Semaine du lundi 4 septembre 2023
Il n'y a pas de colles cette semaine.
Il n'y a pas de colles cette semaine.
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Notion de proposition, "ou" et "et" mathématiques, propriétés relatives à la négation.
Définition et manipulation d'une implication, d'une réciproque, d'une équivalence. Condition nécessaire, condition suffisante.
Quantificateurs ∀, ∃, ∃!, importance de l'ordre, négation des quantificateurs. Traduction de phrases mathématiques en français sous forme de quantificateurs, passage à la négation.
Les différents modes de raisonnement : utilisation d'un exemple/contre-exemple, raisonnement par disjonction de cas, par récurrence (simple, double, forte), par contraposition, par analyse-synthèse, par l'absurde.
Conjecturer le terme général de la suite définie par $u_0=1$, $u_1=3$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = 2 u_{n+1} + 3 u_n$, puis montrer cette conjecture par récurrence double.
Montrer par contraposition que pour tout entier $n$, $n^2$ est pair $\Rightarrow n$ est pair.
Déterminer par analyse-synthèse les solutions réelles de $\sqrt{6+x}=x$.
Ensemble/élément, cas particulier de l'ensemble vide. Notion d'ensemble fini ou dénombrable. Notation d'un ensemble avec des accolades.
Inclusion, égalité. Montrer une égalité d'ensembles par double inclusion doit être un réflexe.
Ensemble des parties d'un ensemble, produit cartésien.
Complémentaire d'un ensemble dans un autre, notation $\overline{A}$.
Intersection de $A$ et $B$, différence de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.
Réunion de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.
Distributivité de l'union/intersection. Passage au complémentaire dans une union/intersection.
Ensembles disjoints, ensembles deux à deux disjoints, notion de partition (ou recouvrement disjoint).
Ensembles usuels : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$.
Multiple, diviseur, théorème de division euclidienne sur les entiers. PGCD, PPCM (sans introduction de notation particulière).
Nombre premier, décomposition en produit de facteurs premiers, application au calcul du PGCD et du PPCM. L'ensemble des nombres premiers est infini.
Démontrer que $A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D) $.
Démontrer l'unicité pour le théorème de division euclidienne sur les entiers.
Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.
Notion de proposition, "ou" et "et" mathématiques, propriétés relatives à la négation.
Définition et manipulation d'une implication, d'une réciproque, d'une équivalence. Condition nécessaire, condition suffisante.
Quantificateurs ∀, ∃, ∃!, importance de l'ordre, négation des quantificateurs. Traduction de phrases mathématiques en français sous forme de quantificateurs, passage à la négation.
Les différents modes de raisonnement : utilisation d'un exemple/contre-exemple, raisonnement par disjonction de cas, par récurrence (simple, double, forte), par contraposition, par analyse-synthèse, par l'absurde.
Conjecturer le terme général de la suite définie par $u_0=1$, $u_1=3$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = 2 u_{n+1} + 3 u_n$, puis montrer cette conjecture par récurrence double.
Montrer par contraposition que pour tout entier $n$, $n^2$ est pair $\Rightarrow n$ est pair.
Déterminer par analyse-synthèse les solutions réelles de $\sqrt{6+x}=x$.
Ensemble/élément, cas particulier de l'ensemble vide. Notion d'ensemble fini ou dénombrable. Notation d'un ensemble avec des accolades.
Inclusion, égalité. Montrer une égalité d'ensembles par double inclusion doit être un réflexe.
Ensemble des parties d'un ensemble, produit cartésien.
Complémentaire d'un ensemble dans un autre, notation $\overline{A}$.
Intersection de $A$ et $B$, différence de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.
Réunion de $A$ et $B$, propriétés relatives à l'inclusion.
Distributivité de l'union/intersection. Passage au complémentaire dans une union/intersection.
Ensembles disjoints, ensembles deux à deux disjoints, notion de partition (ou recouvrement disjoint).
Ensembles usuels : $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$.
Multiple, diviseur, théorème de division euclidienne sur les entiers. PGCD, PPCM (sans introduction de notation particulière).
Nombre premier, décomposition en produit de facteurs premiers, application au calcul du PGCD et du PPCM. L'ensemble des nombres premiers est infini.
Démontrer que $A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D) $.
Démontrer l'unicité du théorème de division euclidienne sur les entiers.
Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.
Somme, notation $\Sigma$. Notion d'indice, de bornes. Nombre de termes d'une somme. Somme des premiers entiers, somme des carrés des premiers entiers. Linéarité de la somme.
Changements d'indices par translation, par retournement. Regroupement des termes pairs et impairs. Télescopages.
Sommes des termes d'une suite géométrique. Factorisation de $a^n - b^n$.
Produit de deux sommes. Manipulations sur les sommes doubles.
Produit, notation $\Pi$. Règles de calcul (nombres de termes, changements d'indices, télescopage, multiplication par un scalaire dans le produit). Factorielle, relation $ (n+1)! = n! (n+1) $.
Définition numérique des coefficients binomiaux. Calcul de termes simples. Formule de Pascal, $ \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p} $, $ \binom{n}{p} = \frac{n}{p} \binom{n-1}{p-1}$, formule du binôme de Newton.
Démontrer la formule de somme télescopique avec un changement d'indice (sans utiliser de point de suspension).
Démontrer la formule du binôme de Newton.
Calcul de $ \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} $, en prêtant particulièrement attention aux hypothèses des formules utilisées.
Somme, notation $\Sigma$. Notion d'indice, de bornes. Nombre de termes d'une somme. Somme des premiers entiers, somme des carrés des premiers entiers. Linéarité de la somme.
Changements d'indices par translation, par retournement. Regroupement des termes pairs et impairs. Télescopages.
Sommes des termes d'une suite géométrique. Factorisation de $a^n - b^n$.
Produit de deux sommes. Manipulations sur les sommes doubles.
Produit, notation $\Pi$. Règles de calcul (nombres de termes, changements d'indices, télescopage, multiplication par un scalaire dans le produit). Factorielle, relation $ (n+1)! = n! (n+1) $.
Définition numérique des coefficients binomiaux. Calcul de termes simples. Formule de Pascal, $ \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p} $, $ \binom{n}{p} = \frac{n}{p} \binom{n-1}{p-1}$, formule du binôme de Newton.
Démontrer la formule de somme télescopique avec un changement d'indice (sans utiliser de point de suspension).
Démontrer la formule du binôme de Newton.
Calcul de $ \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} $, en prêtant particulièrement attention aux hypothèses des formules utilisées.
Définition d'un système linéaire, de ce que signifie résoudre, de deux systèmes équivalents, d'un p-uplet solution.
