Une condition nécessaire à l’ordre 1

Dérivées directionnelles, dérivées partielles, fonctions de classe  \(\mathscr{C}^1\)

Formalisme : \[D_v f(a) = \lim_{s\to 0}\tfrac{f(a+sv) - f(a)}{s},\]notations \(\tfrac{\partial f}{\partial x_i}\) et  \(\partial_i f\). Une fonction est dite de classe \(\mathscr{C}^1\) sur un ouvert \(U\) si toutes ses dérivées partielles existent et sont continues sur \(U\). Opérations sur les fonctions de classe  \(\mathscr{C}^1\); cas des formes linéaires coordonnées, des fonctions polynomiales. Dérivées partielles de \(\varphi\circ f\) avec \(f :U\subset \mathbb{R}^p \to I\) et \(\varphi :I\to\mathbb{R}\).

Différentielle, développements limités, dérivées de composées

Formalisme : \[\mathrm{d}f(a)(h) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^p\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot h_i.\] Remarque : \(D_v f(a) = \mathrm{d}f(a)(v)\). Formule de Taylor-Young à l’ordre \(1\) pour \(f\) de classe \(\mathscr{C}^1\): \[f(a+h) \underset{h\to 0}{=} f(a) + \mathrm{d}f(a)(h) + o(\|h\|).\]

Calcul

• de \(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x_1(t),\ldots,x_p(t))\),

• de \(\tfrac{\partial}{\partial u_j}f(x_1(u_1,\ldots,u_n),\ldots, x_p(u_1,\ldots,u_n))\).

Exemple des coordonnées polaires.

Points critiques

Notion de point critique. Notion de partie convexe.

Si \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur un ouvert convexe \(U\), alors \(f\) est constante sur \(U\) si et seulement si  \(\mathrm{d}f\) est identiquement nulle sur \(U\).

Si une fonction \(f\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur un ouvert \(U\) est localement extrémale en un point \(a\) de \(U\), alors \(\mathrm{d}f(a)=0\).

Gradient

Formalisme : \[\nabla f(a) = (\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a))_{i\in [\![ 1,p]\!] }\in \mathbb{R}^p.\] Intérêt : si \(\mathbb{R}^p\) est muni de sa structure euclidienne usuelle, alors \[\mathrm{d}f(a)(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle.\] Les points critiques sont les points d’annulation du gradient.

Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^1\) au voisinage d’un point \(a\) de \(\mathbb{R}^p\). Si \(\nabla f(a)\neq 0\), alors il existe un unique vecteur unitaire \(v\) maximisant \(D_v f(a)\), et il est colinéaire et de même sens que \(\nabla f(a)\).

Une condition suffisante à l’ordre 2

Dérivées partielles secondes, fonctions de classe \(\mathscr{C}^2\)

Formalisme. Théorème de Schwarz.

Hessienne et développements limités

Formalisme : \[H_f (a) = (\tfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}(a))_{(i,j)\in [\![ 1,p]\!]^2}\in \mathscr{M}_p(\mathbb{R}).\] Formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\) pour \(f\) de classe \(\mathscr{C}^2\): \[f(a+h) \ !\underset{h\to 0}{=}\ ! f(a) + \nabla f(a)^{\mathsf{T}}\, h + \tfrac12\,h^{\mathsf{T}}\, H_f(a)\, h + o(\|h\|^2),\] en identifiant conventionnellement \(\mathbb{R}^p\) à \(\mathscr{M}_{p,1}(\mathbb{R})\).

Conditions d’extrémalité locale en un point critique

Si \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur un ouvert \(U\) de  \(\mathbb{R}^p\), et que \(a\in U\) est un point critique de \(f\), alors

1. si \(H_f(a)\in \mathscr{S}_p^{++}(\mathbb{R})\), alors \(f\) est localement strictement minimale en \(a\);

2. si \(H_f(a)\notin \mathscr{S}_p^{+}(\mathbb{R})\), alors \(f\) ne peut pas être localement minimale en \(a\).