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Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.
Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.
Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.
Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.
Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.
Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.
Lemme des coalitions.
Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.
Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.
On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.
Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Vecteur colonne des coordonnées d'un vecteur dans une base. Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire (ou d'un endomorphisme) dans des bases.
Interprétation de l'image d'un vecteur par une application linéaire comme produit matriciel. L'application qui à $f$ associe sa matrice dans des bases fixées est un automorphisme. Matrice d'une composée d'applications linéaires. Isomorphismes et inversibilité de la matrice.
Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Noyau, image et rang d'une matrice. Cas particulier des matrices carrées de rang $n$. Toute matrice carrée inversible à droite ou à gauche est inversible. Rang de la transposée.
Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonne) d'une matrice préservent son noyau (resp. image). Les opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes préservent le rang. Méthode concrète de détermination du rang par des opérations élémentaires.
Matrice de passage entre deux bases. Inversibilité et valeur de l'inverse.
Formule de changement de base pour un vecteur. Formule de changements de bases pour une application linéaire. Cas particulier des endomorphismes. Matrices semblables.
Lien du noyau/rang d'une matrice avec les solutions d'un système linéaire homogène. Système linéaire compatible et lien avec l'image. Système linéaire de Cramer. Solution d'un système de Cramer.
Démontrer l'interprétation matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire (équivalence entre $y = f(x)$ et $Y=AX$).
Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases déterminées à l’avance est inversible.
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Énoncer et démontrer le lien entre inversibilité de $A$, $\text{Ker}(A)$, $\text{Im}(A)$ et $\text{rg}(A)$.
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