Isométries d’un espace euclidien

Définitions et généralités

Caractérisation des isométries linéaires par la préservation de la norme, du produit scalaire, des bases orthonormées.

Le groupe orthogonal

Définition de \(\mathrm{O}(E)\), propriétés de type groupe.

Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable

Si \(F\) est stable par \(u\in \mathrm{O}(E)\), alors \(F^{\perp}\) aussi.

Caractérisation matricielle

Matrices orthogonales, groupe \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\). Caractérisations des matrices orthogonales, notamment en termes de la famille de leurs colonnes.

Orientation

Notion de bases de même orientation, groupe \(\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})\).

Cas particulier d’un plan euclidien

Approche matricielle

Paramétrage de \(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\) et de \(\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\).

Corollaire : \(\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})\) est commutatif.

Rotations vectorielles

On appelle rotation vectorielle une isométrie vectorielle de déterminant positif. Matrices de rotation de taille \(2\). Invariance des matrices de rotation de taille \(2\) par changement de base orthonormée préservant l’orientation. Invariance de l’angle au signe près par changement de base orthonormée. Angle et angle orienté d’une rotation.

Classification des isométries vectorielles d’un plan euclidien

Les éléments de \(\mathrm{O}(E)\) se répartissent en deux classes, caractérisées par le déterminant : les rotations vectorielles, et les réflexions orthogonales.

Ouverts, fermés, bornés, parties denses d’un espace normé

Boules, sphères et parties bornées

Points intérieurs et parties ouvertes

Exemple de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\).

Points adhérents, parties fermées, parties denses

Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente

Continuité de fonctions définies sur un espace normé

Limite et continuité en un point

Opérations sur les limites

Fonctions continues sur un domaine

Continuité sur un domaine et opérations

Continuité et images réciproques

Intérêt : pour justifier qu’une partie est ouverte ou fermée.

Particularités de la dimension finie

Théorème des bornes atteintes et équivalence des normes

Convergence d’une suite et convergence des suites coordonnées

Continuité d’applications linéaires, multilinéaires, polynomiales

Notion d’espérance

Définition, exemples, réécritures

Transfert et linéarité

Multiplicativité indépendante

Variance et quantités associées

Définitions : variance et écart-type

Covariance de deux variables réelles

Inégalité de Cauchy-Schwarz et conséquences

Variance d’une somme finie

Fonctions génératrices

Définition, premières propriétés, exemples

Reconstitution de lois, d’espérances et de variances

Inégalités de concentration, loi faible des grands nombres

Inégalité de Markov

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Loi faible des grands nombres

Espaces préhilbertiens

Révisions de première année.

Fonctions sur un espace normé

Notion d’espérance

Définition, exemples, réécritures

Exemples des lois de première année, de \(\mathscr{G}(p)\) et \(\mathscr{P}(\lambda)\).

Transfert et linéarité

Multiplicativité indépendante

Sans hypothèse d’indépendance, on peut avoir des problèmes (exemple avec une loi zêta de paramètre 3).

Variance et quantités associées

Définitions : variance et écart-type

\(\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(|{X - \mu}|^2)\), formule de König-Huygens. Exemple des lois de référence.

Covariance de deux variables réelles

Motivation, définition, formule de König-Huygens, cas de deux variables indépendantes.

Inégalité de Cauchy-Schwarz et conséquences

Si \(X^2\) et \(Y^2\) admettent une espérance finie, alors \(X\cdot Y\) aussi, et \(\mathbb{E}(X\cdot Y)^2 \leqslant \mathbb{E}(X^2)\cdot \mathbb{E}(Y^2)\), avec égalité si et seulement si \(X\) et \(Y\) sont proportionnelles.

Corollaire : si \(X^2\) admet une espérance finie, alors \(X\) aussi ;  \(X\) admet une variance finie si et seulement si \(X^2\) admet une espérance finie.

L’ensemble des variables aléatoires de variance finie est stable par combinaison linéaire.

Variance d’une somme finie

Expression développée avec les covariances croisées. Cas de variables mutuellement indépendantes. Exemple pour une binomiale.

Fonctions génératrices

Définition, premières propriétés, exemples

\(\mathbb{G}_X :t\mapsto \mathbb{E}(t^X)\) est toujours définie au moins sur \(\mathopen]0,1]\) ; si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}\), c’est la somme d’une série de fonctions normalement convergente sur \([{-1},{+1}]\). Exemples.

Reconstitution de lois, d’espérances et de variances

Pour une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) :

• \(\mathbb{G}_X\) est indéfiniment dérivable sur un voisinage de \(0\), et \(\forall n\in\mathbb{N},\ \mathbb{P}(X=n) = \frac1{n !}\,\mathbb{G}_X^{(n)}(0)\) ;

• \(X\) admet une espérance finie si et seulement si \(\mathbb{G}_X\) est une fois dérivable en \(1\), et dans ce cas \(\mathbb{E}(X) = \mathbb{G}_X'(1)\) ;

• \(X\) admet une variance finie si et seulement si \(\mathbb{G}_X\) est deux fois dérivable en \(1\), et dans ce cas \(\mathbb{E}(X(X-1)) = \mathbb{G}_X''(1)\).

Inégalités de concentration, loi faible des grands nombres

Inégalité de Markov

Pour les variables positives d’espérance finie.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour les variables de variance finie.

Loi faible des grands nombres

Dans le cas d’une suite de v.a.i.i.d. de variance finie. Le programme mentionne que les étudiants doivent savoir retrouver [que] \(\mathbb{P}(|S_n/n - \mu|\geqslant \varepsilon) \leqslant \sigma^2/n\,\varepsilon^2\).

Normes sur un espace vectoriel

Définition ; distance associée à une norme.

Exemples de référence :

• normes usuelles \(\|{\cdot}\|_1\), \(\|{\cdot}\|_2\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) sur \(\mathbb{K}^n\) ;

• norme euclidienne sur un espace préhilbertien réel ;

• norme usuelle \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) sur un espace de fonctions bornées ;

• norme usuelle sur \(L^1(I,\mathbb{K})\cap \mathscr{C}^0(I,\mathbb{K})\) avec \(I\) intervalle non réduit à un point.

Convergence et divergence des suites à valeurs dans un espace normé

Définitions et exemples

On dit que la suite vectorielle \((x_n)\) converge vers \(\ell\) si la suite réelle \((\|x_n-\ell\|)\) converge vers \(0\). Le fait d’être convergente ou non dépend de la norme considérée : exemple de \((t\mapsto t^n)\) dans \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})\) pour les normes \(\|{\cdot}\|_1\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\).

Suites bornées et convergence

Notion de suite bornée. Toute suite convergente (pour une norme) est bornée (pour cette même norme) \((*)\).

Unicité de la limite

\((*)\)

Opérations sur les limites, limite d’une suite extraite

Le passage à la limite est compatible avec les combinaisons linéaires \((*)\) et avec l’extraction de sous-suites.

Normes équivalentes

Définitions et premiers exemples

Examen détaillé des trois normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\). Théorème général (admis jusqu’à nouvel ordre) sur l’équivalence des normes en dimension finie.

Caractères des suites invariants après passage à une norme équivalente

Caractère borné, convergence et limite. En particulier, sur \(\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})\), les normes \(\|{\cdot}\|_1\) et \(\|{\cdot}\|_{\infty}\) ne sont pas équivalentes.  

\((*)\) : Les trois points marqués pourront faire l’objet d’une brève question de cours en début de colle.

Espérance et variance