Progression au premier semestre

Logique et ensembles
Calcul algébrique
Nombres complexes
Applications et relations
Fonctions usuelles et dérivation
Primitives et équations différentielles linéaires
Réels et suites
Structures algébriques
Limite et continuité
Arithmétique dans $\mathbb Z$
Dérivabilité
Calcul matriciel
Fonctions convexes
Polynômes et fractions rationnelles

Logique et ensembles
1. Logique
  1. Assertions, quantificateurs
  2. Négation. Négation et quantificateurs.
  3. Opérateurs logiques : équivalence, conjonction, disjonction, implication.
  4. Propriétés des opérateurs logiques. Formules tautologiquement équivalentes. Tables de vérité. Propriétés.
  5. Réciproque et contraposée. Négation d'une implication.
2. Démonstrations
  1. Avec des quantificateurs. Le mot "soit"
  2. Par récurrence (simple, double, forte)
  3. Implications, contraposition, démonstration d'une équivalence.
  4. Par l'absurde
  5. Par analyse-synthèse
  6. Variables, portée. Variables muettes.
  7. La différence entre "donc" et implique
3. Ensembles
  1. Ensembles, appartenance, inclusion, sous-ensembles, ensemble vide. Définitions en compréhension, en extension.
  2. Opérations sur les parties d'un ensembles (union, intersection, différence, complémentaire)
  3. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles
  4. Ensemble des parties d'un ensemble
4. Division euclidienne
  1. Enoncé
  2. Application : écriture en base b
Calcul algébrique
1. Le signe Σ
  1. Définition
  2. Linéarité, positivité, additivité
  3. Changements d'indice
  4. Sommes télescopiques
  5. L'identité aⁿ-bⁿ, aⁿ+bⁿ pour n impair
  6. Sommes de référence
2. Sommes doubles
  1. Rectangulaire
  2. Triangulaire
  3. Application à la somme géométrique dérivée
3. Le signe Π
  1. Définition et exemples
  2. Produit télescopique
4. Factorielles
  1. Définition, relation de récurrence, premières valeurs
  2. Produit d'entiers pairs (resp. impairs) consécutifs
5. Coefficients binomiaux
  1. Définition et conventions
  2. Triangle de Pascal et propriétés
  3. Ils sont entiers
6. Formule du binôme de Newton
  1. Énoncé et démonstration
  2. Exemples. Application à des calculs de sommes.
7. Systèmes linéaires
  1. Définition
  2. Systèmes 2*2, déterminant 2*2
  3. Système échelonnés
  4. Algorithme du pivot
  5. Exemples, écriture de l'ensemble des solutions
8. Inégalités
  1. Relation d'ordre sur R, notations
  2. Intervalles
  3. Inégalités, addition, multiplications, encadrement d'une somme, d'une moyenne
  4. Inégalités et fonctions monotones. Fonctions, inverse, carré, cube.
  5. Valeur absolue, inégalités triangulaires. Interprétation géomététrique. Min et max, partie positive, partie négative.
9. Trigonométrie
  1. Mesure d'angles, congruences
  2. Définition de cosinus, sinus, tangente. Parité. cos²+sin²=1
  3. Addition des angles (y compris pour tangente)
  4. Angle double et angle moitié
  5. Valeurs particulières
  6. Factorisation de cos(u)+cos(v)
  7. Transformation de Fresnel
  8. Résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques
  9. Domaine de définition de tan et de cotan. Résolution de tan(x)=tan(y)
Nombres complexes
1. Nombres complexes, forme algébrique
  1. Rappel sur les ensembles de nombres $\mathbf N$, $\mathbf Z$, $\mathbf Q$, $\mathbf R$.
  2. Le corps des nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire. Identités remarquables (formule du binôme de Newton, etc).
