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Colle n° 13

Chapitre 13. Structures algébriques (fin)

• Révision sur les lois de composition internes et les groupes.
• Anneaux, diviseurs de zéros et anneaux intègres.
• Sous-anneau, morphisme d'anneaux.
• Groupe $A^\times$ des inversibles d'un anneau $A$.
• Corps, exemple des $\mathbb Z/p\mathbb Z$ avec $p$ premier, corps des fractions d'un anneau intègre.

Chapitre 14. Limites et continuité (début)

• Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
• Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
• Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
• Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
• Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.

Révision sur les calculs de limites par équivalents usuels et croissances comparées.

Questions de cours (énoncé et démonstration)

1. Dans tout anneau, « $0$ est absorbant » et la « règle des signes » s'applique.
2. Montrer que $\mathbb Z[\mathrm i]$ est un sous-anneau de $(\mathbb C, +, \cdot)$ et déterminer ses inversibles. [Exercice]
3. Tout corps est intègre.
4. Caractérisation séquentielle d'une limite $\ell$ réelle en un point $a$ réel.

Colle n° 12

Chapitre 12. Arithmétique des entiers

Révisions sur les nombres premiers et les congruences.

Chapitre 13. Structures algébriques (début)

• Loi de composition interne, associativité, commutativité, élément neutre, éléments inversibles. Lois sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
• Structure de groupe, groupes abéliens, groupe des permutations d'un ensemble.
• Sous-groupes et caractérisation des sous-groupes. Groupes monogènes et cycliques. Groupes produits.
• Morphismes de groupes, endomorphismes, images directes et réciproques d'un sous-groupe par un morphisme.
• Noyau et image d'un morphisme de groupes, caractérisation de l'injectivité par le noyau.
• Isomorphismes et automorphismes de groupes, isomorphisme réciproque.

Questions de cours (à démontrer)

1. Propriétés des éléments inversibles pour une l.c.i. $\star$ associative qui admet un neutre.
2. Caractérisation des sous-groupes.
3. Lien entre injectivité d'un morphisme de groupes et noyau.
4. Tout groupe cyclique est isomorphe à $(\mathbb Z/n\mathbb Z, +)$ pour un certain $n \in \mathbb N^*$.