Une condition nécessaire à l’ordre 1

Dérivées directionnelles, dérivées partielles, fonctions de classe  \(\mathscr{C}^1\)

Formalisme : \[D_v f(a) = \lim_{s\to 0}\tfrac{f(a+sv) - f(a)}{s},\]notations \(\tfrac{\partial f}{\partial x_i}\) et  \(\partial_i f\). Une fonction est dite de classe \(\mathscr{C}^1\) sur un ouvert \(U\) si toutes ses dérivées partielles existent et sont continues sur \(U\). Opérations sur les fonctions de classe  \(\mathscr{C}^1\); cas des formes linéaires coordonnées, des fonctions polynomiales. Dérivées partielles de \(\varphi\circ f\) avec \(f :U\subset \mathbb{R}^p \to I\) et \(\varphi :I\to\mathbb{R}\).

Différentielle, développements limités, dérivées de composées

Formalisme : \[\mathrm{d}f(a)(h) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^p\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot h_i.\] Remarque : \(D_v f(a) = \mathrm{d}f(a)(v)\). Formule de Taylor-Young à l’ordre \(1\) pour \(f\) de classe \(\mathscr{C}^1\): \[f(a+h) \underset{h\to 0}{=} f(a) + \mathrm{d}f(a)(h) + o(\|h\|).\]

Calcul

• de \(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x_1(t),\ldots,x_p(t))\),

• de \(\tfrac{\partial}{\partial u_j}f(x_1(u_1,\ldots,u_n),\ldots, x_p(u_1,\ldots,u_n))\).

Exemple des coordonnées polaires.

Points critiques

Notion de point critique. Notion de partie convexe.

Si \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur un ouvert convexe \(U\), alors \(f\) est constante sur \(U\) si et seulement si  \(\mathrm{d}f\) est identiquement nulle sur \(U\).

Si une fonction \(f\) de classe \(\mathscr{C}^1\) sur un ouvert \(U\) est localement extrémale en un point \(a\) de \(U\), alors \(\mathrm{d}f(a)=0\).

Gradient

Formalisme : \[\nabla f(a) = (\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a))_{i\in [\![ 1,p]\!] }\in \mathbb{R}^p.\] Intérêt : si \(\mathbb{R}^p\) est muni de sa structure euclidienne usuelle, alors \[\mathrm{d}f(a)(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle.\] Les points critiques sont les points d’annulation du gradient.

Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^1\) au voisinage d’un point \(a\) de \(\mathbb{R}^p\). Si \(\nabla f(a)\neq 0\), alors il existe un unique vecteur unitaire \(v\) maximisant \(D_v f(a)\), et il est colinéaire et de même sens que \(\nabla f(a)\).

Une condition suffisante à l’ordre 2

Dérivées partielles secondes, fonctions de classe \(\mathscr{C}^2\)

Formalisme. Théorème de Schwarz.

Hessienne et développements limités

Formalisme : \[H_f (a) = (\tfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}(a))_{(i,j)\in [\![ 1,p]\!]^2}\in \mathscr{M}_p(\mathbb{R}).\] Formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\) pour \(f\) de classe \(\mathscr{C}^2\): \[f(a+h) \ !\underset{h\to 0}{=}\ ! f(a) + \nabla f(a)^{\mathsf{T}}\, h + \tfrac12\,h^{\mathsf{T}}\, H_f(a)\, h + o(\|h\|^2),\] en identifiant conventionnellement \(\mathbb{R}^p\) à \(\mathscr{M}_{p,1}(\mathbb{R})\).

Conditions d’extrémalité locale en un point critique

Si \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur un ouvert \(U\) de  \(\mathbb{R}^p\), et que \(a\in U\) est un point critique de \(f\), alors

1. si \(H_f(a)\in \mathscr{S}_p^{++}(\mathbb{R})\), alors \(f\) est localement strictement minimale en \(a\);

2. si \(H_f(a)\notin \mathscr{S}_p^{+}(\mathbb{R})\), alors \(f\) ne peut pas être localement minimale en \(a\).

Limites et continuité d’une intégrale à paramètre : convergence dominée et conséquences

Convergence dominée et limite en un point

Rappels sur la convergence de l’intégrale d’une suite de fonctions. Convergence dominée à paramètre continu. Exemple de \(\smash{\lim\limits_{x\to +\infty}\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\).