Présentation des opérations élémentaires de résolution (échange de deux lignes, multiplication par un réel, combinaison linéaire) et de la façon dont on les note. La résolution doit se limiter à des systèmes de petite taille, peu calculatoires (les matrices n'ont pas encore été vues).
Notion de relation d'ordre, opérations sur les inégalités (somme, produit, passage à l'inverse…). Méthodes d'encadrement de sommes ou de fractions, méthode de résolution d'inéquations.
Définition d'intervalle, majorant, minorant, ensemble majoré, minoré, borné. Définition de maximum, minimum. Théorème de la borne supérieure.
Valeur absolue et manipulations usuelles (dans une équation, dans une somme ou intégrale). Interprétation de $ |x-a| \leq b $ en terme de distance. Inégalité triangulaire.
Partie entière, manipulation des inégalités associées, partie réelle de la somme d'un réel et d'un entier.
Résolution par les opérations élémentaires d'un système linéaire simple (3 équations à 3 inconnues maximum, sans paramètre externe).
Résolution de $ \frac{\ln(x)}{2-x} < 0 $ en justifiant soigneusement les équivalences.
Démonstration de l'inégalité triangulaire pour une somme de deux termes.
Déterminer les $x \in \mathbb{R}$ pour lesquels $ \lfloor \frac{2x}{3} \rfloor = 4 $.
Définition d'un système linéaire, de ce que signifie résoudre, de deux systèmes équivalents, d'un p-uplet solution.
Présentation des opérations élémentaires de résolution (échange de deux lignes, multiplication par un réel, combinaison linéaire) et de la façon dont on les note. La résolution doit se limiter à des systèmes de petite taille, peu calculatoires (les matrices n'ont pas encore été vues).
Notion de relation d'ordre, opérations sur les inégalités (somme, produit, passage à l'inverse…). Méthodes d'encadrement de sommes ou de fractions, méthode de résolution d'inéquations.
Définition d'intervalle, majorant, minorant, ensemble majoré, minoré, borné. Définition de maximum, minimum. Théorème de la borne supérieure.
Valeur absolue et manipulations usuelles (dans une équation, dans une somme ou intégrale). Interprétation de $ |x-a| \leq b $ en terme de distance. Inégalité triangulaire.
Partie entière, manipulation des inégalités associées, partie réelle de la somme d'un réel et d'un entier.
Résolution par les opérations élémentaires d'un système linéaire simple (3 équations à 3 inconnues maximum, sans paramètre externe).
Résolution de $ \frac{\ln(x)}{2-x} < 0 $ en justifiant soigneusement les équivalences.
Démonstration de l'inégalité triangulaire pour une somme de deux termes.
Déterminer les $x \in \mathbb{R}$ pour lesquels $ \lfloor \frac{2x}{3} \rfloor = 4 $.
Définition de la congruence modulo $2\pi$.
Définition de tangente comme quotient de sinus et cosinus. Lecture de sinus, cosinus, tangente sur le cercle trigonométrique.
Transformations affines usuelles: valeur de sinus, cosinus, tangente en $-x$, $\pi + x$, $\pi-x$. Valeur de cosinus et sinus en $\frac{\pi}{2}+x$ et $\frac{\pi}{2} - x$.
Cosinus, sinus, tangente des angles usuels (valeurs sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ à connaître, les autres sont à retrouver avec les transformations affines usuelles).
Équations trigonométriques: résolution de $\cos(x) = \cos(y)$, de $\sin(x) = \sin(y)$.
Formules d'addition de cosinus, sinus, tangente. Formules de duplication, formules de linéarisation du carré.
Étude de sinus, cosinus et tangente en tant que fonctions : parité, périodicité, tracé du graphe, dérivabilité et valeur des dérivées. Inégalité $|\sin(x)| \leq |x|$.
Retrouver le sinus/cosinus des angles usuels (ex: $\frac{5\pi}{6}$), ou réciproquement déterminer un angle usuel correspondant à des valeurs de sinus/cosinus classiques.
Résolution de $2 \cos(4x) + 1 = 0$ sur $[-\pi,\pi]$.
Soit $t \in [-\pi,\pi]$. En factorisant $\cos(t) + \cos(2t)$, déterminer le signe de cette expression.
Démonstration des formules d'addition de tangente.
Définition de la congruence modulo $2\pi$.
Définition de tangente comme quotient de sinus et cosinus. Lecture de sinus, cosinus, tangente sur le cercle trigonométrique.
Transformations affines usuelles: valeur de sinus, cosinus, tangente en $-x$, $\pi + x$, $\pi-x$. Valeur de cosinus et sinus en $\frac{\pi}{2}+x$ et $\frac{\pi}{2} - x$.
Cosinus, sinus, tangente des angles usuels (valeurs sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ à connaître, les autres sont à retrouver avec les transformations affines usuelles).
Équations trigonométriques: résolution de $\cos(x) = \cos(y)$, de $\sin(x) = \sin(y)$.
Formules d'addition de cosinus, sinus, tangente. Formules de duplication, formules de linéarisation du carré.
Étude de sinus, cosinus et tangente en tant que fonctions : parité, périodicité, tracé du graphe, dérivabilité et valeur des dérivées. Inégalité $|\sin(x)| \leq |x|$.
Retrouver le sinus/cosinus des angles usuels (ex: $\frac{5\pi}{6}$), ou réciproquement déterminer un angle usuel correspondant à des valeurs de sinus/cosinus classiques.
Résolution de $2 \cos(4x) + 1 = 0$ sur $[-\pi,\pi]$.
Soit $t \in [-\pi,\pi]$. En factorisant $\cos(t) + \cos(2t)$, déterminer le signe de cette expression.
Démonstration des formules d'addition de tangente.
Application, image, antécédent. Traductions en quantificateurs. Représentations d'applications avec des ensembles ou sous forme de graphe.
Image directe ou réciproque d'un ensemble par une application. Conjectures de leurs valeurs à l'aide du graphe.
Cas particuliers: famille d'éléments d'un ensemble, application identité, fonction indicatrice.
Restriction, prolongement. Composée (condition de définition et formule).
Injection/fonction injective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est injective ou non injective. Composée de deux injections. Cas particulier des fonctions réelles strictement monotones.
Surjection/fonction surjective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est surjective ou non surjective. Composée de deux surjections.
Bijections/fonction bijective. Application réciproque. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque. Relation $ x = f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y = f(x)$. Composée de deux bijections, réciproque de la composée.
Montrer que la fonction $g$ définie de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ par $n \mapsto 2n+2$ est injective et non surjective.
Montrer que la fonction $h$ définie de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ par $(x,y,z) \mapsto (x+2y,x-z)$ est surjective et non injective.
Montrer que $x \mapsto e^{x-1} + 2$ est bijective de $\mathbb{R}$ dans $]2,+\infty[$ et déterminer l'expression de sa réciproque.
