Chimie 1er semestre
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Définition de la congruence modulo $2\pi$.
Définition de tangente comme quotient de sinus et cosinus. Lecture de sinus, cosinus, tangente sur le cercle trigonométrique.
Transformations affines usuelles: valeur de sinus, cosinus, tangente en $-x$, $\pi + x$, $\pi-x$. Valeur de cosinus et sinus en $\frac{\pi}{2}+x$ et $\frac{\pi}{2} - x$.
Cosinus, sinus, tangente des angles usuels (valeurs sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ à connaître, les autres sont à retrouver avec les transformations affines usuelles).
Équations trigonométriques: résolution de $\cos(x) = \cos(y)$, de $\sin(x) = \sin(y)$.
Formules d'addition de cosinus, sinus, tangente. Formules de duplication, formules de linéarisation du carré.
Étude de sinus, cosinus et tangente en tant que fonctions : parité, périodicité, tracé du graphe, dérivabilité et valeur des dérivées. Inégalité $|\sin(x)| \leq |x|$.
Résolution de $2 \cos(4x) + 1 = 0$ sur $[-\pi,\pi]$.
Soit $t \in [-\pi,\pi]$. En factorisant $\cos(t) + \cos(2t)$, déterminer le signe de cette expression.
Démonstration des formules d'addition de tangente.
Application, image, antécédent. Traductions en quantificateurs. Représentations d'applications avec des ensembles ou sous forme de graphe.
Image directe ou réciproque d'un ensemble par une application. Conjectures de leurs valeurs à l'aide du graphe.
Cas particuliers: famille d'éléments d'un ensemble, application identité, fonction indicatrice.
Restriction, prolongement. Composée (condition de définition et formule).
Injection/fonction injective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est injective ou non injective. Composée de deux injections. Cas particulier des fonctions réelles strictement monotones.
Surjection/fonction surjective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est surjective ou non surjective. Composée de deux surjections.
Bijections/fonction bijective. Application réciproque. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque. Relation $ x = f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y = f(x)$. Composée de deux bijections, réciproque de la composée.
Montrer que la fonction $g$ définie de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ par $n \mapsto 2n+2$ est injective et non surjective.
Montrer que la fonction $h$ définie de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ par $(x,y,z) \mapsto (x+2y,x-z)$ est surjective et non injective.
Montrer que $x \mapsto e^{x-1} + 2$ est bijective de $\mathbb{R}$ dans $]2,+\infty[$ et déterminer l'expression de sa réciproque. On justifiera soigneusement les équivalences.
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