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Semaine 22.

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En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Questions de cours (sur 6 points):

Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.

70. Pour $A$ et $B$ deux sev de $E$, $A$ et $B$ sont en somme directe si, et seulement si, tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en somme d'un vecteur de $A$ et d'un vecteur de $B$.

71. Définition d'une famille libre, d'une famille génératrice. Libre maximale implique génératrice. Génératrice minimale implique libre.

72. Soit $A$ une famille génératrice finie de $E$, alors toute famille libre $B$ incluse dans $A$ peut être complétée en une base de $E$ à l’aide de vecteurs de $A$.

73. Soit $A$ une famille à $n$ éléments, alors toute famille $B$ à $n+1$ éléments incluse dans ${\rm Vect} A$ est liée.

74. Formule de Grassmann.

75. Définition d'une application linéaire. La composée de deux applications linéaires est linéaire.

76. Définition de ${\rm Ker} f$, ${\rm Im} f$, ce sont des sev.

77. Pour $f \in {\cal L}(E,F)$, $f$ est injective si, et seulement si, ${\rm Ker} f= \{0\}$.

Exercices sur le cours (12 points):

Chapitre 13: espaces vectoriels: exercices sur les sev, familles libres, liées, la dimension finie.

Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Document de 4 Mo, dans Mathématiques/TD, DM, DS et corrections

Document de 6 Mo, dans Mathématiques/TD, DM, DS et corrections

Semaine 21.

En début de colle (sur 2 points): un développement limité usuel, ou une formule de trigonométrie, disponibles dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Questions de cours (sur 6 points):

Pour chaque question de cours, la démonstration est à connaître, sauf si le contraire est mentionné.

64. Factorisation des polynômes dans $\mathbb{R}[X]$. Exemple de $X^8-1$.

65. Sous-espaces vectoriels: équivalence des définitions.

66. L'intersection de 2 sev est un sev.

67. Définition de la somme de deux sev, c'est un sev.

68. Définition de ${\rm Vect} A$, c'est un sev.

69. Si $A$ et $B$ sont des sev, alors $A+B = {\rm Vect}(A\cup B)$.

70. Pour $A$ et $B$ deux sev de $E$, $A$ et $B$ sont en somme directe si, et seulement si, tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique en somme d'un vecteur de $A$ et d'un vecteur de $B$.

71. Définition d'une famille libre, d'une famille génératrice. Libre maximale implique génératrice. Génératrice minimale implique libre.

72. Soit $A$ une famille génératrice finie de $E$, alors toute famille libre $B$ incluse dans $A$ peut être complétée en une base de $E$ à l’aide de vecteurs de $A$.

Exercices sur le cours (12 points):

Chapitre 12: polynômes.

Chapitre 13: espaces vectoriels: exercices sur les sev, familles libres, liées, bases.

Le cours complet est disponible dans les "Documents à télécharger" (menu de gauche)

Document de 96 ko, dans Général