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Applications linéaires - Approfondissements

Notions rencontrées :

Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.

Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.

Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.

Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.

Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.

Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.

Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.

En se ramenant à une équation linéaire (l'utilisation directe de la formule arithmético-géométrique est donc proscrite), déterminer les suites réelles vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2 u_n + 3$.

Intégration

Notions rencontrées :

Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.

Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.

Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.

Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.

Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.

Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)

Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.

À savoir faire en particulier :

Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $

Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.

Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du 5 avril).

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Applications linéaires - Introduction

Notions rencontrées :

Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.

Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.

Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.

Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.

Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.

Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.

Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.

À savoir faire en particulier :

Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.

Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$

Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.

Applications linéaires - Approfondissements

Notions rencontrées :

Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.

Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.

Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.

Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.

Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.

Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.

Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.

En se ramenant à une équation linéaire (l'utilisation directe de la formule arithmético-géométrique est donc proscrite), déterminer les suites réelles vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2 u_n + 3$.

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Document de 216 ko, dans Informatique/TP

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Applications linéaires — approfondissements.

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Document de 220 ko, dans Mathématiques/S2-08-Applications linéaires : approfondissements

Probabilités

Notions rencontrées :

Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.

Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.

Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.

On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?

Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.

Applications linéaires - Introduction

Notions rencontrées :

Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.

Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.

Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.

Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.

Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.

Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.

Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.

À savoir faire en particulier :

Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.

Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$

Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 1 Mo, dans SII/Cours-TD

Document de 262 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 433 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 142 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS4

Document de 298 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS4

Document de 99 ko, dans SII/Cours-TD

Rédiger au propre un exercice au choix (sauf les 1 et 2) de la fiche Probabilités.

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Document de 415 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part4_Chimie_Organique/ChapO3_Substitutions et Eliminations

Document de 630 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Cours/Part4_Chimie_Organique/ChapO3_Substitutions et Eliminations

Document de 157 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Programmes de colle

Document de 165 ko, dans Mathématiques/S2-07-Applications linéaires : introduction

Document de 251 ko, dans Mathématiques/S2-07-Applications linéaires : introduction

Document de 146 ko, dans Mathématiques/S2-07-Applications linéaires : introduction

Développements limités et études locales

Notions rencontrées :

Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.

Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.

Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.

Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.

Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.

Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.

Probabilités

Notions rencontrées :

Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.

Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.

Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.

On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?

Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.

Pas de devoir maison (en raison du DS d'informatique du 14 mars).

Document de 120 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 120 ko, dans SII/programmes de colles