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Espérance et variance

Notions rencontrées :

Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe. Expression alternative en sommant sur l'univers. Linéarité, inégalité triangulaire, positivité, croissance.

Formule de transfert. Espérance du produit dans le cas indépendant.

Variance et écart type d'une variable aléatoire réelle. Formule de $V(aX+b)$, formule de König-Huygens. Cas de la variance nulle.

Espérance et variance des lois usuelles : cas de les lois constante, de Bernoulli et binomiale.

Covariance de deux variables aléatoires et formule de König-Huygens. Application à la variance d'une somme de variables aléatoires.

Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Applications à $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, où les $X_i$ sont de même loi et indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de l'espérance d'une loi binomiale (en introduisant une somme de variables de Bernoulli ou par calcul direct, au choix du colleur)

Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$.

Démonstration de la formule donnant $V(X+Y)$.

Produits scalaires

Notions rencontrées :

Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien. Produits scalaires canoniques sur $\mathbb{R}^n$ et sur l'ensemble des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

Norme associée à un produit scalaire. Identités remarquables, formule de polarisation, inégalité de Cauchy-Schwarz (avec cas d'égalité), inégalité triangulaire (avec cas d'égalité).

Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie, propriétés de l'orthogonal. Familles orthogonales ou orthonormées. Théorème de Pythagore.

Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormées coordonnées dans une base orthonormée. Expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.

Somme directe avec l'orthogonal. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace vectoriel de dimension finie. Vecteur normal à un hyperplan.

Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie. Expression dans une base orthonormée.

Distance à une partie. Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, avec le cas d'égalité.

Démonstration de l'expression du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormée.

Construire une base orthonormale de $\mathbb{R}_2[X]$ pour le produit scalaire $(P|Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)dt$.

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Pas de devoir maison (jour férié).

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Séries

Notions rencontrées :

Série de terme général $u$, sommes partielles. Convergence et divergence d'une série, somme et reste d'une série convergente.

Condition nécessaire de convergence, utilisation de la contraposée pour montrer la divergence grossière.

Deux séries qui diffèrent d'un nombre fini de termes ont même nature. Linéarité des séries convergentes.

Séries de référence : séries géométriques, télescopiques, exponentielles pour les conditions de convergence et la valeur de la somme. Séries de Riemann pour les conditions de convergence.

Critères de convergence pour les séries à terme général réel positif : la série converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Condition de convergence par majoration du terme général, de divergence par minoration. Étude de la nature via la recherche d'équivalents.

Convergence absolue, lien avec la convergence.

Critère de convergence par domination ou négligeabilité.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du critère de convergence/divergence des séries géométriques.

Démonstration du critère de convergence/divergence de la série exponentielle.

Démonstration de la convergence de la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ dans le cas $\alpha > 1$, par comparaison avec une intégrale.

Déterminants

Notions rencontrées :

Définition d'une forme alternée, du déterminant d'une famille de vecteurs dans une base. Antisymétrie du déterminant.

Cas particulier des formules du déterminant dans une base en dimension $2$ et $3$. La règle de Sarrus est seulement évoquée comme moyen mnémotechnique. Lien avec l'aire algébrique d'un parallélogramme, le volume algébrique d'un parallélépipède.

Toute application de $E^n$ dans $\mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de $\det_B$. Relation $\det_{B'}(X) = \det_{B'}(B) \det_B(X) $. Une famille est une base si et seulement si son déterminant est non nul.

Déterminant d'un endomorphisme : définition, cas d'une composée, cas d'un automorphisme.

Déterminant d'une matrice carrée : définition comme déterminant de la famille des colonnes, lien avec le déterminant d'un endomorphisme. Déterminant d'un produit, d'une transposée. Caractérisation de l'inversibilité.

Calcul de déterminants par pivot de Gauss : effet des opérations élémentaires sur le déterminant, cas du déterminant d'une matrice triangulaire.

Calcul de déterminants par développement par ligne ou par colonne : formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne, choix judicieux de la ligne ou colonne à utiliser.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'expression du déterminant en dimension $2$.

