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Colle n° 30

Chapitre 32 - Espaces préhilbertiens réels

• Produits scalaires, espace préhilbertien, espace euclidien.
• Produit scalaire canonique sur $\mathbb R^n$, expression matricielle. Produit scalaire usuel sur $\mathscr C^0([a,b],\mathbb R)$.
• Norme associée au produit scalaire, distance. Identités remarquables, formules de polarisation.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire, avec cas d'égalité.
• Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie. Familles orthogonales, liberté et théorème de Pythagore.
• Algorithme de Gram-Schmidt, bases orthonormées. Complément sur les matrices orthogonales.
• Projection orthogonale sur un sous-espace euclidien. Supplémentaire orthogonal d'un s.e.v. euclidien.
• Dans un espace euclidien, dimension de $F^\perp$ et relation $F^{\perp\perp} = F$, description des hyperplans par vecteur normal.
• Distance à un s.e.v. $F$, lien avec la projection orthogonale dans le cas où $F$ est euclidien.

Exemples de questions de cours :

1. Inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité.
2. Liberté des familles orthogonales de vecteurs non nuls + théorème de Pythagore.
3. Expression des coordonnées, du produit scalaire et de la norme dans une BON.
4. Expression du projeté orthogonal et égalité $E = F \oplus F^\perp$ pour $F$ un s.e.v. euclidien de $E$.
5. Expression de la distance à un s.e.v. euclidien en utilisant le projeté orthogonal.

C'est le dernier programme pour cette année scolaire !

Colle n° 29

Chapitre 30. Groupe symétrique

• Support d'une permutation, transpositions, décomposition en produit de transpositions.
• Cycles, orbites et décomposition unique en produit de cycles à supports disjoints.
• Signature d'une permutation, groupe alterné $A_n$.

Chapitre 31. Déterminants

• Applications $n$-linéaires alternées.
• Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, changement de base, caractérisation des bases.
• Formule de Leibniz pour le déterminant, cas des dimensions $2$ et $3$ (règle de Sarrus).
• Déterminant d'un endomorphisme, déterminant d'une matrice carrée, de sa transposée.
• Cas des matrices triangulaires (par blocs), opérations sur les colonnes/lignes, déterminant de Vandermonde.
• Développement de Laplace selon les colonnes/lignes, formule de la comatrice.

Questions de cours :

1. Commutativité de deux permutations à supports disjoints.
2. Propriété d'antisymétrie des applications $n$-linéaires alternées.
3. Déterminant de la transposée.
4. Calcul du déterminant de Vandermonde.

Prochainement : espaces préhilbertiens.

Colle n° 28

Chapitre 29. Représentations matricielles

• Matrice d'un vecteur ou d'une famille de vecteurs dans une base.
• Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases. Inversibilité. Cas des endomorphismes.
• Matrices de passage, inversibilité, formules de passage.
• Rang d'une matrice. Propriétés et calcul du rang.
• Matrices équivalentes dans $\mathscr M_{n,p}(K)$, matrices $J_r$, classification par le rang.
• Rang de la transposée, rang de la famille des lignes, caractérisation du rang par les matrices extraites.
• Matrices semblables dans $\mathscr M_n(K)$, trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme.

Questions de cours : démonstration et exercices classiques

1. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de la matrice de Vandermonde $V(x_1,\dots,x_n)$.
2. Définition et propriétés des matrices de passage.
3. Formules de passage pour un vecteur et pour une application linéaire.
4. Toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$ dans $\mathscr M_{n,p}(K)$.
5. Trace d'un projecteur.

Prochainement : groupe symétrique, déterminants.

Colle n° 27

Chapitre 27. Probabilités sur un univers fini

• Indépendance de deux évènements, d'une famille d'évènements.
• Indépendance de deux variables aléatoires, notation $\perp\mkern-18mu\perp$ et caractérisation.
• Extension aux familles de variables aléatoires indépendantes, théorème binomial.
• Images et coalitions indépendantes de variables aléatoires.

Chapitre 28.Espérance et variance

• Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe, linéarité, croissance.
• Espérance des lois usuelles, formule de transfert, condition nécessaire d'indépendance.
• Variance et écart-type, propriétés, covariance, variance d'une somme.
• Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Questions de cours :

1. Si deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline A$ et $B$ le sont aussi.
2. Loi de $X_1 +\dots + X_n$ pour un $n$-uplet $(X_1,\dots,X_n)$ de variables indépendantes de loi $\mathscr B(p)$.
3. Espérance d'une variable aléatoire $X \sim \mathcal B(n,p)$ par deux méthodes.
4. Cas d'annulation de la variance, formule pour $V(a X + b)$ et formule de König-Huygens.
5. Variance d'une somme, application à la loi binomiale.
6. Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Prochainement : matrices d'applications linéaires, groupe symétrique.