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Chimie PSI - semaine du 2026-02-09

Chp 9 - SÉRIES ENTIÈRES

• CONVERGENCE DE SÉRIES ENTIÈRES
  1. Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
  2. Convergence simple, normale d'une série entière,
  3. Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
  4. Somme et produit de séries entières
• FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
  1. Intervalle de convergence,
  2. Dérivation d'une série entière
  3. Intégration d'une série entière
  4. Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
• DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
  
  1. Fonction développable en série entière
  2. Série de Taylor
  3. Rappel des formules de Taylor
  4. Opérations sur les fonctions développables en séries entières
  5. Développements en série entière usuels
  6. Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)

Questions de cours

• Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
• Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
• Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
• Lemme d'Abel (démonstration)
• $\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
• Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.
• Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, savoir prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes :
  

  (i) $u$ est une isométrie vectorielle.

  (ii) $u$ conserve le produit scalaire.

  (iii) L'image par $u$ de toute base orthonormée est une base orthonormée.

      (iii) Il existe une base orthonormée dont l'image par $u$ est une base orthonormée.  

Voici la liste des séances de Cours et TP d'informatique avec leurs corrigés. Il est parfois nécessaire de télécharger des fichiers associés pour faire les TP. Le cours de Bases de données en SQL est assuré par Mme Delaët.

1. Remise en chauffe en Python Slides de rappels + TP + CorrectionTP
2. Listes, chaînes de caractères, complexité Slides Listes et Chaines + Slides Complexité + TP + Correction TP
3. Dictionnaires et fonctions de hachage Slides + Cours et TP + Correction TP
   

   Fichier à télécharger en amont : ListeMotsFrancais.txt

4. Programmation dynamique et mémoïsation SlidesRecursion + SlidesProgDynMemo + Cours et TP + Correction TP
   

   Fichier à télécharger en amont : ListeMots.txt

5. Programmation dynamique : distance d'édition (Levenstein) Cours et TP + Correction TP
6. Programmation dynamique : distance dans un graphe (Floyd-Warshall)  Cours et TP + Correction TP
   Fichiers à télécharger en amont du TP : TP_06.py + Dico_Metro-Numero.py + Matrice_distance_Metro.npy
7. Algorithme des k-plus proches voisins  Cours et TP + Fichier Python exemples cours + Test1.jpeg + Correction TP
   Fichiers à télécharger en amont du TP : TP_07.py + iris.csv
8. Algorithme des k-moyennes  Cours et TP + Algorithmes du cours + Correction TP
   Fichiers à télécharger en amont du TP : TP_08.py + Hooke_Bernoulli.jpg
9. Graphes et théorie des jeux  Cours et TP + Correction TP
   Fichiers à télécharger en amont du TP : MagicWand.py + guepiers.jpg
10. Théorie des jeux : Modélisation, calcul des attracteurs, stratégie gagnante Cours et TP + Slides + Correction des exercices (Q1 à Q7)
    Fichiers à télécharger en amont du TP : TP_10.py
11. Théorie des jeux : notion d'heuristique, algorithme du min-max Cours et TP + Slides + Modélisation du Puissance 4 + Correction des exercices
    Si jamais vous n'avez plus votre fichier de la séance précédente ou pas réussi à coder Q1 à Q7, reprenez directement à la suite du fichier Correction des exercices (Q1 à Q7).
12. Révisions

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PSI_Colle_S19

PSI_Colle_S17

Chp 9 - SÉRIES ENTIÈRES

• CONVERGENCE DE SÉRIES ENTIÈRES
  1. Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
  2. Convergence simple, normale d'une série entière,
  3. Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
  4. Somme et produit de séries entières
• FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
  1. Intervalle de convergence,
  2. Dérivation d'une série entière
  3. Intégration d'une série entière
  4. Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
• DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
  
  1. Fonction développable en série entière
  2. Série de Taylor
  3. Rappel des formules de Taylor
  4. Opérations sur les fonctions développables en séries entières
  5. Développements en série entière usuels
  6. Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)

Questions de cours

• Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
• Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
• Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
• Lemme d'Abel (démonstration)
• $\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
• Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.
• Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, savoir prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes :
  

  (i) $u$ est une isométrie vectorielle.

  (ii) $u$ conserve le produit scalaire.

  (iii) L'image par $u$ de toute base orthonormée est une base orthonormée.

      (iii) Il existe une base orthonormée dont l'image par $u$ est une base orthonormée.  

