Conditions nécessaires et/ou suffisantes de diagonalisabilité

CNS en termes des sous-espaces propres. CNS en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé et égalité entre multiplicités algébriques et géométriques).

Condition suffisante mais pas nécessaire en termes du nombre de valeurs propres distinctes, ou en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé à racines simples).

Trigonalisation

Définitions

Caractérisation en termes du polynôme caractéristique

Trace et déterminant de matrices et d’endomorphismes trigonalisables

Expression en termes des valeurs propres.

Équations différentielles linéaires :
rappels et compléments

Révisions de première année :

• ordre 1, coefficients et second membre continus quelconques ;

• ordre 2, coefficients constants et second membre polynomial ou de la forme \(t\mapsto A\,e^{\lambda\,t}\), \(t\mapsto B\cos(\omega t)\) ou \(t\mapsto B\sin(\omega t)\).

Structure de l’ensemble des solutions, existence et unicité de la solution à un problème de Cauchy.

La semaine suivante : séries entières.

Diagonalisabilité : définition et applications

Cas d’une matrice ; calcul de puissances

Récurrences linéaires

Récurrences linéaires couplées

Exemple d’une chaîne de Markov à deux états.

Cas part.: suites arithmético-géométriques

Cas particulier : récurrences linéaires d’ordre \(2\)

Cas des endomorphismes

Éléments propres

… d’une matrice

Sous-espaces propres, valeurs propres, vecteurs propres, équation aux éléments propres. Spectre. Méthodes de diagonalisation (par système à paramètre, ou avec calcul initial du spectre).

… d’un endomorphisme

Même vocabulaire.

Stabilité et indépendance linéaire de sous-espaces propres

… d’un endomorphisme

Interprétation de \(E_{\lambda}(u)\) comme un noyau. Conséquences : \(E_{\lambda}(u)\) est un sous-espace vectoriel ; si de plus \(v\) commute avec \(u\), alors \(E_{\lambda}(u)\) est stable par \(v\).

Si \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) sont des valeurs propres de \(u\) distinctes deux à deux, alors \(E_{\lambda_1}(u),\ldots,E_{\lambda_p}(u)\) sont en somme directe. Corollaire : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est automatiquement libre.

… d’une matrice

Traduction des résultats précédents en observant que les éléments propres de \(A\) sont aussi ceux de \(X\mapsto A\,X\).

Outils supplémentaires

Trace

Observation : la trace d’une matrice semblable à \(\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) vaut \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\).

Polynôme caractéristique

Cas d’une matrice

La fonction \(\chi_A\) est définie par \(\forall t\in\mathbb{K},\ \chi_A(t) = \det(t\,I - A).\)

Propriétés : c’est une fonction polynomiale unitaire de degré \(n\), expression des coefficients de degré \(0\) et \(n-1\) en termes de \(\det A\) et \(\mathop{\mathrm{tr}}A\). Et \[\mathrm{Sp}_{\mathbb{K}}(A) = \{\lambda\in\mathbb{K}:\chi_A(\lambda) = 0\}.\]

Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique, et donc même spectre.

Cas d’un endomorphisme

Définition et propriétés analogues.

Multiplicité de valeurs propres

Multiplicité algébrique dans le polynôme caractéristique, comparée à \(\dim E_{\lambda}\).

Conditions nécessaires et/ou suffisantes de diagonalisabilité

CNS en termes des sous-espaces propres. CNS en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé et égalité entre multiplicités algébriques et géométriques).

Condition suffisante mais pas nécessaire en termes du nombre de valeurs propres distinctes, ou en termes du polynôme caractéristique (caractère scindé à racines simples).

Trigonalisation

Définitions

Caractérisation en termes du polynôme caractéristique

Trace et déterminant de matrices et d’endomorphismes trigonalisables

Expression en termes des valeurs propres.

Interpolation de Lagrange

Résultat principal

Étant donné \(n+1\) scalaires deux à deux distincts, isomorphisme d’évaluation \(\mathbb{K}_n[X]\to \mathbb{K}^{n+1}\).

Base explicite d’interpolation

Expression des interpolateurs de Lagrange comme produits. Coordonnées d’un vecteur de \(\mathbb{K}_n[X]\) dans cette base. La somme des interpolateurs de Lagrange est le polynôme constant \(1\).

Déterminants de Vandermonde

Expression explicite comme produits.

Réduction