Chimie 1er semestre
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Notion de proposition, "ou" et "et" mathématiques, propriétés relatives à la négation.
Définition et manipulation d'une implication, d'une réciproque, d'une équivalence. Condition nécessaire, condition suffisante.
Quantificateurs ∀, ∃, ∃!, importance de l'ordre, négation des quantificateurs. Traduction de phrases mathématiques en français sous forme de quantificateurs, passage à la négation.
Les différents modes de raisonnement : utilisation d'un exemple/contre-exemple, raisonnement par disjonction de cas, par récurrence (simple, double, forte), par contraposition, par l'absurde, par analyse-synthèse.
Conjecturer le terme général de la suite définie par $u_0=1$, $u_1=3$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = 2 u_{n+1} + 3 u_n$, puis montrer cette conjecture par récurrence double.
Déterminer par analyse-synthèse les solutions réelles de $\sqrt{6+x}=x$.
Ensemble/élément, cas particulier de l'ensemble vide. Notion d'ensemble fini ou dénombrable. Notation d'un ensemble avec des accolades.
Inclusion, égalité. Montrer une égalité d'ensembles par double inclusion doit être un réflexe.
Ensemble des parties d'un ensemble, produit cartésien.
Complémentaire d'un ensemble dans un autre, notation $\overline{A}$.
Intersection de $A$ et $B$, différence de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.
Réunion de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.
Distributivité de l'union/intersection. Passage au complémentaire dans une union/intersection.
Ensembles disjoints, ensembles deux à deux disjoints, notion de partition (ou recouvrement disjoint).
Ensembles usuels : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$.
Multiple, diviseur, théorème de division euclidienne sur les entiers. PGCD, PPCM (sans introduction de notation particulière).
Nombre premier, décomposition en produit de facteurs premiers, application au calcul du PGCD et du PPCM. L'ensemble des nombres premiers est infini.
Démontrer que $A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D) $.
Démontrer l'unicité du théorème de division euclidienne sur les entiers.
Somme, notation $\Sigma$. Notion d'indice, de bornes. Nombre de termes d'une somme. Somme des premiers entiers, somme des carrés des premiers entiers. Linéarité de la somme.
Changements d'indices par translation, par retournement. Regroupement des termes pairs et impairs. Télescopages.
Sommes des termes d'une suite géométrique. Factorisation de $a^n - b^n$.
Produit de deux sommes. Manipulations sur les sommes doubles.
Produit, notation $\Pi$. Règles de calcul (nombres de termes, changements d'indices, télescopage, multiplication par un scalaire dans le produit). Factorielle, relation $ (n+1)! = n! (n+1) $.
Définition numérique des coefficients binomiaux. Calcul de termes simples. Formule de Pascal, $ \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p} $, $ \binom{n}{p} = \frac{n}{p} \binom{n-1}{p-1}$, formule du binôme de Newton.
Démontrer la formule de somme télescopique avec un changement d'indice (sans utiliser de point de suspension).
Calcul de $ \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} $, en prêtant particulièrement attention aux hypothèses des formules utilisées.
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