Mathématiques
Normes sur un espace vectoriel
Notion de norme
Définition ; distance associée à une norme.
Exemples de référence :
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normes usuelles \(\|{\cdot}\|_1\), \(\|{\cdot}\|_2\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) sur \(\mathbb{K}^n\) ;
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norme euclidienne sur un espace préhilbertien réel ;
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norme usuelle \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) sur un espace de fonctions bornées ;
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norme usuelle sur \(L^1(I,\mathbb{K})\cap \mathscr{C}^0(I,\mathbb{K})\) avec \(I\) intervalle non réduit à un point.
Suites à valeurs dans un espace normé
Convergence : définitions et exemples
On dit que la suite vectorielle \((x_n)\) converge vers \(\ell\) si la suite réelle \((\|x_n-\ell\|)\) converge vers \(0\). Le fait d’être convergente ou non dépend de la norme considérée : exemple de \((t\mapsto \sqrt{n}\,t^n)\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})\) pour les normes \(\|{\cdot}\|_1\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\).
Suites bornées et convergence
Notion de suite bornée. Toute suite convergente (pour une norme) est bornée (pour cette même norme) \((*)\).
Unicité de la limite
\((*)\)
Opérations sur les limites, limite d’une suite extraite
Le passage à la limite est compatible avec les combinaisons linéaires \((*)\) et avec l’extraction de sous-suites.
Comparaison de normes
Définitions et premiers exemples
Dans \(\mathscr{C}^0([a,b],\mathbb{R})\), si \(f_n\to f\) pour \(\|\cdot\|_{\infty}\), alors \(\int_a^b f_n \to \int_a^b f\). Normes « contrôlées » par d’autres normes. Notion de normes équivalentes.
Examen détaillé des trois normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\). Théorème général (admis jusqu’à nouvel ordre) sur l’équivalence des normes en dimension finie.
Caractères des suites invariants après passage à une norme équivalente
Caractère borné, convergence et limite. En particulier, sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})\), les normes \(\|{\cdot}\|_1\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) ne sont pas équivalentes.
\((*)\) : Les trois points marqués pourront faire l’objet d’une brève question de cours en début de colle.
Suites et séries de fonctions 1
Modes de convergence
Convergences simple et uniforme d’une suite de fonctions
Définitions. La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse.
Convergences simple, uniforme et normale d’une série de fonctions
Définitions. La convergence normale implique à la fois la convergence absolue en tout point (et donc la convergence simple) et la convergence uniforme.
Théorèmes d’interversion et de régularité
Interversion avec une limite, continuité
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Cas d’une suite de fonctions : continuité d’une limite uniforme.
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Cas d’une série de fonctions : continuité d’une limite uniforme ; théorème de la double limite : si (1) pour tout entier \(n\), la fonction \(f_n\) admet une limite \(\ell_n\) en \(a\in\smash{\overline{I}}\), et que (2) \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\), alors \(\sum \ell_n\) converge, sa somme admet une limite en \(a\), et passage à la limite et interversion peuvent être intervertis.
Interversion avec une intégrale
Cas d’une suite de fonctions continues sur un segment avec une hypothèse de CVU.
Interversion avec une dérivée, régularité de la limite
Caractère \(\mathscr{C}^1\) de la limite d’une suite de fonctions (ou de la somme d’une série de fonctions). Généralisation au caractère \(\mathscr{C}^k\). Corollaire pour la classe \(\mathscr{C}^{\infty}\).
Physique
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Français
Le programmes de colles de cette semaine n'est pas encore défini.
