Mathématiques
Chapitre 15 : Applications linéaires
Réviser les chapitres espaces vectoriels et espaces vectoriels de dimension finie
- Définition, vocabulaire (endomorphisme, isomorphisme, automorphisme, forme linéaire)
- Opérations sur les applications linéaires (combinaison linéaire, composition)
- Image directe et réciproque d'espaces vectoriels (connaître la définition des images directes/réciproques est INDISPENSABLE)
- Applications linéaires injectives (CNS sur le noyau) ou surjectives
- Isomorphismes
- Homothéties
- Projections (définition, propriétés, caractérisation par $p\circ p=p$ et $p$ linéaire).
- Symétries, connaître la définition et le lien entre la symétrie et la projection sur $F$ parallèlement à un supplémentaire.
- Image d'une famille libre, génératrice, base par une application linéaire
- Définition du rang d'une application
- Théorème du rang
- Une application linéaire est injective ssi elle est surjective lorsqu'elle part et arrive dans deux espaces vectoriels de dimension finie et de même dimension
- Équation linéaire et application aux équations différentielles linéaires, systèmes linéaires et aux suites arithmetico-géométrique (en profiter pour réviser la résolution de tous ces problèmes).
- Caractérisation des hyperplans par le noyau d'une forme linéaire
Question de cours
- Preuve que l'image d'une famille libre par une application linéaire injective et image d'une famille génératrice
- Si $u\in \mathscr L(E,F)$ et $A$ SEV de $E$, preuve que $u(A)$ SEV de $F$, si $B$ SEV de $F$, preuve que $u^{-1}(B)$ SEV de $E$ (en profitez pour bien réviser ces notions et surtout comprenez-les).
- Preuve qu'une application linéaire est entièrement caractérisée par les images des vecteurs d'une base de $E$
- Preuve du théorème du rang (version géométrique)
- Preuve que si $p\in \mathscr L(E)$ tel que $p\circ p=p$, alors $ker(p)$ et $Im(p)$ sont supplémentaires et que $p$ est la projection sur l'image parallèlement au noyau.
