Semaine du lundi 8 juin 2026
Il n'y a pas de colles cette semaine.
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Une fois n’est pas coutume, un seul chapitre est au programme cette semaine-là.
Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien. Produits scalaires canoniques sur $\mathbb{R}^n$ et sur l'ensemble des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
Norme associée à un produit scalaire. Identités remarquables, formule de polarisation, inégalité de Cauchy-Schwarz (avec cas d'égalité), inégalité triangulaire (avec cas d'égalité).
Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie, propriétés de l'orthogonal. Familles orthogonales ou orthonormées. Théorème de Pythagore.
Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormées coordonnées dans une base orthonormée. Expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.
Somme directe avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace vectoriel de dimension finie. Vecteur normal à un hyperplan.
Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie. Expression dans une base orthonormée.
Distance à une partie. Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.
Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, avec le cas d'égalité.
Démonstration de l'expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.
Construire une base orthonormale de $\mathbb{R}_2[X]$ pour le produit scalaire $(P|Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)dt$.
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