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Le planning du CB a été mis en ligne. Changements pour DEMARIA et BRANDMEYER. A discuter lundi si besoin.

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Espérance et variance

Notions rencontrées :

Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe. Expression alternative en sommant sur l'univers. Linéarité, inégalité triangulaire, positivité, croissance.

Formule de transfert. Espérance du produit dans le cas indépendant.

Variance et écart type d'une variable aléatoire réelle. Formule de $V(aX+b)$, formule de König-Huygens. Cas de la variance nulle.

Espérance et variance des lois usuelles : cas de les lois constante, de Bernoulli et binomiale.

Covariance de deux variables aléatoires et formule de König-Huygens. Application à la variance d'une somme de variables aléatoires.

Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Applications à $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, où les $X_i$ sont de même loi et indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de l'espérance d'une loi binomiale (en introduisant une somme de variables de Bernoulli ou par calcul direct, au choix du colleur)

Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$.

Démonstration de la formule donnant $V(X+Y)$.

Produits scalaires

Notions rencontrées :

Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien. Produits scalaires canoniques sur $\mathbb{R}^n$ et sur l'ensemble des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

Norme associée à un produit scalaire. Identités remarquables, formule de polarisation, inégalité de Cauchy-Schwarz (avec cas d'égalité), inégalité triangulaire (avec cas d'égalité).

Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie, propriétés de l'orthogonal. Familles orthogonales ou orthonormées. Théorème de Pythagore.

Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormées coordonnées dans une base orthonormée. Expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.

Somme directe avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace vectoriel de dimension finie. Vecteur normal à un hyperplan.

Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie. Expression dans une base orthonormée.

Distance à une partie. Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, avec le cas d'égalité.

Démonstration de l'expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.

Construire une base orthonormale de $\mathbb{R}_2[X]$ pour le produit scalaire $(P|Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)dt$.

Déterminants

Notions rencontrées :

Définition d'une forme alternée, du déterminant d'une famille de vecteurs dans une base. Antisymétrie du déterminant.

Cas particulier des formules du déterminant dans une base en dimension $2$ et $3$. La règle de Sarrus est seulement évoquée comme moyen mnémotechnique. Lien avec l'aire algébrique d'un parallélogramme, le volume algébrique d'un parallélépipède.

Toute application de $E^n$ dans $\mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de $\det_B$. Relation $\det_{B'}(X) = \det_{B'}(B) \det_B(X) $. Une famille est une base si et seulement si son déterminant est non nul.

Déterminant d'un endomorphisme : définition, cas d'une composée, cas d'un automorphisme.

Déterminant d'une matrice carrée : définition comme déterminant de la famille des colonnes, lien avec le déterminant d'un endomorphisme. Déterminant d'un produit, d'une transposée. Caractérisation de l'inversibilité.

Calcul de déterminants par pivot de Gauss : effet des opérations élémentaires sur le déterminant, cas du déterminant d'une matrice triangulaire.

Calcul de déterminants par développement par ligne ou par colonne : formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne, choix judicieux de la ligne ou colonne à utiliser.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'expression du déterminant en dimension $2$.

Montrer que $X$ est une base de $E \Longleftrightarrow \det_B(X) \neq 0 $.

Démontrer l'effet de chaque opération élémentaire sur le déterminant.

Espérance et variance

Notions rencontrées :

Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe. Expression alternative en sommant sur l'univers. Linéarité, inégalité triangulaire, positivité, croissance.

Formule de transfert. Espérance du produit dans le cas indépendant.

Variance et écart type d'une variable aléatoire réelle. Formule de $V(aX+b)$, formule de König-Huygens. Cas de la variance nulle.

Espérance et variance des lois usuelles : cas de les lois constante, de Bernoulli et binomiale.

Covariance de deux variables aléatoires et formule de König-Huygens. Application à la variance d'une somme de variables aléatoires.

Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Applications à $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, où les $X_i$ sont de même loi et indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de l'espérance d'une loi binomiale (en introduisant une somme de variables de Bernoulli ou par calcul direct, au choix du colleur)

Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$.

Démonstration de la formule donnant $V(X+Y)$.

Produits scalaires

Notions rencontrées :

Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien. Produits scalaires canoniques sur $\mathbb{R}^n$ et sur l'ensemble des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

Norme associée à un produit scalaire. Identités remarquables, formule de polarisation, inégalité de Cauchy-Schwarz (avec cas d'égalité), inégalité triangulaire (avec cas d'égalité).

Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie, propriétés de l'orthogonal. Familles orthogonales ou orthonormées. Théorème de Pythagore.

Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormées coordonnées dans une base orthonormée. Expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.

Somme directe avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace vectoriel de dimension finie. Vecteur normal à un hyperplan.

Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie. Expression dans une base orthonormée.

Distance à une partie. Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, avec le cas d'égalité.

Démonstration de l'expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.

Construire une base orthonormale de $\mathbb{R}_2[X]$ pour le produit scalaire $ (P|Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)dt$.

Document de 170 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Programmes de colle

Document de 298 ko, dans Mathématiques/S2-14-Espérance et variance

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Espérance et variance.

Pas de devoir maison (en raison du DS prévu ce jour-là).

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

Séries

Notions rencontrées :

Série de terme général $u$, sommes partielles. Convergence et divergence d'une série, somme et reste d'une série convergente.

Condition nécessaire de convergence, utilisation de la contraposée pour montrer la divergence grossière.

Deux séries qui diffèrent d'un nombre fini de termes ont même nature. Linéarité des séries convergentes.

Séries de référence : séries géométriques, télescopiques, exponentielles pour les conditions de convergence et la valeur de la somme. Séries de Riemann pour les conditions de convergence.

Critères de convergence pour les séries à terme général réel positif : la série converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Condition de convergence par majoration du terme général, de divergence par minoration. Étude de la nature via la recherche d'équivalents.

Convergence absolue, lien avec la convergence.

Critère de convergence par domination ou négligeabilité.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du critère de convergence/divergence des séries géométriques.

Démonstration du critère de convergence/divergence de la série exponentielle.

Démonstration de la convergence de la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ dans le cas $\alpha > 1$, par comparaison avec une intégrale.

Déterminants

Notions rencontrées :

Définition d'une forme alternée, du déterminant d'une famille de vecteurs dans une base. Antisymétrie du déterminant.

Cas particulier des formules du déterminant dans une base en dimension $2$ et $3$. La règle de Sarrus est seulement évoquée comme moyen mnémotechnique. Lien avec l'aire algébrique d'un parallélogramme, le volume algébrique d'un parallélépipède.

Toute application de $E^n$ dans $\mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de $\det_B$. Relation $\det_{B'}(X) = \det_{B'}(B) \det_B(X) $. Une famille est une base si et seulement si son déterminant est non nul.

Déterminant d'un endomorphisme : définition, cas d'une composée, cas d'un automorphisme.

Déterminant d'une matrice carrée : définition comme déterminant de la famille des colonnes, lien avec le déterminant d'un endomorphisme. Déterminant d'un produit, d'une transposée. Caractérisation de l'inversibilité.

Calcul de déterminants par pivot de Gauss : effet des opérations élémentaires sur le déterminant, cas du déterminant d'une matrice triangulaire.

Calcul de déterminants par développement par ligne ou par colonne : formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne, choix judicieux de la ligne ou colonne à utiliser.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'expression du déterminant en dimension $2$.

Montrer que $X$ est une base de $E \Longleftrightarrow \det_B(X) \neq 0 $.

Démontrer l'effet de chaque opération élémentaire sur le déterminant.

Document de 290 ko, dans Mathématiques/S2-13-Déterminants

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Document de 533 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS5

Document de 727 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS5

Document de 2 Mo, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part3_Structure_Molecules_Organiques/ChapM3_Spectroscopies

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