Le 05/01/2026 : Interrogation n°1 - Séries numériques, algèbre linéaire, réduction

Le 13/01/2026 : Interrogation n°2 - Intégration et suites, séries de fonctions (début)

Le 19/01/2026 : Interrogation n°3 - Suites et séries de fonctions

Le 27/02/2026 : Interrogation n°4 - Séries entières (non donnée)

Le ??/??/2026 : Interrogation n°??? - ???

Le ??/??/2026 : Interrogation n°??? - ???

Le 27/09/2025 : DS n°1 sur la réduction : énoncé et corrigé

Le 22/11/2025 : DS n°2 sur les probabilités, l'intégration et les séries: énoncé et corrigé

Le 13/12/2025 : DS n°3 sur les evn et les eve : énoncé et corrigé

Le 07/02/2026 : DS n°4 sur Suites et séries de de fonctions, séries entières, endomorphismes des espaces euclidiens : énoncé et corrigé

Le ??/??/2026 : DS n°5 - Concours blanc (tout dont ???) : énoncé et corrigé

Le ??/??/2026 : DS n°6 - Tout depuis le début de l'année, dont ??? : énoncé et corrigé 

Pour le 11/09/2025 : DM n°1 sur l'algèbre linéaire : Sujet et corrigé

Pour le 02/10/2025 : DM n°2 sur la réduction : Sujet 1, Sujet 2 (cf. DS1) et corrigé

Pour le 06/11/2025 : DM n°3 sur les séries et intégrales : Sujet et corrigé du Problème 1 et des Exercices 1 et 2

Pour le 27/11/2025 : DM n°4 sur les probabilités : Sujet et corrigé

Pour le 11/12/2025 : DM n°5 sur les evn : Sujet (Mines 2023) et corrigé

Pour le 06/01/2026 : DM n°6 sur la réduction et les probabilités : Pb (matrices de rang 1) CCINP MP 2025 et corrigé

Pour le 21/01/2026 : DM n°7 sur les suites et séries de fonctions : Sujet et corrigé

Pour le 05/02/2026 : DM n°8 sur les séries entières (avec un peu de probabilités!) : Sujet et corrigé

Pour le ??/??/2025 : DM n°9 sur ??? : Sujet et corrigé

Pour le ??/??/2025 : DM n°10 sur ??? : Sujet et corrigé

Les chapitres de cours du premier semestre

1. Méthodologie du concours et stage prérentrée
2. Rappels et compléments d'algèbre linéaire : cours et TD
3. Réduction : cours et TD; TD corrigé
4. Intégration : cours et TD ; TD corrigé
5. Séries numériques : cours et TD ; cours détaillé ; TD corrigé
6. Produits scalaires et espaces préhilbertiens : cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
7. Espaces vectoriels normés : cours, TD ; cours détaillé et TD détaillé
8. Dérivation des fonctions vectorielles : cours et TD, cours détaillé
9. Probabilités sur des espaces dénombrables : cours, TD

Voici la liste des séances de cours de mathématiques (avec démonstrations) et TD (avec corrigés) du semestre 2.
En cas de doute dans la prise du cours ou de blocage dans la résolution d'exercices vous pouvez vous y référer.

1. Suites et séries de fonctions (Cours et TD)
2. Séries entières (Cours et TD)
3. Isométries et endomorphismes symétriques (Cours et TD)
4. Variables aléatoires discrètes (Cours et TD) Par ...
5. Intégrales à paramètres (Cours et TD)
6. Équations différentielles linéaires (Cours et TD)
7. Calcul différentiel (Cours et TD)

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Chimie PSI - semaine du 2026-02-02

PSI_Colle_S20

Pas de colle cette semaine-là (concours blanc).

