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Variables aléatoires

Notions rencontrées :

Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.

Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.

Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.

Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.

Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.

Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.

Lemme des coalitions.

Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.

On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.

Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Matrices et applications linéaires

Notions rencontrées :

Vecteur colonne des coordonnées d'un vecteur dans une base. Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire (ou d'un endomorphisme) dans des bases.

Interprétation de l'image d'un vecteur par une application linéaire comme produit matriciel. L'application qui à $f$ associe sa matrice dans des bases fixées est un automorphisme. Matrice d'une composée d'applications linéaires. Isomorphismes et inversibilité de la matrice.

Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Noyau, image et rang d'une matrice. Cas particulier des matrices carrées de rang $n$. Toute matrice carrée inversible à droite ou à gauche est inversible. Rang de la transposée.

Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonne) d'une matrice préservent son noyau (resp. image). Les opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes préservent le rang. Méthode concrète de détermination du rang par des opérations élémentaires.

Matrice de passage entre deux bases. Inversibilité et valeur de l'inverse.

Formule de changement de base pour un vecteur. Formule de changements de bases pour une application linéaire. Cas particulier des endomorphismes. Matrices semblables.

Lien du noyau/rang d'une matrice avec les solutions d'un système linéaire homogène. Système linéaire compatible et lien avec l'image. Système linéaire de Cramer. Solution d'un système de Cramer.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'interprétation matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire (équivalence entre $y = f(x)$ et $Y=AX$).

Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases déterminées à l’avance est inversible.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Énoncer et démontrer le lien entre inversibilité de $A$, $\text{Ker}(A)$, $\text{Im}(A)$ et $\text{rg}(A)$.

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Pas de devoir maison (en raison du DS prévu ce jour-là).

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Le soutien se fera désormais le MARDI entre 12h30 et 13h en salle 26 au lieu du jeudi.

Merci de prendre en compte ce changement.

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Intégration

Notions rencontrées :

Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.

Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.

Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.

Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.

Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.

Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)

Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.

À savoir faire en particulier :

Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $

Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.

Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.

Variables aléatoires

Notions rencontrées :

Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.

Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.

Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.

Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.

Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.

Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.

Lemme des coalitions.

Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.

On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.

Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Variables aléatoires.

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Applications linéaires - Approfondissements

Notions rencontrées :

Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.

Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.

Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.

Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.

Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.

Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.

Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.

En se ramenant à une équation linéaire (l'utilisation directe de la formule arithmético-géométrique est donc proscrite), déterminer les suites réelles vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2 u_n + 3$.

Intégration

Notions rencontrées :

Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.

Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.

Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.

Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.

Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.

Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)

Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.

À savoir faire en particulier :

Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $

Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.

Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

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Document de 246 ko, dans Mathématiques/S2-10-Variables aléatoires

Pas de devoir maison (en raison du DS du 5 avril).

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