  3. Conjuguaison, propriétés
  4. Identification avec le plan usuel muni d'un repère orthonormé. Affixe d'un point, d'un vecteur.
2. Module
  1. Définition, propriétés algébriques
  2. Inégalité triangulaire, cas d'égalité
  3. Interprétation géométrique, cercles et disques.
3. Nombres complexes de module 1
  1. L'ensemble $\mathbf U$, le nombre $j$, structure de groupe.
  2. Définition de $e^{it}$, formules d'Euler, formule de De Moivre.
  3. Linéarisation et «délinéarisation» (revu plus tard avec la formule du binôme).
4. Argument, forme trigonométrique
  1. Arguments d'un nombre complexe non nul, propriétés
  2. Factorisation de $1\pm e^{it}$
  3. Calcul de $\sum_{k=0}^n \cos(kt)$ et $\sum_{k=0}^n \sin(kt)$
5. Équations du second degré
  1. Fonctions polynomiales. Racines. Factorisation par $z-a$ d'une fonction polynomiale admettant $a$ pour racine. Conjuguées des racines dans le cas où les coefficients sont réels.
  2. Racines carrées de nombres complexes (sous forme algébrique).
  3. Résolution des équations du second degré, forme canonique. *Factorisation des trinômes, identification des coefficients*.
  4. Somme et produit des racines
6. Racines $n$-èmes
  1. Racines $n$-ème d'un nombre complexe, représentation géométrique.
  2. Ensemble $\mathbf U_n$ des racines $n$-èmes de l'unité, structure de groupe. Somme des racines de l'unité.
  3. Lien entre les racines de l'unité et les racines d'un nombre quelconque
7. Exponentielle complexe
  1. Définition, exponentielle d'une somme
  2. Périodicité. Résolution de $\exp(z)=a$
8. Interprétation géométrique des nombres complexes
  1. Rappel sur la norme des vecteurs, et les angles orientés de vecteurs. Relation de Chasles pour les angles orientés.
  2. Module de $c-b$, argument de $\frac{c-b}{c-a}$, alignement et orthogonalité
  3. Translations, homothéties, rotations
  4. Applications $z\mapsto az+b$ (similitudes directes). Les similitudes directes conservent les angles et les rapports de distance.
Applications et relations
1. Applications
  1. Application d'un ensemble dans un ensemble, graphe d'une application, ensemble $F^E$ des applications de $E$ dans $F$.
  2. Fonction identité d'un ensemble, fonctions indicatrices, fonctions constantes
  3. Suites et familles.
  4. Union et intersection d'une famille de parties d'un ensemble
  5. Restriction (et corestriction) et prolongement
  6. Image directe et image réciproque, propriétés
  7. Composition, associativité de la composition. Involutions
  8. Injection, surjection, bijection (caractérisations, composition). Cas des involutions.
  9. Application réciproque d'une bijection. Réciproque d’une composée. Cohérence de la notation $f^{-1}(B)$ lorsque $f$ est bijective.
2. Relations
  1. Relation binaire sur un ensemble
  2. Relation d'équivalence, classes d'équivalence. Partition. Les classes d'équivalences forment une partition.
  3. Exemple des relations de congruence modulo un réel sur $\mathbf R$ et relation de congruence modulo un entier sur $\mathbf Z$.
  4. Relation d'ordre, ordre partiel, ordre total
  5. Majorant, minorant, minimum, maximum
  6. Applications croissantes, décroissantes. Fonctions strictement monotones et injectivité.
Fonctions usuelles et dérivation
1. Généralités sur les fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles
  1. Graphe. Représentation graphique de $x\mapsto f(x+a)$, etc. Résolution graphique de $f(x)\ge \lambda$ etc.
  2. Parité, périodicité.
  3. Opérations sur les fonctions : somme, produit, puissance (d'exposant entier). Notations |f|, cos(f), exp(f), etc. Opérations sur les fonctions croissantes.
  4. Fonctions minorées, majorées, bornée. Une fonction $f$ est bornée si et seulement si $|f|$ est majorée. *Sommes et produits de fonctions bornées*.
2. Dérivation (résultats admis)
  1. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'une composée. Dérivée d'une puissance, de l'inverse, d'un quotient etc.
  2. Tangente à une courbe représentative. Dérivabilité et graphe d'une réciproque.
  3. Étude des variations à l'aide de la dérivée. Tableau de variation. Étude pratique d'une fonction.
