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Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.
Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.
Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.
Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone.
Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.
Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.
Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (construction des suites pour la dichotomie et grandes lignes de ce qu’il faut montrer avec).
Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Démonstration du théorème de la bijection (sauf continuité de la réciproque).
Équations différentielles $y' + a(t) y = b(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Résolution de l'équation homogène.
Recherche de solution particulière par variation de la constante, ou en testant des formes données quand $a$ est constante (cas d'un $b(t)$ constant, polynomial, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$)
Résolution de l'équation $y' + a(t) y = b(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.
Équations différentielles $y'' + ay' + by = f(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Équation caractéristique, résolution de l'équation homogène en fonction des valeurs des racines (cas des fonctions réelles et cas des fonctions complexes).
Recherche de solution particulière dans le cas où $f(t)$ est constante, polynomiale, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$.
Résolution de l'équation $y'' + ay' + by = f(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.
Démonstration du principe de superposition (pour l'ordre 1 ou l'ordre 2).
Démonstration de l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y' + a(t) y = 0$.
Résoudre le problème de Cauchy $y''-4y'+3y = \sin(2t)$, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
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