Application, image, antécédent. Traductions en quantificateurs. Représentations d'applications avec des ensembles ou sous forme de graphe.
Image directe ou réciproque d'un ensemble par une application. Conjectures de leurs valeurs à l'aide du graphe.
Cas particuliers: famille d'éléments d'un ensemble, application identité, fonction indicatrice.
Restriction, prolongement. Composée (condition de définition et formule).
Injection/fonction injective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est injective ou non injective. Composée de deux injections. Cas particulier des fonctions réelles strictement monotones.
Surjection/fonction surjective. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est surjective ou non surjective. Composée de deux surjections.
Bijections/fonction bijective. Application réciproque. Définition, traduction en termes d'antécédents, méthodes pour montrer qu'une application est bijective et déterminer sa réciproque. Relation $ x = f^{-1}(y) \Longleftrightarrow y = f(x)$. Composée de deux bijections, réciproque de la composée.
Montrer que la fonction $g$ définie de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ par $n \mapsto 2n+2$ est injective et non surjective.
Montrer que la fonction $h$ définie de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ par $(x,y,z) \mapsto (x+2y,x-z)$ est surjective et non injective.
Montrer que $x \mapsto e^{x-1} + 2$ est bijective de $\mathbb{R}$ dans $]2,+\infty[$ et déterminer l'expression de sa réciproque.
Définitions, partie réelle, partie imaginaire, conjugué règles de calcul. Unicité de l'écriture algébrique. Nombre imaginaire pur.
Module, définition comme $\sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$ et comme $\sqrt{z \overline{z}}$. Règles de calcul, inégalité triangulaire et cas d'égalité.
Représentation graphique dans le plan complexe, affixe. Interprétation du module en terme de distance entre deux points, d'un argument en terme d'angle.
Nombres complexes de module 1, représentation sur le cercle trigonométrique. Notation exponentielle $e^{it}$ pour $t$ réel. Règles de calcul associées.
Formules d'Euler et applications: techniques de l'angle moitié, linéarisation, calcul (et simplification) de sommes de sinus ou cosinus. Formule de Moivre.
Argument, forme trigonométrique/exponentielle. Passage d'une forme à une autre. Transformation de $ a \cos(t) + b \sin(t) $ vers $ r \cos(t - \phi) $.
Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.
Démontrer l'inégalité triangulaire, avec cas d'égalité.
Soit $ \theta \in ] -\pi, \pi [ $. Linéariser $\cos^3(\theta)$
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $ \cos ( 3 \theta ) $ et $ \sin ( 3 \theta ) $ en fonction de $ \cos(\theta) $ et $ \sin(\theta) $.
Soit $ t \in \mathbb{R} $, déterminer une expression de $ \cos(t) + \sqrt{3} \sin(t) $ sous la forme $ r \cos(t-\phi) $.
Définitions, partie réelle, partie imaginaire, conjugué règles de calcul. Unicité de l'écriture algébrique. Nombre imaginaire pur.
Module, définition comme $\sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$ et comme $\sqrt{z \overline{z}}$. Règles de calcul, inégalité triangulaire et cas d'égalité.
Représentation graphique dans le plan complexe, affixe. Interprétation du module en terme de distance entre deux points, d'un argument en terme d'angle.
Nombres complexes de module 1, représentation sur le cercle trigonométrique. Notation exponentielle $e^{it}$ pour $t$ réel. Règles de calcul associées.
Formules d'Euler et applications: techniques de l'angle moitié, linéarisation, calcul (et simplification) de sommes de sinus ou cosinus. Formule de Moivre.
Argument, forme trigonométrique/exponentielle. Passage d'une forme à une autre. Transformation de $ a \cos(t) + b \sin(t) $ vers $ r \cos(t - \phi) $.
Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.
Démontrer l'inégalité triangulaire, avec cas d'égalité.
Soit $ \theta \in ] -\pi, \pi [ $. Linéariser $\cos^3(\theta)$
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $ \cos ( 3 \theta ) $ et $ \sin ( 3 \theta ) $ en fonction de $ \cos(\theta) $ et $ \sin(\theta) $.
Soit $ t \in \mathbb{R} $, déterminer une expression de $ \cos(t) + \sqrt{3} \sin(t) $ sous la forme $ r \cos(t-\phi) $.
Règles de calcul. Représentation graphique de $ x \to f(-x)$, $-f(x)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$, $f(ax)$, $af(x)$. Fonctions paires, impaires, périodiques et représentations graphiques.
Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
Fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions monotones.
Fonction dérivable, dérivée en un point, tangente à la courbe. Opérations sur les fonctions dérivables, formulaire des dérivées usuelles. Lien entre dérivée et variations. Applications à l'établissement d'inégalités.
Fonction réciproque : représentation graphique et calcul de dérivée dans le cas d'une fonction bijective dérivable et strictement monotone.
Dérivées d'ordre supérieur (définition et c'est tout)
Fonctions usuelles : logarithme (népérien ou en base $a$), exponentielle, puissances (y compris non entières). Définition, variations, règles de calcul. Croissances comparées.
Fonctions circulaires réciproques : $\arctan$, $\arccos$, $\arcsin$. Définitions, variations, courbes, dérivabilité.
Fonctions sinus et cosinus hyperbolique. Variations, dérivabilité, courbe. $\text{ch}^2 - \text{sh}^2 = 1 $
Montrer $\forall x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1+x$ ou $\forall x \in ]-1,+\infty[$, $\ln(1+x) \leq x$.
Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, dérivabilité et calcul de dérivée de $ x \mapsto x^\alpha $ (par composition).
Dérivabilité et calcul de dérivée de $\arcsin$ ou $\arccos$ (par dérivée de la réciproque).
Règles de calcul. Représentation graphique de $ x \to f(-x)$, $-f(x)$, $f(x+a)$, $f(x)+a$, $f(ax)$, $af(x)$. Fonctions paires, impaires, périodiques et représentations graphiques.
Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée.
Fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions monotones.
Fonction dérivable, dérivée en un point, tangente à la courbe. Opérations sur les fonctions dérivables, formulaire des dérivées usuelles. Lien entre dérivée et variations. Applications à l'établissement d'inégalités.
Fonction réciproque : représentation graphique et calcul de dérivée dans le cas d'une fonction bijective dérivable et strictement monotone.
Dérivées d'ordre supérieur (définition et c'est tout)
Fonctions usuelles : logarithme (népérien ou en base $a$), exponentielle, puissances (y compris non entières). Définition, variations, règles de calcul. Croissances comparées.
Fonctions circulaires réciproques : $\arctan$, $\arccos$, $\arcsin$. Définitions, variations, courbes, dérivabilité.
