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 Colles du 5/05 en Mathématiques

Publication le 16/04 à 08h33

Variables aléatoires

Un arbre de probabilités ne constitue toujours pas une justification suffisante.

Notions rencontrées :

Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.

Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.

Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.

Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.

Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.

Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.

Lemme des coalitions.

Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.

On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.

Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Matrices et applications linéaires

Notions rencontrées :

Vecteur colonne des coordonnées d'un vecteur dans une base. Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire (ou d'un endomorphisme) dans des bases.

Interprétation de l'image d'un vecteur par une application linéaire comme produit matriciel. L'application qui à $f$ associe sa matrice dans des bases fixées est un automorphisme. Matrice d'une composée d'applications linéaires. Isomorphismes et inversibilité de la matrice.

Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Noyau, image et rang d'une matrice. Cas particulier des matrices carrées de rang $n$. Toute matrice carrée inversible à droite ou à gauche est inversible. Rang de la transposée.

Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonne) d'une matrice préservent son noyau (resp. image). Les opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes préservent le rang. Méthode concrète de détermination du rang par des opérations élémentaires.

Matrice de passage entre deux bases. Inversibilité et valeur de l'inverse.

Formule de changement de base pour un vecteur. Formule de changements de bases pour une application linéaire. Cas particulier des endomorphismes. Matrices semblables.

Lien du noyau/rang d'une matrice avec les solutions d'un système linéaire homogène. Système linéaire compatible et lien avec l'image. Système linéaire de Cramer. Solution d'un système de Cramer.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'interprétation matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire (équivalence entre $y = f(x)$ et $Y=AX$).

Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases déterminées à l’avance est inversible.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Énoncer et démontrer le lien entre inversibilité de $A$, $\text{Ker}(A)$, $\text{Im}(A)$ et $\text{rg}(A)$.

 SII-PCSI-S07-polyTD_ModAM_corr (mise à jour)

Publication le 15/04 à 19h10 (publication initiale le 11/03 à 10h47)

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 Pour le lundi 5 mai [Mathématiques/Devoirs maison]

Publication le 14/04 à 08h00

Pas de devoir maison (en raison du DS prévu ce jour-là).

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 Modification du créneau de soutien en anglais

Publication le 09/04 à 11h19

Le soutien se fera désormais le MARDI entre 12h30 et 13h en salle 26 au lieu du jeudi.

Merci de prendre en compte ce changement.

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Publication le 08/04 à 16h09

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Publication le 08/04 à 16h09

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 Colles du 14/04 en Mathématiques

Publication le 08/04 à 16h05

Intégration

Notions rencontrées :

Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.

Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.

Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.

Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.

Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.

Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)

Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.

À savoir faire en particulier :

Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $

Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.

Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.

Variables aléatoires

Un arbre de probabilités ne constitue toujours pas une justification suffisante.

Notions rencontrées :

Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.

Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.

Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.

Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.

Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.

Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.

Lemme des coalitions.

Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.

On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.

Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

 SII-PCSI-S07-cours_frottement_pres

Publication le 08/04 à 09h03

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 ChapSA4_Oxydo_Reduction

Publication le 07/04 à 09h25

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 TDSA4_Reactions_OR

Publication le 07/04 à 09h25

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 Correction_TDSA3_Solubilite

Publication le 07/04 à 09h25

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 Cours Variables aléatoires

Publication le 07/04 à 08h29

Document de 288 ko, dans Mathématiques/S2-10-Variables aléatoires

 Pour le lundi 14 avril [Mathématiques/Devoirs maison]

Publication le 07/04 à 08h00

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Variables aléatoires.

 Info-TP12_sujet

Publication le 04/04 à 17h10

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 Info-TP12_donnees

Publication le 04/04 à 17h10

Document de 115 ko, dans Informatique/TP

 Info-TP11_corrige

Publication le 04/04 à 17h09

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 Programme_Colle_24

Publication le 04/04 à 10h36

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 Exercices Matrices et applications linéaires_résultats

Publication le 02/04 à 09h02

Document de 228 ko, dans Mathématiques/S2-11-Matrices et applications linéaires

 Exercices Matrices et applications linéaires

Publication le 02/04 à 09h02

Document de 175 ko, dans Mathématiques/S2-11-Matrices et applications linéaires

 Cours Matrices et applications linéaires - Poly élève

Publication le 02/04 à 09h02

Document de 241 ko, dans Mathématiques/S2-11-Matrices et applications linéaires

 Cours Intégration

Publication le 02/04 à 09h00

Document de 324 ko, dans Mathématiques/S2-09-Intégration

 Colles du 7/04 en Mathématiques

Publication le 01/04 à 15h24

Applications linéaires - Approfondissements

Notions rencontrées :

Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.

Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.

Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.

Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.

Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.

Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.

Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.

En se ramenant à une équation linéaire (l'utilisation directe de la formule arithmético-géométrique est donc proscrite), déterminer les suites réelles vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2 u_n + 3$.

Intégration

Notions rencontrées :

Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.

Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.

Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.

Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.

Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.

Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)

Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.

À savoir faire en particulier :

Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $

Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.

Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.

 Colles du 7/04 en SII

Publication le 01/04 à 09h35

 prg-colle-SII-24

Publication le 01/04 à 09h34

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

 Exercices Variables aléatoires

Publication le 31/03 à 08h32

Document de 166 ko, dans Mathématiques/S2-10-Variables aléatoires

 Cours Variables aléatoires - Poly élève

Publication le 31/03 à 08h32

Document de 246 ko, dans Mathématiques/S2-10-Variables aléatoires

 Pour le lundi 7 avril [Mathématiques/Devoirs maison]

Publication le 31/03 à 08h00

Pas de devoir maison (en raison du DS du 5 avril).

 TDSA3_Solubilite

Publication le 31/03 à 07h04

Document de 277 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA3_Solubilite

 ChapSA3_Solubilite

Publication le 31/03 à 07h04

Document de 379 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA3_Solubilite

 TDSA2_Reactions_AB

Publication le 31/03 à 07h03

Document de 277 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA2_Acide_Base

 Correction_TDSA2_Reactions_AB

Publication le 31/03 à 07h03

Document de 568 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA2_Acide_Base

 ChapSA2_Reaction_AB

Publication le 31/03 à 07h03

Document de 369 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part5_Solutions_Aqueuses/ChapSA2_Acide_Base

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