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Calcul de primitives

Notions rencontrées :

Primitive, ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle. Linéarité, règles de calcul. Primitives usuelles. Le cas particulier de la primitive de $ x \mapsto f(ax+b) $ est traité.

Théorème fondamental de l'analyse (admis). Calcul d'une intégrale à l'aide de primitives. Exemples. Relation de Chasles.

Intégration par parties, formule et exemples de contextes où on l'utilise.

Formule de changement de variables, exemples et cas particulier d'une fonction bijective.

Utilisation de linéarisation (via les formules d'Euler) ou passage par une exponentielle complexe pour obtenir une primitive.

Primitive de $ t \mapsto \frac{1}{at^2+bt+c}$ en fonction de la valeur du discriminant.

À savoir faire en particulier :

Calculer $\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$ par intégrations par parties.

Calculer $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$ en posant $t = \cos(x)$.

Calculer $\int_0 ^1 \sqrt{1-x^2} dx$ en posant $x = \cos(t)$ (attention aux signes).

Déterminer une primitive de $t \to e^{2t} \cos(5t)$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant des exponentielles complexes.

Matrices et systèmes linéaires

Notions rencontrées :

Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.

Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.

Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.

Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.

Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.

Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.

Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.

À savoir faire en particulier :

Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.

Démonstration de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Calcul de primitives ou de la fiche Matrices et systèmes linéaires (sauf exercices 1, 2 et 3 de la fiche Matrices et systèmes linéaires).

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Applications des nombres complexes

Notions rencontrées :

Racines d'un nombre complexe. Calcul depuis la forme exponentielle et depuis la forme algébrique. Résolution d'équations de degré 2 à coefficients complexes. Expressions de la somme et du produit des racines.

Racines $n$-ièmes de l'unité, définition, nombre, expression et tracé sur le cercle trigonométrique. Valeur de la somme des racines. Extension aux racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.

Exponentielle d'un nombre complexe, définition. Le module vaut $e^{Re(z)}$ et un argument est $Im(z)$. Règles de calcul. La non-définition de logarithme sur les complexes a été évoquée et répétée.

Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle. Cas particulier des compositions avec l'exponentielle.

Interprétation géométrique de $\frac{c-a}{b-a}$ (module et argument), lien avec les conditions pour avoir des points alignés, des droites orthogonales.

Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.

À savoir faire en particulier :

Démonstration que si $z \in \mathbb{C}^*$, l'équation $t^2 = z$ d'inconnue $t$ admet exactement deux solutions opposées.

Déterminer les racines complexes de $3+4i$ en effectuant les calculs sous forme algébrique.

Déterminer les solutions complexes à l'équation $\exp(z)=1+i$.

Calcul de primitives

Notions rencontrées :

Primitive, ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle. Linéarité, règles de calcul. Primitives usuelles. Le cas particulier de la primitive de $ x \mapsto f(ax+b) $ est traité.

Théorème fondamental de l'analyse (admis). Calcul d'une intégrale à l'aide de primitives. Exemples. Relation de Chasles.

Intégration par parties, formule et exemples de contextes où on l'utilise.

Formule de changement de variables, exemples et cas particulier d'une fonction bijective.

Utilisation de linéarisation (via les formules d'Euler) ou passage par une exponentielle complexe pour obtenir une primitive.

Primitive de $ t \mapsto \frac{1}{at^2+bt+c}$ en fonction de la valeur du discriminant.

À savoir faire en particulier :

Calculer $\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$ par intégrations par parties.

Calculer $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$ en posant $t = \cos(x)$.

Calculer $\int_0 ^1 \sqrt{1-x^2} dx$ en posant $x = \cos(t)$ (attention aux signes).

Déterminer une primitive de $t \to e^{2t} \cos(5t)$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant des exponentielles complexes.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Étude de suites

Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).

Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.

Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.

Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.

Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.

Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.

À savoir faire en particulier :

Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Applications des nombres complexes

Notions rencontrées :

Racines d'un nombre complexe. Calcul depuis la forme exponentielle et depuis la forme algébrique. Résolution d'équations de degré 2 à coefficients complexes. Expressions de la somme et du produit des racines.

Racines $n$-ièmes de l'unité, définition, nombre, expression et tracé sur le cercle trigonométrique. Valeur de la somme des racines. Extension aux racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.

Exponentielle d'un nombre complexe, définition. Le module vaut $e^{Re(z)}$ et un argument est $Im(z)$. Règles de calcul. La non-définition de logarithme sur les complexes a été évoquée et répétée.

Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle. Cas particulier des compositions avec l'exponentielle.

Interprétation géométrique de $\frac{c-a}{b-a}$ (module et argument), lien avec les conditions pour avoir des points alignés, des droites orthogonales.

Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.

À savoir faire en particulier :

Démonstration que si $z \in \mathbb{C}^*$, l'équation $t^2 = z$ d'inconnue $t$ admet exactement deux solutions opposées.

Déterminer les racines complexes de $3+4i$ en effectuant les calculs sous forme algébrique.

Déterminer les solutions complexes à l'équation $\exp(z)=1+i$.

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Étude de suites ou de la fiche Applications des nombres complexes (sauf exercice 1 de la fiche Application des nombres complexes).

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Généralités sur les fonctions réelles

Notions rencontrées :

Règles de calcul. Représentation graphique de $ x \to f(-x)$, $-f(x)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$, $f(ax)$, $af(x)$. Fonctions paires, impaires, périodiques et représentations graphiques.

Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.

Fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions monotones.

Fonction dérivable, dérivée en un point, tangente à la courbe. Opérations sur les fonctions dérivables, formulaire des dérivées usuelles. Lien entre dérivée et variations. Applications à l'établissement d'inégalités.

Fonction réciproque : représentation graphique et calcul de dérivée dans le cas d'une fonction bijective dérivable et strictement monotone.

Dérivées d'ordre supérieur (définition et c'est tout)

Fonctions usuelles : logarithme (népérien ou en base $a$), exponentielle, puissances (y compris non entières). Définition, variations, règles de calcul. Croissances comparées.

Fonctions circulaires réciproques : $\arctan$, $\arccos$, $\arcsin$. Définitions, variations, courbes, dérivabilité.

Fonctions sinus et cosinus hyperbolique. Variations, dérivabilité, courbe. $\text{ch}^2 - \text{sh}^2 = 1 $

À savoir faire en particulier :

Montrer $\forall x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1+x$ ou $\forall x \in ]-1,+\infty[$, $\ln(1+x) \leq x$.

Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, dérivabilité et calcul de dérivée de $ x \mapsto x^\alpha $ (par composition).

Bonne définition et dérivabilité/dérivée de $\arctan$, $\arcsin$ ou $\arccos$ (au choix du colleur).

Étude de suites

Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).

Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.

Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.

Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.

Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.

Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.

À savoir faire en particulier :

Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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