Fonctions définies par une série entière

Définitions ; rayon de convergence

\[R = \sup\{r\in [0,+\infty\mathclose[: \smash{a_n\,r^n \underset{n\to\infty}{=} O(1)}\}.\] Lemme d’Abel, comportement de la somme de la série entière en fonction de la position de \(z\) dans le plan complexe.

Calculs de rayon de convergence

Exemples de calcul de rayon de convergence par la règle de d’Alembert (la limite du quotient \(|a_{n+1}/a_n|\) peut être exploitée directement).

« Décroissance » du rayon de convergence

Si \(a = O(b)\), alors \(R_a \geqslant R_b\).

En particulier, si \(a \sim b\), alors \(R_a = R_b\).

Opérations arithmétiques et conséquences sur le rayon de convergence

Minoration du rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières.

Régularité de la somme

Convergence normale sur tout segment

Continuité de la somme (variable réelle)

Intégration terme à terme de la somme

Indéfinie dérivabilité de la somme

Expression des dérivées successives en tant que séries entières. Conséquences : si \(S\) est la somme d’une série entière \(\sum a_n\,x^n\) de rayon de convergence \(R>0\), alors \(\forall n\in\mathbb{N},\ a_n = \frac{1}{n !}\,S^{(n)}(0)\) ; les coefficients d’une série entière sont déterminés par le comportement de la somme sur un voisinage de l’origine.

Développement en série entière d’une fonction au voisinage de l’origine

Définition, unicité et expression sous réserve de convergence

Série de Taylor en \(0\).

Développement en série entière des fonctions de référence

• \(\exp\), \(\mathrm{sh}\), \(\mathrm{ch}\), \(\sin\), \(\cos\) ;

• \(x\mapsto \ln(1+x)\) et \(x\mapsto (1+x)^{\alpha}\) pour \(\alpha\in\mathbb{C}\) ;

• \(\arctan\).

Au-delà des fonctions de référence 1: formule de Taylor avec reste intégral

Énoncé, étude d’une condition suffisante pour qu’une fonction \(\mathscr{C}^{\infty}\) soit développable en série entière au voisinage de l’origine. Un exemple de fonction \(\mathscr{C}^{\infty}\) mais non développable en série entière.

Au-delà des fonctions de référence 2: solutions DSE d’une EDL à coefficients polynomiaux

Principe (EDL à coefficients polynomiaux pour une fonction DSE \(\leftrightarrow\) équation de récurrence à coefficients polynomiaux pour la suite de ses coefficients), exemple d’une équation de type Airy \(y''+x\,y= 0\). Plus généralement : exemples combinatoires (nombres de Bell, nombres de Catalan).

La semaine suivante : espaces normés.