Semaine du lundi 11 mai 2026
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Vecteur colonne des coordonnées d'un vecteur dans une base. Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire (ou d'un endomorphisme) dans des bases.
Interprétation de l'image d'un vecteur par une application linéaire comme produit matriciel. L'application qui à $f$ associe sa matrice dans des bases fixées est un automorphisme. Matrice d'une composée d'applications linéaires. Isomorphismes et inversibilité de la matrice.
Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Noyau, image et rang d'une matrice. Cas particulier des matrices carrées de rang $n$. Toute matrice carrée inversible à droite ou à gauche est inversible. Rang de la transposée.
Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonne) d'une matrice préservent son noyau (resp. image). Les opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes préservent le rang. Méthode concrète de détermination du rang par des opérations élémentaires.
Matrice de passage entre deux bases. Inversibilité et valeur de l'inverse.
Formule de changement de base pour un vecteur. Formule de changements de bases pour une application linéaire. Cas particulier des endomorphismes. Matrices semblables.
Lien du noyau/rang d'une matrice avec les solutions d'un système linéaire homogène. Système linéaire compatible et lien avec l'image. Système linéaire de Cramer. Solution d'un système de Cramer.
Démontrer l'interprétation matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire (équivalence entre $y = f(x)$ et $Y=AX$).
Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases déterminées à l’avance est inversible.
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Énoncer et démontrer le lien entre inversibilité de $A$, $\text{Ker}(A)$, $\text{Im}(A)$ et $\text{rg}(A)$.
Série de terme général $u$, sommes partielles. Convergence et divergence d'une série, somme et reste d'une série convergente.
Condition nécessaire de convergence, utilisation de la contraposée pour montrer la divergence grossière.
Deux séries qui diffèrent d'un nombre fini de termes ont même nature. Linéarité des séries convergentes.
Séries de référence : séries géométriques, télescopiques, exponentielles pour les conditions de convergence et la valeur de la somme. Séries de Riemann pour les conditions de convergence.
Critères de convergence pour les séries à terme général réel positif : la série converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Condition de convergence par majoration du terme général, de divergence par minoration. Étude de la nature via la recherche d'équivalents.
Convergence absolue, lien avec la convergence.
Critère de convergence par domination ou négligeabilité.
Démonstration du critère de convergence/divergence des séries géométriques.
Démonstration du critère de convergence/divergence de la série exponentielle.
Démonstration de la convergence de la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ dans le cas $\alpha > 1$, par comparaison avec une intégrale.
Définition d'une forme alternée, du déterminant d'une famille de vecteurs dans une base. Antisymétrie du déterminant.
Cas particulier des formules du déterminant dans une base en dimension $2$ et $3$. La règle de Sarrus est seulement évoquée comme moyen mnémotechnique. Lien avec l'aire algébrique d'un parallélogramme, le volume algébrique d'un parallélépipède.
Toute application de $E^n$ dans $\mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de $\det_B$. Relation $\det_{B'}(X) = \det_{B'}(B) \det_B(X) $. Une famille est une base si et seulement si son déterminant est non nul.
Déterminant d'un endomorphisme : définition, cas d'une composée, cas d'un automorphisme.
Déterminant d'une matrice carrée : définition comme déterminant de la famille des colonnes, lien avec le déterminant d'un endomorphisme. Déterminant d'un produit, d'une transposée. Caractérisation de l'inversibilité.
Calcul de déterminants par pivot de Gauss : effet des opérations élémentaires sur le déterminant, cas du déterminant d'une matrice triangulaire.
Calcul de déterminants par développement par ligne ou par colonne : formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne, choix judicieux de la ligne ou colonne à utiliser.
Démontrer l'expression du déterminant en dimension $2$.
Montrer que $X$ est une base de $E \Longleftrightarrow \det_B(X) \neq 0 $.
Démontrer l'effet de chaque opération élémentaire sur le déterminant.
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