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Probabilités

Notions rencontrées :

Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.

Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.

Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.

On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?

Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.

Applications linéaires - Introduction

Notions rencontrées :

Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.

Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.

Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.

Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.

Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.

Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.

Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.

À savoir faire en particulier :

Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.

Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$

Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 250 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 216 ko, dans Informatique/TP

Document de 0 ko, dans Informatique/TP

Document de 767 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part4_Chimie_Organique/ChapO3_Substitutions et Eliminations

Document de 568 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA2_Acide_Bases

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Application linéaires : introduction.

Document de 86 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS4

Document de 93 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS4

Document de 159 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Programmes de colle

Document de 371 ko, dans Mathématiques/S2-06-Probabilités

Document de 225 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 165 ko, dans Mathématiques/S2-07-Applications linéaires : introduction

Document de 225 ko, dans Mathématiques/S2-07-Applications linéaires : introduction

Document de 146 ko, dans Mathématiques/S2-07-Applications linéaires : introduction

Développements limités et études locales

Notions rencontrées :

Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.

Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.

Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.

Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.

Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.

Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.

Probabilités

Notions rencontrées :

Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.

Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.

Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.

On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?

Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.

Document de 561 ko, dans Mathématiques/S2-05-Développements limités et études locales

Pas de devoir maison (en raison du DS du samedi précédent).

Document de 799 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS4

Document de 457 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS4

Document de 97 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 174 ko, dans Chimie PC 2ème sem/TP/TP_Jus_Orange

Document de 273 ko, dans Chimie PC 2ème sem/TP/TP_Jus_Orange

Document de 156 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Programmes de colle

Document de 415 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part4_Chimie_Organique/ChapO3_Substitutions et Eliminations

Document de 634 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part4_Chimie_Organique/ChapO3_Substitutions et Eliminations

Document de 6 ko, dans Chimie PC 2ème sem/TP/TP9_Titrages_Melanges

Document de 4 ko, dans Chimie PC 2ème sem/TP/TP9_Titrages_Melanges

Document de 156 ko, dans Mathématiques/S2-06-Probabilités

Document de 189 ko, dans Mathématiques/S2-06-Probabilités

Document de 72 ko, dans Mathématiques/S2-06-Probabilités

Espaces vectoriels de dimension finie

Notions rencontrées :

Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.

Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.

Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.

Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.

Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.

Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.

Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.

À savoir faire en particulier :

Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice, au choix du colleur) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.

Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$

Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.

Développements limités et études locales

Notions rencontrées :

Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.

Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.

Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.

Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.

Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.

Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.

Document de 1 Mo, dans SII/Cours-TD

Document de 411 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 487 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 717 ko, dans SII/Cours-TD

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Développements limités et études locales.

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 122 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 120 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 406 ko, dans Mathématiques/S2-04-Espaces vectoriels de dimension finie

Document de 217 ko, dans Mathématiques/S2-05-Développements limités et études locales

Document de 201 ko, dans Mathématiques/S2-05-Développements limités et études locales

Document de 68 ko, dans Mathématiques/S2-05-Développements limités et études locales

Document de 320 ko, dans Informatique/TP

Document de 215 ko, dans Informatique/TP

Dénombrement

Notions rencontrées :

Cardinal. Partie d'un ensemble et lien avec le cardinal. Formule de somme (cas disjoint et cas général). Formule de partition. Formule de différence. Formule du complémentaire. Formule du produit.

Principe des tiroirs. Lien entre injective, surjective, bijective pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal du nombre d'applications entre deux ensembles finis.

Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.

$p$-liste d'un ensemble, $p$-liste d'éléments distincts. Permutations. Dénombrements associés.

Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Dénombrement associé.

Rappel des formules de Pascal et du binôme de Newton.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de la formule de cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.

Démonstration combinatoire de la formule de Pascal.

Démonstration combinatoire de la formule $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$.

Espaces vectoriels de dimension finie

Notions rencontrées :

Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.

Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.

Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.

Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.

Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.

Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.

Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.

À savoir faire en particulier :

Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice, au choix du colleur) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.

Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$

Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.

Document de 232 ko, dans Chimie PC 2ème sem/TP/TP8_Titrages_Colorimetrie

Document de 255 ko, dans Chimie PC 2ème sem/TP/TP8_Titrages_Colorimetrie

Document de 303 ko, dans Chimie PC 2ème sem/TP

Document de 210 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/TP7_Partage

Document de 262 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/TP7_Partage

Document de 730 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part1_Transformation_Matiere

Document de 277 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA2_Acide_Bases

Document de 367 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA2_Acide_Bases

Document de 128 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Programmes de colle

Document de 258 ko, dans Informatique/TP

Document de 1 Mo, dans SII/TP

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Espaces vectoriels de dimension finie.