Fonctions sinus et cosinus hyperbolique. Variations, dérivabilité, courbe. $\text{ch}^2 - \text{sh}^2 = 1 $
Montrer $\forall x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) \geq 1+x$ ou $\forall x \in ]-1,+\infty[$, $\ln(1+x) \leq x$.
Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, dérivabilité et calcul de dérivée de $ x \mapsto x^\alpha $ (par composition).
Dérivabilité et calcul de dérivée de $\arcsin$ ou $\arccos$ (par dérivée de la réciproque).
Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).
Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.
Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.
Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.
Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.
Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.
Étudier la convergence de la suite $u$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{n}{n^2+k} $.
Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Vocabulaire usuel : suite majorée/minorée/bornée, suite croissante/décroissante/monotone/stationnaire. Modes de définition : de manière explicite, par récurrence, de manière implicite (aucune étude des suites implicites n'est prévue dans ce chapitre).
Limite finie ou infinie d'une suite : définition, unicité, toute suite convergente est bornée. Opérations usuelles sur les limites.
Une suite de limite strictement positive est strictement positive à partir d'un certain rang. Passage à la limite dans une inégalité sous condition de convergence. Théorème d'encadrement (des gendarmes) et ses corollaires. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone pour les suites. Suites adjacentes, définition et convergence. Approximations décimales d'un réel.
Suites extraites : convergence et limite des suites extraites d'une suite convergente. Cas des sous-suites paires et impaires qui convergent vers une même limite.
Suites à valeurs complexes : définition de suite, suite bornée, convergence. Adaptation des résultats obtenus dans le cas des suites réelles.
Suites arithmético-géométriques. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (cas complexe et cas réel). Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$: notion d'intervalle stable par $f$, étude de la monotonie de $f$, du signe de $x \mapsto f(x)-x$, théorème du point fixe.
Étudier la convergence de la suite $u$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{n}{n^2+k} $.
Énoncer et démontrer le théorème de convergence des suites adjacentes.
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = -2u_n + 3$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Racines d'un nombre complexe. Calcul depuis la forme exponentielle et depuis la forme algébrique. Résolution d'équations de degré 2 à coefficients complexes. Expressions de la somme et du produit des racines.
Racines $n$-ièmes de l'unité, définition, nombre, expression et tracé sur le cercle trigonométrique. Valeur de la somme des racines. Extension aux racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.
Exponentielle d'un nombre complexe, définition. Le module vaut $e^{Re(z)}$ et un argument est $Im(z)$. Règles de calcul. La non-définition de logarithme sur les complexes a été évoquée et répétée.
Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle. Cas particulier des compositions avec l'exponentielle.
Interprétation géométrique de $\frac{c-a}{b-a}$ (module et argument), lien avec les conditions pour avoir des points alignés, des droites orthogonales.
Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.
Démonstration que si $z \in \mathbb{C}^*$, l'équation $t^2 = z$ d'inconnue $t$ admet exactement deux solutions opposées.
Déterminer les racines complexes de $3+4i$ en effectuant les calculs sous forme algébrique.
Déterminer les solutions complexes à l'équation $\exp(z)=1+i$.
Racines d'un nombre complexe. Calcul depuis la forme exponentielle et depuis la forme algébrique. Résolution d'équations de degré 2 à coefficients complexes. Expressions de la somme et du produit des racines.
Racines $n$-ièmes de l'unité, définition, nombre, expression et tracé sur le cercle trigonométrique. Valeur de la somme des racines. Extension aux racines $n$-ièmes d'un complexe non nul.
Exponentielle d'un nombre complexe, définition. Le module vaut $e^{Re(z)}$ et un argument est $Im(z)$. Règles de calcul. La non-définition de logarithme sur les complexes a été évoquée et répétée.
Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle. Cas particulier des compositions avec l'exponentielle.
Interprétation géométrique de $\frac{c-a}{b-a}$ (module et argument), lien avec les conditions pour avoir des points alignés, des droites orthogonales.
Cas particuliers d'applications de type $ z \mapsto az+b$: translations, rotations, homothéties.
Démonstration que si $z \in \mathbb{C}^*$, l'équation $t^2 = z$ d'inconnue $t$ admet exactement deux solutions opposées.
Déterminer les racines complexes de $3+4i$ en effectuant les calculs sous forme algébrique.
Déterminer les solutions complexes à l'équation $\exp(z)=1+i$.
Primitive, ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle. Linéarité, règles de calcul. Primitives usuelles. Le cas particulier de la primitive de $ x \mapsto f(ax+b) $ est traité.
Théorème fondamental de l'analyse (admis). Calcul d'une intégrale à l'aide de primitives. Exemples. Relation de Chasles.
Intégration par parties, formule et exemples de contextes où on l'utilise.
Formule de changement de variables, exemples et cas particulier d'une fonction bijective.
Utilisation de linéarisation (via les formules d'Euler) ou passage par une exponentielle complexe pour obtenir une primitive.
Primitive de $ t \mapsto \frac{1}{at^2+bt+c}$ en fonction de la valeur du discriminant.
Calculer $\int_0^1 x^2 e^x dx$ par intégrations par parties.
Calculer $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$ en posant $t = \cos(x)$.
Calculer $\int_0 ^1 \sqrt{1-x^2} dx$ en posant $x = \cos(t)$ (attention aux signes).
Déterminer une primitive de $t \to e^{2t} \cos(5t)$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant des exponentielles complexes.
Primitive, ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle. Linéarité, règles de calcul. Primitives usuelles. Le cas particulier de la primitive de $ x \mapsto f(ax+b) $ est traité.
Théorème fondamental de l'analyse (admis). Calcul d'une intégrale à l'aide de primitives. Exemples. Relation de Chasles.
Intégration par parties, formule et exemples de contextes où on l'utilise.
Formule de changement de variables, exemples et cas particulier d'une fonction bijective.
Utilisation de linéarisation (via les formules d'Euler) ou passage par une exponentielle complexe pour obtenir une primitive.
Primitive de $ t \mapsto \frac{1}{at^2+bt+c}$ en fonction de la valeur du discriminant.
Calculer $\int_0^1 x^2 e^x dx$ par intégrations par parties.
Calculer $\int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$ en posant $t = \cos(x)$.
Calculer $\int_0 ^1 \sqrt{1-x^2} dx$ en posant $x = \cos(t)$ (attention aux signes).
Déterminer une primitive de $t \to e^{2t} \cos(5t)$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant des exponentielles complexes.
Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.
Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.
Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.
Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.
Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.
Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.
Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.
Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.
Preuve de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.
Matrices, égalité, addition et multiplication par un scalaire. Matrices $E_{i,j}$, utilisation dans la décomposition d'une matrice.
Produit matriciel, définitions et propriétés. Produit de matrices de type $E_{i,j}$.
