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Polynômes

Notions rencontrées :

Définition d'un polynôme. Identification des coefficients dans une égalité. Opérations usuelles: somme, produit, composition. Notion de degré et de coefficient dominant. Degré d'une somme, degré d'un produit. Un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des polynômes est nul.

Diviseur, multiple. Théorème de division euclidienne. Exemples de calculs concrets. Degré du quotient.

Notion de fonction polynomiale, compatibilité avec les opérations usuelles. Racine, définition et lien avec la divisibilité. Extension au cas de plusieurs racines deux à deux distinctes. Un polynôme de degré inférieur à $n$ admettant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul. Multiplicité d'une racine.

Polynôme scindé. Somme et produit des racines.

Polynôme dérivé. Opérations usuelles, formule du degré, expression des polynômes dérivés successifs. Formule de Taylor. Lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives.

Théorème de d'Alembert Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dans $\mathbb{R}[X]$. Racines conjuguées dans le cas d'un polynôme à coefficients réels.

Fractions rationnelles : définition, décomposition dans le cas d'un dénominateur scindé à racines simples. Application au calcul de primitives.

À savoir faire en particulier :

Démontrer la formule de degré d'une somme et de degré d'un produit.

Démontrer l'unicité dans le théorème de division euclidienne.

Montrer que si $\forall x \in [-1,1]$, $ax^2+bx+c=0$, alors $a=b=c=0$.

Décomposer en éléments simples la fraction $R(X) = \dfrac{X^3+3X+1}{X^2-1}$.

Dérivabilité

Notions rencontrées :

Dérivabilité en un point, lien avec une écriture de type $f(a+h) = f(a) + v h + v \epsilon(h)$ (les développements limités n'ont pas encore été vus par ailleurs), tangente à la courbe. Cas des dérivées à droite ou à gauche.

Toute fonction dérivable est continue. Dérivabilité sur un intervalle.

Opérations sur les fonctions dérivables: combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque.

Points critiques, caractérisation d'un extremum local par la dérivée.

Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, fonctions lispchitziennes, inégalité des accroissements finis. Application au cas des suites récurrentes.

Caractérisation des fonctions constantes et (strictement) monotones. Théorème de la limite de la dérivée.

Dérivées successives. Classe $C^1$, $C^2$, $C^{\infty}$.

Formulaire de dérivées successives. Opérations sur les dérivées. Formule de Leibniz.

Formule de composition pour les dérivées successives. Formule de réciproque.

Fonction convexe, concave. Interprétation géométrique. Convexité d'une fonction une ou deux fois dérivable.

Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes. Cas des accroissements finis.

À savoir faire en particulier :

Démontrer la formule de dérivée du produit.

Démontrer qu'une fonction dérivable est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée est positive sur $I$.

Démontrer la formule de Leibniz.

Pas de devoir maison (en raison du DS du lendemain).

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Équations différentielles

Notions rencontrées :

Équations différentielles $y' + a(t) y = b(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Résolution de l'équation homogène.

Recherche de solution particulière par variation de la constante, ou en testant des formes données quand $a$ est constante (cas d'un $b(t)$ constant, polynomial, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$)

Résolution de l'équation $y' + a(t) y = b(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

Équations différentielles $y'' + ay' + by = f(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Équation caractéristique, résolution de l'équation homogène en fonction des valeurs des racines (cas des fonctions réelles et cas des fonctions complexes).

Recherche de solution particulière dans le cas où $f(t)$ est constante, polynomiale, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$.

Résolution de l'équation $y'' + ay' + by = f(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du principe de superposition (pour l'ordre 1 ou l'ordre 2).

Démonstration de l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y' + a(t) y = 0$.

Résoudre le problème de Cauchy $y''-4y'+3y = \sin(2t)$, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Polynômes

Notions rencontrées :

Définition d'un polynôme. Identification des coefficients dans une égalité. Opérations usuelles: somme, produit, composition. Notion de degré et de coefficient dominant. Degré d'une somme, degré d'un produit. Un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des polynômes est nul.

Diviseur, multiple. Théorème de division euclidienne. Exemples de calculs concrets. Degré du quotient.

Notion de fonction polynomiale, compatibilité avec les opérations usuelles. Racine, définition et lien avec la divisibilité. Extension au cas de plusieurs racines deux à deux distinctes. Un polynôme de degré inférieur à $n$ admettant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul. Multiplicité d'une racine.

Polynôme scindé. Somme et produit des racines.

Polynôme dérivé. Opérations usuelles, formule du degré, expression des polynômes dérivés successifs. Formule de Taylor. Lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives.

Théorème de d'Alembert Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dans $\mathbb{R}[X]$. Racines conjuguées dans le cas d'un polynôme à coefficients réels.

Fractions rationnelles : définition, décomposition dans le cas d'un dénominateur scindé à racines simples. Application au calcul de primitives.

À savoir faire en particulier :

Démontrer la formule de degré d'une somme et de degré d'un produit.

Démontrer l'unicité dans le théorème de division euclidienne.

Montrer que si $\forall x \in [-1,1]$, $ax^2+bx+c=0$, alors $a=b=c=0$.

Décomposer en éléments simples la fraction $R(X) = \dfrac{X^3+3X+1}{X^2-1}$.

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Polynômes

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