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Colle n° 18

Chapitre 17. Polynômes (révisions)

Chapitre 18. Calcul matriciel

• Ensembles $\mathscr M_{n,p}(K)$, combinaisons linéaires, matrices élémentaires, produit matriciel, transposition.
• Anneau $\mathscr M_n(K)$, calcul de puissances par binôme de Newton et par polynôme annulateur.
• Sous-groupes des matrices symétriques et antisymétriques, sous-anneaux des matrices triangulaires et diagonales.
• Trace d'une matrice carrée, linéarité et pseudo-commutativité sous la trace.
• Produit par une colonne. Produits par blocs. Forme matricielle d'un système linéaire, structure de l'ensemble des solutions.
• Matrices d'opérations élémentaires, matrices échelonnées et pivot de Gauss.
• Matrices inversibles, groupe linéaire, transposée d'une matrice inversible, conditions nécessaires d'inversibilité.
• Caractérisation de l'inversibilité et expression de l'inverse dans $\mathscr M_2(K)$.
• Caractérisation de l'inversibilité et forme de l'inverse pour les matrices triangulaires ou diagonales.
• Caractérisation de l'inversibilité par système de Cramer et détermination de l'inverse.
• Méthode de Gauss-Jordan pour étudier l'inversibilité et calculer l'inverse.

Questions de cours :

1. Produit de matrices élémentaires $E_{i,j} \in \mathscr M_{n,p}(K)$ par $E_{k,\ell} \in \mathscr M_{p,q}(K)$.
2. Transposée d'un produit de deux matrices.
3. Stabilité de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures par produit matriciel.
4. Pseudo-commutativité sous la trace.
5. Critère d'inversibilité pour $A \in \mathscr M_2(K)$ et expression de l'inverse.
6. Une matrice $A \in \mathscr M_n(K)$ est inversible ssi $\forall Y \in \mathscr M_{n,1}(K),\exists ! X \in \mathscr M_{n,1}(K): AX=Y$.

Colle n° 17

Chapitre 17. Polynômes

• Vocabulaire des polynômes, opérations, degré, anneau $K[X]$, composition et évaluation, fonction polynomiale $\widetilde P$.
• Divisibilité dans $K[X]$, polynômes associés, division euclidienne et idéaux de $K[X]$.
• PGCD, théorème de Bachet-Bézout, PPCM, extension à une famille finie.
• Polynômes premiers entre eux, théorème de Bézout, théorème de Gauss.
• Irréductibilité dans $K[X]$, décomposition en facteurs irréductibles unitaires, conséquences arithmétiques.
• Racines, caractérisation par divisibilité, injectivité de $P \mapsto \widetilde P$ lorsque $K$ est infini ; multiplicités.
• Polynômes scindés, formules de Viète.
• Interpolation de Lagrange.
• Dérivation formelle, règles de calcul et formule de Taylor, caractérisation des multiplicités.
• Théorème de d'Alembert-Gauss, polynômes irréductibles de $\mathbb C[X]$ et $\mathbb R[X]$.

Une démonstration de cours :

1. Existence et unicité de la division euclidienne.
2. Interpolation de Lagrange.
3. Caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives.
4. Détermination des polynômes irréductibles de $\mathbb R[X]$.

Colle n° 16

Révisions sur la continuité et la dérivabilité (chapitres 14 et 15).

Chapitre 16. Convexité

• Fonction convexe, fonction concave, cas des fonctions dérivables telles que $f'$ est croissante, inégalité de Jensen.
• Position par rapport aux sécantes, caractérisation de la convexité par les pentes.
• Position par rapport aux tangentes, caractérisation de la convexité pour les fonctions une ou deux fois dérivables.

Questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Toute fonction $f$ dérivable sur $I$ et de dérivée $f'$ croissante est convexe sur $I$.
2. Inégalité arithmético-géométrique par utilisation de l'inégalité de Jensen.
3. Position relative des sécantes pour une fonction convexe.
4. Position relative des tangentes pour une fonction convexe dérivable.
5. Toute fonction $f$ convexe et dérivable sur $I$ admet une dérivée $f'$ croissante sur $I$.

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Colle n° 15

Chapitre 15. Dérivabilité

• Taux d'accroissement, dérivabilité en un point, à gauche, à droite, lien avec la continuité.
• Fonctions dérivables, opérations algébriques, composition, dérivabilité d'une réciproque.
• Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Leibniz et théorèmes généraux, classes $\mathscr C^k$.
• Points critiques, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, caractérisation de la monotonie.
• Inégalité des accroissements finis et fonctions lipschitziennes, application aux suites. Théorème de limite de la dérivée.
• Extensions aux fonctions à valeurs complexes.

Questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Dérivabilité d'une composée de fonctions dérivables.
2. Condition nécessaire d'extremum sur un intervalle ouvert (point critique).
3. Théorème de Rolle.
4. Théorème des accroissements finis.
5. Théorème de limite de la dérivée.

Colle n° 14

Chapitre 14. Limites et continuité

• Limite d'une fonction réelle en un réel adhérent à son domaine, unicité de la limite.
• Définition générale des limites par voisinages, composition de limites et caractérisation séquentielle.
• Opérations sur les limites, passage à la limite, existence de limites par comparaisons ou encadrement.
• Limites à gauche et à droite, théorème de limite monotone pour les fonctions.
• Continuité (resp. à gauche ou à droite) ponctuelle, prolongement par continuité.
• Théorème des valeurs intermédiaires. Image continue d'un intervalle.
• Théorème des bornes atteintes. Image continue d'un segment.
• Monotonie des fonctions continues et injectives sur un intervalle.
• Théorème de bijection monotone.
• Continuité pour les fonctions à valeurs complexes.

Questions de cours (théorème ou exercice type)

1. Théorème des valeurs intermédiaires (par dichotomie).
2. Toute fonction $f : [a,b] \to \mathbb R$ continue telle que $f([a,b]) \subset [a,b]$ admet un point fixe.
3. Théorème des bornes atteintes.
4. Toute fonction $f : \mathbb R_+ \to \mathbb R$ continue, de limite finie en $+\infty$, est bornée et admet un minimum ou un maximum.
5. Théorème de bijection monotone.