Publication le 01/02 à 17h39 (publication initiale le 30/01 à 15h11)
Chp 9 - SÉRIES ENTIÈRES
CONVERGENCE DE SÉRIES ENTIÈRES
Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
Convergence simple, normale d'une série entière,
Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
Somme et produit de séries entières
FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
Intervalle de convergence,
Dérivation d'une série entière
Intégration d'une série entière
Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
Fonction développable en série entière
Série de Taylor
Rappel des formules de Taylor
Opérations sur les fonctions développables en séries entières
Développements en série entière usuels
Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)
Questions de cours
Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
Lemme d'Abel (démonstration)
$\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, savoir prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) $u$ est une isométrie vectorielle.
(ii) $u$ conserve le produit scalaire.
(iii) L'image par $u$ de toute base orthonormée est une base orthonormée.
(iii) Il existe une base orthonormée dont l'image par $u$ est une base orthonormée.
Publication le 01/02 à 12h40 (publication initiale le 18/09 à 21h57)
Voici la liste des séances de Cours et TP d'informatique avec leurs corrigés. Il est parfois nécessaire de télécharger des fichiers associés pour faire les TP. Le cours de Bases de données en SQL est assuré par Mme Delaët.
Algorithme des k-plus proches voisins Cours et TP + Fichier Python exemples cours + Test1.jpeg + Correction TP Fichiers à télécharger en amont du TP : TP_07.py + iris.csv
Théorie des jeux : Modélisation, calcul des attracteurs, stratégie gagnante Cours et TP + Slides + Correction des exercices (Q1 à Q7) Fichiers à télécharger en amont du TP : TP_10.py
Théorie des jeux : notion d'heuristique, algorithme du min-max Cours et TP + Slides + Modélisation du Puissance 4 + Correction des exercices Si jamais vous n'avez plus votre fichier de la séance précédente ou pas réussi à coder Q1 à Q7, reprenez directement à la suite du fichier Correction des exercices (Q1 à Q7).
Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
Convergence simple, normale d'une série entière,
Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
Somme et produit de séries entières
FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
Intervalle de convergence,
Dérivation d'une série entière
Intégration d'une série entière
Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
Fonction développable en série entière
Série de Taylor
Rappel des formules de Taylor
Opérations sur les fonctions développables en séries entières
Développements en série entière usuels
Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)
Questions de cours
Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
Lemme d'Abel (démonstration)
$\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, savoir prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) $u$ est une isométrie vectorielle.
(ii) $u$ conserve le produit scalaire.
(iii) L'image par $u$ de toute base orthonormée est une base orthonormée.
(iii) Il existe une base orthonormée dont l'image par $u$ est une base orthonormée.
Probabilités sur des espaces dénombrables : cours, TD
Voici la liste des séances de cours de mathématiques (avec démonstrations) et TD (avec corrigés) du semestre 2.
En cas de doute dans la prise du cours ou de blocage dans la résolution d'exercices vous pouvez vous y référer.
SUITES DE FONCTIONS : Définition d'une suite de fonctions, convergence simple (noté CVS), convergence uniforme (noté CVU), norme infinie $\Vert f_n \Vert_\infty$, convergence en norme uniforme, exemples.
SÉRIES DE FONCTIONS : Définition d'une série de fonctions, CVS, somme infinie, reste, CVU, convergence normale (noté CVN), caractérisation de la CVU (CVS + $R_n$ CVU vers $0$), $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$, Exemples.
CONTINUITÉ ET LIMITE : CVU sur tout segment, exemples
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (suites),
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (séries),
Théorème de la double limite (pour les suites et les séries), exemples.
THÉORÈMES D'INTÉGRATION :
Sur un segment $[a,b]$ : Théorème de permutation limite-intégrale, Théorème d'intégration terme à terme utilisant la CVU
Sur un intervalle $I$ : Théorème de convergence dominée (admis), Théorème d'intégration terme à terme (admis) utilisant des hypothèses de majoration uniformes
THÉORÈMES DE DÉRIVATION :
Théorème d'interversion limite-dérivée (suites),
Théorème de dérivation terme à terme (séries),
Versions similaires pour les dérivées d'ordre supérieures (suites et séries).
Démonstrations exigibles :
Savoir : énoncer (pas démontrer) très précisément (le colleur en demande 2 au choix parmi les 5) :
Les théorèmes de continuité d'une suite ou série de fonctions,
Les théorèmes de dérivabilité d'une suite ou série de fonctions (classe $\mathcal{C}^1$),
Les théorèmes de double limite pour une suite ou une série de fonctions,
Les théorèmes d'intégration sur un segment d'une suite ou série de fonctions,
Publication le 12/01 à 21h59 (publication initiale le 12/01 à 21h58)
Chp 8 - SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
SUITES DE FONCTIONS : Définition d'une suite de fonctions, convergence simple (noté CVS), convergence uniforme (noté CVU), norme infinie $\Vert f_n \Vert_\infty$, convergence en norme uniforme, exemples.
SÉRIES DE FONCTIONS : Définition d'une série de fonctions, CVS, somme infinie, reste, CVU, convergence normale (noté CVN), caractérisation de la CVU (CVS + $R_n$ CVU vers $0$), $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$, Exemples.
CONTINUITÉ ET LIMITE : CVU sur tout segment, exemples
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (suites),
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (séries),
Théorème de la double limite (pour les suites et les séries), exemples.
THÉORÈMES D'INTÉGRATION :
Sur un segment $[a,b]$ : Théorème de permutation limite-intégrale, Théorème d'intégration terme à terme utilisant la CVU
Sur un intervalle $I$ : Théorème de convergence dominée (admis), Théorème d'intégration terme à terme (admis) utilisant des hypothèses de majoration uniformes
THÉORÈMES DE DÉRIVATION :
Théorème d'interversion limite-dérivée (suites),
Théorème de dérivation terme à terme (séries),
Versions similaires pour les dérivées d'ordre supérieures (suites et séries).
Démonstrations exigibles :
Savoir : énoncer (pas démontrer) très précisément (le colleur en demande 2 au choix parmi les 5) :
Les théorèmes de continuité d'une suite ou série de fonctions,
Les théorèmes de dérivabilité d'une suite ou série de fonctions (classe $\mathcal{C}^1$),
Les théorèmes de double limite pour une suite ou une série de fonctions,
Les théorèmes d'intégration sur un segment d'une suite ou série de fonctions,
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