Mathématiques
Semaine 22.
Étudiants: vos colles et groupes de TD/TP de la semaine: ici
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En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)
Questions de cours (sur 6 points):
Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.
70. Pour $A$ et $B$ deux sev de $E$, $A$ et $B$ sont en somme directe si, et seulement si, tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en somme d'un vecteur de $A$ et d'un vecteur de $B$.
71. Définition d'une famille libre, d'une famille génératrice. Libre maximale implique génératrice. Génératrice minimale implique libre.
72. Soit $A$ une famille génératrice finie de $E$, alors toute famille libre $B$ incluse dans $A$ peut être complétée en une base de $E$ à l’aide de vecteurs de $A$.
73. Soit $A$ une famille à $n$ éléments, alors toute famille $B$ à $n+1$ éléments incluse dans ${\rm Vect} A$ est liée.
74. Formule de Grassmann.
75. Définition d'une application linéaire. La composée de deux applications linéaires est linéaire.
76. Définition de ${\rm Ker} f$, ${\rm Im} f$, ce sont des sev.
77. Pour $f \in {\cal L}(E,F)$, $f$ est injective si, et seulement si, ${\rm Ker} f= \{0\}$.
Exercices sur le cours (12 points):
Chapitre 13: espaces vectoriels: exercices sur les sev, familles libres, liées, la dimension finie.
Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)
