Limites et continuité d’une intégrale à paramètre : convergence dominée et conséquences

Convergence dominée et limite en un point

Rappels sur la convergence de l’intégrale d’une suite de fonctions. Convergence dominée à paramètre continu. Exemple de \(\smash{\lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\).

Continuité

Remarque sur le fait de vérifier l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Dérivation d’une intégrale à paramètre

Dérivabilité (continue) à l’ordre 1

Exemple de \(x\mapsto\smash{\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\); valeur de l’intégrale de Gauss, \(\Gamma(\tfrac12)=\sqrt{\pi}\). Remarque sur le fait de vérifier l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Généralisation aux dérivées d’ordre quelconque

Exemple des fonctions \(\smash{x\mapsto \int_{-\pi}^{+\pi}e^{i(nt-x\sin t)}\,\text{d}t}\) à l’ordre \(2\), et \(\Gamma\) à l’ordre infini. Log-convexité de \(\Gamma\). Exemple de \(\smash{x\mapsto \int_{0}^{+\infty}\tfrac{1-\cos t}{t^2}\,e^{-xt}\,\text{d}t}\), valeur de l’intégrale de Dirichlet.

Fonctions sur un espace normé et topologie