionnelles, formules des probabilités composées, des probabilités totales et de Bayes.

Questions de cours :

1. Cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis ; nombre d'applications entre deux ensembles finis.
2. Nombre de parties à $p$ éléments ($p$-combinaisons) d'un ensemble à $n$ éléments.
3. Preuve combinatoire de la formule de Vandermonde.
4. Détermination de la loi de $f(X)$ pour une v.a. $X : \Omega\to E$ et $f: E \to F$.
5. Formule des probabilités composées.
6. Formules des probabilités totales (rappeler la définition d'un s.c.e).

Prochainement : indépendance, espérance et variance.