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Pour les intéressés, le lien d’inscription se trouve à l’adresse suivante : dema1n.org

Document de 457 ko, dans SII/Cours-TD

Applications

Notions rencontrées :

Application, image, antécédent. Traductions en quantificateurs. Représentations d'applications avec des ensembles ou sous forme de graphe.

Image directe ou réciproque d'un ensemble par une application. Conjectures de leurs valeurs à l'aide du graphe.

Cas particuliers: famille d'éléments d'un ensemble, application identité, fonction indicatrice.

Restriction, prolongement. Composée (condition de définition et formule).

Injection/fonction injective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est injective ou non injective. Composée de deux injections. Cas particulier des fonctions réelles strictement monotones.

Surjection/fonction surjective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est surjective ou non surjective. Composée de deux surjections.

Bijections/fonction bijective. Application réciproque. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque. Relation $ x = f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y = f(x)$. Composée de deux bijections, réciproque de la composée.

À savoir faire en particulier :

Montrer que la fonction $g$ définie de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ par $n \mapsto 2n+2$ est injective et non surjective.

Montrer que la fonction $h$ définie de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ par $(x,y,z) \mapsto (x+2y,x-z)$ est surjective et non injective.

Montrer que $x \mapsto e^{x-1} + 2$ est bijective de $\mathbb{R}$ dans $]2,+\infty[$ et déterminer l'expression de sa réciproque. On justifiera soigneusement les équivalences.

Ensemble des nombres complexes

Notions rencontrées :

Définitions, partie réelle, partie imaginaire, conjugué règles de calcul. Unicité de l'écriture algébrique. Nombre imaginaire pur.

Module, définition comme $\sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$ et comme $\sqrt{z \overline{z}}$. Règles de calcul, inégalité triangulaire et cas d'égalité.

Représentation graphique dans le plan complexe, affixe. Interprétation du module en terme de distance entre deux points, d'un argument en terme d'angle.

Nombres complexes de module 1, représentation sur le cercle trigonométrique. Notation exponentielle $e^{it}$ pour $t$ réel. Règles de calcul associées.

Formules d'Euler et applications: techniques de l'angle moitié, linéarisation, calcul (et simplification) de sommes de sinus ou cosinus. Formule de Moivre.

Argument, forme trigonométrique/exponentielle. Passage d'une forme à une autre. Transformation de $ a \cos(t) + b \sin(t) $ vers $ r \cos(t - \phi) $.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'inégalité triangulaire, avec cas d'égalité.

Soit $ \theta \in ] -\pi, \pi [ $. Linéariser $\cos^3(\theta)$

Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $ \cos ( 3 \theta ) $ et $ \sin ( 3 \theta ) $ en fonction de $ \cos(\theta) $ et $ \sin(\theta) $.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

Trigonométrie

Notions rencontrées :

Définition de la congruence modulo $2\pi$.

Définition de tangente comme quotient de sinus et cosinus. Lecture de sinus, cosinus, tangente sur le cercle trigonométrique.

Transformations affines usuelles: valeur de sinus, cosinus, tangente en $-x$, $\pi + x$, $\pi-x$. Valeur de cosinus et sinus en $\frac{\pi}{2}+x$ et $\frac{\pi}{2} - x$.

Cosinus, sinus, tangente des angles usuels (valeurs sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ à connaître, les autres sont à retrouver avec les transformations affines usuelles).

Équations trigonométriques: résolution de $\cos(x) = \cos(y)$, de $\sin(x) = \sin(y)$.

Formules d'addition de cosinus, sinus, tangente. Formules de duplication, formules de linéarisation du carré.

Étude de sinus, cosinus et tangente en tant que fonctions : parité, périodicité, tracé du graphe, dérivabilité et valeur des dérivées. Inégalité $|\sin(x)| \leq |x|$.

À savoir faire en particulier :

Résolution de $2 \cos(4x) + 1 = 0$ sur $[-\pi,\pi]$.

Soit $t \in [-\pi,\pi]$. En factorisant $\cos(t) + \cos(2t)$, déterminer le signe de cette expression.

Démonstration des formules d'addition de tangente.

Applications

Notions rencontrées :

Application, image, antécédent. Traductions en quantificateurs. Représentations d'applications avec des ensembles ou sous forme de graphe.

