Programmes de colles

Semaine du lundi 6 octobre 2025

Chimie 1er semestre

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Chimie PC 2ème sem

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Chimie SI 2ème sem

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SII

Mathématiques

Petits systèmes et inégalités

Notions rencontrées :

Définition d'un système linéaire, de ce que signifie résoudre, de deux systèmes équivalents, d'un p-uplet solution.

Présentation des opérations élémentaires de résolution (échange de deux lignes, multiplication par un réel, combinaison linéaire) et de la façon dont on les note. La résolution doit se limiter à des systèmes de petite taille, peu calculatoires (les matrices n'ont pas encore été vues).

Notion de relation d'ordre, opérations sur les inégalités (somme, produit, passage à l'inverse…). Méthodes d'encadrement de sommes ou de fractions, méthode de résolution d'inéquations.

Définition d'intervalle, majorant, minorant, ensemble majoré, minoré, borné. Définition de maximum, minimum. Théorème de la borne supérieure.

Valeur absolue et manipulations usuelles (dans une équation, dans une somme ou intégrale). Interprétation de $ |x-a| \leq b $ en terme de distance. Inégalité triangulaire.

Partie entière, manipulation des inégalités associées, partie réelle de la somme d'un réel et d'un entier.

À savoir faire en particulier :

Résolution de $ \frac{\ln(x)}{2-x} < 0 $ en justifiant soigneusement les équivalences.

Démonstration de l'inégalité triangulaire pour une somme de deux termes.

Déterminer les $x \in \mathbb{R}$ pour lesquels $ \lfloor \frac{2x}{3} \rfloor = 4 $.

Trigonométrie

Ce chapitre a été traité sans utiliser de nombres complexes, qui seront étudiés plus tard dans l'année.

Notions rencontrées :

Définition de la congruence modulo $2\pi$.

Définition de tangente comme quotient de sinus et cosinus. Lecture de sinus, cosinus, tangente sur le cercle trigonométrique.

Transformations affines usuelles: valeur de sinus, cosinus, tangente en $-x$, $\pi + x$, $\pi-x$. Valeur de cosinus et sinus en $\frac{\pi}{2}+x$ et $\frac{\pi}{2} - x$.

Cosinus, sinus, tangente des angles usuels (valeurs sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ à connaître, les autres sont à retrouver avec les transformations affines usuelles).

Équations trigonométriques: résolution de $\cos(x) = \cos(y)$, de $\sin(x) = \sin(y)$.

Formules d'addition de cosinus, sinus, tangente. Formules de duplication, formules de linéarisation du carré.

Étude de sinus, cosinus et tangente en tant que fonctions : parité, périodicité, tracé du graphe, dérivabilité et valeur des dérivées. Inégalité $|\sin(x)| \leq |x|$.

À savoir faire en particulier :

Résolution de $2 \cos(4x) + 1 = 0$ sur $[-\pi,\pi]$.

Soit $t \in [-\pi,\pi]$. En factorisant $\cos(t) + \cos(2t)$, déterminer le signe de cette expression.

Démonstration des formules d'addition de tangente.

Lettres

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