Mathématiques
Chapitre 16 : Matrices et Chapitre 17 : Déterminants
Prérequis indispensable: calculs matriciels, systèmes linéaires, espaces vectoriels, espaces vectoriels de dimension finie et applications linéaires.
Les éléments de $\mathbb K^n$ seront notés en colonne.
Matrices
- Matrice d'une famille de vecteurs dans une base
- Matrices d'une application linéaire dans une base de départ et d'arrivée
- Si $y=u(x)$, matrice de $y$ en fonction de la matrice de $x$ et la matrice de l'application linéaire $u$ dans des bases données
- Matrices et opérations sur les applications linéaires (composée, somme, multiplication par un scalaire, bijection réciproque)
- Formules de changement de base pour un vecteur, pour une application linéaire, pour un endomorphisme. si on écrit $A=QA'P^{-1}$, on veillera à ce que $Q$ et $P$ soient les bonnes matrices de passages.
- Noyau, image et rang d'une matrice et propriétés, lien avec l'inversibilité, calcul du rang en échelonnant.
Déterminants
- Formules et propriétés en dimensions 2 et 3
- Définition du déterminant d'une matrice carrée de taille $n$ (existence et unicité admises)
- Opérations sur les lignes et colonnes
- Déterminant d'une matrice triangulaire
- Déterminant d'une transposée (admis)
- Développement par rapport à une ligne ou une colonne (démonstration hors programme)
- Déterminant du produit et de l'inverse, CNS d'inversibilité
- Déterminant d'une famille de vecteurs, CNS pour être une base
- Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, CNS pour être un automorphisme
- Interprétation du déterminant en terme d'aires, de volume
Question de cours
- Définition de l'application linéaire canoniquement associée à une matrice et calcul de la matrice de cette application linéaire dans les bases canoniques (démo incluse)
- Calcul de la matrice d'une projection/une symétrie dans une base adaptée, démo incluse (profitez-en pour réviser les notions de supplémentaires/bases adaptées/ projections/symétries, le/la colleur/colleuse pourra par exemple vous demander des questions sur les noyaux/images relatifs aux projections/symétries, ou sur comment savoir si une application donnée est une projection/symétrie)
- Calcul du déterminant de Vandermonde avec fonction polynomiale (corrigé ici : exercice 13) (démo incluse)