Continuité

Remarque sur le fait de vérifier l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Dérivation d’une intégrale à paramètre

Dérivabilité (continue) à l’ordre 1

Exemple de \(x\mapsto\smash{\int_0^1 \frac{1}{t^2+1}\,e^{-(t^2+1)\,x^2}\,\text{d}t}\); valeur de l’intégrale de Gauss, \(\Gamma(\tfrac12)=\sqrt{\pi}\). Remarque sur le fait de vérifier l’hypothèse de domination sur suffisamment d’intervalles.

Généralisation aux dérivées d’ordre quelconque

Exemple des fonctions \(\smash{x\mapsto \int_{-\pi}^{+\pi}e^{i(nt-x\sin t)}\,\text{d}t}\) à l’ordre \(2\), et \(\Gamma\) à l’ordre infini. Log-convexité de \(\Gamma\). Exemple de \(\smash{x\mapsto \int_{0}^{+\infty}\tfrac{1-\cos t}{t^2}\,e^{-xt}\,\text{d}t}\), valeur de l’intégrale de Dirichlet.

Fonctions sur un espace normé et topologie

Fonctions vectorielles

Préliminaires : limites, négligeabilité et continuité de fonctions vectorielles

Dérivabilité et dérivée

Opérations sur les fonctions dérivables

• Linéarité de la dérivation.

• Dérivée d’une composée à droite par une fonction scalaire dérivable.

• Dérivée d’une composée à gauche par une fonction (\(p\)-)linéaire.

Dérivées d’ordre supérieur

Systèmes différentiels

Notion de système différentiel

Idées pour la résolution de systèmes différentiels linéaires

Écriture matricielle, réduction de la matrice du système, changement de base pour le vecteur inconnu.

Conversion d’une EDL scalaire d’ordre \(n\) en un système différentiel linéaire de dimension \(n\) et d’ordre \(1\)

Exemples divers.

Intégrales à paramètre

Fonctions vectorielles

Préliminaires : limites, négligeabilité et continuité de fonctions vectorielles

Dérivabilité et dérivée

Opérations sur les fonctions dérivables

• Linéarité de la dérivation.

• Dérivée d’une composée à droite par une fonction scalaire dérivable.

• Dérivée d’une composée à gauche par une fonction (\(p\)-)linéaire.

Dérivées d’ordre supérieur

Systèmes différentiels

Notion de système différentiel

Idées pour la résolution de systèmes différentiels linéaires

Écriture matricielle, réduction de la matrice du système, changement de base pour le vecteur inconnu.

Conversion d’une EDL scalaire d’ordre \(n\) en un système différentiel linéaire de dimension \(n\) et d’ordre \(1\)

Exemples divers.

La semaine suivante : intégrales à paramètre.

Définitions, exemples, et premières conséquences

Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées

Définition. Produits de polynômes, produits de matrices, composées d’endomorphismes. Conséquence : deux polynômes en une même matrice (ou en un même endomorphisme) commutent toujours entre eux ; stabilité de \(\mathop{\text{Ker}} Q(u)\) par \(u\).

Polynômes annulateurs

Définition ; lien avec les valeurs propres

Toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur.

Exemples

Si \(A\) est diagonal(isabl)e, alors \(\chi_A\) et \(\prod_{\lambda\in\mathop{\text{Sp}} A}(X-\lambda)\) sont des polynômes annulateurs.

Cas des projecteurs et des symétries.

Polynômes annulateurs, inverses et puissances

Rappel de la technique classique pour exprimer l’inverse d’une matrice admettant un polynôme annulateur à coefficient constant non nul comme un polynôme en ladite matrice. Puissances : par récurrence, ou par division euclidienne de \(X^k\) par un annulateur non trivial.

Diagonalisabilité et polynômes annulateurs

Caractérisation de la diagonalisabilité

Par l’existence d’un annulateur scindé à racines simples ; preuve (non exigible).

Diagonalisabilité d’endomorphismes induits

Si \(u\) est diagonalisable et que \(F\) est stable par \(u\), alors l’endomorphisme induit \(u_F\) est diagonalisable.

Le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur

Théorème de Cayley-Hamilton : énoncé du résultat, commentaires. Éléments de preuve (par approximation d’une matrice quelconque par une suite de matrices diagonalisables).

La semaine suivante : dérivation de fonctions à valeurs vectorielles, systèmes différentiels.