Lundi 24 février 2025 : Vacances d'hiver
Semaine du lundi 3 mars 2025
- Définition des espaces vectoriels, exemples importants ($\mathscr M_{n,p} (\mathbb K)$, $\mathbb K^p$, $\mathbb K[X]$, espaces de fonctions).
- Sous-espaces vectoriel : définition, exemples, intersection, espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs
- Somme de deux sous-espaces vectoriels, somme directe, supplémentaires (attention la somme de plus de deux SEVs sera vu en PC/PSI).
- Familles génératrices, libres, bases (ces familles sont nécessairement finies au programme de PCSI), bases canoniques, base adaptée à des supplémentaires
- Définition d'un espace vectoriel de dimension finie
- Théorème de la base extraite/Théorème de la base incomplète.
- Comparaison entre les cardinaux des familles libres, génératrices et bases.
- Définition de la dimension, exemples importants
- Équivalence entre être libre, génératrice ou base pour une famille dont le cardinal est égale à la dimension de l'espace vectoriel
- Dimension d'un sous-espace vectoriel, si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $dim(F)=dim(E)$ alors $E=F$
- Existence des supplémentaires en dimension finie
- Dimension de la somme directe
- Formule de Grassmann
- Caractérisation du fait d'être supplémentaires avec les dimensions.
- Rang d'une famille, définition, propriétés pour le calcul
- Dimension de $E\times F$ si $E$ et $F$ sont de dimension finie
Questions de cours
- Définition de $vect(e_1,e_2,...,e_n)$, démonstration que c'est un SEV de $E$ et que c'est le plus petit SEV au sens de l'inclusion à contenir les $e_i$ (profiter de l'occasion pour comprendre ce que veut dire «le plus petit SEV au sens de l'inclusion»)
- Définition de $F+G$, démonstration que c'est un SEV de $E$ et que c'est le plus petit SEV, au sens de l'inclusion, à contenir $F$ et $G$ (profiter de l'occasion pour comprendre ce que veut dire «le plus petit SEV au sens de l'inclusion»)
- $\mathscr S_n(\mathbb K)$ (SEV des matrices symétriques) et $\mathscr A_n(\mathbb K)$ (SEV des matrices antisymétriques) sont supplémentaires dans $\mathscr M_n(\mathbb K)$ (pour gagner du temps, on admettra que ce sont des SEV mais il faut savoir le demontrer)
- Le SEV des fonctions paires et le SEV impaires définies sur $\mathbb R$ sont supplémentaires dans $\mathscr F (\mathbb R,\mathbb R)$ (pour gagner du temps, on admettra que ce sont des SEV mais il faut savoir le demontrer)
- Une famille de polynômes non nuls dont les degrés sont deux à deux distincts est libre
- Démonstration de la formule de Taylor pour les polynômes
Physique
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SI
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Chimie
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