Montrer que $X$ est une base de $E \Longleftrightarrow \det_B(X) \neq 0 $.

Démontrer l'effet de chaque opération élémentaire sur le déterminant.

Espérance et variance

Notions rencontrées :

Espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe. Expression alternative en sommant sur l'univers. Linéarité, inégalité triangulaire, positivité, croissance.

Formule de transfert. Espérance du produit dans le cas indépendant.

Variance et écart type d'une variable aléatoire réelle. Formule de $V(aX+b)$, formule de König-Huygens. Cas de la variance nulle.

Espérance et variance des lois usuelles : cas de les lois constante, de Bernoulli et binomiale.

Covariance de deux variables aléatoires et formule de König-Huygens. Application à la variance d'une somme de variables aléatoires.

Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Applications à $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, où les $X_i$ sont de même loi et indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration de l'espérance d'une loi binomiale (en introduisant une somme de variables de Bernoulli ou par calcul direct, au choix du colleur)

Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$.

Démonstration de la formule donnant $V(X+Y)$.

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

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Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Document de 624 ko, dans Chimie PC 2ème sem/DS/DS5

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Matrices et applications linéaires

Notions rencontrées :

Vecteur colonne des coordonnées d'un vecteur dans une base. Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire (ou d'un endomorphisme) dans des bases.

Interprétation de l'image d'un vecteur par une application linéaire comme produit matriciel. L'application qui à $f$ associe sa matrice dans des bases fixées est un automorphisme. Matrice d'une composée d'applications linéaires. Isomorphismes et inversibilité de la matrice.

Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Noyau, image et rang d'une matrice. Cas particulier des matrices carrées de rang $n$. Toute matrice carrée inversible à droite ou à gauche est inversible. Rang de la transposée.

Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonne) d'une matrice préservent son noyau (resp. image). Les opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes préservent le rang. Méthode concrète de détermination du rang par des opérations élémentaires.

Matrice de passage entre deux bases. Inversibilité et valeur de l'inverse.

Formule de changement de base pour un vecteur. Formule de changements de bases pour une application linéaire. Cas particulier des endomorphismes. Matrices semblables.

Lien du noyau/rang d'une matrice avec les solutions d'un système linéaire homogène. Système linéaire compatible et lien avec l'image. Système linéaire de Cramer. Solution d'un système de Cramer.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'interprétation matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire (équivalence entre $y = f(x)$ et $Y=AX$).

Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases déterminées à l’avance est inversible.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Énoncer et démontrer le lien entre inversibilité de $A$, $\text{Ker}(A)$, $\text{Im}(A)$ et $\text{rg}(A)$.

Séries

Notions rencontrées :

Série de terme général $u$, sommes partielles. Convergence et divergence d'une série, somme et reste d'une série convergente.

Condition nécessaire de convergence, utilisation de la contraposée pour montrer la divergence grossière.

Deux séries qui diffèrent d'un nombre fini de termes ont même nature. Linéarité des séries convergentes.

Séries de référence : séries géométriques, télescopiques, exponentielles pour les conditions de convergence et la valeur de la somme. Séries de Riemann pour les conditions de convergence.

Critères de convergence pour les séries à terme général réel positif : la série converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Condition de convergence par majoration du terme général, de divergence par minoration. Étude de la nature via la recherche d'équivalents.

Convergence absolue, lien avec la convergence.

Critère de convergence par domination ou négligeabilité.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du critère de convergence/divergence des séries géométriques.

Démonstration du critère de convergence/divergence de la série exponentielle.

Démonstration de la convergence de la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ dans le cas $\alpha > 1$, par comparaison avec une intégrale.

Déterminants

Notions rencontrées :

Définition d'une forme alternée, du déterminant d'une famille de vecteurs dans une base. Antisymétrie du déterminant.

Cas particulier des formules du déterminant dans une base en dimension $2$ et $3$. La règle de Sarrus est seulement évoquée comme moyen mnémotechnique. Lien avec l'aire algébrique d'un parallélogramme, le volume algébrique d'un parallélépipède.

