Semaine du lundi 9 juin 2025
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Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe. Expression alternative en sommant sur l'univers. Linéarité, inégalité triangulaire, positivité, croissance.
Formule de transfert. Espérance du produit dans le cas indépendant.
Variance et écart type d'une variable aléatoire réelle. Formule de $V(aX+b)$, formule de König-Huygens. Cas de la variance nulle.
Espérance et variance des lois usuelles : cas de les lois constante, de Bernoulli et binomiale.
Covariance de deux variables aléatoires et formule de König-Huygens. Application à la variance d'une somme de variables aléatoires.
Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Applications à $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, où les $X_i$ sont de même loi et indépendantes.
Démonstration de l'espérance d'une loi binomiale (en introduisant une somme de variables de Bernoulli ou par calcul direct, au choix du colleur)
Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$.
Démonstration de la formule donnant $V(X+Y)$.
Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien. Produits scalaires canoniques sur $\mathbb{R}^n$ et sur l'ensemble des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
Norme associée à un produit scalaire. Identités remarquables, formule de polarisation, inégalité de Cauchy-Schwarz (avec cas d'égalité), inégalité triangulaire (avec cas d'égalité).
Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie, propriétés de l'orthogonal. Familles orthogonales ou orthonormées. Théorème de Pythagore.
Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormées coordonnées dans une base orthonormée. Expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.
Somme directe avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace vectoriel de dimension finie. Vecteur normal à un hyperplan.
Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie. Expression dans une base orthonormée.
Distance à une partie. Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.
Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, avec le cas d'égalité.
Démonstration de l'expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.
Construire une base orthonormale de $\mathbb{R}_2[X]$ pour le produit scalaire $(P|Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)dt$.
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