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Limites et continuité

Notions rencontrées :

Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.

Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.

Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.

Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone.

Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.

Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (construction des suites pour la dichotomie et grandes lignes de ce qu’il faut montrer avec).

Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.

Démonstration du théorème de la bijection (sauf continuité de la réciproque).

Équations différentielles

Notions rencontrées :

Équations différentielles $y' + a(t) y = b(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Résolution de l'équation homogène.

Recherche de solution particulière par variation de la constante, ou en testant des formes données quand $a$ est constante (cas d'un $b(t)$ constant, polynomial, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$)

Résolution de l'équation $y' + a(t) y = b(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

Équations différentielles $y'' + ay' + by = f(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Équation caractéristique, résolution de l'équation homogène en fonction des valeurs des racines (cas des fonctions réelles et cas des fonctions complexes).

Recherche de solution particulière dans le cas où $f(t)$ est constante, polynomiale, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$.

Résolution de l'équation $y'' + ay' + by = f(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du principe de superposition (pour l'ordre 1 ou l'ordre 2).

Démonstration de l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y' + a(t) y = 0$.

Résoudre le problème de Cauchy $y''-4y'+3y = \sin(2t)$, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

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Document de 413 ko, dans Chimie 1er semestre/Cours/Part3_Structure_Molecules_Organiques/ChapM1_Representation_Nomenclature

Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Matrices et systèmes linéaires

Notions rencontrées :

Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.

Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.

Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.

Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.

Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.

Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.

Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.

À savoir faire en particulier :

Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.

Démonstration de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.

Limites et continuité

Notions rencontrées :

Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.

Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.

Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.

Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone.

Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.

Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (construction des suites pour la dichotomie et grandes lignes de ce qu’il faut montrer avec).

Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.

Démonstration du théorème de la bijection (sauf continuité de la réciproque).

Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Calcul de primitives

Notions rencontrées :

Primitive, ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle. Linéarité, règles de calcul. Primitives usuelles. Le cas particulier de la primitive de $ x \mapsto f(ax+b) $ est traité.

Théorème fondamental de l'analyse (admis). Calcul d'une intégrale à l'aide de primitives. Exemples. Relation de Chasles.

Intégration par parties, formule et exemples de contextes où on l'utilise.

Formule de changement de variables, exemples et cas particulier d'une fonction bijective.

Utilisation de linéarisation (via les formules d'Euler) ou passage par une exponentielle complexe pour obtenir une primitive.

Primitive de $ t \mapsto \frac{1}{at^2+bt+c}$ en fonction de la valeur du discriminant.

À savoir faire en particulier :

Calculer $\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$ par intégrations par parties.

Calculer $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$ en posant $t = \cos(x)$.

Calculer $\int_0 ^1 \sqrt{1-x^2} dx$ en posant $x = \cos(t)$ (attention aux signes).

Déterminer une primitive de $t \to e^{2t} \cos(5t)$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant des exponentielles complexes.

Matrices et systèmes linéaires

Notions rencontrées :

Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.

Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.

Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.

Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.

Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.

Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.

Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.

À savoir faire en particulier :

Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.

Démonstration de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Calcul de primitives ou de la fiche Matrices et systèmes linéaires (sauf exercices 1, 2 et 3 de la fiche Matrices et systèmes linéaires).

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Document de 530 ko, dans Chimie 1er semestre/DS/DS2

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Document de 212 ko, dans Mathématiques/S1-11-Calcul de primitives

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