Image directe ou réciproque d'un ensemble par une application. Conjectures de leurs valeurs à l'aide du graphe.

Cas particuliers: famille d'éléments d'un ensemble, application identité, fonction indicatrice.

Restriction, prolongement. Composée (condition de définition et formule).

Injection/fonction injective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est injective ou non injective. Composée de deux injections. Cas particulier des fonctions réelles strictement monotones.

Surjection/fonction surjective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est surjective ou non surjective. Composée de deux surjections.

Bijections/fonction bijective. Application réciproque. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque. Relation $ x = f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y = f(x)$. Composée de deux bijections, réciproque de la composée.

À savoir faire en particulier :

Montrer que la fonction $g$ définie de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ par $n \mapsto 2n+2$ est injective et non surjective.

Montrer que la fonction $h$ définie de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ par $(x,y,z) \mapsto (x+2y,x-z)$ est surjective et non injective.

Montrer que $x \mapsto e^{x-1} + 2$ est bijective de $\mathbb{R}$ dans $]2,+\infty[$ et déterminer l'expression de sa réciproque. On justifiera soigneusement les équivalences.

Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Petits systèmes et inégalités

Notions rencontrées :

Définition d'un système linéaire, de ce que signifie résoudre, de deux systèmes équivalents, d'un p-uplet solution.

Présentation des opérations élémentaires de résolution (échange de deux lignes, multiplication par un réel, combinaison linéaire) et de la façon dont on les note. La résolution doit se limiter à des systèmes de petite taille, peu calculatoires (les matrices n'ont pas encore été vues).

Notion de relation d'ordre, opérations sur les inégalités (somme, produit, passage à l'inverse…). Méthodes d'encadrement de sommes ou de fractions, méthode de résolution d'inéquations.

Définition d'intervalle, majorant, minorant, ensemble majoré, minoré, borné. Définition de maximum, minimum. Théorème de la borne supérieure.

Valeur absolue et manipulations usuelles (dans une équation, dans une somme ou intégrale). Interprétation de $ |x-a| \leq b $ en terme de distance. Inégalité triangulaire.

Partie entière, manipulation des inégalités associées, partie réelle de la somme d'un réel et d'un entier.

À savoir faire en particulier :

Résolution de $ \frac{\ln(x)}{2-x} < 0 $ en justifiant soigneusement les équivalences.

Démonstration de l'inégalité triangulaire pour une somme de deux termes.

Déterminer les $x \in \mathbb{R}$ pour lesquels $ \lfloor \frac{2x}{3} \rfloor = 4 $.

Trigonométrie

Notions rencontrées :

Définition de la congruence modulo $2\pi$.

Définition de tangente comme quotient de sinus et cosinus. Lecture de sinus, cosinus, tangente sur le cercle trigonométrique.

Transformations affines usuelles: valeur de sinus, cosinus, tangente en $-x$, $\pi + x$, $\pi-x$. Valeur de cosinus et sinus en $\frac{\pi}{2}+x$ et $\frac{\pi}{2} - x$.

Cosinus, sinus, tangente des angles usuels (valeurs sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ à connaître, les autres sont à retrouver avec les transformations affines usuelles).

Équations trigonométriques: résolution de $\cos(x) = \cos(y)$, de $\sin(x) = \sin(y)$.

Formules d'addition de cosinus, sinus, tangente. Formules de duplication, formules de linéarisation du carré.

Étude de sinus, cosinus et tangente en tant que fonctions : parité, périodicité, tracé du graphe, dérivabilité et valeur des dérivées. Inégalité $|\sin(x)| \leq |x|$.

À savoir faire en particulier :

Résolution de $2 \cos(4x) + 1 = 0$ sur $[-\pi,\pi]$.

Soit $t \in [-\pi,\pi]$. En factorisant $\cos(t) + \cos(2t)$, déterminer le signe de cette expression.

Démonstration des formules d'addition de tangente.

Document de 4 Mo, dans SII/Cours-TD

Document de 1012 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 833 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 358 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 157 ko, dans Mathématiques/S1-07-Ensemble des nombres complexes

Document de 263 ko, dans Mathématiques/S1-07-Ensemble des nombres complexes

Document de 297 ko, dans Mathématiques/S1-05-Trigonométrie

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Petits systèmes et inégalités ou de la fiche Trigonométrie (sauf exercice 4 de la fiche Trigonométrie).