Diagonalisabilité : définition et applications

Diagonalisabilité d’une matrice ; calcul de puissances

Récurrences linéaires

Récurrences linéaires couplées

Exemple d’une chaîne de Markov à deux états.

Cas particulier : suites arithmético-géométriques

Cas particulier : récurrences linéaires d’ordre \(2\)

Cas des endomorphismes

Éléments propres

… d’une matrice

Sous-espaces propres, valeurs propres, vecteurs propres, équation aux éléments propres. Spectre. Méthodes de diagonalisation (par système à paramètre, ou avec calcul initial du spectre).

… d’un endomorphisme

Même vocabulaire.

Stabilité et indépendance linéaire de sous-espaces propres

… d’un endomorphisme

Interprétation de \(E_{\lambda}(u)\) comme un noyau. Conséquences : \(E_{\lambda}(u)\) est un sous-espace vectoriel ; si de plus \(v\) commute avec \(u\), alors \(E_{\lambda}(u)\) est stable par \(v\).

Si \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) sont des valeurs propres de \(u\) distinctes deux à deux, alors \(E_{\lambda_1}(u),\ldots,E_{\lambda_p}(u)\) sont en somme directe. Corollaire : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est automatiquement libre.

… d’une matrice

Traduction des résultats précédents en observant que les éléments propres de \(A\) sont aussi ceux de \(X\mapsto A\,X\).

Outils supplémentaires

Trace

Observation : la trace d’une matrice semblable à \(\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) vaut \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\).

Polynôme caractéristique

Cas d’une matrice

La fonction \(\chi_A\) est définie par \(\forall t\in\mathbb{K},\ \chi_A(t) = \det(t\,I - A).\)

Propriétés : c’est une fonction polynomiale unitaire de degré \(n\), expression des coefficients de degré \(0\) et \(n-1\) en termes de \(\det A\) et \(\mathop{\mathrm{tr}}A\). Et \[\mathrm{Sp}_{\mathbb{K}}(A) = \{\lambda\in\mathbb{K}:\chi_A(\lambda) = 0\}.\]

Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique, et donc même spectre.

Cas d’un endomorphisme

Définition et propriétés analogues.

Multiplicité de valeurs propres

Multiplicité algébrique dans le polynôme caractéristique, comparée à \(\dim E_{\lambda}\).

Conditions nécessaires et/ou suffisantes de diagonalisabilité

CNS en termes des sous-espaces propres. CNS en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé et égalité entre multiplicités algébriques et géométriques).

Condition suffisante mais pas nécessaire en termes du nombre de valeurs propres distinctes, ou en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé à racines simples).

Théorème spectral.

Trigonalisation

Définitions

Caractérisation en termes du polynôme caractéristique

Trace et déterminant de matrices et d’endomorphismes trigonalisables

Expression en termes des valeurs propres.

Polynômes annulateurs

Diagonalisabilité : définition et applications

Diagonalisabilité d’une matrice ; calcul de puissances

Récurrences linéaires

Récurrences linéaires couplées

Exemple d’une chaîne de Markov à deux états.

Cas particulier : suites arithmético-géométriques

Cas particulier : récurrences linéaires d’ordre \(2\)

Cas des endomorphismes

Éléments propres

… d’une matrice

Sous-espaces propres, valeurs propres, vecteurs propres, équation aux éléments propres. Spectre. Méthodes de diagonalisation (par système à paramètre, ou avec calcul initial du spectre).

… d’un endomorphisme

Même vocabulaire.

Stabilité et indépendance linéaire de sous-espaces propres

… d’un endomorphisme

Interprétation de \(E_{\lambda}(u)\) comme un noyau. Conséquences : \(E_{\lambda}(u)\) est un sous-espace vectoriel ; si de plus \(v\) commute avec \(u\), alors \(E_{\lambda}(u)\) est stable par \(v\).

Si \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) sont des valeurs propres de \(u\) distinctes deux à deux, alors \(E_{\lambda_1}(u),\ldots,E_{\lambda_p}(u)\) sont en somme directe. Corollaire : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est automatiquement libre.

… d’une matrice

Traduction des résultats précédents en observant que les éléments propres de \(A\) sont aussi ceux de \(X\mapsto A\,X\).

Outils supplémentaires

Trace

Observation : la trace d’une matrice semblable à \(\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) vaut \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\).

Polynôme caractéristique

Cas d’une matrice

La fonction \(\chi_A\) est définie par \(\forall t\in\mathbb{K},\ \chi_A(t) = \det(t\,I - A).\)

Propriétés : c’est une fonction polynomiale unitaire de degré \(n\), expression des coefficients de degré \(0\) et \(n-1\) en termes de \(\det A\) et \(\mathop{\mathrm{tr}}A\). Et \[\mathrm{Sp}_{\mathbb{K}}(A) = \{\lambda\in\mathbb{K}:\chi_A(\lambda) = 0\}.\]

Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique, et donc même spectre.

Cas d’un endomorphisme

Définition et propriétés analogues.

Multiplicité de valeurs propres

Multiplicité algébrique dans le polynôme caractéristique, comparée à \(\dim E_{\lambda}\).

Conditions nécessaires et/ou suffisantes de diagonalisabilité

CNS en termes des sous-espaces propres. CNS en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé et égalité entre multiplicités algébriques et géométriques).

Condition suffisante mais pas nécessaire en termes du nombre de valeurs propres distinctes, ou en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé à racines simples).

Théorème spectral.

Trigonalisation

Définitions

Caractérisation en termes du polynôme caractéristique

Trace et déterminant de matrices et d’endomorphismes trigonalisables

Expression en termes des valeurs propres.

Le théorème de convergence dominée (à paramètre discret)

Deux nouveaux théorèmes d’interversion :

• Cas d’une suite de fonctions cpm sur un intervalle avec une hypothèse de convergence dominée.

• Cas d’une série de fonctions cpm avec une hypothèse de convergence de \(\sum\int_I |{f_n}|\) (théorème dit d’intégration terme à terme).

Exemples d’application, notamment expression des coefficients d’une série de Fourier (sous une hypothèse de sommabilité). Hors cas d’un segment, le théorème d’intégration terme à terme est à privilégier, mais il ne s’applique pas toujours (exemple du développement en série de \(\smash{\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^t})\cdot}\)

Intégrales à paramètre : motivations

Équations différentielles, prolongement régulier de la factorielle.

Limites et continuité d’une intégrale à paramètre : convergence dominée et conséquences

Convergence dominée et limite en un point

Exemple de \(\smash{\lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\).

Continuité

Exemples où l’on vérifie l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Dérivation d’une intégrale à paramètre

Dérivabilité (continue) à l’ordre 1

Exemple de \(x\mapsto\smash{\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\); valeur de l’intégrale de Gauss, \(\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}\). Remarque sur le fait de vérifier l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Généralisation aux dérivées d’ordre quelconque

Exemple des fonctions \(\smash{x\mapsto \int_{-\pi}^{+\pi}e^{i(nt-x\sin t)}\,\text{d}t}\) à l’ordre \(2\), et \(\Gamma\) à l’ordre infini. Log-convexité de \(\Gamma\). Exemple de \(\smash{x\mapsto \int_{0}^{+\infty}\tfrac{1-\cos t}{t^2}\,e^{-xt}\,\text{d}t}\), valeur de l’intégrale de Dirichlet.

Réduction