Chimie 1er semestre
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Règles de calcul. Représentation graphique de $ x \to f(-x)$, $-f(x)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$, $f(ax)$, $af(x)$. Fonctions paires, impaires, périodiques et représentations graphiques.
Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
Fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions monotones.
Fonction dérivable, dérivée en un point, tangente à la courbe. Opérations sur les fonctions dérivables, formulaire des dérivées usuelles. Lien entre dérivée et variations. Applications à l'établissement d'inégalités.
Fonction réciproque : représentation graphique et calcul de dérivée dans le cas d'une fonction bijective dérivable et strictement monotone.
Dérivées d'ordre supérieur (définition et c'est tout)
Fonctions usuelles : logarithme (népérien ou en base $a$), exponentielle, puissances (y compris non entières). Définition, variations, règles de calcul. Croissances comparées.
Fonctions circulaires réciproques : $\arctan$, $\arccos$, $\arcsin$. Définitions, variations, courbes, dérivabilité.
Fonctions sinus et cosinus hyperbolique. Variations, dérivabilité, courbe. $\text{ch}^2 - \text{sh}^2 = 1 $
Montrer $\forall x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1+x$ ou $\forall x \in ]-1,+\infty[$, $\ln(1+x) \leq x$.
Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, dérivabilité et calcul de dérivée de $ x \mapsto x^\alpha $ (par composition).
Dérivabilité et calcul de dérivée de $\arcsin$ ou $\arccos$ (par dérivée de la réciproque).
Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).
Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.
Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.
Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.
Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.
Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.
Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
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