Mathématiques
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à maitriser pour les exercices (mais pas de questions de cours sur ces notions):
Savoir qu'en régime stationnaire une bobine est équivalente à un fil
Savoir qu'en régime stationnaire le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert
Savoir que la tension aux bornes d'un condensateur est une grandeur continue. utiliser cette propriété pour trouver la condition initiale permettant de résoudre l'équation différentielle sur une grandeur électrique.
Savoir que l'intensité du courant traversant une bobine est une grandeur continue. utiliser cette propriété pour trouver la condition initiale permettant de résoudre l'équation différentielle sur une grandeur électrique.
Exercices et questions de cours sur les oscillateurs harmoniques
1 Donner l’expression de la force de rappel exercée par un ressort sur un point matériel ne pouvant se déplacer que selon une direction. On fera un schéma, et on donnera la signification et la dimension de tous les termes introduits.
2 Soit une masse m posée sur le sol et reliée à un mur à sa gauche par un ressort de longueur à vide l0 et de constante de raideur k. On considère qu’il n’y a pas de frottements. On place l’origine du repère en l0.
a) Etablir avec la plus grande rigueur dans la rédaction l’équation du mouvement. On introduira la pulsation ω0 dont on donnera l’expression et la dimension.
b) Donner la solution de l’équation du mouvement si le ressort est lâché sans vitesse initiale à une distance x0≠0 de sa position d’équilibre.
c) Donner la solution de l’équation du mouvement si le ressort est lâché de sa position d’équilibre avec une vitesse initiale v0≠0.
d) l'énergie potentielle élastique associée à la force de rappel étant donnée , montrer que l'énergie mécanique du système { masse + resort} se conserve
3 Soit un circuit LC comportant un condensateur chargé à t=0- sous une tension U0 qui évolue en régime libre à partir de t=0+.
a) établir l’équation différentielle vérifier par la charge accumulée sur l’armature positive du condensateur. On introduira la pulsation ω0 dont on donnera l’expression et la dimension.
b) Donner la solution de l’équation différentielle en définissant les conditions initiales
c) Effectuer un bilan énergétique
Exercices et questions de cours sur les circuit du 1er ordre
4 démontrer et connaître les formules donnant l'énergie stockée par une bobine et celle stockée par un condensateur
5 On considère un circuit RC série auquel on applique un échelon de tension.
a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par uC(t). On introduira un temps caractéristique τ.
b) Résoudre l’équation différentielle sachant qu’à t=0-, le condensateur est déchargé.
c) Représenter sur le même graphe l’allure expérimentale de e(t) et de uC(t). Distinguer sur ce graphe le régime transitoire et le régime permanent.
d) Déterminer la durée du régime transitoire. N.B. : On supposera que le régime permanent est atteint lorsque la tension aux bornes du condensateur a atteint 99% de sa valeur maximale.
e) Enoncer trois méthodes différentes pour déterminer τ. On pourra s’appuyer sur des graphes.
6 Reprendre les questions a) b) c) d) e) pour la décharge d'un condensateur dans une résistance, pour la b) à t=0- le condensateur est chargé.
7 Reprendre les question a) b) c) d) e) mais en cherchant à déterminer (et à représenter graphiquement )l'intensité i(t) traversant le circuit RC série
8 Reprendre les questions a) b) c) d) e) pour un circuit RL série subissant un échelon de tension en cherchant à déterminer (et à représenter graphiquement) l'intensité i(t) traversant le circuit
9 établir un bilan de puissance puis un bilan d'énergie entre t=0 et t=+∞ pour le circuit RC série en charge ou en décharge ( l'expression de uc(t) étant donnée mais i(t) est à retrouver)
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