  4. Dérivées d'ordre supérieur
3. Fonctions usuelles
  1. Signe et valeur absolue
  2. Exponentielle, inégalité exp(x)≥1+x
  3. Logarithme népérien (et logarithme en base quelconque), exponentielle de base quelconque. Inégalité ln(x)≤x-1
  4. Puissances
  5. Sinus, cosinus, tangente
  6. Fonctions circulaires réciproques : Arccos, Arcsin, Arctan
  7. Fonctions hyperboliques
4. Calculs de limites
  1. Généralités
  2. Théorème des croissances comparées
  3. Limites usuelles
5. Dérivation des fonctions à valeurs complexes
  1. Définition
  2. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient
  3. Dérivée de $e^\varphi$ où $\varphi$ est dérivable à valeurs complexes
Primitives et équations différentielles
1. Primitives
  1. Généralités
    1. Définition
    2. Primitives d'une même fonction sur un intervalle
    3. Linéarité, parties réelles et imaginaires
  2. Primitives usuelles
    1. $u'u^a$ avec $a\neq -1$, $u'/u$
    2. $u'e^u$, $u'\cos(u)$, $u'\sin(u)$
    3. $\frac{u'}{1+u^2}$, $\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$
  3. Applications
    1. Primitives de $x\mapsto e^{ax}\cos(bx)$.
    2. Primitives de $x\mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$. Cas particulier de $x\mapsto \frac{1}{x^2+\alpha^2}$.
    3. Primitives de $x\mapsto \frac{1}{x-\alpha}$ lorsque $\alpha$ n'est pas réel.
2. Intégrales
  1. Généralités
    1. Définition (construction admise) et interprétation géométrique pour les fonctions à valeurs positives.
    2. Additivité, linéarité, positivité. Partie réelle et imaginaire
  2. Le théorème fondamental de l'analyse
    1. Dérivée de $x\mapsto \int_{x_0}^x f(t)\mathrm dt$ où $f$ est continue.
    2. Existence de primitives. Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive.
  3. Calcul d'intégrales
    1. Intégration par parties (et définition de la classe $\mathcal C^1$). Exemples.
    2. Changement de variable. *Application aux fonctions paires, impaires, périodiques.*
    3. Exemples : primitives de $\ln$, de $x\mapsto x e^x$, de $x\mapsto \frac{1}{\cos(x)}$
3. Équations différentielles linéaires
  1. Définition, équation homogène associée
  2. Principe de superposition
  3. Structure de l'ensemble des solutions d'une équation homogène
  4. Structure de l'ensemble des solutions dans le cas général.
  5. Parties réelles et imaginaires d'une équation différentielle linéaire à coefficients réels.
  6. Problème de Cauchy (définition)
4. Équations différentielles linéaires d'ordre 1
  1. Résolution des équations homogènes $y'+ay=0$
  2. Recherche d'une solution particulière : méthode de la variation de la constante
  3. Problème de Cauchy, complexe puis réel
  4. Recherche d'une solution particulière pour $ay'+by=P(x)e^{kx}$où $P$ est un polynôme et $a,b,k$ des constantes.
5. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
  1. Résolution des équations homogènes, équation caractéristique associée, cas complexe et cas réel.
  2. Recherche d'une solution particulière dans le cas où le second membre est de la forme $P(x)e^{k x}$ où $P$ est un polynôme.
Nombres réels
1. Nombres réels
  1. Nombres décimaux, rationnels, irrationnel. L'ensemble $\mathbf R$, muni de $+$, $\times$ et $\le$ est un corps ordonné. Parties (et fonctions) majorées, minorées. La propriété de la borne supérieure; Elle implique la propriété de la borne inférieure, le caractère archimédien. Et elle permet de définir la :
  2. Partie entière $\lfloor x\rfloor$, partie fractionnaire $\{x\}$
  3. Caractérisation avec epsilon du supremum
  4. Valeurs décimales approchées à la précision $10^{-n}$ par défaut et par excès
  5. Parties denses, caractérisation avec epsilon. Toute partie contenant une partie dense est dense.
  6. Densité de $\mathbf Q$ et de $\mathbf R\setminus \mathbf Q$
  7. Droite achevée $\overline{\mathbf R}$. Prolongement de $\le$, $+$ et $\times$
  8. Parties convexes de $\mathbf R$. Toute partie convexe de $\mathbf R$ est un intervalle.
2. Suites réelles
  1. Généralités
    1. Rappel sur la notion de suite. Suites définies par récurrence. Représentation graphique d'une suite
    2. Suites majorées, minorées, bornées. Une suite est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée. Suites complexes bornées.
