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Colle n° 16

Révisions sur la continuité et la dérivabilité (chapitres 14 et 15).

Chapitre 16. Convexité

• Fonction convexe, fonction concave, cas des fonctions dérivables telles que $f'$ est croissante, inégalité de Jensen.
• Position par rapport aux sécantes, caractérisation de la convexité par les pentes.
• Position par rapport aux tangentes, caractérisation de la convexité pour les fonctions une ou deux fois dérivables.

Questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Toute fonction $f$ dérivable sur $I$ et de dérivée $f'$ croissante est convexe sur $I$.
2. Inégalité arithmético-géométrique par utilisation de l'inégalité de Jensen.
3. Position relative des sécantes pour une fonction convexe.
4. Position relative des tangentes pour une fonction convexe dérivable.
5. Toute fonction $f$ convexe et dérivable sur $I$ admet une dérivée $f'$ croissante sur $I$.

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Colle n° 15

Chapitre 15. Dérivabilité

• Taux d'accroissement, dérivabilité en un point, à gauche, à droite, lien avec la continuité.
• Fonctions dérivables, opérations algébriques, composition, dérivabilité d'une réciproque.
• Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Leibniz et théorèmes généraux, classes $\mathscr C^k$.
• Points critiques, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, caractérisation de la monotonie.
• Inégalité des accroissements finis et fonctions lipschitziennes, application aux suites. Théorème de limite de la dérivée.
• Extensions aux fonctions à valeurs complexes.

Questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Dérivabilité d'une composée de fonctions dérivables.
2. Condition nécessaire d'extremum sur un intervalle ouvert (point critique).
3. Théorème de Rolle.
4. Théorème des accroissements finis.
5. Théorème de limite de la dérivée.

Colle n° 14

Chapitre 14. Limites et continuité

• Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
• Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
• Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
• Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
• Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.
• Théorème des valeurs intermédiaires. Image continue d'un intervalle.
• Théorème des bornes atteintes. Image continue d'un segment.
• Monotonie des fonctions continues et injectives sur un intervalle.
• Théorème de bijection monotone.
• Continuité pour les fonctions à valeurs complexes.

Questions de cours (théorème ou exercice type)

1. Théorème des valeurs intermédiaires (par dichotomie).
2. Toute fonction $f : [a,b] \to \mathbb R$ continue telle que $f([a,b]) \subset [a,b]$ admet un point fixe.
3. Théorème des bornes atteintes.
4. Toute fonction $f : \mathbb R_+ \to \mathbb R$ continue, de limite finie en $+\infty$, est bornée et admet un minimum ou un maximum.
5. Théorème de bijection monotone.

Colle n° 13

Chapitre 13. Structures algébriques (fin)

• Révision sur les lois de composition internes et les groupes.
• Anneaux, diviseurs de zéros et anneaux intègres.
• Sous-anneau, morphisme d'anneaux.
• Groupe $A^\times$ des inversibles d'un anneau $A$.
• Corps, exemple des $\mathbb Z/p\mathbb Z$ avec $p$ premier, corps des fractions d'un anneau intègre.

Chapitre 14. Limites et continuité (début)

• Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
• Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
• Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
• Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
• Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.

Révision sur les calculs de limites par équivalents usuels et croissances comparées.

Questions de cours (énoncé et démonstration)

1. Dans tout anneau, « $0$ est absorbant » et la « règle des signes » s'applique.
2. Montrer que $\mathbb Z[\mathrm i]$ est un sous-anneau de $(\mathbb C, +, \cdot)$ et déterminer ses inversibles. [Exercice]
3. Tout corps est intègre.
4. Caractérisation séquentielle d'une limite $\ell$ réelle en un point $a$ réel.