Toute application de $E^n$ dans $\mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de $\det_B$. Relation $\det_{B'}(X) = \det_{B'}(B) \det_B(X) $. Une famille est une base si et seulement si son déterminant est non nul.

Déterminant d'un endomorphisme : définition, cas d'une composée, cas d'un automorphisme.

Déterminant d'une matrice carrée : définition comme déterminant de la famille des colonnes, lien avec le déterminant d'un endomorphisme. Déterminant d'un produit, d'une transposée. Caractérisation de l'inversibilité.

Calcul de déterminants par pivot de Gauss : effet des opérations élémentaires sur le déterminant, cas du déterminant d'une matrice triangulaire.

Calcul de déterminants par développement par ligne ou par colonne : formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne, choix judicieux de la ligne ou colonne à utiliser.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'expression du déterminant en dimension $2$.

Montrer que $X$ est une base de $E \Longleftrightarrow \det_B(X) \neq 0 $.

Démontrer l'effet de chaque opération élémentaire sur le déterminant.

Document de 1 Mo, dans SII/Cours-TD

Document de 968 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 459 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 810 ko, dans SII/Cours-TD

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Séries.

Document de 170 ko, dans Chimie PC 2ème sem/Programmes de colle

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Document de 210 ko, dans Mathématiques/S2-13-Déterminants

Document de 175 ko, dans Mathématiques/S2-13-Déterminants

Document de 174 ko, dans Mathématiques/S2-13-Déterminants

Document de 286 ko, dans Mathématiques/S2-12-Séries

Document de 386 ko, dans SII/Cours-TD

Variables aléatoires

Notions rencontrées :

Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.

Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.

Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.

Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.

Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.

Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.

Lemme des coalitions.

Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.

À savoir faire en particulier :

Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.

On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.

Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Matrices et applications linéaires

Notions rencontrées :

Vecteur colonne des coordonnées d'un vecteur dans une base. Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire (ou d'un endomorphisme) dans des bases.

Interprétation de l'image d'un vecteur par une application linéaire comme produit matriciel. L'application qui à $f$ associe sa matrice dans des bases fixées est un automorphisme. Matrice d'une composée d'applications linéaires. Isomorphismes et inversibilité de la matrice.

Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Noyau, image et rang d'une matrice. Cas particulier des matrices carrées de rang $n$. Toute matrice carrée inversible à droite ou à gauche est inversible. Rang de la transposée.

Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonne) d'une matrice préservent son noyau (resp. image). Les opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes préservent le rang. Méthode concrète de détermination du rang par des opérations élémentaires.

Matrice de passage entre deux bases. Inversibilité et valeur de l'inverse.

Formule de changement de base pour un vecteur. Formule de changements de bases pour une application linéaire. Cas particulier des endomorphismes. Matrices semblables.

Lien du noyau/rang d'une matrice avec les solutions d'un système linéaire homogène. Système linéaire compatible et lien avec l'image. Système linéaire de Cramer. Solution d'un système de Cramer.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'interprétation matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire (équivalence entre $y = f(x)$ et $Y=AX$).

Démontrer qu’une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases déterminées à l’avance est inversible.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Énoncer et démontrer le lien entre inversibilité de $A$, $\text{Ker}(A)$, $\text{Im}(A)$ et $\text{rg}(A)$.

Document de 121 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 173 ko, dans Mathématiques/S2-12-Séries

Document de 187 ko, dans Mathématiques/S2-12-Séries

Document de 152 ko, dans Mathématiques/S2-12-Séries

Document de 228 ko, dans Mathématiques/S2-11-Matrices et applications linéaires

Document de 183 ko, dans Mathématiques/S2-11-Matrices et applications linéaires

Document de 236 ko, dans Mathématiques/S2-11-Matrices et applications linéaires

Document de 466 ko, dans Mathématiques/S2-11-Matrices et applications linéaires

Pas de devoir maison (en raison du DS du jeudi 30).