Modes de convergence

Convergences simple et uniforme d’une suite de fonctions

Définitions. La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse.

Convergences simple, uniforme et normale d’une série de fonctions

Définitions. La convergence normale implique à la fois la convergence absolue en tout point (et donc la convergence simple) et la convergence uniforme.

Théorèmes d’interversion et de régularité

Interversion avec une limite, continuité

• Cas d’une suite de fonctions : continuité d’une limite uniforme.

• Cas d’une série de fonctions : continuité d’une limite uniforme ; théorème de la double limite : si (1) pour tout entier \(n\), la fonction \(f_n\) admet une limite \(\ell_n\) en \(a\in\smash{\overline{I}}\), et que (2) \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\), alors \(\sum \ell_n\) converge, sa somme admet une limite en \(a\), et passage à la limite et interversion peuvent être intervertis.

Interversion avec une intégrale

Cas d’une suite de fonctions continues sur un segment avec une hypothèse de CVU.

Interversion avec une dérivée, régularité de la limite

Caractère \(\mathscr{C}^1\) de la limite d’une suite de fonctions (ou de la somme d’une série de fonctions). Généralisation au caractère \(\mathscr{C}^k\). Corollaire pour la classe \(\mathscr{C}^{\infty}\).

Notion de norme

Définition ; distance associée à une norme.

Exemples de référence :

• normes usuelles \(\|{\cdot}\|_1\), \(\|{\cdot}\|_2\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) sur \(\mathbb{K}^n\) ;

• norme euclidienne sur un espace préhilbertien réel ;

• norme usuelle \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) sur un espace de fonctions bornées ;

• norme usuelle sur \(L^1(I,\mathbb{K})\cap \mathscr{C}^0(I,\mathbb{K})\) avec \(I\) intervalle non réduit à un point.

Suites à valeurs dans un espace normé

Convergence : définitions et exemples

On dit que la suite vectorielle \((x_n)\) converge vers \(\ell\) si la suite réelle \((\|x_n-\ell\|)\) converge vers \(0\). Le fait d’être convergente ou non dépend de la norme considérée : exemple de \((t\mapsto \sqrt{n}\,t^n)\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})\) pour les normes \(\|{\cdot}\|_1\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\).

Suites bornées et convergence

Notion de suite bornée. Toute suite convergente (pour une norme) est bornée (pour cette même norme) \((*)\).

Unicité de la limite

\((*)\)

Opérations sur les limites, limite d’une suite extraite

Le passage à la limite est compatible avec les combinaisons linéaires \((*)\) et avec l’extraction de sous-suites.

Comparaison de normes

Définitions et premiers exemples

Dans \(\mathscr{C}^0([a,b],\mathbb{R})\), si \(f_n\to f\) pour \(\|\cdot\|_{\infty}\), alors \(\int_a^b f_n \to \int_a^b f\). Normes « contrôlées » par d’autres normes. Notion de normes équivalentes.

Examen détaillé des trois normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\). Théorème général (admis jusqu’à nouvel ordre) sur l’équivalence des normes en dimension finie.

Caractères des suites invariants après passage à une norme équivalente

Caractère borné, convergence et limite. En particulier, sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})\), les normes \(\|{\cdot}\|_1\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) ne sont pas équivalentes.  

\((*)\) : Les trois points marqués pourront faire l’objet d’une brève question de cours en début de colle.

Intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment

Fonctions continues par morceaux sur un segment, puis sur un intervalle quelconque. Définition de l’intégrale sur un segment. Propriétés fondamentales.

Intégrales généralisées sur un intervalle semi-ouvert

Définition et commentaires

Définition par borne mobile, comme limite des intégrales partielles.

Exemples

Intégrales de référence : \[\textstyle\int_0^1 \ln,\ \int_0^{+\infty}e^{-\alpha\,t}\,\mathrm{d}t,\ \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}},\ \int_0^1 t^{\beta}\,\mathrm{d}t.\]

Critère de convergence par majoration pour les intégrales de fonctions positives

• Soit \(f\) continue par morceaux sur \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(f\) est positive sur \(I\), alors \(\smash{\int_a^b f}\) est convergente en \(b\) si et seulement s’il existe un réel \(M\) tel que \(\forall x\in I,\ \smash{\int_a^x f} \leqslant M\).  Remarque sur les fonctions négatives et/ou les intervalles orientés négativement.

• Soient \(f\) et \(g\) continues par morceaux sur l’intervalle \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(0\leqslant f\leqslant g\) sur \(I\), alors la convergence de \(\int_I g\) entraîne celle de \(\int_I f\).

Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Définition

Par la relation de Chasles.

Propriétés fondamentales

• Propriétés additives : linéarité et relation de Chasles.

• Propriétés liées aux inégalités : croissance (large).

Techniques de calcul

• Intégration par parties : si \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathscr{C}^1\) par morceaux et que \(fg\) admet une limite finie en \(a\) et \(b\), alors \(\int_a^b f'g\) et \(\int_a^b f\,g'\) sont de même nature et on peut intégrer par parties directement.

• Changement de variable : uniquement pour des changements de variable bijectifs.

Intégrales généralisées absolument convergentes et applications

Convergence absolue et intégrabilité

Définition. Exemples : intégrales de référence, intégrale de Dirichlet. Toute intégrale absolument convergente est convergente.

L’espace \(L^1(I,\mathbb{K})\) des fonctions intégrables. Positivité stricte de l’intégration pour les fonctions continues intégrables.

Convergence absolue par comparaison

• Si \(f(t) \underset{t\to b}{=} O(g(t))\) (et en particulier si \(f(t) \underset{t\to b}{=} o(g(t))\)), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) implique l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).

• Si \(f(t) \underset{t\to b}{\sim} g(t)\), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) est équivalente à l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).

Contre-exemple de \(\int_1^{+\infty}\frac{e^{it}}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) et de \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t }\) pour les situations de semi-convergence.