Programmes de colles

Physique - Chimie

Mathématiques

Suites et séries numériques

• Révisions de première année sur les suites numériques.
• Révisions de sup sur les séries
  • Vocabulaire : série, somme partielle, somme d’une série convergente, reste d’une série convergente.
  • Structure : définition de la somme de deux séries, et du produit par un scalaire. Structure d’espace vectoriel.
  • Condition nécessaire de convergence : le terme général converge vers 0. Divergence de la série harmonique.
  • Comportement asymptotique : la nature d’une série ne dépend pas de ses premiers termes. Convergence du reste d’une série vers 0.
  • Lien suites-séries.
  • Exemple à connaître : série géométrique.
• Séries à termes positifs
  • Critères de convergence : CNS de convergence.
  • Théorème de comparaison.
  • Théorème de comparaison aux séries géométriques et critère de D’Alembert.
  • Séries de Riemann, et comparaison aux séries de Riemann.
  • Quelques exemples de séries entières : exp, ch, sin, ln.
• Séries à termes quelconques
  • Série exponentielle dans ℂ.
  • Produit de Cauchy et application à exp(z + z′) = exp(z) exp(z′).
  • Séries semi-convergentes : critère des séries alternées.
• Comparaison séries-intégrales

Sciences de l'Ingénieur

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