    3. Suites monotones, strictement monotones.
    4. L'expression «à partir d'un certain rang». Toute suite bornée à partir d'un certain rang est bornée.
  2. Limite d'une suite
    1. Limite d'une suite réelle, finie ou infinie. Notation $u_n\to \ell$. Équivalences $u_n\to \ell \iff u_n-\ell\to 0 \iff |u_n-\ell|\to 0$.
    2. Premiers exemples : les suites constantes (ou stationnaires), la suite $u_n=n$, la suite $u_n=\frac{1}{n}$.
    3. Unicité de la limite. Notation $\lim u_n$
    4. Suites convergentes, suites divergente. Toute suite convergente est bornée. Réciproque fausse.
    5. Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Si $u_n\to \ell>0$, alors $u_n>\frac{\ell}{2}$ à partir d'un certain rang. Théorème de convergence par encadrement. *Si $|u_n-\ell|\le a_n$ et $a_n\to 0$, alors $u_n\to \ell$*. Théorème de divergence par minoration ou majoration. Si $u_n\to \ell$, alors $|u_n|\to |\ell|$
    6. Opérations sur les limites : somme de deux suite, produit d'une suite par un scalaire, produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle, produit de deux suites, inverse d'une suite, quotient de deux suites. Valeur absolue d'une suite convergente, racine carrée d'une suite positive convergente. *Somme d'une suite convergente et d'une suite divergente*.
  3. Suites monotones
    1. Théorème de la limite monotone
    2. Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes
  4. Suites extraites
    1. Suites extraites. Suite extraite d'une suite extraite.
    2. Si une suite a pour limite $\ell$, toutes ses suites extraites aussi
    3. $u_n\to\ell$ si et seulement si $u_{2n}\to \ell$ et $u_{2n+1}\to \ell$. Exemple de $(-1)^n$.
    4. Exemple : une suite est non majorée si et seulement si elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.
    5. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Extraction simultanée pour deux suites bornées.
  5. Traductions séquentielles de certaines propriétés
    1. Parties denses de $\mathbf R$, caractérisation séquentielle
    2. Bornes supérieures et inférieures
  6. Suites complexes
    1. Définition de la limite, unicité de la limite
    2. Opération sur les limites. Limite du module d'une suite.
    3. Limite d'une suite extraite. Théorème de Bolzano-Weierstrass
  7. Exemples
    1. Limite d'une suite géométrique
    2. Croissances comparées de $n!$ et $c^n$
    3. Étude d'une suite récurrente
    4. Étude d'une suite définie implicitement
  8. Suites particulières
    1. Suites arithmétiques
    2. Suites géométriques
    3. Suites arithmético-géométriques
    4. Suites à double récurrence linéaire
  9. Relations de comparaison pour les suites
    1. Équivalence, propriétés algébriques, propriétés conservées par l'équivalence
    2. Négligeabilité. Propriétés $o(u)+o(u)=o(u)$, $v o(u)=o(vu)$, etc.
    3. Domination
    4. Liens entre les relations : $u\sim v\iff u=v+o(v)$, $u\sim v\Rightarrow o(u)=o(v)$
Structures algébriques usuelles
1. Loi de composition interne
  1. Définition, exemples. Notation additive, notation multiplicative.
  2. Associativité, commutativité, distributivité.
  3. Élément neutre, unicité. Elément absorbant.
  4. Puissances $x^n$ (ou $nx$ pour une loi associative. Cas de $x^0$ (ou $0x$). *Monoïdes*. idempotent.
  5. Inversibilité, inverse, unicité, dans un monoïde. Inversibilité et inverse d'un produit. Puissances d'exposants négatifs.