Transposée : définition. Transposée de la somme, transposée du produit.
Matrice identité. Opérations élémentaires, matrices associées.
Système linéaire : vocabulaire, écriture matricielle, résolution par pivot de Gauss.
Matrices triangulaires, cas du produit. Matrices symétriques, antisymétriques. Inverse d'une matrice, formule du produit, de la transposée. Calcul de puissances, formule du binôme de Newton.
Calcul d'inverse par résolution de système ou par pivot de Gauss sur les matrices. Cas particulier des matrices triangulaires.
Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Calculer les puissances de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Démonstration de la formule du binôme de Newton pour les matrices.
Preuve de la formule d'inverse de l'inverse, d'inverse du produit ou d'inverse de la transposée.
Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.
Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.
Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.
Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone.
Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.
Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ qui vérifie $f(0)=1$ et $f(1)=0$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Montrer que $x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ possède une unique solution dans $[2,+\infty[$.
Notion de voisinage. Limite finie/infinie d'une fonction en un point fini/infini. Unicité de la limite.
Limite à droite, à gauche. Lien avec la limite au point.
Caractérisation séquentielle de la limite. Opérations usuelles sur les limites.
Passage à la limite dans une relation d'ordre. Théorème d'encadrement. Théorème de comparaison.
Théorème de la limite monotone.
Continuité en un point. Continuité à droite, à gauche. Caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes. Théorème de la bijection. Application au cas des suites implicites.
Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ qui vérifie $f(0)=1$ et $f(1)=0$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Montrer sans étude de variations que que $x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Montrer que $x^3 - 3x^2 + 1 = 0$ possède une unique solution dans $[2,+\infty[$.
Équations différentielles $y' + a(t) y = b(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Résolution de l'équation homogène.
Recherche de solution particulière par variation de la constante, ou en testant des formes données quand $a$ est constante (cas d'un $b(t)$ constant, polynomial, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$)
Résolution de l'équation $y' + a(t) y = b(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.
Équations différentielles $y'' + ay' + by = f(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Équation caractéristique, résolution de l'équation homogène en fonction des valeurs des racines (cas des fonctions réelles et cas des fonctions complexes).
Recherche de solution particulière dans le cas où $f(t)$ est constante, polynomiale, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$.
Résolution de l'équation $y'' + ay' + by = f(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.
Démonstration du principe de superposition (pour l'ordre 1 ou l'ordre 2).
Démonstration de l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y' + a(t) y = 0$.
Résoudre le problème de Cauchy $y'- \frac{y}{t} =t^2$ et $y(1)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$.
Résoudre le problème de Cauchy $y''-4y'+3y = \sin(2t)$, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Équations différentielles $y' + a(t) y = b(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Résolution de l'équation homogène.
Recherche de solution particulière par variation de la constante, ou en testant des formes données quand $a$ est constante (cas d'un $b(t)$ constant, polynomial, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$)
Résolution de l'équation $y' + a(t) y = b(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.
Équations différentielles $y'' + ay' + by = f(t)$: définition, équation homogène associée, principe de superposition. Équation caractéristique, résolution de l'équation homogène en fonction des valeurs des racines (cas des fonctions réelles et cas des fonctions complexes).
Recherche de solution particulière dans le cas où $f(t)$ est constante, polynomiale, de type $e^{\alpha t}$, $\sin(\omega t)$ ou $\cos(\omega t)$.
Résolution de l'équation $y'' + ay' + by = f(t)$ complète, résolution d'un problème de Cauchy.
Démonstration du principe de superposition (pour l'ordre 1 ou l'ordre 2).
Démonstration de l'ensemble des solutions de l'équation homogène $y' + a(t) y = 0$.
Résoudre le problème de Cauchy $y'- \frac{y}{t} =t^2$ et $y(1)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$.
Résoudre le problème de Cauchy $y''-4y'+3y = \sin(2t)$, $y(0)=0$ et $y'(0)=0$ pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Définition d'un polynôme. Identification des coefficients dans une égalité. Opérations usuelles: somme, produit, composition. Notion de degré et de coefficient dominant. Degré d'une somme, degré d'un produit. Un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des polynômes est nul.
Diviseur, multiple. Théorème de division euclidienne. Exemples de calculs concrets. Degré du quotient.
Notion de fonction polynomiale, compatibilité avec les opérations usuelles. Racine, définition et lien avec la divisibilité. Extension au cas de plusieurs racines deux à deux distinctes. Un polynôme de degré inférieur à $n$ admettant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul. Multiplicité d'une racine.
Polynôme scindé. Somme et produit des racines.
Polynôme dérivé. Opérations usuelles, formule du degré, expression des polynômes dérivés successifs. Formule de Taylor. Lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives.
Théorème de d'Alembert Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dans $\mathbb{R}[X]$. Racines conjuguées dans le cas d'un polynôme à coefficients réels.
Fractions rationnelles : définition, décomposition dans le cas d'un dénominateur scindé à racines simples. Application au calcul de primitives.
Démontrer la formule de degré d'une somme et de degré d'un produit.
Démontrer l'unicité dans le théorème de division euclidienne.
Montrer que si $\forall x \in [-1,1]$, $ax^2+bx+c=0$, alors $a=b=c=0$.
Démontrer la formule de dérivée $k$-ième d'un polynôme de degré $n$.
Définition d'un polynôme. Identification des coefficients dans une égalité. Opérations usuelles: somme, produit, composition. Notion de degré et de coefficient dominant. Degré d'une somme, degré d'un produit. Un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des polynômes est nul.
Diviseur, multiple. Théorème de division euclidienne. Exemples de calculs concrets. Degré du quotient.
Notion de fonction polynomiale, compatibilité avec les opérations usuelles. Racine, définition et lien avec la divisibilité. Extension au cas de plusieurs racines deux à deux distinctes. Un polynôme de degré inférieur à $n$ admettant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul. Multiplicité d'une racine.
Polynôme scindé. Somme et produit des racines.
Polynôme dérivé. Opérations usuelles, formule du degré, expression des polynômes dérivés successifs. Formule de Taylor. Lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives.
Théorème de d'Alembert Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dans $\mathbb{R}[X]$. Racines conjuguées dans le cas d'un polynôme à coefficients réels.
Fractions rationnelles : définition, décomposition dans le cas d'un dénominateur scindé à racines simples. Application au calcul de primitives.
Démontrer la formule de degré d'une somme et de degré d'un produit.
Démontrer l'unicité dans le théorème de division euclidienne.
Montrer que si $\forall x \in [-1,1]$, $ax^2+bx+c=0$, alors $a=b=c=0$.
Démontrer la formule de dérivée $k$-ième d'un polynôme de degré $n$.
