Intégrales de fonctions continues par morceaux sur un segment

Fonctions continues par morceaux sur un segment, puis sur un intervalle quelconque. Définition de l’intégrale sur un segment. Propriétés fondamentales.

Intégrales généralisées sur un intervalle semi-ouvert

Définition et commentaires

Définition par borne mobile, comme limite des intégrales partielles.

Exemples

Intégrales de référence : \[\textstyle\int_0^1 \ln,\ \int_0^{+\infty}e^{-\alpha\,t}\,\mathrm{d}t,\ \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}},\ \int_0^1 t^{\beta}\,\mathrm{d}t.\]

Critère de convergence par majoration pour les intégrales de fonctions positives

• Soit \(f\) continue par morceaux sur \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(f\) est positive sur \(I\), alors \(\smash{\int_a^b f}\) est convergente en \(b\) si et seulement s’il existe un réel \(M\) tel que \(\forall x\in I,\ \smash{\int_a^x f} \leqslant M\).  Remarque sur les fonctions négatives et/ou les intervalles orientés négativement.

• Soient \(f\) et \(g\) continues par morceaux sur l’intervalle \(I = [a,b[\). Si \(I\) est orienté positivement (au sens où \(a\leqslant b\)), et que \(0\leqslant f\leqslant g\) sur \(I\), alors la convergence de \(\int_I g\) entraîne celle de \(\int_I f\).

Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Définition

Par la relation de Chasles.

Propriétés fondamentales

• Propriétés additives : linéarité et relation de Chasles.

• Propriétés liées aux inégalités : croissance (large).

Techniques de calcul

• Intégration par parties : si \(f\) et \(g\) sont de classe \(\mathscr{C}^1\) par morceaux et que \(fg\) admet une limite finie en \(a\) et \(b\), alors \(\int_a^b f'g\) et \(\int_a^b f\,g'\) sont de même nature et on peut intégrer par parties directement.

• Changement de variable : uniquement pour des changements de variable bijectifs.

Intégrales généralisées absolument convergentes et applications

Convergence absolue et intégrabilité

Définition. Exemples : intégrales de référence, intégrale de Dirichlet. Toute intégrale absolument convergente est convergente.

L’espace \(L^1(I,\mathbb{K})\) des fonctions intégrables. Positivité stricte de l’intégration pour les fonctions continues intégrables.

Convergence absolue par comparaison

• Si \(f(t) \underset{t\to b}{=} O(g(t))\) (et en particulier si \(f(t) \underset{t\to b}{=} o(g(t))\)), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) implique l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).

• Si \(f(t) \underset{t\to b}{\sim} g(t)\), alors l’intégrabilité de \(g\) en \(b\) est équivalente à l’intégrabilité de \(f\) en \(b\).

Contre-exemple de \(\int_1^{+\infty}\frac{e^{it}}{t\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) et de \(\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t}\) pour les situations de semi-convergence.

Modes de convergence

Convergences simple et uniforme d’une suite de fonctions

Définitions. La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse.

Convergences simple, uniforme et normale d’une série de fonctions

Définitions. La convergence normale implique à la fois la convergence absolue en tout point (et donc la convergence simple) et la convergence uniforme.

Théorèmes d’interversion et de régularité

Interversion avec une limite, continuité

• Cas d’une suite de fonctions : continuité d’une limite uniforme.

• Cas d’une série de fonctions : continuité d’une limite uniforme ; théorème de la double limite : si (1) pour tout entier \(n\), la fonction \(f_n\) admet une limite \(\ell_n\) en \(a\in\smash{\overline{I}}\), et que (2) \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\), alors \(\sum \ell_n\) converge, sa somme admet une limite en \(a\), et passage à la limite et interversion peuvent être intervertis.

Interversion avec une intégrale

Cas d’une suite de fonctions continues sur un segment avec une hypothèse de CVU.

Interversion avec une dérivée, régularité de la limite

Caractère \(\mathscr{C}^1\) de la limite d’une suite de fonctions (ou de la somme d’une série de fonctions). Généralisation au caractère \(\mathscr{C}^k\). Corollaire pour la classe \(\mathscr{C}^{\infty}\).

Compléments d’algèbre linéaire

Série associée à une suite numérique

Vocabulaire standard. Croissance et linéarité. Notion de convergence absolue et conséquences.

Techniques d’étude théorique de convergence

Cas réel positif

Convergence par majoration des sommes partielles.

Convergence absolue par comparaison

Avec \(o\), \(O\), \(\sim\).

Techniques d’étude pratique de convergence

Comparaison série-intégrale

Principe. Séries harmoniques et séries de Riemann. Factorielles et formule de Stirling.

Règle de d’Alembert

Produits de Cauchy

Critère spécial des séries alternées

Avec signe et contrôle en valeur absolue du reste de rang \(n\). Exemples de suites \(u\) et \(v\) telles que

• \(u = o(v)\), \(\sum v_n\) converge, mais \(\sum u_n\) diverge vers \(+\infty\);

• \(u \sim v\), mais \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ne sont pas de même nature.

Suites et séries de fonctions

Série associée à une suite numérique

Vocabulaire standard. Croissance et linéarité. Notion de convergence absolue et conséquences.

Techniques d’étude théorique de convergence

Cas réel positif

Convergence par majoration des sommes partielles.

Convergence absolue par comparaison

Avec \(o\), \(O\), \(\sim\).

Techniques d’étude pratique de convergence

Comparaison série-intégrale

Principe. Séries harmoniques et séries de Riemann. Factorielles et formule de Stirling.

Règle de d’Alembert

Produits de Cauchy

Critère spécial des séries alternées

Avec signe et contrôle en valeur absolue du reste de rang \(n\). Exemples de suites \(u\) et \(v\) telles que

• \(u = o(v)\), \(\sum v_n\) converge, mais \(\sum u_n\) diverge vers \(+\infty\);

• \(u \sim v\), mais \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ne sont pas de même nature.