  6. Partie stable. Exemples et contre-exemples. Loi de composition induite par restriction à une partie stable.
  7. Table d'une loi de composition interne sur un ensemble fini.
2. Groupes
  1. Définition. Groupes commutatifs. Notation multiplicative, additive. Groupes additifs usuels.
  2. Calculs et simplifications dans un groupe. Conjugués d'un élément.
  3. Groupe des inversibles d'un monoïde. Groupes multiplicatifs usuels. Groupe $S_X$ des permutations de $X$
  4. Groupes produits. Groupe des vecteurs du plan. Groupes additifs des suites, des fonctions.
  5. Sous-groupes. Définition et caractérisation. Groupes de racines de l'unité.
  6. Morphisme de groupes. Image directe et réciproque d'un sous-groupe
  7. Noyau et image d'un morphisme de groupes. Caractérisation de l''injectivité.
  8. Composition des morphismes. Isomorphisme et isomorphisme réciproque. La relation « sont isomorphes ».
  9. Table d'un groupe fini (carré latin). Tables de deux groupes isomorphes.
  10. Classification des (tout) petits groupes finis : ordres ≤4. Table de $S_3$.
3. Anneaux et corps
  1. Anneaux, anneaux commutatifs. Exemples usuels et exemple des matrices
  2. Calcul dans un anneau : nilpotents, $a^n-b^n$ et $(a+b)^n$ lorsque $a$ et $b$ commutent.
  3. Groupes des inversibles d'un anneau. Groupes multiplicatifs usuels.
  4. Anneaux intègres, corps
  5. Morphismes et isomorphismes d'anneaux.
Limites et continuité
1. Limite d'une fonction en un point
  1. Voisinages. L'expression «au voisinage de».
  2. Définition de la limite. L'existence et la valeur d'une limite ne dépendent que des valeurs de la fonction au voisinage du point considéré.
  3. Caractérisation séquentielle de la limite
  4. Unicité de la limite
  5. Premiers exemples de limites. *Exemples de fonctions sans limite*.
  6. Opérations sur les limites. Composition.
  7. Limites et inégalités. Conservation des inégalités larges. Convergence par encadrement, divergence par minoration ou majoration. Une fonction qui admet une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
  8. Limites latérales (strictes). Si $f$ admet une limite en un point $a$ où elle est définie, alors cette limite est nécessairement $f(a)$.
  9. Théorème de la limite monotone pour les fonctions.
2. Continuité en un point
  1. Continuité en un point, prolongement par continuité, continuité latérale, caractérisation séquentielle de la continuité en un point
  2. Opérations sur les fonctions continues en un point. Composition. Premiers exemples de fonctions continues.
3. Continuité sur un intervalle
  1. Définition. Ensemble des fonctions continues sur un intervalles, opérations sur les fonctions continues
  2. Théorème des valeurs intermédiaires, image d'une intervalle par une fonction continue
  3. Cas des fonctions strictement monotone
  4. Théorème des bornes atteintes, image d'un segment par une fonction continue
  5. Pour une fonction continue sur un intervalle, l'injectivité équivaut à la stricte monotonie.
  6. Pour unr fonction monotone sur un intervalle, la continuité équivaut à avoir pour image un intervalle
  7. Continuité de la réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. Applications aux fonctions usuelles (racine carrée, arcsin, etc).
4. Continuité des fonctions à valeurs complexes
  1. Définition
  2. Fonctions complexes continues sur un segment
Arithmétique dans $\mathbf Z$
1. Divisibilité
  1. Diviseurs, multiples, entiers associés
  2. Théorème de division euclidienne. Caractérisation de la divisibilité.
  3. Les sous-groupes de $\mathbb Z$
2. Congruences
  1. La congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence sur $\mathbf Z$ compatible avec la somme et le produit. Systèmes de représentants.
  2. Applications : critères de divisibilité en base 10
  3. Caractérisation du reste d'une division euclidienne, exemple de calcul de reste
  4. Exemple de calcul de puissances modulo $n$
3. PGCD
  1. Définition, caractérisation. Homogénéité.
  2. Algorithme d'Euclide
  3. Calcul d'une relation de Bézout
4. Entiers premiers entre eux
  1. Définition, théorème de Bézout
  2. Lemme de Gauss. Si un entier est premier avec d'autres entiers, alors il est aussi premier avec leur produit.
  3. Représentant irréductible d'un rationnel
  4. Résolution des équations diophantiennes $ax+by=c$
  5. Entiers premiers entre eux dans leur ensemble, entiers deux à deux premiers entre eux
5. Nombres premiers
  1. Définition. Le plus petit diviseur non trivial d'un entier non trivial est premier. Si un nombre premier divise un produit alors il divise l'un des facteurs. Test de primalité : on peut s'arreter à la racine carrée.
