Semaine du lundi 6 mai 2024
Il n'y a pas de colles cette semaine.
Il n'y a pas de colles cette semaine.
Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.
Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.
Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.
Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.
Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.
Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)
Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.
Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $
Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.
Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.
Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.
Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.
Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.
Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.
Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.
Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.
Lemme des coalitions.
Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.
Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.
On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.
Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.