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Document de 312 ko, dans Mathématiques/S2-05-Développements limités et études locales

Espaces vectoriels de dimension finie

Notions rencontrées :

Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.

Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.

Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.

Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.

Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.

Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.

Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.

À savoir faire en particulier :

Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.

Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$

Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.

Développements limités et études locales

Notions rencontrées :

Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.

Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.

Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.

Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.

Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.

Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.

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Document de 475 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 398 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 700 ko, dans SII/Cours-TD

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Espaces vectoriels de dimension finie.

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Document de 275 ko, dans Mathématiques/S2-04-Espaces vectoriels de dimension finie

Dénombrement

Notions rencontrées :

Cardinal. Partie d'un ensemble et lien avec le cardinal. Formule de somme (cas disjoint et cas général). Formule de partition. Formule de différence. Formule du complémentaire. Formule du produit.

Principe des tiroirs. Lien entre injective, surjective, bijective pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal du nombre d'applications entre deux ensembles finis.

Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.

$p$-liste d'un ensemble, $p$-liste d'éléments distincts. Permutations. Dénombrements associés.

Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Dénombrement associé.

Rappel des formules de Pascal et du binôme de Newton.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de la formule de cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.

Démonstration combinatoire de la formule de Pascal.

Démonstration combinatoire de la formule $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$.

Espaces vectoriels de dimension finie

Notions rencontrées :

Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.

Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.

Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.

Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.

Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.

Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.

Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.

À savoir faire en particulier :

Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.

Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$

Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du 20 février).

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Document de 272 ko, dans Mathématiques/S2-02-Relations asymptotiques

Relations asymptotiques

Notions rencontrées :

Relation d'équivalence entre fonctions: définition, transitivité, lien avec les limites, conservation du signe. Règles de calcul : produit, quotient, puissances, valeur absolue, composition à droite. Interdiction de sommer ou de composer à gauche.

Équivalents usuels au voisinage de $0$ de $\ln(1+x)$, $e^x-1$, $\sin(x)$, $\cos(x)-1$, $(1+x)^\alpha - 1$, $\text{sh}(x)$, $\text{ch}(x) - 1$, $\tan(x)$, $\arctan(x)$.

Relation d'équivalence entre les suites, adaptation des résultats précédents.

Domination et négligeabilité entre fonctions: définition, comparaison avec $1$, transitivité. Règles de calcul : somme, produit, passage à la puissance, composition à droite.

Relation entre équivalence et négligeabilité: $ f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) \underset{x \to a}{=} o(g(x))$. Remplacement dans un petit o par une fonction équivalente.

Négligeabilités classiques (obtenues par croissances comparées).

Relation de domination ou négligeabilité entre suites: adaptation des résultats précédents.

À savoir faire en particulier :

Démontrer une formule d'équivalent classique au voisinage de $0$ (au choix du colleur)

Retrouver la limite de la suite définie par $u_n = (1 + \frac{1}{n})^n $ (ou une de ses variantes)

Soit $u$ une suite qui vérifie $u_n = -2 + \frac{3}{n} + \frac{4}{n\ln(n)} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ Déterminer les limites de $(u_n)$, $((u_n+2)n)$ et $((u_n+2-\frac{3}{n})n^2)$.

Dénombrement

Notions rencontrées :

Cardinal. Partie d'un ensemble et lien avec le cardinal. Formule de somme (cas disjoint et cas général). Formule de partition. Formule de différence. Formule du complémentaire. Formule du produit.

Principe des tiroirs. Lien entre injective, surjective, bijective pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal du nombre d'applications entre deux ensembles finis.

Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.

$p$-liste d'un ensemble, $p$-liste d'éléments distincts. Permutations. Dénombrements associés.

Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Dénombrement associé.

Rappel des formules de Pascal et du binôme de Newton.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de la formule de cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.

Démonstration combinatoire de la formule de Pascal.

Démonstration combinatoire de la formule $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$.

