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Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.
Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.
Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.
Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.
Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.
Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.
Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.
Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.
Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$
Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.
Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.
Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.
Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.
Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.
Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.
Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.
Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.
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