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Semaine 26.

En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Questions de cours (sur 6 points):

Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.

89. Définition d'un univers, d'un événement, d'une probabilité. $P(\emptyset) = 0$.

90. Propriétés d'une probabilité: réunion, contraire, croissance.

91. Définition d'une probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées.

92. Formule des probabilités totales.

93. Théorème de Bayes, pour 2 événements, pour un système complet.

94. Lois uniforme, de Bernoulli, binomiale: définitions.

Exercices sur le cours (12 points):

Chapitre 14: dénombrement.

Chapitre 15: probabilités (pas d'exercices sur les variables aléatoires).

Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Document de 5 Mo, dans Mathématiques/TD, DM, DS et corrections

Document de 243 ko, dans Mathématiques/TD, DM, DS et corrections

Document de 96 ko, dans Général

Semaine 25.

En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Questions de cours (sur 6 points):

Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.

82. Définition de la trace, $Tr(AB)=Tr(BA)$.

83. Définition d'une forme $n$-linéaire alternée sur $E$, du déterminant dans une base, et de la droite des applications $n$-linéaires alternées sur $E$. Démonstration dans le cas $n=2$.

84. Développement d'un déterminant selon la première ligne.

85. Cardinal d'un produit cartésien, de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$, de ${\cal P}(E)$ (pas de démonstration).

86. Nombre d'injections, de bijections, de $p$-listes.

87. Nombre de parties de $E$ à $p$ éléments, combinaisons.

88. Propriétés des coefficients du binômes: démonstrations ensemblistes/combinatoires.

89. Définition d'un univers, d'un événement, d'une probabilité. $P(\emptyset) = 0$.

90. Propriétés d'une probabilité: réunion, contraire, croissance.

91. Définition d'une probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées.

92. Formule des probabilités totales.

93. Théorème de Bayes, pour 2 événements.

Exercices sur le cours (12 points):

Chapitre 13: déterminants.

Chapitre 14: dénombrement.

Chapitre 15: probabilités (pas d'exercice).

Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Statique

Document de 733 ko, dans Mathématiques/TD, DM, DS et corrections

Semaine 24.

En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Questions de cours (sur 6 points):

Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.

78. Théorème du rang (avec le théorème du supplémentaire du noyau).

79. Projecteurs, symétries: définitions. Pour un projecteur, le noyau et l'image sont supplémentaires.

80. Matrice de passage: définition, changement de coordonnées: $X = PX'$.

81. Formule de changement de base pour un endomorphisme: $A'= P^{-1} A P$.

82. Définition de la trace, $Tr(AB)=Tr(BA)$.

83. Définition d'une forme $n$-linéaire alternée sur $E$, du déterminant dans une base, et de la droite des applications $n$-linéaires alternées sur $E$. Démonstration dans le cas $n=2$.

84. Développement d'un déterminant selon la première ligne.

85. Cardinal d'un produit cartésien, de l'ensemble des applications de $E$ dans $F$, de ${\cal P}(E)$ (pas de démonstration).

86. Nombre d'injections, de bijections, de $p$-listes.

87. Nombre de parties de $E$ à $p$ éléments, combinaisons.

88. Propriétés des coefficients du binômes: démonstrations ensemblistes/combinatoires.

Exercices sur le cours (12 points):

Chapitre 13: espaces vectoriels, en particulier matrices d'applications linéaires et déterminants.

Chapitre 14: dénombrement (pas d'exercices).

Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Semaine 23.

En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Questions de cours (sur 6 points):

Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.

73. Soit $A$ une famille à $n$ éléments, alors toute famille $B$ à $n+1$ éléments incluse dans ${\rm Vect} A$ est liée.

74. Formule de Grassmann.

75. Définition d'une application linéaire. La composée de deux applications linéaires est linéaire.

76. Définition de ${\rm Ker} f$, ${\rm Im} f$, ce sont des sev.

77. Pour $f \in {\cal L}(E,F)$, $f$ est injective si, et seulement si, ${\rm Ker} f= \{0\}$.

78. Théorème du rang (avec le théorème du supplémentaire du noyau).

79. Projecteurs, symétries: définitions. Pour un projecteur, le noyau et l'image sont supplémentaires.

80. Matrice de passage: définition, changement de coordonnées: $X = PX'$.

81. Formule de changement de base pour un endomorphisme: $A'= P^{-1} A P$.

Exercices sur le cours (12 points):

Chapitre 13: espaces vectoriels: pas d'exercices sur les déterminants.

Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Semaine 22.

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En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Questions de cours (sur 6 points):

Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.

70. Pour $A$ et $B$ deux sev de $E$, $A$ et $B$ sont en somme directe si, et seulement si, tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en somme d'un vecteur de $A$ et d'un vecteur de $B$.

71. Définition d'une famille libre, d'une famille génératrice. Libre maximale implique génératrice. Génératrice minimale implique libre.

72. Soit $A$ une famille génératrice finie de $E$, alors toute famille libre $B$ incluse dans $A$ peut être complétée en une base de $E$ à l’aide de vecteurs de $A$.

73. Soit $A$ une famille à $n$ éléments, alors toute famille $B$ à $n+1$ éléments incluse dans ${\rm Vect} A$ est liée.

74. Formule de Grassmann.

75. Définition d'une application linéaire. La composée de deux applications linéaires est linéaire.

76. Définition de ${\rm Ker} f$, ${\rm Im} f$, ce sont des sev.

77. Pour $f \in {\cal L}(E,F)$, $f$ est injective si, et seulement si, ${\rm Ker} f= \{0\}$.

Exercices sur le cours (12 points):

Chapitre 13: espaces vectoriels: exercices sur les sev, familles libres, liées, la dimension finie.

Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)