Notion de variable aléatoire sur un espace probabilisable

Loi d’une variable aléatoire sur un espace probabilisé

Premières définitions

\(\mathbb{P}_X : V\mapsto \mathbb{P}(X\in V)\). Déterminer les \(\mathbb{P}(X = k)\) suffit à déterminer la loi.

Deux lois de référence

\(\mathscr{G}(p)\) et \(\mathscr{P}(\lambda)\).

Lois associées à un couple ou à une famille de variables

Lois conjointes, marginales, conditionnelles. Obtention des lois marginales à partir de la loi conjointe, de la loi conjointe à partir des lois conditionnelles et marginales.

Indépendance de variables aléatoires

Cas de deux variables

Cas d’une famille quelconque de variables

L’indépendance mutuelle implique l’indépendance deux à deux ; la réciproque est fausse en général.

Lemme des coalitions.

Séries entières

Seulement des études de rayon de convergence.

Univers et mesures de probabilités

Axiomes des mesures de probabilité : une mesure de probabilité sur \(\Omega\) est

• une fonction définie sur un sous-ensemble de \(\mathscr{P}(\Omega)\) et à valeurs dans \([0,1]\),

• valant \(0\) en \(\varnothing\) et \(1\) en \(\Omega\),

et satisfaisant les propriétés usuelles vis-à-vis

• des évènements contraires et

• des réunions disjointes dénombrables (\(\sigma\)-additivité).

Tribus et espaces probabilisables

Tribus introduites comme domaines de définition d’une mesure de probabilité. Axiomes des tribus.

Conséquences des axiomes

Réunion et différence de deux évènements. Croissance.

Continuité croissante, continuité décroissante.

Sous-additivité. Formule des probabilités totales (version 1).

Probabilités conditionnelles

Définition ; formule des probabilités composées et formule de Bayes.

Si \(A\) est un évènement non négligeable dans un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\), alors \(\mathbb{P}_A\) est une mesure de probabilité sur la tribu \(\mathscr{A}\).

Formule des probabilités totales (version 2).

Indépendance d’évènements

Cas de deux évènements. Cas d’une famille quelconque d’évènements.

Univers et mesures de probabilités

Axiomes des mesures de probabilité : une mesure de probabilité sur \(\Omega\) est

• une fonction définie sur un sous-ensemble de \(\mathscr{P}(\Omega)\) et à valeurs dans \([0,1]\),

• valant \(0\) en \(\varnothing\) et \(1\) en \(\Omega\),

et satisfaisant les propriétés usuelles vis-à-vis

• des évènements contraires et

• des réunions disjointes dénombrables (\(\sigma\)-additivité).

Tribus et espaces probabilisables

Tribus introduites comme domaines de définition d’une mesure de probabilité. Axiomes des tribus.

Conséquences des axiomes

Réunion et différence de deux évènements. Croissance.

Continuité croissante, continuité décroissante.

Sous-additivité. Formule des probabilités totales (version 1).

La semaine suivante : conditionnement, indépendance, puis variables aléatoires.

Diagonalisabilité : définition et applications

Diagonalisabilité d’une matrice ; calcul de puissances

Récurrences linéaires

Récurrences linéaires couplées

Exemple d’une chaîne de Markov à deux états.

Cas particulier : suites arithmético-géométriques

Cas particulier : récurrences linéaires d’ordre \(2\)

Cas des endomorphismes

Éléments propres

… d’une matrice

Sous-espaces propres, valeurs propres, vecteurs propres, équation aux éléments propres. Spectre. Méthodes de diagonalisation (par système à paramètre, ou avec calcul initial du spectre).

… d’un endomorphisme

Même vocabulaire.

Stabilité et indépendance linéaire de sous-espaces propres

… d’un endomorphisme

Interprétation de \(E_{\lambda}(u)\) comme un noyau. Conséquences : \(E_{\lambda}(u)\) est un sous-espace vectoriel ; si de plus \(v\) commute avec \(u\), alors \(E_{\lambda}(u)\) est stable par \(v\).

Si \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) sont des valeurs propres de \(u\) distinctes deux à deux, alors \(E_{\lambda_1}(u),\ldots,E_{\lambda_p}(u)\) sont en somme directe. Corollaire : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est automatiquement libre.

… d’une matrice

Traduction des résultats précédents en observant que les éléments propres de \(A\) sont aussi ceux de \(X\mapsto A\,X\).

Outils supplémentaires

Trace

Observation : la trace d’une matrice semblable à \(\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) vaut \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\).

Polynôme caractéristique

Cas d’une matrice

La fonction \(\chi_A\) est définie par \(\forall t\in\mathbb{K},\ \chi_A(t) = \det(t\,I - A).\)

Propriétés : c’est une fonction polynomiale unitaire de degré \(n\), expression des coefficients de degré \(0\) et \(n-1\) en termes de \(\det A\) et \(\mathop{\mathrm{tr}}A\). Et \[\mathrm{Sp}_{\mathbb{K}}(A) = \{\lambda\in\mathbb{K}:\chi_A(\lambda) = 0\}.\]

Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique, et donc même spectre.

Cas d’un endomorphisme

Définition et propriétés analogues.

Multiplicité de valeurs propres

Multiplicité algébrique dans le polynôme caractéristique, comparée à \(\dim E_{\lambda}\).

Conditions nécessaires et/ou suffisantes de diagonalisabilité

CNS en termes des sous-espaces propres. CNS en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé et égalité entre multiplicités algébriques et géométriques).

Condition suffisante mais pas nécessaire en termes du nombre de valeurs propres distinctes, ou en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé à racines simples).

Théorème spectral.

Trigonalisation

Définitions

Caractérisation en termes du polynôme caractéristique

Trace et déterminant de matrices et d’endomorphismes trigonalisables

Expression en termes des valeurs propres.

Polynômes annulateurs