PSI_Colle_S16

Chimie PSI - semaine du 2026-01-26

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PSI_Colle_S15

Chimie PSI - semaine du 2026-01-19

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Chp 8 - SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

• SUITES DE FONCTIONS : Définition d'une suite de fonctions, convergence simple (noté CVS), convergence uniforme (noté CVU), norme infinie $\Vert f_n \Vert_\infty$, convergence en norme uniforme, exemples.
• SÉRIES DE FONCTIONS : Définition d'une série de fonctions, CVS, somme infinie, reste, CVU, convergence normale (noté CVN), caractérisation de la CVU (CVS + $R_n$ CVU vers $0$), $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$, Exemples.
• CONTINUITÉ ET LIMITE : CVU sur tout segment, exemples
  1. Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (suites),
  2. Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (séries),
  3. Théorème de la double limite (pour les suites et les séries), exemples.
• THÉORÈMES D'INTÉGRATION :
  1. Sur un segment $[a,b]$ : Théorème de permutation limite-intégrale, Théorème d'intégration terme à terme utilisant la CVU
  2. Sur un intervalle $I$ : Théorème de convergence dominée (admis), Théorème d'intégration terme à terme (admis) utilisant des hypothèses de majoration uniformes
• THÉORÈMES DE DÉRIVATION :
  1. Théorème d'interversion limite-dérivée (suites),
  2. Théorème de dérivation terme à terme (séries),
  3. Versions similaires pour les dérivées d'ordre supérieures (suites et séries).

Démonstrations exigibles :

• Savoir : énoncer (pas démontrer) très précisément (le colleur en demande 2 au choix parmi les 5) :
• 1. Les théorèmes de continuité d'une suite ou série de fonctions,
  2. Les théorèmes de dérivabilité d'une suite ou série de fonctions (classe $\mathcal{C}^1$),
  3. Les théorèmes de double limite pour une suite ou une série de fonctions,
  4. Les théorèmes d'intégration sur un segment d'une suite ou série de fonctions,
  5. Le théorème de convergence dominée,
  6. Le théorème d'intégration terme à terme.
• Savoir démontrer la propriété :   $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$
• Savoir refaire les exemples du cours suivant :
• 1. Existence, continuité, dérivabilité de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\infty[$.
  2. Ensemble de définition et continuité de la fonction $S : t \mapsto \displaystyle\sum^{+\infty}_{n=0} \dfrac{t^n}{(2n+1)!}$
  3. Étude de la convergence simple et uniforme de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n+t}$ sur $\mathbb{R}^+$.

Chp 8 - SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

• SUITES DE FONCTIONS : Définition d'une suite de fonctions, convergence simple (noté CVS), convergence uniforme (noté CVU), norme infinie $\Vert f_n \Vert_\infty$, convergence en norme uniforme, exemples.
• SÉRIES DE FONCTIONS : Définition d'une série de fonctions, CVS, somme infinie, reste, CVU, convergence normale (noté CVN), caractérisation de la CVU (CVS + $R_n$ CVU vers $0$), $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$, Exemples.
• CONTINUITÉ ET LIMITE : CVU sur tout segment, exemples
  1. Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (suites),
  2. Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (séries),
  3. Théorème de la double limite (pour les suites et les séries), exemples.
• THÉORÈMES D'INTÉGRATION :
  1. Sur un segment $[a,b]$ : Théorème de permutation limite-intégrale, Théorème d'intégration terme à terme utilisant la CVU
  2. Sur un intervalle $I$ : Théorème de convergence dominée (admis), Théorème d'intégration terme à terme (admis) utilisant des hypothèses de majoration uniformes
• THÉORÈMES DE DÉRIVATION :
  1. Théorème d'interversion limite-dérivée (suites),
  2. Théorème de dérivation terme à terme (séries),
  3. Versions similaires pour les dérivées d'ordre supérieures (suites et séries).

Démonstrations exigibles :

• Savoir : énoncer (pas démontrer) très précisément (le colleur en demande 2 au choix parmi les 5) :
• 1. Les théorèmes de continuité d'une suite ou série de fonctions,
  2. Les théorèmes de dérivabilité d'une suite ou série de fonctions (classe $\mathcal{C}^1$),
  3. Les théorèmes de double limite pour une suite ou une série de fonctions,
  4. Les théorèmes d'intégration sur un segment d'une suite ou série de fonctions,
  5. Le théorème de convergence dominée,
  6. Le théorème d'intégration terme à terme.
• Savoir démontrer la propriété :   $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$
• Savoir refaire les exemples du cours suivant :
• 1. Existence, continuité, dérivabilité de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\infty[$.
  2. Ensemble de définition et continuité de la fonction $S : t \mapsto \displaystyle\sum^{+\infty}_{n=0} \dfrac{t^n}{(2n+1)!}$
  3. Étude de la convergence simple et uniforme de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n+t}$ sur $\mathbb{R}^+$.

Chimie PSI - semaine du 2026-01-12

PSI_Colle_S14_LS