Dérivabilité en un point, lien avec une écriture de type $f(a+h) = f(a) + v h + v \epsilon(h)$ (les développements limités n'ont pas encore été vus par ailleurs), tangente à la courbe. Cas des dérivées à droite ou à gauche.
Toute fonction dérivable est continue. Dérivabilité sur un intervalle.
Opérations sur les fonctions dérivables: combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque.
Points critiques, caractérisation d'un extremum local par la dérivée.
Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, fonctions lispchitziennes, inégalité des accroissements finis. Application au cas des suites récurrentes.
Caractérisation des fonctions constantes et (strictement) monotones. Théorème de la limite de la dérivée.
Démontrer la formule de dérivée du produit.
Démonstration de la caractérisation d'un extremum par la dérivée.
Démontrer qu'une fonction dérivable est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée est positive sur $I$.
Définition d'un polynôme. Identification des coefficients dans une égalité. Opérations usuelles: somme, produit, composition. Notion de degré et de coefficient dominant. Degré d'une somme, degré d'un produit. Un produit de polynômes est nul si et seulement si l'un des polynômes est nul.
Diviseur, multiple. Théorème de division euclidienne. Exemples de calculs concrets. Degré du quotient.
Notion de fonction polynomiale, compatibilité avec les opérations usuelles. Racine, définition et lien avec la divisibilité. Extension au cas de plusieurs racines deux à deux distinctes. Un polynôme de degré inférieur à $n$ admettant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul. Multiplicité d'une racine.
Polynôme scindé. Somme et produit des racines.
Polynôme dérivé. Opérations usuelles, formule du degré, expression des polynômes dérivés successifs. Formule de Taylor. Lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives.
Théorème de d'Alembert Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dans $\mathbb{R}[X]$. Racines conjuguées dans le cas d'un polynôme à coefficients réels.
Fractions rationnelles : définition, décomposition dans le cas d'un dénominateur scindé à racines simples. Application au calcul de primitives.
Dérivabilité en un point, lien avec une écriture de type $f(a+h) = f(a) + v h + v \epsilon(h)$ (les développements limités n'ont pas encore été vus par ailleurs), tangente à la courbe. Cas des dérivées à droite ou à gauche.
Toute fonction dérivable est continue. Dérivabilité sur un intervalle.
Opérations sur les fonctions dérivables: combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque.
Points critiques, caractérisation d'un extremum local par la dérivée.
Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, fonctions lispchitziennes, inégalité des accroissements finis. Application au cas des suites récurrentes.
Caractérisation des fonctions constantes et (strictement) monotones. Théorème de la limite de la dérivée.
Dérivées successives. Classe $C^1$, $C^2$, $C^{\infty}$.
Formulaire de dérivées successives. Opérations sur les dérivées. Formule de Leibniz.
Formule de composition pour les dérivées successives. Formule de réciproque.
Fonction convexe, concave. Interprétation géométrique. Convexité d'une fonction une ou deux fois dérivable.
Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes. Cas des accroissements finis.
Démontrer la formule de dérivée du produit.
Démonstration de la caractérisation d'un extremum par la dérivée.
Démontrer qu'une fonction dérivable est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée est positive sur $I$.
En effectuant une décomposition en éléments simples, calculer les dérivées $n$-ièmes de $ x \mapsto \dfrac{x^3 + 3x + 1}{x^2-1} $ sur $]1,+\infty[$.
Démontrer la formule de Leibniz.
Calculer les dérivées $n$-ièmes de $ x \mapsto x^2 e^x $ sur $\mathbb{R}$.
Dérivabilité en un point, lien avec une écriture de type $f(a+h) = f(a) + v h + v \epsilon(h)$ (les développements limités n'ont pas encore été vus par ailleurs), tangente à la courbe. Cas des dérivées à droite ou à gauche.
Toute fonction dérivable est continue. Dérivabilité sur un intervalle.
Opérations sur les fonctions dérivables: combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque.
Points critiques, caractérisation d'un extremum local par la dérivée.
Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, fonctions lispchitziennes, inégalité des accroissements finis. Application au cas des suites récurrentes.
Caractérisation des fonctions constantes et (strictement) monotones. Théorème de la limite de la dérivée.
Dérivées successives. Classe $C^1$, $C^2$, $C^{\infty}$.
Formulaire de dérivées successives. Opérations sur les dérivées. Formule de Leibniz.
Formule de composition pour les dérivées successives. Formule de réciproque.
Fonction convexe, concave. Interprétation géométrique. Convexité d'une fonction une ou deux fois dérivable.
Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes. Cas des accroissements finis.
Démontrer la formule de dérivée du produit.
Démonstration de la caractérisation d'un extremum par la dérivée.
Démontrer qu'une fonction dérivable est croissante sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée est positive sur $I$.
Calculer les dérivées $n$-ièmes de $ x \mapsto \dfrac{x^3 + 3x + 1}{x^2-1} $ sur $]1,+\infty[$.
Démontrer la formule de Leibniz.
Calculer les dérivées $n$-ièmes de $ x \mapsto x^2 e^x $ sur $\mathbb{R}$.
Définition, notion d'élément neutre, d'opposé, de vecteur, de scalaire. $ \lambda \cdot x = 0_E \Longleftrightarrow \lambda = 0 $ ou $ x = 0_E$.
Espaces classiques: $\mathbb{K}^n$, matrices, polynômes, suites, fonctions, produit cartésien d'espaces vectoriels.
Notion de famille finie, de combinaison linéaire. Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel de $E$ contient toujours $0_E$. Intersection de sous-espaces vectoriels.
Sous-espace vectoriel engendré par une famille. Propriétés. Famille génératrice, propriétés (conditions d'ajout ou retrait de vecteurs). Famille libre, propriétés (conditions d'ajout ou retrait de vecteurs). Cas particulier des familles de polynômes échelonnées en degré.
Base, coordonnées. Bases canoniques des espaces usuels.
Somme de deux sous-espaces vectoriels. Somme directe. Propriétés. Sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Montrer que $\mathbb{C}_n[X]$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.
Montrer qu'une intersection de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Montrer que $E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3|x=2y\}$ est un espace vectoriel et en déterminer une base.
Montrer que $\mathbb{R}_1[X]$ et $\text{Vect}(X^2)$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}_2[X]$.
Définition, notion d'élément neutre, d'opposé, de vecteur, de scalaire. $ \lambda \cdot x = 0_E \Longleftrightarrow \lambda = 0 $ ou $ x = 0_E$.
Espaces classiques: $\mathbb{K}^n$, matrices, polynômes, suites, fonctions, produit cartésien d'espaces vectoriels.
Notion de famille finie, de combinaison linéaire. Définition et caractérisation d'un sous-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel de $E$ contient toujours $0_E$. Intersection de sous-espaces vectoriels.
