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Colle n° 3

Chapitre 3 - Inégalités dans l'ensemble des réels

• Réflexivité, transitivité et antisymétrie ; compatibilité avec les opérations.
• Valeur absolue, distance entre deux réels, propriétés, inégalités triangulaires.
• Partie entière d'un réel (existence admise), caractérisation par encadrement, propriétés.
• Parties de $\mathbb R$ majorées, minorées, bornées. Majorant (resp. minorant), maximum (resp. minimum).
• Borne supérieure, borne inférieure. Caractérisation des intervalles de $\mathbb R$.
• Parties denses. Densité de $\mathbb Q$ et de $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.

Chapitre 4 - Fonctions réelles [début]

• Vocabulaire des fonctions réelles, graphe, opérations, composition. Fonction paire, impaire, périodique.
• Fonction minorée, majorée, bornée. Max, min, sup, inf. Fonction croissante, décroissante, monotone. Stricte monotonie.

Questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Caractérisation de la partie entière par encadrement.
2. Toute partie non vide et minorée de $\mathbb R$ admet une borne inférieure (dém. au choix).
3. Densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$.
4. Une fonction $f: D\to \mathbb R$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
5. Soit $f : D \to \mathbb R$ strictement croissante. Alors $\forall (x_1,x_2) \in D^2,\ \big(x_1 \leqslant x_2 \iff f(x_1) \leqslant f(x_2)\big)$.

Prochainement : fonctions réelles & premières fonctions usuelles, nombres complexes.

Colle n° 2

Chapitre 1 - Calculs algébriques

Révisions.

Chapitre 2 - Logique et raisonnement

• Révisions sur la logique
• Notations ensemblistes, appartenance, inclusion, produit cartésien
• Ensemble des parties, opérations sur les parties, fonctions indicatrices
• Méthodes de résolution : analyse-synthèse, systèmes linéaires (pivot de Gauss)

Chapitre 3 - Inégalités dans l'ensemble des réels [cours uniquement]

• Réflexivité, transitivité et antisymétrie ; compatibilité avec les opérations
• Valeur absolue, distance entre réels, inégalité triangulaire.

Questions de cours

1. Distributivité d'une intersection sur une union $A \cap (B \cup C)$ dans $\mathcal P(E)$.
2. Pour toute fonction $f : \mathbb R \to \mathbb R$, il existe un unique couple de fonctions $(g,h)$ tel que $f = g + h$ avec $g$ paire et $h$ impaire.
3. Résolution, en fonction de $(a,b) \in \mathbb R^2$, du système linéaire : $\begin{cases}x + 2y = 1\\ ax + 3y = b\end{cases}$
4. Démontrer l'inégalité triangulaire : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\ |x+y| \leq |x| + |y|$.
5. Montrer la 2e inégalité triangulaire : $\forall (x,y) \in \mathbb R^2,\quad \big||x| - |y|\big| \leq |x-y|$.

Document de 2 Mo, dans Anglais

Colle n° 1

Chapitre 1 - Calculs algébriques

• Sommes et produits, sommes usuelles, factorielles et puissances entières
• Changements d'indice (décalage ou retournement), télescopage, regroupement par paquets
• Coefficients binomiaux, binôme de Newton
• Sommes doubles (rectangulaires, triangulaires, découpage carré-triangles)

Chapitre 2 - Logique et raisonnement [début]

• Rudiments de logique classique, implication et équivalence, modes usuels de raisonnement
• Quantificateurs, modèles de rédaction, existence et unicité
• Raisonnement par récurrence (simple, double, forte).

Exemples de questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Calcul de $\sum_{k=1}^n k$ et de $\sum_{k=1}^n k^2$.
2. Simplification télescopique de $\sum_{k=m}^n (a_{k+1} - a_k)$ et calcul de $\sum_{k=0}^n q^k$.
3. Identité de factorisation de Bernoulli.
4. Formules de symétrie et de Pascal pour les coefficients binomiaux.
5. Formule du binôme de Newton.
6. Énoncé des lois de De Morgan, définition et négation de $P \implies Q$.