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Colle n° 11

Chapitre 12. Arithmétique des entiers

• Divisibilité dans $\mathbb Z$, division euclidienne par un entier strictement positif, sous-groupes de $\mathbb Z$.
• PGCD, relations de Bézout-Bachet, caractérisation du PGCD, algorithme d'Euclide étendu, PGCD d'une famille d'entiers.
• Entiers premiers entre eux, théorème de Bézout, lemme de Gauss. PPCM, caractérisation et relation avec le PGCD.
• Nombres premiers, lemme d'Euclide, crible d'Eratosthène, infinité de l'ensemble des nombres premiers.
• Valuations $p$-adiques, théorème fondamental de l'arithmétique. Valuations des diviseurs, PGCD et PPCM.
• Congruences, condition d'inversibilité modulaire, petit théorème de Fermat.

Questions de cours (à démontrer)

1. Existence d'une relation de Bachet-Bézout pour $a,b$ entiers non nuls.
2. Lemme de Gauss.
3. Infinité de l'ensemble des nombres premiers.
4. Propriétés des valuations $p$-adiques.
5. Petit théorème de Fermat.

Colle n° 10

Chapitre 10. Limites de suites

• Théorème de limite monotone, théorème des suites adjacentes.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb R$ et dans $\mathbb C$.

Chapitre 11. Compléments sur les suites

• Introduction aux équivalents, règles de calcul, équivalents usuels en 0.
• Suites remarquables : arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2.
• Étude générale des suites récurrentes d'ordre 1 : intervalles stables, limites éventuelles, monotonie, convergence.

Questions de cours (à démontrer)

1. Théorème de limite monotone pour une suite croissante et majorée.
2. Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb C$ [en corollaire du cas réel].
3. Étude des suites $(u_n)$ définies par $u_0 > 0$ et $\forall n\in \mathbb N,\ u_{n+1} = \frac12\left(u_n+\frac1{u_n}\right)$.
4. Ajout si préparé : Limites éventuelles des suites géométriques $(q^n)$ pour $q \in \mathbb C$.

Colle n° 9

Chapitre 10. Limites de suites

• Convergence dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Unicité de la limite. Propriétés des suites convergentes. Opérations. Suites extraites.
• Suites réelles. Limites dans $\overline{\mathbb R}$. Opérations sur les limites infinies. Composition de limites.
• Localisation asymptotique stricte. Passage à la limite dans les inégalités larges. Existence de limite par comparaison.
• Caractérisation séquentielle des bornes $\sup$ (resp. $\inf$) et de la densité. Points adhérents à une partie.

Questions de cours (à démontrer)

1. Unicité de la limite pour les suites convergentes.
2. Somme de deux suites convergentes.
3. Lemme de Cesàro [exercice].
4. Localisation asymptotique stricte.
5. Caractérisation séquentielle de la densité.

Il est indispensable de savoir donner les définitions précises !

Colle n° 8

Chapitre 9. Applications et relations binaires

• Applications, restriction, prolongement. Composition. Images directes et images réciproques.
• Injections, surjections, bijections. Réciproque d'une bijection, caractérisation par composition.
• Familles d'éléments, réunion et intersection d'une familles de parties, recouvrements disjoints.
• Relation binaires. Relation d'équivalence, classes d'équivalence. Relation d'ordre, totale ou partielle, éléments extrémaux.

Questions de cours (à démontrer)

1. Propriété des images réciproques relativement aux opérations ensemblistes.
2. Inclusions vérifiées par $f(f^{-1}(B))$ et $f^{-1}(f(A))$ pour $f : E \to F$ une application et $A \in \mathcal P(A), B \in \mathcal P(F)$.
3. Composition d'injections. Composition de surjections.
4. Caractérisation de la bijectivité de $f$ par l'existence de $g$ telle que $g\circ f = \mathrm{id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{id}_F$.
5. L'ensemble des classes d'équivalence d'une relation d'équivalence sur $E$ est une partition de $E$.
6. Toute partie non vide de $\mathbb N$ admet un plus petit élément.

Colle n° 7

Chapitre 7. Primitives

• Primitives d'une fonction, structure de l'ensemble des primitives, notation $\int^x f(t)\,\mathrm{d}t$, primitives usuelles. Lien avec les intégrales.
• Techniques particulières pour les $x \mapsto P(x)e^{\alpha x}$ ; $x \mapsto \cos^n (x)$ et $x \mapsto \sin^n(x)$ ; ainsi que $x\mapsto \frac1{a x^2 + b x + c}$ (avec $a,b,c$ réels).
• Intégration par parties. Changement de variable, application aux intégrales de fonctions paires ou impaires.

Chapitre 8. Équations différentielles linéaires

• Ordre 1 : structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène, recherche d'une solution particulière et principe de superposition, variation de la constante, théorème de Cauchy à l'ordre 1.
• Ordre 2 à coefficients constants : structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène dans $\mathbb C$ et dans $\mathbb R$, recherche de solution particulière et principe de superposition, théorème de Cauchy d'ordre 2.

Questions de cours (à démontrer)

1. Calcul d'une primitive de $\mathrm{Arccos}$.
2. Calcul de $\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\,\mathrm{d}t$.
3. [TD] Calcul des intégrales de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n(t)\,\mathrm{d}t$ pour $n \in \mathbb N$ pair.
4. Structure de l'ensemble des solutions de $y' + a(x)y = b(x)$ pour $a,b$ dans $\mathcal C^0(I,\mathbb K)$.
5. Résolution générale de l'équation homogène $y' + a(x) y = 0$ pour $a$ dans $\mathcal C^0(I, \mathbb K)$.