Intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment

Fonctions continues par morceaux sur un segment, puis sur un intervalle quelconque. Définition de l’intégrale sur un segment. Propriétés fondamentales.

Intégrales généralisées sur un intervalle semi-ouvert

Définition et commentaires

Définition par borne mobile, comme limite des intégrales partielles.

Exemples

Intégrales de référence : \[\textstyle\int_0^1 \ln,\ \int_0^{+\infty}e^{-\alpha\,t}\,\mathrm{d}t,\ \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}},\ \int_0^1 t^{\beta}\,\mathrm{d}t.\]

Critère de convergence par majoration pour les intégrales de fonctions positives

• Soit \(f\) continue par morceaux sur \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(f\) est positive sur \(I\), alors \(\smash{\int_a^b f}\) est convergente en \(b\) si et seulement s’il existe un réel \(M\) tel que \(\forall x\in I,\ \smash{\int_a^x f} \leqslant M\).  Remarque sur les fonctions négatives et/ou les intervalles orientés négativement.

• Soient \(f\) et \(g\) continues par morceaux sur l’intervalle \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(0\leqslant f\leqslant g\) sur \(I\), alors la convergence de \(\int_I g\) entraîne celle de \(\int_I f\).

Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Définition

Par la relation de Chasles.

Propriétés fondamentales

• Propriétés additives : linéarité et relation de Chasles.

• Propriétés liées aux inégalités : croissance (large).

Techniques de calcul

• Intégration par parties : si \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathscr{C}^1\) par morceaux et que \(fg\) admet une limite finie en \(a\) et \(b\), alors \(\int_a^b f'g\) et \(\int_a^b f\,g'\) sont de même nature et on peut intégrer par parties directement.

• Changement de variable : uniquement pour des changements de variable bijectifs.

Intégrales généralisées absolument convergentes et applications

Convergence absolue et intégrabilité

Définition. Exemples : intégrales de référence, intégrale de Dirichlet. Toute intégrale absolument convergente est convergente.

L’espace \(L^1(I,\mathbb{K})\) des fonctions intégrables. Positivité stricte de l’intégration pour les fonctions continues intégrables.

Convergence absolue par comparaison

• Si \(f(t) \underset{t\to b}{=} O(g(t))\) (et en particulier si \(f(t) \underset{t\to b}{=} o(g(t))\)), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) implique l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).

• Si \(f(t) \underset{t\to b}{\sim} g(t)\), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) est équivalente à l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).

Contre-exemple de \(\int_1^{+\infty}\frac{e^{it}}{t\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) et de \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t}\) pour les situations de semi-convergence.