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Application, image, antécédent. Traductions en quantificateurs. Représentations d'applications avec des ensembles ou sous forme de graphe.
Image directe ou réciproque d'un ensemble par une application. Conjectures de leurs valeurs à l'aide du graphe.
Cas particuliers: famille d'éléments d'un ensemble, application identité, fonction indicatrice.
Restriction, prolongement. Composée (condition de définition et formule).
Injection/fonction injective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est injective ou non injective. Composée de deux injections. Cas particulier des fonctions réelles strictement monotones.
Surjection/fonction surjective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est surjective ou non surjective. Composée de deux surjections.
Bijections/fonction bijective. Application réciproque. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque. Relation $ x = f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y = f(x)$. Composée de deux bijections, réciproque de la composée.
Montrer que la fonction $g$ définie de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ par $n \mapsto 2n+2$ est injective et non surjective.
Montrer que la fonction $h$ définie de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ par $(x,y,z) \mapsto (x+2y,x-z)$ est surjective et non injective.
Montrer que $x \mapsto e^{x-1} + 2$ est bijective de $\mathbb{R}$ dans $]2,+\infty[$ et déterminer l'expression de sa réciproque. On justifiera soigneusement les équivalences.
Définitions, partie réelle, partie imaginaire, conjugué règles de calcul. Unicité de l'écriture algébrique. Nombre imaginaire pur.
Module, définition comme $\sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$ et comme $\sqrt{z \overline{z}}$. Règles de calcul, inégalité triangulaire et cas d'égalité.
Représentation graphique dans le plan complexe, affixe. Interprétation du module en terme de distance entre deux points, d'un argument en terme d'angle.
Nombres complexes de module 1, représentation sur le cercle trigonométrique. Notation exponentielle $e^{it}$ pour $t$ réel. Règles de calcul associées.
Formules d'Euler et applications: techniques de l'angle moitié, linéarisation, calcul (et simplification) de sommes de sinus ou cosinus. Formule de Moivre.
Argument, forme trigonométrique/exponentielle. Passage d'une forme à une autre. Transformation de $ a \cos(t) + b \sin(t) $ vers $ r \cos(t - \phi) $.
Démontrer l'inégalité triangulaire, avec cas d'égalité.
Soit $ \theta \in ] -\pi, \pi [ $. Linéariser $\cos^3(\theta)$
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $ \cos ( 3 \theta ) $ et $ \sin ( 3 \theta ) $ en fonction de $ \cos(\theta) $ et $ \sin(\theta) $.
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