Semaine du lundi 8 avril 2024
Applications linéaires - Introduction
Notions rencontrées :
Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.
Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.
Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.
Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.
Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.
Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.
Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.
À savoir faire en particulier :
Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.
Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$
Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.
Applications linéaires - Approfondissements
Notions rencontrées :
Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.
Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.
Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.
Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.
Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.
Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.
Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.
À savoir faire en particulier :
Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.
Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.
En se ramenant à une équation linéaire (l'utilisation directe de la formule arithmético-géométrique est donc proscrite), déterminer les suites réelles vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2 u_n + 3$.