Document de 123 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 206 ko, dans Mathématiques/S2-03-Dénombrement

Document de 335 ko, dans Mathématiques/S1-16-Dérivabilité

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Document de 128 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Programmes de colle

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 1 Mo, dans SII/Cours-TD

Document de 310 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 509 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 413 ko, dans SII/Cours-TD

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Document de 212 ko, dans Mathématiques/S2-02-Relations asymptotiques

Document de 191 ko, dans Mathématiques/S2-02-Relations asymptotiques

Document de 331 ko, dans Mathématiques/S2-01-Espaces vectoriels

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Dérivabilité

Notions rencontrées :

Dérivabilité en un point, lien avec une écriture de type $f(a+h) = f(a) + v h + v \epsilon(h)$ (les développements limités n'ont pas encore été vus par ailleurs), tangente à la courbe. Cas des dérivées à droite ou à gauche.

Toute fonction dérivable est continue. Dérivabilité sur un intervalle.

Opérations sur les fonctions dérivables: combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque.

Points critiques, caractérisation d'un extremum local par la dérivée.

Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, fonctions lispchitziennes, inégalité des accroissements finis. Application au cas des suites récurrentes.

Caractérisation des fonctions constantes et (strictement) monotones. Théorème de la limite de la dérivée.

Dérivées successives. Classe $C^1$, $C^2$, $C^{\infty}$.

Formulaire de dérivées successives. Opérations sur les dérivées. Formule de Leibniz.

Formule de composition pour les dérivées successives. Formule de réciproque.

Fonction convexe, concave. Interprétation géométrique. Convexité d'une fonction une ou deux fois dérivable.

Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes. Cas des accroissements finis.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de la caractérisation d'un extremum par la dérivée.

Démontrer qu'une fonction dérivable est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée est positive sur $I$.

Espaces vectoriels

Notions rencontrées :

Définition, notion d'élément neutre, d'opposé, de vecteur, de scalaire. $ \lambda \cdot x = 0_E \Longleftrightarrow \lambda = 0 $ ou $ x = 0_E$.

Espaces classiques: $\mathbb{K}^n$, matrices, polynômes, suites, fonctions, produit cartésien d'espaces vectoriels.

Notion de famille finie, de combinaison linéaire. Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel de $E$ contient toujours $0_E$. Intersection de sous-espaces vectoriels.

Sous-espace vectoriel engendré par une famille. Propriétés. Famille génératrice, propriétés (conditions d'ajout ou retrait de vecteurs). Famille libre, propriétés (conditions d'ajout ou retrait de vecteurs). Cas particulier des familles de polynômes échelonnées en degré.

Base, coordonnées. Bases canoniques des espaces usuels.

Somme de deux sous-espaces vectoriels. Somme directe. Propriétés. Sous-espaces vectoriels supplémentaires.

À savoir faire en particulier :

Montrer que $\mathbb{C}_n[X]$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.

Montrer qu'une intersection de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Montrer que $E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3|x=2y\}$ est un espace vectoriel et en déterminer une base.

Montrer que $\mathbb{R}_1[X]$ et $\text{Vect}(X^2)$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}_2[X]$.

Relations asymptotiques

Notions rencontrées :

Relation d'équivalence entre fonctions: définition, transitivité, lien avec les limites, conservation du signe. Règles de calcul : produit, quotient, puissances, valeur absolue, composition à droite. Interdiction de sommer ou de composer à gauche.

Équivalents usuels au voisinage de $0$ de $\ln(1+x)$, $e^x-1$, $\sin(x)$, $\cos(x)-1$, $(1+x)^\alpha - 1$, $\text{sh}(x)$, $\text{ch}(x) - 1$, $\tan(x)$, $\arctan(x)$.

Relation d'équivalence entre les suites, adaptation des résultats précédents.

Domination et négligeabilité entre fonctions: définition, comparaison avec $1$, transitivité. Règles de calcul : somme, produit, passage à la puissance, composition à droite.

Relation entre équivalence et négligeabilité: $ f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) \underset{x \to a}{=} o(g(x))$. Remplacement dans un petit o par une fonction équivalente.

Négligeabilités classiques (obtenues par croissances comparées).

Relation de domination ou négligeabilité entre suites: adaptation des résultats précédents.

À savoir faire en particulier :

Démontrer une formule d'équivalent classique au voisinage de $0$ (au choix du colleur)

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Espaces vectoriels.