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Étude de suites

Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).

Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.

Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.

Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.

Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.

Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.

À savoir faire en particulier :

Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Applications des nombres complexes

Notions rencontrées :

Racines d'un nombre complexe. Calcul depuis la forme exponentielle et depuis la forme algébrique. Résolution d'équations de degré 2 à coefficients complexes. Expressions de la somme et du produit des racines.

Racines $n$-ièmes de l'unité, définition, nombre, expression et tracé sur le cercle trigonométrique. Valeur de la somme des racines. Extension aux racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.

Exponentielle d'un nombre complexe, définition. Le module vaut $e^{Re(z)}$ et un argument est $Im(z)$. Règles de calcul. La non-définition de logarithme sur les complexes a été évoquée et répétée.

Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle. Cas particulier des compositions avec l'exponentielle.

Interprétation géométrique de $\frac{c-a}{b-a}$ (module et argument), lien avec les conditions pour avoir des points alignés, des droites orthogonales.

Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.

À savoir faire en particulier :

Démonstration que si $z \in \mathbb{C}^*$, l'équation $t^2 = z$ d'inconnue $t$ admet exactement deux solutions opposées.

Déterminer les racines complexes de $3+4i$ en effectuant les calculs sous forme algébrique.

Déterminer les solutions complexes à l'équation $\exp(z)=1+i$.

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Étude de suites ou de la fiche Applications des nombres complexes (sauf exercice 1 de la fiche Application des nombres complexes).

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Généralités sur les fonctions réelles

Notions rencontrées :

Règles de calcul. Représentation graphique de $ x \to f(-x)$, $-f(x)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$, $f(ax)$, $af(x)$. Fonctions paires, impaires, périodiques et représentations graphiques.

Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.

Fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions monotones.

Fonction dérivable, dérivée en un point, tangente à la courbe. Opérations sur les fonctions dérivables, formulaire des dérivées usuelles. Lien entre dérivée et variations. Applications à l'établissement d'inégalités.

Fonction réciproque : représentation graphique et calcul de dérivée dans le cas d'une fonction bijective dérivable et strictement monotone.

Dérivées d'ordre supérieur (définition et c'est tout)

Fonctions usuelles : logarithme (népérien ou en base $a$), exponentielle, puissances (y compris non entières). Définition, variations, règles de calcul. Croissances comparées.

Fonctions circulaires réciproques : $\arctan$, $\arccos$, $\arcsin$. Définitions, variations, courbes, dérivabilité.

Fonctions sinus et cosinus hyperbolique. Variations, dérivabilité, courbe. $\text{ch}^2 - \text{sh}^2 = 1 $

À savoir faire en particulier :

Montrer $\forall x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1+x$ ou $\forall x \in ]-1,+\infty[$, $\ln(1+x) \leq x$.

Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, dérivabilité et calcul de dérivée de $ x \mapsto x^\alpha $ (par composition).

Bonne définition et dérivabilité/dérivée de $\arctan$, $\arcsin$ ou $\arccos$ (au choix du colleur).

Étude de suites

Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).

Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.

Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.

Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.

Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.

Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.

Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.

À savoir faire en particulier :

Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

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Ensemble des nombres complexes

Notions rencontrées :

Définitions, partie réelle, partie imaginaire, conjugué règles de calcul. Unicité de l'écriture algébrique. Nombre imaginaire pur.

Module, définition comme $\sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$ et comme $\sqrt{z \overline{z}}$. Règles de calcul, inégalité triangulaire et cas d'égalité.

Représentation graphique dans le plan complexe, affixe. Interprétation du module en terme de distance entre deux points, d'un argument en terme d'angle.

Nombres complexes de module 1, représentation sur le cercle trigonométrique. Notation exponentielle $e^{it}$ pour $t$ réel. Règles de calcul associées.

Formules d'Euler et applications: techniques de l'angle moitié, linéarisation, calcul (et simplification) de sommes de sinus ou cosinus. Formule de Moivre.

Argument, forme trigonométrique/exponentielle. Passage d'une forme à une autre. Transformation de $ a \cos(t) + b \sin(t) $ vers $ r \cos(t - \phi) $.

À savoir faire en particulier :

Démontrer l'inégalité triangulaire, avec cas d'égalité.

Soit $ \theta \in ] -\pi, \pi [ $. Linéariser $\cos^3(\theta)$

Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $ \cos ( 3 \theta ) $ et $ \sin ( 3 \theta ) $ en fonction de $ \cos(\theta) $ et $ \sin(\theta) $.

Généralités sur les fonctions réelles

Notions rencontrées :

Règles de calcul. Représentation graphique de $ x \to f(-x)$, $-f(x)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$, $f(ax)$, $af(x)$. Fonctions paires, impaires, périodiques et représentations graphiques.

Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.

Fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions monotones.

Fonction dérivable, dérivée en un point, tangente à la courbe. Opérations sur les fonctions dérivables, formulaire des dérivées usuelles. Lien entre dérivée et variations. Applications à l'établissement d'inégalités.

Fonction réciproque : représentation graphique et calcul de dérivée dans le cas d'une fonction bijective dérivable et strictement monotone.

Dérivées d'ordre supérieur (définition et c'est tout)

Fonctions usuelles : logarithme (népérien ou en base $a$), exponentielle, puissances (y compris non entières). Définition, variations, règles de calcul. Croissances comparées.

Fonctions circulaires réciproques : $\arctan$, $\arccos$, $\arcsin$. Définitions, variations, courbes, dérivabilité.

Fonctions sinus et cosinus hyperbolique. Variations, dérivabilité, courbe. $\text{ch}^2 - \text{sh}^2 = 1 $

À savoir faire en particulier :

Montrer $\forall x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1+x$ ou $\forall x \in ]-1,+\infty[$, $\ln(1+x) \leq x$.

Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, dérivabilité et calcul de dérivée de $ x \mapsto x^\alpha $ (par composition).

Bonne définition et dérivabilité/dérivée de $\arctan$, $\arcsin$ ou $\arccos$ (au choix du colleur).

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Généralités sur les fonctions réelles.

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