Pas de colle cette semaine, début des colles le 18
Semaine du lundi 11 septembre 2023
Pas de colle cette semaine, début des colles le 18
Semaine du lundi 18 septembre 2023
Programme de colle semaine S1 (18 septembre)
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Révisions d'analyse
Sans excès de technicité, on vérifiera que les réflexes de base sont bien présents et mobilisables.
Relations de comparaison o, O, ∼
Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
Méthodes pour les suites récurrentes un+1=f(un)
Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
Techniques de base pour le calcul des primitives
Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions
Je n'ai pas fait plus que ce qui est là : pas encore de séries de fonctions en tant que telles, pas de théorème général d'interversion de limites
Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
Convergence simple d'une suite de fonctions
Convergence uniforme d'une suite de fonctions
Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
Théorème de dérivation pour une suite de fonctions [C], extension au cas Ck
Exercices-type
Peuvent être donnés en question de cours
Borne supérieure de {||AX||∞/||X||∞,X∈Rn, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |Ai,j|
Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
Types de convergence pour nxexp(-nx2) sur différents intervalles
continuité de ∑1/(nx) sur ]1,+∞[
Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue
Je présente en parallèle séries et intégrales, ces dernières uniquement pour des fonctions continues sur [a,+∞[. Je n'ai fait que ce qui figure ci-dessous, notamment PAS de séries alternées.
Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
Calculs connus : géométrique [C], télescopique
Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
Convergence des intégrales en +∞, exemples
Exemple de fonction d'intégrale convergente sans limite nulle en l'infini [C]
Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
Séries de référence : Riemann [C]
Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
Règle de d'Alembert [C]
Semaine du lundi 25 septembre 2023
Programme de colle semaine S2 (25 septembre)
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Révisions d'analyse
Sans excès de technicité, on vérifiera que les réflexes de base sont bien présents et mobilisables.
Relations de comparaison o, O, ∼
Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
Méthodes pour les suites récurrentes un+1=f(un)
Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
Techniques de base pour le calcul des primitives
Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions
Je n'ai pas fait plus que ce qui est là : pas encore de séries de fonctions en tant que telles, pas de théorème général d'interversion de limites
Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
Convergence simple d'une suite de fonctions
Convergence uniforme d'une suite de fonctions
Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
Théorème de dérivation pour une suite de fonctions [C], extension au cas Ck
Exercices-type
Peuvent être donnés en question de cours
Borne supérieure de {||AX||∞/||X||∞,X∈Rn, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |Ai,j|
Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
Types de convergence pour nxexp(-nx2) sur différents intervalles
continuité de ∑1/(nx) sur ]1,+∞[
Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue
Je présente en parallèle séries et intégrales, ces dernières uniquement pour des fonctions continues sur [a,+∞[. Je n'ai fait que ce qui figure ci-dessous, notamment PAS de séries alternées.
Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
Calculs connus : géométrique [C], télescopique
Série exponentielle [C, via la formule de Taylor reste intégral]
Convergence des intégrales en +∞, exemples
Exemple de fonction d'intégrale convergente sans limite nulle en l'infini [C]
Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
Séries de référence : Riemann [C]
Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
Règle de d'Alembert [C]
Formule de Stirling [C, hormis la valeur de la constante]
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes [NE]
Exercice-type : formule d'Euler (la redonner)
Séries entières : calculs de rayon de convergence uniquement
Série entière, rayon de convergence
Lemme d'Abel [C]
Propriétés générales de convergence [C]
Rayon de ∑ nα xn
Comparaison de rayons de convergence
Comparaison des rayons de ∑ an xn et de ∑ nan xn [C]
Rayon d'une somme ou d'un produit de Cauchy
Semaine du lundi 2 octobre 2023
Programme de colle semaine S3
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Séries entières
Rappel du cadre : je n'ai pas traité le théorème des séries alternées, je n'ai parlé que de convergence uniforme, pas de convergence normale.
