Mathématiques
Probabilités : variables aléatoires
Pas d’exercices faisant appel à la notion d’espérance.
Notion de variable aléatoire sur un espace probabilisable
Loi d’une variable aléatoire sur un espace probabilisé
Premières définitions
\(\mathbb{P}_X : V\mapsto \mathbb{P}(X\in V)\). Déterminer les \(\mathbb{P}(X = k)\) suffit à déterminer la loi.
Deux lois de référence
\(\mathscr{G}(p)\) et \(\mathscr{P}(\lambda)\).
Lois associées à un couple ou à une famille de variables
Lois conjointes, marginales, conditionnelles. Obtention des lois marginales à partir de la loi conjointe, de la loi conjointe à partir des lois conditionnelles et marginales.
Indépendance de variables aléatoires
Cas de deux variables
Cas d’une famille quelconque de variables
L’indépendance mutuelle implique l’indépendance deux à deux ; la réciproque est fausse en général.
Lemme des coalitions.
Séries entières
Seulement des études de rayon de convergence.
Fonctions définies par une série entière
Définitions ; rayon de convergence
\[R = \sup\{r\in [0,+\infty\mathclose[: \smash{a_n\,r^n \underset{n\to\infty}{=} O(1)}\}.\] Lemme d’Abel, comportement de la somme de la série entière en fonction de la position de \(z\) dans le plan complexe.
Calculs de rayon de convergence
Exemples de calcul de rayon de convergence par la règle de d’Alembert (la limite du quotient \(|a_{n+1}/a_n|\) peut être exploitée directement).
« Décroissance » du rayon de convergence
Si \(a = O(b)\), alors \(R_a \geqslant R_b\).
En particulier, si \(a \sim b\), alors \(R_a = R_b\).
Opérations arithmétiques et conséquences sur le rayon de convergence
Minoration du rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières.
La semaine suivante : régularité de la somme, DSE d’une fonction...
Physique
Le programmes de colles de cette semaine n'est pas encore défini.
Français
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