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Colle n° 14

Chapitre 14. Limites et continuité

• Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
• Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
• Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
• Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
• Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.
• Théorème des valeurs intermédiaires. Image continue d'un intervalle.
• Théorème des bornes atteintes. Image continue d'un segment.
• Monotonie des fonctions continues et injectives sur un intervalle.
• Théorème de bijection monotone.
• Continuité pour les fonctions à valeurs complexes.

Questions de cours (théorème ou exercice type)

1. Théorème des valeurs intermédiaires (par dichotomie).
2. Toute fonction $f : [a,b] \to \mathbb R$ continue telle que $f([a,b]) \subset [a,b]$ admet un point fixe.
3. Théorème des bornes atteintes.
4. Toute fonction $f : \mathbb R_+ \to \mathbb R$ continue, de limite finie en $+\infty$, est bornée et admet un minimum ou un maximum.
5. Théorème de bijection monotone.

Colle n° 15

Chapitre 15. Dérivabilité

Colle n° 13

Chapitre 13. Structures algébriques (fin)

• Révision sur les lois de composition internes et les groupes.
• Anneaux, diviseurs de zéros et anneaux intègres.
• Sous-anneau, morphisme d'anneaux.
• Groupe $A^\times$ des inversibles d'un anneau $A$.
• Corps, exemple des $\mathbb Z/p\mathbb Z$ avec $p$ premier, corps des fractions d'un anneau intègre.

Chapitre 14. Limites et continuité (début)

• Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
• Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
• Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
• Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
• Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.

Révision sur les calculs de limites par équivalents usuels et croissances comparées.

Questions de cours (énoncé et démonstration)

1. Dans tout anneau, « $0$ est absorbant » et la « règle des signes » s'applique.
2. Montrer que $\mathbb Z[\mathrm i]$ est un sous-anneau de $(\mathbb C, +, \cdot)$ et déterminer ses inversibles. [Exercice]
3. Tout corps est intègre.
4. Caractérisation séquentielle d'une limite $\ell$ réelle en un point $a$ réel.