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Document de 274 ko, dans SII/Cours-TD

Équations différentielles

Notions rencontrées :

Équations différentielles $y' + a(t) y = b(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Résolution de l'équation homogène.

Recherche de solution particulière par variation de la constante, ou en testant des formes données quand $a$ est constante (cas d'un $b(t)$ constant, polynomial, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$)

Résolution de l'équation $y' + a(t) y = b(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

Équations différentielles $y'' + ay' + by = f(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Équation caractéristique, résolution de l'équation homogène en fonction des valeurs des racines (cas des fonctions réelles et cas des fonctions complexes).

Recherche de solution particulière dans le cas où $f(t)$ est constante, polynomiale, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$.

Résolution de l'équation $y'' + ay' + by = f(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du principe de superposition (pour l'ordre 1 ou l'ordre 2).

Démonstration de l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y' + a(t) y = 0$.

Résoudre le problème de Cauchy $y''-4y'+3y = \sin(2t)$, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Polynômes

Notions rencontrées :

Définition d'un polynôme. Identification des coefficients dans une égalité. Opérations usuelles: somme, produit, composition. Notion de degré et de coefficient dominant. Degré d'une somme, degré d'un produit. Un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des polynômes est nul.

Diviseur, multiple. Théorème de division euclidienne. Exemples de calculs concrets. Degré du quotient.

Notion de fonction polynomiale, compatibilité avec les opérations usuelles. Racine, définition et lien avec la divisibilité. Extension au cas de plusieurs racines deux à deux distinctes. Un polynôme de degré inférieur à $n$ admettant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul. Multiplicité d'une racine.

Polynôme scindé. Somme et produit des racines.

Polynôme dérivé. Opérations usuelles, formule du degré, expression des polynômes dérivés successifs. Formule de Taylor. Lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives.

Théorème de d'Alembert Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dans $\mathbb{R}[X]$. Racines conjuguées dans le cas d'un polynôme à coefficients réels.

Fractions rationnelles : définition, décomposition dans le cas d'un dénominateur scindé à racines simples. Application au calcul de primitives.

À savoir faire en particulier :

Démontrer la formule de degré d'une somme et de degré d'un produit.

Démontrer l'unicité dans le théorème de division euclidienne.

Montrer que si $\forall x \in [-1,1]$, $ax^2+bx+c=0$, alors $a=b=c=0$.

Décomposer en éléments simples la fraction $R(X) = \dfrac{X^3+3X+1}{X^2-1}$.

Document de 353 ko, dans Chimie 1er semestre/Cours/Part3_Structure_Molecules_Organiques/ChapM2_Isomerie

Document de 877 ko, dans Chimie 1er semestre/Cours/Part3_Structure_Molecules_Organiques/ChapM2_Isomerie

Document de 327 ko, dans Informatique/TP

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Polynômes

Document de 219 ko, dans Informatique/TP

Document de 498 ko, dans Informatique/TP

Document de 447 ko, dans Mathématiques/S1-14-Équations différentielles

Document de 237 ko, dans Mathématiques/S1-14-Équations différentielles

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Document de 128 ko, dans Chimie 1er semestre/Programmes de colle

Limites et continuité

Notions rencontrées :

Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.

Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.

Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.

Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone.

Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.

Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (construction des suites pour la dichotomie et grandes lignes de ce qu’il faut montrer avec).

Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.

Démonstration du théorème de la bijection (sauf continuité de la réciproque).

Équations différentielles

Notions rencontrées :

Équations différentielles $y' + a(t) y = b(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Résolution de l'équation homogène.

Recherche de solution particulière par variation de la constante, ou en testant des formes données quand $a$ est constante (cas d'un $b(t)$ constant, polynomial, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$)

Résolution de l'équation $y' + a(t) y = b(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

Équations différentielles $y'' + ay' + by = f(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Équation caractéristique, résolution de l'équation homogène en fonction des valeurs des racines (cas des fonctions réelles et cas des fonctions complexes).

Recherche de solution particulière dans le cas où $f(t)$ est constante, polynomiale, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$.

Résolution de l'équation $y'' + ay' + by = f(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du principe de superposition (pour l'ordre 1 ou l'ordre 2).

Démonstration de l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y' + a(t) y = 0$.

Résoudre le problème de Cauchy $y''-4y'+3y = \sin(2t)$, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Document de 184 ko, dans Mathématiques/S1-15-Polynômes

Document de 266 ko, dans Mathématiques/S1-15-Polynômes

Document de 148 ko, dans Mathématiques/S1-15-Polynômes

Document de 123 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 553 ko, dans Chimie 1er semestre/Cours/Part3_Structure_Molecules_Organiques/ChapM2_Isomerie

Document de 413 ko, dans Chimie 1er semestre/Cours/Part3_Structure_Molecules_Organiques/ChapM1_Representation_Nomenclature

Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

Document de 307 ko, dans Mathématiques/S1-13-Limites et continuité

Document de 122 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 130 ko, dans Chimie 1er semestre/Programmes de colle

Document de 245 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/TP5_Cinetique_Conductimetrie

Document de 534 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/TP5_Cinetique_Conductimetrie

Document de 172 ko, dans Mathématiques/S1-14-Équations différentielles

Document de 214 ko, dans Mathématiques/S1-14-Équations différentielles

Document de 77 ko, dans Chimie 1er semestre/DS/DS2

Matrices et systèmes linéaires

Notions rencontrées :

Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.

Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.

Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.

Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.

Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.

Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.

Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.

À savoir faire en particulier :

Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.

Démonstration de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.

Limites et continuité

Notions rencontrées :

Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.

Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.

Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.

Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone.

Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.

Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (construction des suites pour la dichotomie et grandes lignes de ce qu’il faut montrer avec).

Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.

Démonstration du théorème de la bijection (sauf continuité de la réciproque).