Reprise du programme précédent d’algèbre linéaire, notamment le calcul de déterminants.
• Fonctions continues par morceaux
Définition et intégration sur un segment. Généralisation des propriétés de première année.
• Définitions
Définitions des intégrales généralisées pour des fonctions continues par morceaux (intervalles semi-ouverts et ouverts). Cohérence de la notation (par comparaison aux intégrales sur des segments). Intégrales faussement impropres. CNS de convergence pour l’intégrale d’une fonction continue à l’aide d’une primitive. L’ensemble des applications continues par morceaux ayant une intégrale généralisée convergente est un espace vectoriel, et l’intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace. Relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs complexes.
• Intégrales des fonctions positives
CNS de convergence. Théorème de comparaison (cas f ≤ g, f = O(g) et f ∼ g). Intégration des fonctions de référence et comparaison aux intégrales de Riemann. Si une fonction admet une limite non nulle en +∞, alors elle n’est pas intégrable en +∞.
• Intégrales quelconques
Définition de la convergence absolue et lien avec la convergence. Définition de la semi-convergence et exemples. Espace L1 pour les fonctions continues.
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