Définition
Lemme d'Abel [C]
Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
Rayon de ∑ nα xn
Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
Comparaison du rayon de deux séries
Rayon de ∑nanxn [C]
Somme et produit de deux séries entières
Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle) [C]
Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)α
Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)α) [C]
Illustration : calculs pour des variables aléatoires sur N
Cadre très restreint pour mener les calculs sur espérance, variance, fonction génératrice. Pas de théorème du transfert, pas de travail sur la modélisation. Je suis resté délibérément cantonné à l'angle "gestion des calculs usuels".
Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
Fonction de répartition.
Espérance
Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
La fonction génératrice caractérise la loi [C],
Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
Loi géométrique, espérance et variance [C]
Loi de Poisson, espérance et variance [C]
Semaine du lundi 9 octobre 2023
Programme de colle semaine S4
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Séries entières
Rappel du cadre : je n'ai pas traité le théorème des séries alternées, je n'ai parlé que de convergence uniforme, pas de convergence normale.
Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés
Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle) [C]
Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)α
Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)α) [C]
Illustration : calculs pour des variables aléatoires sur N
Cadre très restreint pour mener les calculs sur espérance, variance, fonction génératrice. Pas de théorème du transfert, pas de travail sur la modélisation. Je suis resté délibérément cantonné à l'angle "gestion des calculs usuels".
Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
Fonction de répartition.
Espérance
Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
La fonction génératrice caractérise la loi [C],
Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
Loi géométrique, espérance et variance [C]
Loi de Poisson, espérance et variance [C]
Révisions d'algèbre linéaire
Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice, propriétés
Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants
Systèmes linéaires, échelonnement
Les hyperplans sont les noyaux des formes linéaires non nulles ([C], en dimension finie)
Déterminant
Le groupe symétrique et la formule du déterminant, la comatrice et la formule de l'inverse, les formules de Cramer ne sont pas au programme.
Déterminant d'une matrice carrée, propriétés
Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés
Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, propriétés
Déterminant triangulaire par blocs [C]
Développement par rapport à une ligne ou colonne [C]
Déterminant de Vandermonde [C]
Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice
Pas de somme directe, pas de changement de base. Pour l'instant, on n'a parlé que des propriétés algébriques des valeurs et vecteurs propres des matrices. J'ai prouvé le théorème spectral (strictement sous la forme "une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres"), démo non exigible.
Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
Exemples : valeurs propres de la dérivation des polynômes [C], de la dérivation sur C∞ [C]
Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
Comparaison de M et de sa transposée [C]
Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
Matrices triangulaires
Cas où l'on a une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
Matrices symétriques réelles :
les valeurs propres sont toutes réelles [C],
les espaces propres sont orthogonaux[C].
Résultat signalé avec une première démo non exigible : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE].
Lundi 23 octobre 2023 : Vacances de la Toussaint
Lundi 30 octobre 2023 : Vacances de la Toussaint
Semaine du lundi 6 novembre 2023
Programme de colle semaine S6
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Déterminant
Le groupe symétrique et la formule du déterminant, la comatrice et la formule de l'inverse, les formules de Cramer ne sont pas au programme.
Déterminant d'une matrice carrée, propriétés
Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés
Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, propriétés
Déterminant triangulaire par blocs [C]
Développement par rapport à une ligne ou colonne [C]
Déterminant de Vandermonde [C]
Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice
Pas de somme directe, pas de changement de base. Pour l'instant, on n'a parlé que des propriétés algébriques des valeurs et vecteurs propres des matrices. J'ai prouvé le théorème spectral (strictement sous la forme "une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres"), démo non exigible.
Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
Exemples : valeurs propres de la dérivation des polynômes [C], de la dérivation sur C∞ [C]
Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
Comparaison de M et de sa transposée [C]
Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
Matrices triangulaires
Cas où l'on a une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
Matrices symétriques réelles :
les valeurs propres sont toutes réelles [C],
les espaces propres sont orthogonaux[C].
Résultat signalé avec une première démo non exigible : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE].
Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2, application aux EDP
Equations différentielles : le wronskien est hors programme. Aucune méthode de résolution effective n'est vraimnet au programme. EDP : uniquement une façon de travailler les équations différentielles. On peut donner une EDP simple, sans changement de variable, sur un produit d'intervalles. Ne pas regarder les questions de régularité.
Equations linéaires scalaires d'ordre 1, résolution [C] (pour information je parle de "facteur intégrant")
Structure de l'ensemble solution de l'équation homogène [C]
Cas à coefficients constants
Equations différentielles sous forme non résolue, raccordement
Utilisation des séries entières pour les équations différentielles
Dérivées partielles, EDP sans changement de variable (sur un produit d'intervalles, sans regarder de questions de régularité)
Deux compléments "hors programme" : pour l'équation homogène d'ordre 2 méthode de résolution quand on a une solution connue ; wronskien et équation du wronskien
Semaine du lundi 13 novembre 2023
Programme de colle semaine S7
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2, application aux EDP
Equations différentielles : le wronskien est hors programme. Aucune méthode de résolution effective n'est vraimnet au programme. EDP : uniquement une façon de travailler les équations différentielles. On peut donner une EDP simple, sans changement de variable, sur un produit d'intervalles. Ne pas regarder les questions de régularité.
Equations linéaires scalaires d'ordre 1, résolution [C] (pour information je parle de "facteur intégrant")
Structure de l'ensemble solution de l'équation homogène [C]
Cas à coefficients constants
Equations différentielles sous forme non résolue, raccordement
Utilisation des séries entières pour les équations différentielles
Dérivées partielles, EDP sans changement de variable (sur un produit d'intervalles, sans regarder de questions de régularité)
Deux compléments "hors programme" : pour l'équation homogène d'ordre 2 méthode de résolution quand on a une solution connue ; wronskien et équation du wronskien
Dénombrabilité, utilisation de familles sommables
Les familles sommables ne sont pas franchement au programme, ni franchement en dehors :) . Vous pouvez donner un calcul relativement simple en insistant sur la séparation justification/calcul.
Dénombrabilité, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable
Un produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable [C]
Dénombrabilité ou non de Z,Q, R [C]
Pour une série de réels positifs, on peut permuter l'ordre des termes sans changer la nature ni la somme [NE]
Somme d'une famille dénombrable de réels positifs,finie ou non, sommation par paquets, sommes doubles [NE]
Définition ad hoc des familles sommables de complexes : quand il est possible de les voir comme une série absolument convergente
sommation par paquets, sommes doubles [NE]
Rejustifier le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes à partir de la théorie des familles sommables [C]
Espace probabilisé
Définition d'une tribu
Définition d'un espace probabilisé
Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
Sous-additivité [C]
Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
Probabilités composées
Système complet d'événements, formule des probabilités totales
Formule de Bayes
Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer aux complémentaires
Définition d'une variable aléatoire discrète
Semaine du lundi 20 novembre 2023
Programme de colle semaine S8
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Dénombrabilité, utilisation de familles sommables
Les familles sommables ne sont pas franchement au programme, ni franchement en dehors :) . Vous pouvez donner un calcul relativement simple en insistant sur la séparation justification/calcul.
Dénombrabilité, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable
Un produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable [C]
Dénombrabilité ou non de Z,Q, R [C]
Pour une série de réels positifs, on peut permuter l'ordre des termes sans changer la nature ni la somme [NE]
Somme d'une famille dénombrable de réels positifs,finie ou non, sommation par paquets, sommes doubles [NE]
Définition ad hoc des familles sommables de complexes : quand il est possible de les voir comme une série absolument convergente
sommation par paquets, sommes doubles [NE]
Rejustifier le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes à partir de la théorie des familles sommables [C]
Espace probabilisé
Définition d'une tribu
Définition d'un espace probabilisé
Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
Sous-additivité [C]
Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
Probabilités composées
Système complet d'événements, formule des probabilités totales
Formule de Bayes
Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer aux complémentaires
Définition d'une variable aléatoire discrète
Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
Espérance d'une v.a. numérique : définition uniquement
Convergence d'intégrales.
