Chimie 1er semestre
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Règles de calcul. Représentation graphique de $ x \to f(-x)$, $-f(x)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$, $f(ax)$, $af(x)$. Fonctions paires, impaires, périodiques et représentations graphiques.
Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
Fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions monotones.
Fonction dérivable, dérivée en un point, tangente à la courbe. Opérations sur les fonctions dérivables, formulaire des dérivées usuelles. Lien entre dérivée et variations. Applications à l'établissement d'inégalités.
Fonction réciproque : représentation graphique et calcul de dérivée dans le cas d'une fonction bijective dérivable et strictement monotone.
Dérivées d'ordre supérieur (définition et c'est tout)
Fonctions usuelles : logarithme (népérien ou en base $a$), exponentielle, puissances (y compris non entières). Définition, variations, règles de calcul. Croissances comparées.
Fonctions circulaires réciproques : $\arctan$, $\arccos$, $\arcsin$. Définitions, variations, courbes, dérivabilité.
Fonctions sinus et cosinus hyperbolique. Variations, dérivabilité, courbe. $\text{ch}^2 - \text{sh}^2 = 1 $
Montrer $\forall x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1+x$ ou $\forall x \in ]-1,+\infty[$, $\ln(1+x) \leq x$.
Montrer pour $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ la formule de dérivée de $ x \mapsto x^\alpha $ (par composition).
Montrer la bonne définition et dérivabilité/dérivée de $\arctan$, $\arcsin$ ou $\arccos$ (au choix du colleur).
Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).
Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.
Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence.
Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.
Soient $u$ définie pour tout entier $n$ non nul par $ u_n = \sum_{k=0}^n \frac{n}{n^2+k} $. Montrer que $u$ converge, et donner sa limite.
Soit $x$ un réel. Montrer que $ ( \left| \frac{x^n}{n!} \right| )_{n \in \mathbb{N}} $ converge puis que $ \lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{n!} = 0 $.
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