Chimie 1er semestre
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Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.
Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.
Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.
Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.
Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.
Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.
Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.
Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.
Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.
Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).
Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.
Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.
On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?
Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.
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