Notion d’espérance

Définition, exemples, réécritures

Exemples des lois de première année, de \(\mathscr{G}(p)\) et \(\mathscr{P}(\lambda)\).

Transfert et linéarité

Multiplicativité indépendante

Sans hypothèse d’indépendance, on peut avoir des problèmes (exemple avec une loi zêta de paramètre 3).

Variance et quantités associées

Définitions : variance et écart-type

\(\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(|{X - \mu}|^2)\), formule de König-Huygens. Exemple des lois de référence.

Covariance de deux variables réelles

Motivation, définition, formule de König-Huygens, cas de deux variables indépendantes.

Inégalité de Cauchy-Schwarz et conséquences

Si \(X^2\) et \(Y^2\) admettent une espérance finie, alors \(X\cdot Y\) aussi, et \(\mathbb{E}(X\cdot Y)^2 \leqslant \mathbb{E}(X^2)\cdot \mathbb{E}(Y^2)\), avec égalité si et seulement si \(X\) et \(Y\) sont proportionnelles.

Corollaire : si \(X^2\) admet une espérance finie, alors \(X\) aussi ;  \(X\) admet une variance finie si et seulement si \(X^2\) admet une espérance finie.

L’ensemble des variables aléatoires de variance finie est stable par combinaison linéaire.

Variance d’une somme finie

Expression développée avec les covariances croisées. Cas de variables mutuellement indépendantes. Exemple pour une binomiale.

Fonctions génératrices

Définition, premières propriétés, exemples

\(\mathbb{G}_X :t\mapsto \mathbb{E}(t^X)\) est toujours définie au moins sur \(\mathopen]0,1]\) ; si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}\), c’est la somme d’une série de fonctions normalement convergente sur \([{-1},{+1}]\). Exemples.

Reconstitution de lois, d’espérances et de variances

Pour une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) :

• \(\mathbb{G}_X\) est indéfiniment dérivable sur un voisinage de \(0\), et \(\forall n\in\mathbb{N},\ \mathbb{P}(X=n) = \frac1{n !}\,\mathbb{G}_X^{(n)}(0)\) ;

• \(X\) admet une espérance finie si et seulement si \(\mathbb{G}_X\) est une fois dérivable en \(1\), et dans ce cas \(\mathbb{E}(X) = \mathbb{G}_X'(1)\) ;

• \(X\) admet une variance finie si et seulement si \(\mathbb{G}_X\) est deux fois dérivable en \(1\), et dans ce cas \(\mathbb{E}(X(X-1)) = \mathbb{G}_X''(1)\).

Inégalités de concentration, loi faible des grands nombres

Inégalité de Markov

Pour les variables positives d’espérance finie.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour les variables de variance finie.

Loi faible des grands nombres

Dans le cas d’une suite de v.a.i.i.d. de variance finie. Le programme mentionne que les étudiants doivent savoir retrouver [que] \(\mathbb{P}(|S_n/n - \mu|\geqslant \varepsilon) \leqslant \sigma^2/n\,\varepsilon^2\).