Sous-espace vectoriel engendré par une famille. Propriétés. Famille génératrice, propriétés (conditions d'ajout ou retrait de vecteurs). Famille libre, propriétés (conditions d'ajout ou retrait de vecteurs). Cas particulier des familles de polynômes échelonnées en degré.
Base, coordonnées. Bases canoniques des espaces usuels.
Somme de deux sous-espaces vectoriels. Somme directe. Propriétés. Sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Montrer que $\mathbb{C}_n[X]$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.
Montrer qu'une intersection de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Montrer que $E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3|x=2y\}$ est un espace vectoriel et en déterminer une base.
Montrer que $\mathbb{R}_1[X]$ et $\text{Vect}(X^2)$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}_2[X]$.
Relation d'équivalence entre fonctions: définition, transitivité, lien avec les limites, conservation du signe. Règles de calcul : produit, quotient, puissances, valeur absolue, composition à droite. Interdiction de sommer ou de composer à gauche.
Équivalents usuels au voisinage de $0$ de $\ln(1+x)$, $e^x-1$, $\sin(x)$, $\cos(x)-1$, $(1+x)^\alpha - 1$, $\text{sh}(x)$, $\text{ch}(x) - 1$, $\tan(x)$, $\arctan(x)$.
Relation d'équivalence entre les suites, adaptation des résultats précédents.
Domination et négligeabilité entre fonctions: définition, comparaison avec $1$, transitivité. Règles de calcul : somme, produit, passage à la puissance, composition à droite.
Relation entre équivalence et négligeabilité: $ f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) \underset{x \to a}{=} o(g(x))$. Remplacement dans un petit o par une fonction équivalente.
Négligeabilités classiques (obtenues par croissances comparées).
Relation de domination ou négligeabilité entre suites: adaptation des résultats précédents.
Démontrer une formule d'équivalent classique au voisinage de $0$ (au choix du colleur)
Retrouver la limite de la suite définie par $u_n = (1 + \frac{1}{n})^n $ (ou une de ses variantes)
Soit $u$ une suite qui vérifie $u_n = -2 + \frac{3}{n} + \frac{4}{n\ln(n)} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ Déterminer les limites de $(u_n)$, $((u_n+2)n)$ et $((u_n+2-\frac{3}{n})n^2)$.
Relation d'équivalence entre fonctions: définition, transitivité, lien avec les limites, conservation du signe. Règles de calcul : produit, quotient, puissances, valeur absolue, composition à droite. Interdiction de sommer ou de composer à gauche.
Équivalents usuels au voisinage de $0$ de $\ln(1+x)$, $e^x-1$, $\sin(x)$, $\cos(x)-1$, $(1+x)^\alpha - 1$, $\text{sh}(x)$, $\text{ch}(x) - 1$, $\tan(x)$, $\arctan(x)$.
Relation d'équivalence entre les suites, adaptation des résultats précédents.
Domination et négligeabilité entre fonctions: définition, comparaison avec $1$, transitivité. Règles de calcul : somme, produit, passage à la puissance, composition à droite.
Relation entre équivalence et négligeabilité: $ f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) \underset{x \to a}{=} o(g(x))$. Remplacement dans un petit o par une fonction équivalente.
Négligeabilités classiques (obtenues par croissances comparées).
Relation de domination ou négligeabilité entre suites: adaptation des résultats précédents.
Démontrer une formule d'équivalent classique au voisinage de $0$ (au choix du colleur)
Retrouver la limite de la suite définie par $u_n = (1 + \frac{1}{n})^n $ (ou une de ses variantes)
Soit $u$ une suite qui vérifie $u_n = -2 + \frac{3}{n} + \frac{4}{n\ln(n)} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ Déterminer les limites de $(u_n)$, $((u_n+2)n)$ et $((u_n+2-\frac{3}{n})n^2)$.
Cardinal. Partie d'un ensemble et lien avec le cardinal. Formule de somme (cas disjoint et cas général). Formule de partition. Formule de différence. Formule du complémentaire. Formule du produit.
Principe des tiroirs. Lien entre injective, surjective, bijective pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal du nombre d'applications entre deux ensembles finis.
Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
$p$-liste d'un ensemble, $p$-liste d'éléments distincts. Permutations. Dénombrements associés.
Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Dénombrement associé.
Rappel des formules de Pascal et du binôme de Newton.
Démonstration par récurrence de la formule de partition.
Démonstration de la formule de cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
Démonstration combinatoire de la formule de Pascal.
Cardinal. Partie d'un ensemble et lien avec le cardinal. Formule de somme (cas disjoint et cas général). Formule de partition. Formule de différence. Formule du complémentaire. Formule du produit.
Principe des tiroirs. Lien entre injective, surjective, bijective pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal du nombre d'applications entre deux ensembles finis.
Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
$p$-liste d'un ensemble, $p$-liste d'éléments distincts. Permutations. Dénombrements associés.
Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Dénombrement associé.
Rappel des formules de Pascal et du binôme de Newton.
Démonstration par récurrence de la formule de partition.
Démonstration de la formule de cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini $E$.
Démonstration combinatoire de la formule de Pascal.
Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.
Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.
Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.
Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.
Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.
Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.
Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.
Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.
Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$
Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.
Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Règles de modification d'une famille génératrice. Cardinaux des familles libres et génératrices.
Théorème de la base extraite. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base incomplète.
Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation des bases par le cardinal.
Rang d'une famille de vecteurs : définition et propriétés.
Sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie. Définition de droite vectorielle, de plan vectoriel. Formule de Grassman.
Existence de supplémentaires en dimension finie. Méthodes de construction.
Caractérisations de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie en utilisant les dimensions ou des bases adaptées.
Montrer qu'en dimension finie, une famille libre (ou génératrice) est une base si et seulement si son cardinal est égal à la dimension de l'espace.
Démontrer la formule de Grassman dans le cas où les espaces vectoriels sont différents de $\{0_E\}$
Démontrer l'existence d'un supplémentaire en dimension finie.
Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.
Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.
Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.
Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.
Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.
Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.
Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.
Développements limités : définition, unicité, troncature. Cas des fonctions paires ou impaires. Somme, produit, primitivation. Application au développement limité de $\tan(x)$ en $0$ à l'ordre $3$.
Continuité et développement limité d'ordre $0$. Dérivabilité et développement limité d'ordre $1$. Formule de Taylor Young.
Développements limités usuels en $0$: $\exp$, $\text{sh}$, $\text{ch}$, $\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\ln(1+x)$, $\arctan(x)$, $(1+x)^\alpha$, $\sin(x)$, $\cos(x)$.
Applications: recherche de limite ou d'équivalent, position relative de la courbe et de sa tangente, recherche d'asymptote (à l'aide de développements asymptotiques), recherche d'extremum. Étude asymptotique de suites.
