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Document de 437 ko, dans Mathématiques/S2-07-Applications linéaires : introduction

Applications linéaires - Introduction

Notions rencontrées :

Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.

Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.

Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.

Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.

Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.

Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.

Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.

À savoir faire en particulier :

Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.

Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$

Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.

Applications linéaires - Approfondissements

Notions rencontrées :

Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.

Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.

Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.

Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.

Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.

Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.

Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.

Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.

En se ramenant à une équation linéaire, déterminer les $P \in \mathbb{C}[X]$ tels que $P(2)=1$ et $P'(2) =-1$.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du jour).

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Probabilités

Notions rencontrées :

Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.

Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.

Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.

On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?

Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.

Applications linéaires - Introduction

Notions rencontrées :

Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.

Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.

Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.

Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.

Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.

Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.

Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.

À savoir faire en particulier :

Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.

Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$

Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Application linéaires : introduction.

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Développements limités et études locales

Notions rencontrées :

Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.

Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.

Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.

Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.

Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.

Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.

Probabilités

Notions rencontrées :

Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.

Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.

Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.

À savoir faire en particulier :

Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.

On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?

Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.

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Pas de devoir maison (en raison du DS du samedi précédent).

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Document de 156 ko, dans Mathématiques/S2-06-Probabilités

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Espaces vectoriels de dimension finie

Notions rencontrées :

Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.

Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.

Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.

Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.

Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.

Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.

Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.

À savoir faire en particulier :

Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice, au choix du colleur) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.

Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$

Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.

Développements limités et études locales

Notions rencontrées :

Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.

Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.

Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.

Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.

À savoir faire en particulier :

Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.

Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.

Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.

Document de 1 Mo, dans SII/Cours-TD

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Rédiger au propre un exercice au choix de la fiche Développements limités et études locales.

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