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Matrices et systèmes linéaires

Notions rencontrées :

Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.

Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.

Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.

Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.

Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.

Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.

Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.

À savoir faire en particulier :

Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.

Démonstration de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.

Limites et continuité

Notions rencontrées :

Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.

Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.

Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.

Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone.

Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.

Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (construction des suites pour la dichotomie et grandes lignes de ce qu’il faut montrer avec).

Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.

Démonstration du théorème de la bijection (sauf continuité de la réciproque).

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Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Calcul de primitives

Notions rencontrées :

Primitive, ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle. Linéarité, règles de calcul. Primitives usuelles. Le cas particulier de la primitive de $ x \mapsto f(ax+b) $ est traité.

Théorème fondamental de l'analyse (admis). Calcul d'une intégrale à l'aide de primitives. Exemples. Relation de Chasles.

Intégration par parties, formule et exemples de contextes où on l'utilise.

Formule de changement de variables, exemples et cas particulier d'une fonction bijective.

Utilisation de linéarisation (via les formules d'Euler) ou passage par une exponentielle complexe pour obtenir une primitive.

Primitive de $ t \mapsto \frac{1}{at^2+bt+c}$ en fonction de la valeur du discriminant.

À savoir faire en particulier :

Calculer $\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$ par intégrations par parties.

Calculer $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$ en posant $t = \cos(x)$.

Calculer $\int_0 ^1 \sqrt{1-x^2} dx$ en posant $x = \cos(t)$ (attention aux signes).

Déterminer une primitive de $t \to e^{2t} \cos(5t)$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant des exponentielles complexes.

Matrices et systèmes linéaires

Notions rencontrées :

Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.

Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.

Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.

Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.

Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.

Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.

Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.

À savoir faire en particulier :

Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.

Démonstration de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Calcul de primitives ou de la fiche Matrices et systèmes linéaires (sauf exercices 1, 2 et 3 de la fiche Matrices et systèmes linéaires).

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Document de 212 ko, dans Mathématiques/S1-11-Calcul de primitives

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Document de 300 ko, dans Mathématiques/S1-10-Applications des nombres complexes

Applications des nombres complexes

Notions rencontrées :

Racines d'un nombre complexe. Calcul depuis la forme exponentielle et depuis la forme algébrique. Résolution d'équations de degré 2 à coefficients complexes. Expressions de la somme et du produit des racines.

Racines $n$-ièmes de l'unité, définition, nombre, expression et tracé sur le cercle trigonométrique. Valeur de la somme des racines. Extension aux racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.

Exponentielle d'un nombre complexe, définition. Le module vaut $e^{Re(z)}$ et un argument est $Im(z)$. Règles de calcul. La non-définition de logarithme sur les complexes a été évoquée et répétée.

Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle. Cas particulier des compositions avec l'exponentielle.

Interprétation géométrique de $\frac{c-a}{b-a}$ (module et argument), lien avec les conditions pour avoir des points alignés, des droites orthogonales.

Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.

À savoir faire en particulier :

Démonstration que si $z \in \mathbb{C}^*$, l'équation $t^2 = z$ d'inconnue $t$ admet exactement deux solutions opposées.

Déterminer les racines complexes de $3+4i$ en effectuant les calculs sous forme algébrique.

Déterminer les solutions complexes à l'équation $\exp(z)=1+i$.

Calcul de primitives

Notions rencontrées :

Primitive, ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle. Linéarité, règles de calcul. Primitives usuelles. Le cas particulier de la primitive de $ x \mapsto f(ax+b) $ est traité.

Théorème fondamental de l'analyse (admis). Calcul d'une intégrale à l'aide de primitives. Exemples. Relation de Chasles.

Intégration par parties, formule et exemples de contextes où on l'utilise.

Formule de changement de variables, exemples et cas particulier d'une fonction bijective.

Utilisation de linéarisation (via les formules d'Euler) ou passage par une exponentielle complexe pour obtenir une primitive.

Primitive de $ t \mapsto \frac{1}{at^2+bt+c}$ en fonction de la valeur du discriminant.

À savoir faire en particulier :

Calculer $\int_0^1 x^2 e^{2x} dx$ par intégrations par parties.

Calculer $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$ en posant $t = \cos(x)$.

Calculer $\int_0 ^1 \sqrt{1-x^2} dx$ en posant $x = \cos(t)$ (attention aux signes).

Déterminer une primitive de $t \to e^{2t} \cos(5t)$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant des exponentielles complexes.

Document de 143 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 987 ko, dans Chimie 1er semestre/Cours/Part1_Transformation_Matiere/ChapT3_Cinetique

Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Document de 128 ko, dans Chimie 1er semestre/Programmes de colle

Document de 190 ko, dans Mathématiques/S1-11-Calcul de primitives

Document de 234 ko, dans Mathématiques/S1-11-Calcul de primitives

Document de 123 ko, dans SII/programmes de colles

Document de 1 Mo, dans SII/Cours-TD

Document de 1 Mo, dans SII/Cours-TD

Document de 912 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 64 ko, dans SII/Cours-TD

Étude de suites

Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).

Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.

Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.

Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.

Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.

Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.

À savoir faire en particulier :

Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Applications des nombres complexes

Notions rencontrées :

Racines d'un nombre complexe. Calcul depuis la forme exponentielle et depuis la forme algébrique. Résolution d'équations de degré 2 à coefficients complexes. Expressions de la somme et du produit des racines.

Racines $n$-ièmes de l'unité, définition, nombre, expression et tracé sur le cercle trigonométrique. Valeur de la somme des racines. Extension aux racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.

Exponentielle d'un nombre complexe, définition. Le module vaut $e^{Re(z)}$ et un argument est $Im(z)$. Règles de calcul. La non-définition de logarithme sur les complexes a été évoquée et répétée.

Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle. Cas particulier des compositions avec l'exponentielle.

Interprétation géométrique de $\frac{c-a}{b-a}$ (module et argument), lien avec les conditions pour avoir des points alignés, des droites orthogonales.

Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.

À savoir faire en particulier :

Démonstration que si $z \in \mathbb{C}^*$, l'équation $t^2 = z$ d'inconnue $t$ admet exactement deux solutions opposées.

Déterminer les racines complexes de $3+4i$ en effectuant les calculs sous forme algébrique.

Déterminer les solutions complexes à l'équation $\exp(z)=1+i$.

Document de 350 ko, dans Mathématiques/S1-09-Étude de suites

Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Étude de suites ou de la fiche Applications des nombres complexes (sauf exercice 1 de la fiche Application des nombres complexes).

Document de 553 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/Fiches_TP

Document de 346 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/Fiches_TP

Document de 296 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/Fiches_TP

Document de 560 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/Fiches_TP

Document de 300 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/TP3_Reduction_Vaniline

Document de 213 ko, dans Chimie 1er semestre/TP/TP3_Reduction_Vaniline

Document de 128 ko, dans Chimie 1er semestre/Programmes de colle

Document de 663 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 197 ko, dans Mathématiques/S1-10-Applications des nombres complexes

Document de 169 ko, dans Mathématiques/S1-10-Applications des nombres complexes

Document de 255 ko, dans Mathématiques/S1-10-Applications des nombres complexes

Document de 413 ko, dans SII/Cours-TD

Document de 270 ko, dans SII/Cours-TD

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