Démonstration du développement limité de tangente à l'ordre $3$ en $0$.
Démonstration du lien entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre $1$.
Déterminer un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x \mapsto \frac{1}{1+\ln(1+x)}$.
Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.
Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.
Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).
Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.
Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.
On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?
Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.
Expérience aléatoire, univers, événement. Vocabulaire des événements : événement élémentaire, contraire, certain, impossible, événements incompatibles… Manipulation des unions, intersections, inclusions.
Système complet d'événements : définition, décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.
Probabilité, espace probabilisé, probabilité uniforme. Distribution de probabilité, détermination d'une probabilité sur les événements élémentaires. Propriétés générales des probabilités (opérations usuelles, croissance au sens de l'inclusion).
Probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
Indépendance de deux événements. Lien avec la probabilité conditionnelle. Complémentaire et indépendance. Indépendance d'une famille finie d'événements.
Démontrer que la probabilité conditionnelle $P_B$ est bien une probabilité.
On considère trois urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (l'urne $U_i$ contient $i$ boules blanches et $3$ boules noires). On choisit une urne au hasard, puis on pioche une boule dedans. Quelle est la probabilité que la boule piochée soit noire ?
Démontrer les deux versions de la formule de Bayes.
Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.
Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.
Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.
Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.
Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.
Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.
Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.
Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.
Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$
Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.
Définition et caractérisation d'application linéaire. Valeur en $0$. Combinaison linéaire ou composée d'applications linéaires. Distributivité avec la composition.
Définiton d'isomorphisme. Linéarité de la réciproque, composée d'isomorphismes.
Image directe ou réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Cas particulier du noyau et de l'image. Lien avec injectivité et surjectivité. Famille génératrice de l'image dans le cas de la dimension finie.
Rang d'une application linéaire. Définition, inégalités classiques, invariance par composition par un isomorphisme.
Endomorphismes. Homothéties. Espace vectoriel des endomorphismes. Puissances d'un endomorphisme. Formule du binôme de Newton.
Projecteurs, symétries. Définitions. Si $p$ est un projecteur sur $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Im}(p)= \text{Ker}(p-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(p)$. Si $s$ est une symétrie par rapport à $F_1$ parallèlement à $F_2$, $F_1 = \text{Ker}(s-id_E)$ et $F_2 = \text{Ker}(s+id_E)$. Caractérisation d'un projecteur ou d'une symétrie.
Automorphismes, groupe linéaire. Propriétés de la composition.
Montrer que l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est un espace vectoriel.
Montrer que si $(e_1,…,e_n)$ est une famille génératrice de l'espace de départ, Im$(f)=$ Vect$(f(e_1),… , f(e_n))$
Montrer que dans $\mathbb{R}^2$, $(x,y) \mapsto (4x-6y,2x-3y) $ est un projecteur et déterminer ses caractéristiques.
Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.
Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.
Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.
Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.
Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.
Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.
Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.
Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.
Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.
En se ramenant à une équation linéaire (l'utilisation directe de la formule arithmético-géométrique est donc proscrite), déterminer les suites réelles vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2 u_n + 3$.
Définition d'une application linéaire depuis un espace de dimension finie par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité, surjectivité, bijectivité par l'image d'une base.
Espaces isomorphes. Lien entre être de dimension $n$ et être isomorphe à $\mathbb{K}^n$. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension. Dimension de $\mathcal{L}(E,F)$.
Quand les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension, lien entre injectivité, surjectivité, bijectivité. Dans ce cas d'égalité des dimensions, on a également que si $f \circ g$ ou $g \circ f$ vaut l'identité, $f$ est bijective de réciproque $g$.
Caractérisation d'une application linéaire par la restriction à deux sous-espaces supplémentaires.
Théorème du rang : forme géométrique et forme classique.
Lien entre applications linéaires et solutions d'équations linéaires. Notion d'équation homogène associée, forme générale des solutions de l'équation complète.
Formes linéaires, hyperplans. En dimension finie, si $H$ est un hyperplan et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $ E = H \oplus D $.
Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective.
Démontrer que si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels avec $\dim(E) = \dim(F)$ et $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,E)$, si $f \circ g =$id ou $g \circ f =$id, alors $f$ est bijective de réciproque $g$.
En se ramenant à une équation linéaire (l'utilisation directe de la formule arithmético-géométrique est donc proscrite), déterminer les suites réelles vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2 u_n + 3$.
Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.
Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.
Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.
Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.
Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.
Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)
Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.
Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $
Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.
Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.
Il n'y a pas de colles cette semaine.
Notion de subdivision, fonction en escalier, calcul de l'intégrale associé. Élargissement au cas d'une fonction continue sur un segment. Valeur moyenne.
Propriétés des intégrales de fonctions continues: linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, stricte positivité (et application au cas d'une intégrale nulle par contraposée), inégalité triangulaire.
Gestion des limites et études asymptotiques par encadrements.
Sommes de Riemann. Définition, théorème de convergence dans le cas continu.
Lien entre intégrale et primitive: théorème fondamental de l'analyse, dérivabilité d'une fonction des bornes. Application à l'intégrale de fonctions paires, impaires ou périodiques.
Formule de Taylor avec reste intégral (énoncé non exigible). Inégalité de Taylor-Lagrange (deux versions: avec et sans valeurs absolues)
Extension de l'intégrale au cas des fonctions complexes.
Montrer que $\int_x^{x+1} e^t \ln(t) dt \underset{x \to +\infty}{\sim} e^x (e-1) \ln(x) $
Démonstration de l'inégalité triangulaire pour les intégrales.
Montrer à l'aide d'une formule de Taylor que $\forall x > 0$, $\ln(1+x) \geq x - \dfrac{x^2}{2}$.
Variable aléatoire : définition, système complet d'événements associé.
Loi d'une variable aléatoire. Fonction d'une variable aléatoire et obtention de sa loi.
Variables aléatoires usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, variable indicatrice d'un événement, loi binomiale.
Loi conditionnelle d'une variable aléatoire.
Couple de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe.
Indépendance de deux variables aléatoires. Lien avec les distributions de probabilités. Indépendance d'un $n$-uplet de variables aléatoires.
Lemme des coalitions.
Expression d'une variable aléatoire binomiale comme somme indépendante de variables de Bernoulli. Interprétation comme nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes.
Une urne contient $3$ boules blanches, $4$ boules vertes, $5$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues, $Y$ le nombre de boules vertes. Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$.
On tire deux dés, en notant $X$ la somme des deux résultats et $Y$ leur produit. Montrer que $X$ et $Y$ ne sont pas des variables aléatoires indépendantes.
Démontrer qu'une somme de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
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Il n'y a pas de colles cette semaine.
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