Derniers contenus

Reprise du programme précédent d’algèbre linéaire, notamment le calcul de déterminants.

Intégrales généralisées

• Fonctions continues par morceaux
Définition et intégration sur un segment. Généralisation des propriétés de première année.

• Définitions
Définitions des intégrales généralisées pour des fonctions continues par morceaux (intervalles semi-ouverts et ouverts). Cohérence de la notation (par comparaison aux intégrales sur des segments). Intégrales faussement impropres. CNS de convergence pour l’intégrale d’une fonction continue à l’aide d’une primitive. L’ensemble des applications continues par morceaux ayant une intégrale généralisée convergente est un espace vectoriel, et l’intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace. Relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs complexes.

• Intégrales des fonctions positives
CNS de convergence. Théorème de comparaison (cas f ≤ g, f = O(g) et f ∼ g). Intégration des fonctions de référence et comparaison aux intégrales de Riemann. Si une fonction admet une limite non nulle en +∞, alors elle n’est pas intégrable en +∞.

• Intégrales quelconques
Définition de la convergence absolue et lien avec la convergence. Définition de la semi-convergence et exemples. Espace L¹ pour les fonctions continues.

Reprise du programme précédent d’algèbre linéaire, notamment le calcul de déterminants.

Intégrales généralisées

• Fonctions continues par morceaux
Définition et intégration sur un segment. Généralisation des propriétés de première année.

• Définitions
Définitions des intégrales généralisées pour des fonctions continues par morceaux (intervalles semi-ouverts et ouverts). Cohérence de la notation (par comparaison aux intégrales sur des segments). Intégrales faussement impropres. CNS de convergence pour l’intégrale d’une fonction continue à l’aide d’une primitive. L’ensemble des applications continues par morceaux ayant une intégrale généralisée convergente est un espace vectoriel, et l’intégrale est une forme linéaire positive sur cet espace. Relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs complexes.

• Intégrales des fonctions positives
CNS de convergence. Théorème de comparaison (cas f ≤ g, f = O(g) et f ∼ g). Intégration des fonctions de référence et comparaison aux intégrales de Riemann. Si une fonction admet une limite non nulle en +∞, alors elle n’est pas intégrable en +∞.

• Intégrales quelconques
Définition de la convergence absolue et lien avec la convergence. Définition de la semi-convergence et exemples. Espace L¹ pour les fonctions continues.

Nombres complexes, polynômes

Révisions de première année.

Espaces vectoriels, applications linéaires, dualité

• Généralités

• Espaces vectoriels, algèbres : définitions, sous-espaces vectoriels, sous-algèbres. Espaces et algèbres engendrés par une partie.
• Dépendance et indépendance linéaire : cas des familles infinies de vecteurs, propriétés. Toute famille de polynômes de degrés deux à deux distincts est libre (preuve).
• Sommes de sous-espaces vectoriels : définition. L'union des sous-espaces vectoriels engendre la somme. Définition et caractérisation des sommes directes, exemples. Cas des sous-espaces supplémentaires.
  K[X]=K_n[X] ⊕ PK[X] où P est un polynôme de degré n+1

• Applications linéaires :

• définitions, noyau, image. Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions à des sous-espaces en somme directe donnant E.
• Projecteurs associés à E=E_1⊕ ...⊕ E_p. Propriétés.
• Théorème d'isomorphisme : une application linéaire induit un isomorphisme de tout supplémentaire de ker u sur Im u. Formule du rang, caractérisation des isomorphimes en dimension finie. Invariance du rang par composition avec un isomorphisme.

ON AJOUTE •

• Calcul matriciel, représentation d'un endomorphisme : Ecriture d'une matrice par blocs, cas d'un endomorphisme possédant un sous-espace stable. Matrice d'une projection, matrices de rang r. Trace d'une matrice et d'un endomorphisme, propriétés. Trace d'un projecteur et d'une rotation.

• Polynômes interpolateurs de Lagrange : Lien avec Vandermonde.

• Propriétés des endomorphismes nilpotents et écriture matricielle dans une base bien choisie.

• Déterminants : révisions de sup et calculs de déterminants par blocs.

• Polynômes d'endomorphismes : définition, règles de calcul, calculs de puissances et d'inverses.

Nombres complexes, polynômes

Révisions de première année.

Espaces vectoriels, applications linéaires, dualité

• Généralités

• Espaces vectoriels, algèbres : définitions, sous-espaces vectoriels, sous-algèbres. Espaces et algèbres engendrés par une partie.
• Dépendance et indépendance linéaire : cas des familles infinies de vecteurs, propriétés. Toute famille de polynômes de degrés deux à deux distincts est libre (preuve).
• Sommes de sous-espaces vectoriels : définition. L'union des sous-espaces vectoriels engendre la somme. Définition et caractérisation des sommes directes, exemples. Cas des sous-espaces supplémentaires.
  K[X]=K_n[X] ⊕ PK[X] où P est un polynôme de degré n+1

• Applications linéaires :

• définitions, noyau, image. Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions à des sous-espaces en somme directe donnant E.
• Projecteurs associés à E=E_1⊕ ...⊕ E_p. Propriétés.
• Théorème d'isomorphisme : une application linéaire induit un isomorphisme de tout supplémentaire de ker u sur Im u. Formule du rang, caractérisation des isomorphimes en dimension finie. Invariance du rang par composition avec un isomorphisme.

A PARTIR DU 5 OCTOBRE SEULEMENT •

• Calcul matriciel, représentation d'un endomorphisme : Ecriture d'une matrice par blocs, cas d'un endomorphisme possédant un sous-espace stable. Matrice d'une projection, matrices de rang r. Trace d'une matrice et d'un endomorphisme, propriétés. Trace d'un projecteur et d'une rotation.

• Polynômes interpolateurs de Lagrange : Lien avec Vandermonde.

• Propriétés des endomorphismes nilpotents et écriture matricielle dans une base bien choisie.

• Déterminants : révisions de sup et calculs de déterminants par blocs.

• Polynômes d'endomorphismes : définition, règles de calcul, calculs de puissances et d'inverses.