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Colle n° 12

Chapitre 12. Arithmétique des entiers

Révisions sur les nombres premiers et les congruences.

Chapitre 13. Structures algébriques (début)

• Loi de composition interne, associativité, commutativité, élément neutre, éléments inversibles. Lois sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
• Structure de groupe, groupes abéliens, groupe des permutations d'un ensemble.
• Sous-groupes et caractérisation des sous-groupes. Groupes monogènes et cycliques. Groupes produits.
• Morphismes de groupes, endomorphismes, images directes et réciproques d'un sous-groupe par un morphisme.
• Noyau et image d'un morphisme de groupes, caractérisation de l'injectivité par le noyau.
• Isomorphismes et automorphismes de groupes, isomorphisme réciproque.

Questions de cours (à démontrer)

1. Propriétés des éléments inversibles pour une l.c.i. $\star$ associative qui admet un neutre.
2. Caractérisation des sous-groupes.
3. Lien entre injectivité d'un morphisme de groupes et noyau.
4. Tout groupe cyclique est isomorphe à $(\mathbb Z/n\mathbb Z, +)$ pour un certain $n \in \mathbb N^*$.

Colle n° 11

Chapitre 12. Arithmétique des entiers

• Divisibilité dans $\mathbb Z$, division euclidienne par un entier strictement positif, sous-groupes de $\mathbb Z$.
• PGCD, relations de Bézout-Bachet, caractérisation du PGCD, algorithme d'Euclide étendu, PGCD d'une famille d'entiers.
• Entiers premiers entre eux, théorème de Bézout, lemme de Gauss. PPCM, caractérisation et relation avec le PGCD.
• Nombres premiers, lemme d'Euclide, crible d'Eratosthène, infinité de l'ensemble des nombres premiers.
• Valuations $p$-adiques, théorème fondamental de l'arithmétique. Valuations des diviseurs, PGCD et PPCM.
• Congruences, condition d'inversibilité modulaire, petit théorème de Fermat.

Questions de cours (à démontrer)

1. Existence d'une relation de Bachet-Bézout pour $a,b$ entiers non nuls.
2. Lemme de Gauss.
3. Infinité de l'ensemble des nombres premiers.
4. Propriétés des valuations $p$-adiques.
5. Petit théorème de Fermat.

Colle n° 10

Chapitre 10. Limites de suites

• Théorème de limite monotone, théorème des suites adjacentes.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb R$ et dans $\mathbb C$.

Chapitre 11. Compléments sur les suites

• Introduction aux équivalents, règles de calcul, équivalents usuels en 0.
• Suites remarquables : arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, récurrentes linéaires d'ordre 2.
• Étude générale des suites récurrentes d'ordre 1 : intervalles stables, limites éventuelles, monotonie, convergence.

Questions de cours (à démontrer)

1. Théorème de limite monotone pour une suite croissante et majorée.
2. Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb C$ [en corollaire du cas réel].
3. Étude des suites $(u_n)$ définies par $u_0 > 0$ et $\forall n\in \mathbb N,\ u_{n+1} = \frac12\left(u_n+\frac1{u_n}\right)$.
4. Ajout si préparé : Limites éventuelles des suites géométriques $(q^n)$ pour $q \in \mathbb C$.