Le théorème de convergence dominée (à paramètre discret)

Deux nouveaux théorèmes d’interversion :

• Cas d’une suite de fonctions cpm sur un intervalle avec une hypothèse de convergence dominée.

• Cas d’une série de fonctions cpm avec une hypothèse de convergence de \(\sum\int_I |{f_n}|\) (théorème dit d’intégration terme à terme).

Exemples d’application, notamment expression des coefficients d’une série de Fourier (sous une hypothèse de sommabilité). Hors cas d’un segment, le théorème d’intégration terme à terme est à privilégier, mais il ne s’applique pas toujours (exemple du développement en série de \(\smash{\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^t})\cdot}\)

Intégrales à paramètre : motivations

Équations différentielles, prolongement régulier de la factorielle.

Limites et continuité d’une intégrale à paramètre : convergence dominée et conséquences

Convergence dominée et limite en un point

Exemple de \(\smash{\lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\).

Continuité

Exemples où l’on vérifie l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Dérivation d’une intégrale à paramètre

Dérivabilité (continue) à l’ordre 1

Exemple de \(x\mapsto\smash{\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\); valeur de l’intégrale de Gauss, \(\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}\). Remarque sur le fait de vérifier l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Généralisation aux dérivées d’ordre quelconque

Exemple des fonctions \(\smash{x\mapsto \int_{-\pi}^{+\pi}e^{i(nt-x\sin t)}\,\text{d}t}\) à l’ordre \(2\), et \(\Gamma\) à l’ordre infini. Log-convexité de \(\Gamma\). Exemple de \(\smash{x\mapsto \int_{0}^{+\infty}\tfrac{1-\cos t}{t^2}\,e^{-xt}\,\text{d}t}\), valeur de l’intégrale de Dirichlet.