Mathématiques
Chapitre 18 : Dénombrement
- Cardinal d'un ensemble fini (aucune formalisation par les bijections n'est attendue)
- Propriétés sur les cardinaux (union de deux ensembles, intersection, différence, produit cartésien d'ensemble) (la formule du crible n'est au programme), cardinal de l'ensemble des parties
- Cardinal et fonctions injectives/surjectives/bijectives, dénombrement des applications de E vers F
- p-listes, p-listes d'éléments distincts, nombre d'applications injectives, bijectives, parties à p éléments et propriétés coefficients binomaux
Chapitre 19 : Probabilités
- Vocabulaire et définition des probabilités : univers, évènements, système complet d'évènements, variable aléatoire
- Espaces probabilisés: définition, proba uniforme, propriétés des probabilités
- Probabilité conditionnelle: définition, formules des proba totales, des probas composées, formule de Bayes
- Loi d'une variable aléatoire: définition, variable aléatoire image, loi de probabilité d'une variable aléatoire image, lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme), couple de variables aléatoires (loi jointe, lois marginales)
- Indépendance de deux évènements, de $n$ évènements, de 2 variables aléatoires, de $n$ variables aléatoires, interprétation d'une variable aléatoire de Bernoulli comme une somme de Binomiale indépendante, lemme des coalitions (admis)
- Espérance: définition, espérances usuelles, propriétés de l'espérance (linéarité, croissance, positivité, inégalité triangulaire), formule de transfert, inégalité de Markov, espérance d'un produit de variables aléatoires indépendantes
- Variance: définition, propriétés (positivité, quadraticité, formule de Koening-Huygens)
- Inégalités de Bienaymé-Tchebycheff
Covariance, variance de la sommme
Questions de cours
- Calcul de l'espérance d'une loi binomiale par les deux méthodes
- Calcul de la variance d'une loi binomiale par les deux méthodes
- Enoncés et preuves des inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychef
- Exemple de trois évènements non indépendants mais qui sont indépendants 2 à 2 (avec preuve), en profiter pour bien apprendre la définition de l'indépendance de $n$ évènements
- Exemple de trois variables aléatoires non indépendantes mais qui sont indépendantes 2 à 2 (avec preuve), en profiter pour bien apprendre la définition de l'indépendance de $n$ variables aléatoires.
- Preuve avec du dénombrement et non un calcul bourrin de factorielles de la formule du maire ainsi que la formule du maire et de l'adjoint : $$k \begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix} n-1\\ k-1\end{pmatrix} \qquad \mbox{et} \qquad k(k-1)\begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}=n(n-1)\begin{pmatrix} n-2\\k-2\end{pmatrix}$$ (attention le nom de ces formules est purement local)
- Preuve avec du dénombrement et non un calcul bourrin de factorielles de la formule du triangle de Pascal
