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Rédiger au propre un exercice au choix (sauf exercices 1,2,12) de la fiche Sommes et produits.

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Rudiments de logique

Notions rencontrées :

Notion de proposition, "ou" et "et" mathématiques, propriétés relatives à la négation.

Définition et manipulation d'une implication, d'une réciproque, d'une équivalence. Condition nécessaire, condition suffisante.

Quantificateurs ∀, ∃, ∃!, importance de l'ordre, négation des quantificateurs. Traduction de phrases mathématiques en français sous forme de quantificateurs, passage à la négation.

Les différents modes de raisonnement : utilisation d'un exemple/contre-exemple, raisonnement par disjonction de cas, par récurrence (simple, double, forte), par contraposition, par l'absurde, par analyse-synthèse.

À savoir faire en particulier :

Conjecturer le terme général de la suite définie par $u_0=1$, $u_1=3$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = 2 u_{n+1} + 3 u_n$, puis montrer cette conjecture par récurrence double.

Montrer par contraposition que pour tout entier $n$, $n^2$ est pair $\Rightarrow n$ est pair.

Déterminer par analyse-synthèse les solutions réelles de $\sqrt{6+x}=x$.

Ensembles

Notions rencontrées :

Ensemble/élément, cas particulier de l'ensemble vide. Notion d'ensemble fini ou dénombrable. Notation d'un ensemble avec des accolades.

Inclusion, égalité. Montrer une égalité d'ensembles par double inclusion doit être un réflexe.

Ensemble des parties d'un ensemble, produit cartésien.

Complémentaire d'un ensemble dans un autre, notation $\overline{A}$.

Intersection de $A$ et $B$, différence de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.

Réunion de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.

Distributivité de l'union/intersection. Passage au complémentaire dans une union/intersection.

Ensembles disjoints, ensembles deux à deux disjoints, notion de partition (ou recouvrement disjoint).

Ensembles usuels : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$.

Multiple, diviseur, théorème de division euclidienne sur les entiers. PGCD, PPCM (sans introduction de notation particulière).

Nombre premier, décomposition en produit de facteurs premiers, application au calcul du PGCD et du PPCM. L'ensemble des nombres premiers est infini.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que $A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D) $.

Démontrer l'unicité du théorème de division euclidienne sur les entiers.

Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.

Sommes et produits

Notions rencontrées :

Somme, notation $\Sigma$. Notion d'indice, de bornes. Nombre de termes d'une somme. Somme des premiers entiers, somme des carrés des premiers entiers. Linéarité de la somme.

Changements d'indices par translation, par retournement. Regroupement des termes pairs et impairs. Télescopages.

Sommes des termes d'une suite géométrique. Factorisation de $a^n - b^n$.

Produit de deux sommes. Manipulations sur les sommes doubles.

Produit, notation $\Pi$. Règles de calcul (nombres de termes, changements d'indices, télescopage, multiplication par un scalaire dans le produit). Factorielle, relation $ (n+1)! = n! (n+1) $.

Définition numérique des coefficients binomiaux. Calcul de termes simples. Formule de Pascal, $ \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p} $, $ \binom{n}{p} = \frac{n}{p} \binom{n-1}{p-1}$, formule du binôme de Newton.

À savoir faire en particulier :

Démontrer la formule de somme télescopique avec un changement d'indice (sans utiliser de point de suspension).

Démontrer la formule du binôme de Newton.

Calcul de $ \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} $, en prêtant particulièrement attention aux hypothèses des formules utilisées.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Rudiments de logique

Notions rencontrées :

Notion de proposition, "ou" et "et" mathématiques, propriétés relatives à la négation.

Définition et manipulation d'une implication, d'une réciproque, d'une équivalence. Condition nécessaire, condition suffisante.

Quantificateurs ∀, ∃, ∃!, importance de l'ordre, négation des quantificateurs. Traduction de phrases mathématiques en français sous forme de quantificateurs, passage à la négation.

Les différents modes de raisonnement : utilisation d'un exemple/contre-exemple, raisonnement par disjonction de cas, par récurrence (simple, double, forte), par contraposition, par l'absurde, par analyse-synthèse.

À savoir faire en particulier :

Conjecturer le terme général de la suite définie par $u_0=1$, $u_1=3$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = 2 u_{n+1} + 3 u_n$, puis montrer cette conjecture par récurrence double.

Montrer par contraposition que pour tout entier $n$, $n^2$ est pair $\Rightarrow n$ est pair.

Déterminer par analyse-synthèse les solutions réelles de $\sqrt{6+x}=x$.

Ensembles

Notions rencontrées :

Ensemble/élément, cas particulier de l'ensemble vide. Notion d'ensemble fini ou dénombrable. Notation d'un ensemble avec des accolades.

Inclusion, égalité. Montrer une égalité d'ensembles par double inclusion doit être un réflexe.

Ensemble des parties d'un ensemble, produit cartésien.

Complémentaire d'un ensemble dans un autre, notation $\overline{A}$.

Intersection de $A$ et $B$, différence de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.

Réunion de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.

Distributivité de l'union/intersection. Passage au complémentaire dans une union/intersection.

Ensembles disjoints, ensembles deux à deux disjoints, notion de partition (ou recouvrement disjoint).

Ensembles usuels : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$.

Multiple, diviseur, théorème de division euclidienne sur les entiers. PGCD, PPCM (sans introduction de notation particulière).

Nombre premier, décomposition en produit de facteurs premiers, application au calcul du PGCD et du PPCM. L'ensemble des nombres premiers est infini.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que $A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D) $.

Démontrer l'unicité du théorème de division euclidienne sur les entiers.

Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.

The reference for the grammar book is still the same but the ISBN for the vocab book has changed, as there is a new version of it since March 2025. Here is the latest ISBN: 9782708017153

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