Pour les élèves : cela signifie savoir refaire les questions de cours vues dans le chapitre II (sur [a,+∞[).
Intégrale d'une fonction continue sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
Théorème de changement de variables (hypothèse C1 bijectif)
Linéarité, positivité, croissance
Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle) [C]
Intégration par parties généralisée
Théorème de comparaison des fonctions positives
L'absolue convergence entraîne la convergence [C], fonctions "intégrables" sur I
La fonction sin(t)/t a une intégrale convergente [C], non absolument convergente [C]
Semaine du lundi 27 novembre 2023
Programme de colle semaine S9
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Convergence d'intégrales.
Pour les élèves : cela signifie savoir refaire les questions de cours vues dans le chapitre II (sur [a,+∞[).
Intégrale d'une fonction continue sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
Théorème de changement de variables (hypothèse C1 bijectif)
Linéarité, positivité, croissance
Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle) [C]
Intégration par parties généralisée
Théorème de comparaison des fonctions positives [C]
L'absolue convergence entraîne la convergence [C], fonctions "intégrables" sur I
Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
Intégration dans le cas continu par morceaux
Mention de l'inégalité de Cauchy Schwarz (et des espaces L1 et L2 même si hors programme maintenant)
Interversions
Théorème de convergence dominée (admis)
Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
Ex-type [C] : pour a>0, montrer $\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x} d x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+a}$
Sommes de Riemann par la convergence dominée
Caractérisation séquentielle
Convergence dominée à paramètre continu, continuité sous intégrale [C]
Dérivation sous intégrale (pour le cas Ck il suffit de dominer la dernière dérivée partielle)
Utilisation de la localisation du paramètre
Ex type : la fonction $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{t-1} dx$ est C∞ sur ]0,+∞ [ [C]
Formules de Taylor
Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b] [C]
Taylor-Young
Emploi de ces formules
Convexité
Il y a très peu de choses explicitement au programme. J'ai néanmoins mentionné la notion de barycentre à coefficients positifs et l'associativité des barycentres.
Segment dans un espace vectoriel, définition d'une partie convexe
Les parties convexes de R sont les intervalles
Fonction convexe sur un intervalle I de R
Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique [C]
L'application pente d'origine fixée est croissante
Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I [C]
Caractérisation de la convexité des applications C2
Semaine du lundi 11 décembre 2023
Programme de colle semaine S11
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Formules de Taylor
Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b] [C]
Taylor-Young
Emploi de ces formules
Convexité
Il y a très peu de choses explicitement au programme. J'ai néanmoins mentionné la notion de barycentre à coefficients positifs et l'associativité des barycentres.
Segment dans un espace vectoriel, définition d'une partie convexe
Les parties convexes de R sont les intervalles
Fonction convexe sur un intervalle I de R
Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique [C]
L'application pente d'origine fixée est croissante
Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I [C]
Caractérisation de la convexité des applications C2
Normes, limites dans les espaces vectoriels
On a traité uniquement les choses sous l'angle des limites de suites : la topologie se limite donc à "point adhérent à une partie", "partie dense" ou "parties fermées". Pour les fonctions, ne pas traiter de fonctions 'à plusieurs variables' pour l'instant, juste des 'écritures vectorielles' pour une norme donnée.
