Publication le 29/10 à 23h30 (publication initiale le 29/10 à 23h29)
Voici le programme de colle de la semaine 251103_Prog colle PCétoile2_sem 6.
Vous devez pouvoir répondre à n'importe laquelle des questions de cours indiquées par un point.
Publication le 15/10 à 17h00
Reprise du programme précédent :
Intégrales de référence : \[\textstyle\int_0^1 \ln,\ \int_0^{+\infty}e^{-\alpha\,t}\,\mathrm{d}t,\ \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}},\ \int_0^1 t^{\beta}\,\mathrm{d}t.\]
Intégration par parties : si \(fg\) admet une limite finie en \(a\) et \(b\).
Changement de variable : uniquement pour des changements de variable bijectifs.
Contre-exemple de \(\smash{\int_1^{+\infty}\frac{e^{it}}{t}\,\mathrm{d}t}\) et de \(\smash{\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt t}}\) pour les situations de semi-convergence.
Deux nouveaux théorèmes d’interversion :
Cas d’une suite de fonctions cpm sur un intervalle avec une hypothèse de convergence dominée.
Cas d’une série de fonctions cpm avec une hypothèse de convergence de \(\sum\int_I |{f_n}|\) (théorème dit d’intégration terme à terme).
Exemples d’application, notamment expression des coefficients d’une série de Fourier (sous une hypothèse de sommabilité). Hors cas d’un segment, le théorème d’intégration terme à terme est à privilégier, mais il ne s’applique pas toujours (exemple du développement en série de \(\smash{\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^t})\cdot}\)
Équations différentielles, prolongement régulier de la factorielle.
Exemple de \(\smash{\lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\).
Exemples où l’on vérifie l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.
Exemple de \(x\mapsto\smash{\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\); valeur de l’intégrale de Gauss, \(\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}\). Remarque sur le fait de vérifier l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.
Exemple des fonctions \(\smash{x\mapsto \int_{-\pi}^{+\pi}e^{i(nt-x\sin t)}\,\text{d}t}\) à l’ordre \(2\), et \(\Gamma\) à l’ordre infini. Log-convexité de \(\Gamma\). Exemple de \(\smash{x\mapsto \int_{0}^{+\infty}\tfrac{1-\cos t}{t^2}\,e^{-xt}\,\text{d}t}\), valeur de l’intégrale de Dirichlet.
Publication le 10/10 à 22h59 (publication initiale le 10/10 à 22h58)
Voici le programme de colle de la semaine 251013_Prog colle PCétoile2_sem 5.
Vous devez pouvoir répondre à n'importe laquelle des questions de cours indiquées par un point.
Publication le 08/10 à 19h16
Reprise du programme précédent :
Produits, sommes, sommes directes d’espaces vectoriels
Décompositions adaptées à un endomorphisme ; matrices par blocs
Trace d’une matrice et d’un endomorphisme
Interpolation de Lagrange
Fonctions continues par morceaux sur un segment, puis sur un intervalle quelconque. Définition de l’intégrale sur un segment. Propriétés fondamentales.
Définition par borne mobile, comme limite des intégrales partielles.
Intégrales de référence : \[\textstyle\int_0^1 \ln,\ \int_0^{+\infty}e^{-\alpha\,t}\,\mathrm{d}t,\ \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}},\ \int_0^1 t^{\beta}\,\mathrm{d}t.\]
Soit \(f\) continue par morceaux sur \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(f\) est positive sur \(I\), alors \(\smash{\int_a^b f}\) est convergente en \(b\) si et seulement s’il existe un réel \(M\) tel que \(\forall x\in I,\ \smash{\int_a^x f} \leqslant M\). Remarque sur les fonctions négatives et/ou les intervalles orientés négativement.
Soient \(f\) et \(g\) continues par morceaux sur l’intervalle \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(0\leqslant f\leqslant g\) sur \(I\), alors la convergence de \(\int_I g\) entraîne celle de \(\int_I f\).
Par la relation de Chasles.
Propriétés additives : linéarité et relation de Chasles.
Propriétés liées aux inégalités : croissance (large).
Intégration par parties : si \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathscr{C}^1\) par morceaux et que \(fg\) admet une limite finie en \(a\) et \(b\), alors \(\int_a^b f'g\) et \(\int_a^b f\,g'\) sont de même nature et on peut intégrer par parties directement.
Changement de variable : uniquement pour des changements de variable bijectifs.
Définition. Exemples : intégrales de référence, intégrale de Dirichlet. Toute intégrale absolument convergente est convergente.
L’espace \(L^1(I,\mathbb{K})\) des fonctions intégrables. Positivité stricte de l’intégration pour les fonctions continues intégrables.
Si \(f(t) \underset{t\to b}{=} O(g(t))\) (et en particulier si \(f(t) \underset{t\to b}{=} o(g(t))\)), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) implique l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).
Si \(f(t) \underset{t\to b}{\sim} g(t)\), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) est équivalente à l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).
Contre-exemple de \(\int_1^{+\infty}\frac{e^{it}}{t\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) et de \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t}\) pour les situations de semi-convergence.
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