Chimie 1er semestre
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Cardinal. Partie d'un ensemble et lien avec le cardinal. Formule de somme (cas disjoint et cas général). Formule de partition. Formule de différence. Formule du complémentaire. Formule du produit.
Principe des tiroirs. Lien entre injective, surjective, bijective pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal du nombre d'applications entre deux ensembles finis.
Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
$p$-liste d'un ensemble, $p$-liste d'éléments distincts. Permutations. Dénombrements associés.
Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Dénombrement associé.
Rappel des formules de Pascal et du binôme de Newton.
Démonstration de la formule de cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
Démonstration combinatoire de la formule de Pascal.
Démonstration combinatoire de la formule $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$.
Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.
Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.
Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.
Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.
Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.
Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.
Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.
Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice, au choix du colleur) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.
Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$
Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.
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