Chimie 1er semestre
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Définition d'un polynôme. Identification des coefficients dans une égalité. Opérations usuelles: somme, produit, composition. Notion de degré et de coefficient dominant. Degré d'une somme, degré d'un produit. Un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des polynômes est nul.
Diviseur, multiple. Théorème de division euclidienne. Exemples de calculs concrets. Degré du quotient.
Notion de fonction polynomiale, compatibilité avec les opérations usuelles. Racine, définition et lien avec la divisibilité. Extension au cas de plusieurs racines deux à deux distinctes. Un polynôme de degré inférieur à $n$ admettant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul. Multiplicité d'une racine.
Polynôme scindé. Somme et produit des racines.
Polynôme dérivé. Opérations usuelles, formule du degré, expression des polynômes dérivés successifs. Formule de Taylor. Lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives.
Théorème de d'Alembert Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dans $\mathbb{R}[X]$. Racines conjuguées dans le cas d'un polynôme à coefficients réels.
Fractions rationnelles : définition, décomposition dans le cas d'un dénominateur scindé à racines simples. Application au calcul de primitives.
Démontrer la formule de degré d'une somme et de degré d'un produit.
Démontrer l'unicité dans le théorème de division euclidienne.
Montrer que si $\forall x \in [-1,1]$, $ax^2+bx+c=0$, alors $a=b=c=0$.
Décomposer en éléments simples la fraction $R(X) = \dfrac{X^3+3X+1}{X^2-1}$.
Dérivabilité en un point, lien avec une écriture de type $f(a+h) = f(a) + v h + v \epsilon(h)$ (les développements limités n'ont pas encore été vus par ailleurs), tangente à la courbe. Cas des dérivées à droite ou à gauche.
Toute fonction dérivable est continue. Dérivabilité sur un intervalle.
Opérations sur les fonctions dérivables: combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque.
Points critiques, caractérisation d'un extremum local par la dérivée.
Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, fonctions lispchitziennes, inégalité des accroissements finis. Application au cas des suites récurrentes.
Caractérisation des fonctions constantes et (strictement) monotones. Théorème de la limite de la dérivée.
Dérivées successives. Classe $C^1$, $C^2$, $C^{\infty}$.
Formulaire de dérivées successives. Opérations sur les dérivées. Formule de Leibniz.
Formule de composition pour les dérivées successives. Formule de réciproque.
Fonction convexe, concave. Interprétation géométrique. Convexité d'une fonction une ou deux fois dérivable.
Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes. Cas des accroissements finis.
Démontrer la formule de dérivée du produit.
Démonstration de la caractérisation d'un extremum par la dérivée.
Démontrer qu'une fonction dérivable est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée est positive sur $I$.
Démontrer la formule de Leibniz.
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