Chimie 1er semestre
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Somme, notation $\Sigma$. Notion d'indice, de bornes. Nombre de termes d'une somme. Somme des premiers entiers, somme des carrés des premiers entiers. Linéarité de la somme.
Changements d'indices par translation, par retournement. Regroupement des termes pairs et impairs. Télescopages.
Sommes des termes d'une suite géométrique. Factorisation de $a^n - b^n$.
Produit de deux sommes. Manipulations sur les sommes doubles.
Produit, notation $\Pi$. Règles de calcul (nombres de termes, changements d'indices, télescopage, multiplication par un scalaire dans le produit). Factorielle, relation $ (n+1)! = n! (n+1) $.
Définition numérique des coefficients binomiaux. Calcul de termes simples. Formule de Pascal, $ \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p} $, $ \binom{n}{p} = \frac{n}{p} \binom{n-1}{p-1}$, formule du binôme de Newton.
Démontrer la formule de somme télescopique avec un changement d'indice (sans utiliser de point de suspension).
Démontrer la formule du binôme de Newton.
Calcul de $ \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} $, en prêtant particulièrement attention aux hypothèses des formules utilisées.
Définition d'un système linéaire, de ce que signifie résoudre, de deux systèmes équivalents, d'un p-uplet solution.
Présentation des opérations élémentaires de résolution (échange de deux lignes, multiplication par un réel, combinaison linéaire) et de la façon dont on les note. La résolution doit se limiter à des systèmes de petite taille, peu calculatoires (les matrices n'ont pas encore été vues).
Notion de relation d'ordre, opérations sur les inégalités (somme, produit, passage à l'inverse…). Méthodes d'encadrement de sommes ou de fractions, méthode de résolution d'inéquations.
Définition d'intervalle, majorant, minorant, ensemble majoré, minoré, borné. Définition de maximum, minimum. Théorème de la borne supérieure.
Valeur absolue et manipulations usuelles (dans une équation, dans une somme ou intégrale). Interprétation de $ |x-a| \leq b $ en terme de distance. Inégalité triangulaire.
Partie entière, manipulation des inégalités associées, partie réelle de la somme d'un réel et d'un entier.
Résolution de $ \frac{\ln(x)}{2-x} < 0 $ en justifiant soigneusement les équivalences.
Démonstration de l'inégalité triangulaire pour une somme de deux termes.
Déterminer les $x \in \mathbb{R}$ pour lesquels $ \lfloor \frac{2x}{3} \rfloor = 4 $.
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