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Relation d'équivalence entre fonctions: définition, transitivité, lien avec les limites, conservation du signe. Règles de calcul : produit, quotient, puissances, valeur absolue, composition à droite. Interdiction de sommer ou de composer à gauche.
Équivalents usuels au voisinage de $0$ de $\ln(1+x)$, $e^x-1$, $\sin(x)$, $\cos(x)-1$, $(1+x)^\alpha - 1$, $\text{sh}(x)$, $\text{ch}(x) - 1$, $\tan(x)$, $\arctan(x)$.
Relation d'équivalence entre les suites, adaptation des résultats précédents.
Domination et négligeabilité entre fonctions: définition, comparaison avec $1$, transitivité. Règles de calcul : somme, produit, passage à la puissance, composition à droite.
Relation entre équivalence et négligeabilité: $ f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) \underset{x \to a}{=} o(g(x))$. Remplacement dans un petit o par une fonction équivalente.
Négligeabilités classiques (obtenues par croissances comparées).
Relation de domination ou négligeabilité entre suites: adaptation des résultats précédents.
Démontrer une formule d'équivalent classique au voisinage de $0$ (au choix du colleur)
Retrouver la limite de la suite définie par $u_n = (1 + \frac{1}{n})^n $ (ou une de ses variantes)
Soit $u$ une suite qui vérifie $u_n = -2 + \frac{3}{n} + \frac{4}{n\ln(n)} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ Déterminer les limites de $(u_n)$, $((u_n+2)n)$ et $((u_n+2-\frac{3}{n})n^2)$.
Cardinal. Partie d'un ensemble et lien avec le cardinal. Formule de somme (cas disjoint et cas général). Formule de partition. Formule de différence. Formule du complémentaire. Formule du produit.
Principe des tiroirs. Lien entre injective, surjective, bijective pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal du nombre d'applications entre deux ensembles finis.
Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
$p$-liste d'un ensemble, $p$-liste d'éléments distincts. Permutations. Dénombrements associés.
Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Dénombrement associé.
Rappel des formules de Pascal et du binôme de Newton.
Démonstration de la formule de cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
Démonstration combinatoire de la formule de Pascal.
Démonstration combinatoire de la formule $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$.
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