Isométries d’un espace euclidien

Définitions et généralités

Caractérisation des isométries linéaires par la préservation de la norme, du produit scalaire, des bases orthonormées.

Le groupe orthogonal

Définition de \(\mathrm{O}(E)\), propriétés de type groupe.

Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable

Si \(F\) est stable par \(u\in \mathrm{O}(E)\), alors \(F^{\perp}\) aussi.

Caractérisation matricielle

Matrices orthogonales, groupe \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\). Caractérisations des matrices orthogonales, notamment en termes de la famille de leurs colonnes.

Orientation

Notion de bases de même orientation, groupe \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\).

Cas particulier d’un plan euclidien

Approche matricielle

Paramétrage de \(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\) et de \(\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\).

Corollaire : \(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\) est commutatif.

Rotations vectorielles

On appelle rotation vectorielle une isométrie vectorielle de déterminant positif. Matrices de rotation de taille \(2\). Invariance des matrices de rotation de taille \(2\) par changement de base orthonormée préservant l’orientation. Invariance de l’angle au signe près par changement de base orthonormée. Angle et angle orienté d’une rotation.

Classification des isométries vectorielles d’un plan euclidien

Les éléments de \(\mathrm{O}(E)\) se répartissent en deux classes, caractérisées par le déterminant : les rotations vectorielles, et les réflexions orthogonales.

Endomorphismes autoadjoints

Définition et généralités

L’ensemble \(\mathscr{S}(E)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{L}(E)\).

Projecteurs et symétries

Les isométries vectorielles autoadjointes, éléments de \({\mathrm{O}(E)}\cap {\mathscr{S}(E)}\), sont exactement les symétries orthogonales.

Un projecteur est autoadjoint si et seulement si c’est un projecteur orthogonal.

Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable

Si \(F\) est stable par \(u\in \mathscr{S}(E)\), alors \(F^{\perp}\) aussi.

Caractérisation matricielle

Un endomorphisme est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans toute (resp. au moins une) base orthonormée est symétrique.

Le théorème spectral

Version endomorphismes autoadjoints, version matrices symétriques réelles. Idées de preuve : récurrence sur la dimension en considérant l’orthogonal d’une direction propre ; construction de vecteurs propres unitaires par maximisation de \(x\mapsto \mathopen\langle u(x),x\rangle\) sur la sphère unité.

Endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques réelles (défini·es) positif·ves, caractérisation en termes du signe des valeurs propres.