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Mathématiques

Déroulement d'une colle

La colle est constituée de deux parties : la première qui dure généralement entre 10 et 15min est dédiée à la restitution d'une démonstration de cours (dont la liste est en bas) qui ne faut pas avoir apprise par cœur mais qui faut savoir refaire. Puis l'examinateur vous donne plusieurs exercices à traiter. Il vous aidera si vous bloquez mais il faut d'abord tenter des choses au tableau. Ne pas paniquez, il ne s'agit pas de vous sanctionner mais de vous aider dans votre apprentissage, le colleur pourra aussi vous donner des explications s'il constate que certains points ne sont pas compris.

Chapitre 1 : Logique

• Quantificateurs ($\forall$, $\exists!$ et $\exists$) et notion de propositions, négation d'une proposition, notion de réciproque et de contraposée
• Écriture de propriétés mathématiques à l'aide de quantificateurs,
• Différents types de raisonnements : raisonnement par implication directe, par contraposée, par l'absurde.
• Raisonnements par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple, double et forte).

Chapitre 2 : Étude des fonctions et fonctions usuelles

• Définition et vocabulaire des fonctions, bien travailler la définition de l'ensemble de départ, d'arrivée ainsi que l'image d'une fonction.
• Fonctions bijectives : définitions et propriétés
• Dérivabilité des fonctions: opérations sur les dérivées (combinaison linéaire, produit, quotient, composition, bijection réciproque)
• Fonctions usuelles : logarithme, exponentielle, puissance (les fonctions valeur absolue, trigonométriques, trigonométriques réciproques et hyperboliques ne sont pas au programme de colle de cette semaine), les croissances comparées n'ont pas été démontrées.

Liste des questions de cours :

En question de cours, la preuve de l'un des résultats suivants pourra vous être demandé. Il ne faut pas apprendre les preuves par cœur sans les comprendre. Il faudra d'abord énoncer précisément la propriété demandée puis de la démontrer.

Indépendamment de votre question de cours, le colleur peut à tout moment vous demander de donner une définition ou d'énoncer une propriété (par exemple, définir une fonction bijective, sa bijection réciproque, une fonction dérivable, énoncer le théorème de la bijection strictement monotone etc.) :

• Un entier $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.
• $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel (on pourra admettre que si $n^2$ est pair alors $n$ l'est mais il faut savoir comment le démontrer).
• Si $f$ est une fonction strictement monotone définie sur un intervalle $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ vers $f(I)$.
• Pour tout $a >0$ et pour tout $b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$
• $\ln(1+x)\leqslant x$ (bien préciser le domaine de validité de cette inéquation)
• Une fonction $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ s'écrit d'une unique façon $f=p+i$ avec $p$ paire et $i$ impaire

Physique

Le programmes de colles de cette semaine n'est pas encore défini.