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Chapitre 28 - Déterminants

• Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base.
• Déterminant d'un endomorphisme.
• Déterminant d'une matrice carrée.
• Méthodes de calcul par opérations élémentaires et développement de Laplace.

Remarque. Les déterminants de Vandermonde ont été vus en exemple mais la formule est hors-programme.

Chapitre 29 - Produits scalaires

• Produits scalaires espaces préhilbertiens et espaces euclidiens, exemples.
• Norme, identités remarquables et de polarisation, inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire.
• Orthogonal d'une partie, bases orthonormées, orthonormalisation de Gram-Schmidt.
• Projection orthogonale et distance à un sev de dimension finie.

Exemples de questions de cours (énoncé et démonstration) :

1. Définition du déterminant, démonstration en dimension 2.
2. Caractérisation des bases par le déterminant.
3. Formules de développement de Laplace [sans démonstration] + exemple en dimension $n \geq 1$, calcul de : $$\Delta_n = \left|\begin{array}{cccc}3 & 2 & & (0)\\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 2\\ (0) & & 1 & 3\end{array}\right|.$$

4. Inégalité de Cauchy-Schwarz, avec cas d'égalité.
5. En base orthonormée : expression du produit scalaire, de la norme et des coordonnées.
6. Lorsque $F$ (sev d'un espace préhilbertien $E$) est de dimension finie, $F^\perp$ est un supplémentaire de $F$.