Norme sur un espace vectoriel, distance, boules. Les boules sont convexes [C]
Normes standard sur Kn, comparaisons [C]
Normes standard sur C([a,b]), comparaisons [C]
Parties bornées
Applications lipschitziennes entre deux evn
Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée, unicité de la limite
Equivalence des normes en dimension finie [admis], conséquence sur la convergence pour n'importe quelle norme ou n'importe quelle base
Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite
Point adhérent à une partie, adhérence
Adhérence d'une boule [C]
Partie fermée, partie dense
En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés [C]
Limite d'une fonction en un point adhérent, limites étendues, continuité
caractérisation séquentielle de la limite [C]
Les applications lipschitziennes sont continues [C]
En dimension finie, les applications linéaires sont lipschitziennes donc continues [C], les applications multilinéaires sont continues
opérations sur les limites : linéarité, produits, composée
Semaine du lundi 18 décembre 2023
Programme de colle semaine S12
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Normes, limites dans les espaces vectoriels
On a traité uniquement les choses sous l'angle des limites de suites : la topologie se limite donc à "point adhérent à une partie", "partie dense" ou "parties fermées". Pour les fonctions, ne pas traiter de fonctions 'à plusieurs variables' pour l'instant, juste des 'écritures vectorielles' pour une norme donnée.
Norme sur un espace vectoriel, distance, boules. Les boules sont convexes [C]
Normes standard sur Kn, comparaisons [C]
Normes standard sur C([a,b]), comparaisons [C]
Parties bornées
Applications lipschitziennes entre deux evn
Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée, unicité de la limite
Equivalence des normes en dimension finie [admis], conséquence sur la convergence pour n'importe quelle norme ou n'importe quelle base
Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite
Point adhérent à une partie, adhérence
Adhérence d'une boule [C]
Partie fermée, partie dense
En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés [C]
Limite d'une fonction en un point adhérent, limites étendues, continuité
caractérisation séquentielle de la limite [C]
Les applications lipschitziennes sont continues [C]
En dimension finie, les applications linéaires sont lipschitziennes donc continues [C], les applications multilinéaires sont continues
opérations sur les limites : linéarité, produits, composée
Une application continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes [admis]
Ex-type : il existe un point f qui réalise la distance d'un point x à une partie fermée F [C]
Algèbre linéaire : sommes directes et combinaisons linéaires
Combinaisons linéaires, familles libres ou génératrices : extension aux familles infinies
Intersection de sev, sev engendré par une partie
La réunion de deux sev n'est en général pas un sev [C]
Somme d'un nombre fini de sev, propriétés
Sommes directes, caractérisation
En dimension finie, dimension d'une somme et caractérisation des sommes directes par la dimension [C]
Ex-type : décomposition d'une matrice en parties antisymétrique, symétrique de trace nulle, et matrice scalaire a.I [C]
Partition et regroupement de bases
Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions à des espaces supplémentaires
Interprétation des représentations matricielles par blocs
Représentations matricielles des vecteurs, applications linéaires, endomorphismes.
Changement de base : retrouver la formule du changement de bases pour les applications linéaires à partir de celle pour les vecteurs [C]
Représentation matricielle des applications linéaires en dimension finie, matrice canonique Jr [C]
Lundi 25 décembre 2023 : Vacances de Noël
Lundi 1er janvier 2024 : Vacances de Noël
Semaine du lundi 8 janvier 2024
Programme de colle semaine S13
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Algèbre linéaire : sommes directes et combinaisons linéaires
Combinaisons linéaires, familles libres ou génératrices : extension aux familles infinies
Intersection de sev, sev engendré par une partie
La réunion de deux sev n'est en général pas un sev [C]
Somme d'un nombre fini de sev, propriétés
Sommes directes, caractérisation
En dimension finie, dimension d'une somme et caractérisation des sommes directes par la dimension [C]
Ex-type : décomposition d'une matrice en parties antisymétrique, symétrique de trace nulle, et matrice scalaire a.I [C]
Partition et regroupement de bases
Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions à des espaces supplémentaires
Interprétation des représentations matricielles par blocs
Représentations matricielles des vecteurs, applications linéaires, endomorphismes.
Changement de base : retrouver la formule du changement de bases pour les applications linéaires à partir de celle pour les vecteurs [C]
Représentation matricielle des applications linéaires en dimension finie, matrice canonique Jr [C]
