Chimie 1er semestre
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Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.
Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.
Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.
Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.
Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.
Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.
Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.
Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.
Démonstration de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.
Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.
Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.
Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.
Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone.
Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.
Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.
Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (construction des suites pour la dichotomie et grandes lignes de ce qu’il faut montrer avec).
Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Démonstration du théorème de la bijection (sauf continuité de la réciproque).
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