  2. Ensemble des nombres premiers : il est infini. Autres théorèmes et conjectures
  3. Théorème de décomposition en facteurs premiers
  4. Valuation $p$-adique : caractérisation de la divisibilité
  5. Expression du PGCD. Définition du PPCM, expression et relation avec le PGCD.
6. Compléments sur les congruences
  1. Inverse modulo $n$
  2. Si $p$ est premier, alors $p$ divise $\binom{p}{k}$ pour tout $1\le k\le p-1$, Freshman's dream de Frobenius : $(a+b)^p\equiv a^p+b^p [p]$.
  3. Petit théorème de Fermat
Dérivabilité
1. Nombre dérivé
  1. Définition, développement limité à l'ordre 1, tangente. Décidabilité latérale.
  2. La dérivabilité entraîne la continuité
  3. Opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, composée, inverse, quotient, puissance), dérivée d'une réciproque. Application aux fonctions usuelles (racine carrée, arcsin, …).
  4. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée
2. Extrema locaux, points critiques
  1. Extrema globaux, locaux
  2. Lien avec les points critiques
3. Théorème des accroissements finis
  1. Théorème de Rolle
  2. Égalité et inégalité des accroissements finis
  3. Fonctions lipschitziennes. Application aux suites récurrentes.
  4. Caractérisation des fonctions dérivables constantes, croissantes, strictement croissantes
  5. Théorème de la limite de la dérivée
4. Fonctions de classe $\mathcal C^k$
  1. Définition des fonctions $\mathcal D^k$ puis $\mathcal C^k$ pour $k\in\mathbb N\cup \{\infty\}$
  2. Linéarité
  3. Formule de Leibniz
  4. Composition, inverse et quotient
  5. Réciproque
5. Dérivation des fonctions complexes
  1. Définition
  2. Inégalité des accroissements finis pour une fonction $\mathcal C^1$
Calcul matriciel
1. L'espace vectoriel des matrices n×p
  1. Définitions. Base canonique
  2. Produit matriciel. Matrices unités. Bilinéarité, associativité. Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne. Produit des matrices de la base canonique.
  3. Transposition. Propriétés
2. Écriture matricielle des systèmes linéaires
  1. Généralités. Système homogène associé.
  2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes en termes de produits
3. Anneau des matrices n×n
  1. Généralités. Exemples de matrices nilpotentes
  2. Trace, propriétés de la trace
  3. Matrices symétriques, antisymétriques
  4. Matrices triangulaires, matrices diagonales, matrices scalaires. Produits de telles matrices
  5. Matrices inversibles. Groupe linéaire
  6. Inverse et transposée
4. Calcul de l'inverse d'une matrice inversible
  1. Matrices inversibles 2×2, déterminant
  2. Inversion par résolution d'un système linéaire
  3. Matrices d'opérations élémentaires. Inversibilité et inverses de ces matrices
  4. Inversion par opérations élémentaires
  5. Inversibilité et inverse d'une matrice triangulaire (resp. diagonale) (résultat admis)
Fonctions convexes
1. Généralités
  1. Moyennes
  2. Définition. Interprétation géométrique.
  3. Inégalité de Jensen
  4. Lemme des trois pentes et caractérisation de la convexité par la croissance des pentes. Position par rapport aux cordes «à l'extérieur».
  5. Dérivabilité latérale et continuité
2. Fonctions convexes dérivables
  1. Caractérisation des fonctions convexes dérivables et des fonctions convexes deux fois dérivables
  2. Applications
Polynômes et fractions rationnelles
1. Anneau K[X]
  1. Définitions, égalité de deux polynômes. Vocabulaire (indéterminée, polynôme unitaire, coefficient dominant), produit de deux polynômes
  2. Degré. Degré d'une somme, d'un produit
  3. Intégrité de K[X]. Les espaces vectoriels K_n[X]
2. Substitution
  1. Substitution d'un scalaire. Relations (P+Q)(x)=P(x)+Q(x) et (PQ)(x)=P(x)Q(x). Racines. Fonction polynomiale associée à un polynôme
  2. Substitution d'une matrice
  3. Substitution d'un polynôme : composition de deux polynômes, notation P(X)
3. Arithmétique dans K[X]
  1. Division euclidienne dans K[X]
  2. Divisibilité et congruences dans K[X] (et lien avec la division euclidienne)
  3. Inversibles de K[X], polynômes associés
  4. PGCD, définition, existence et unicité à un inversible près. Relation AU+BV=D
  5. Propriété du PGCD et calcul par l'algorithme d'Euclide. Algorithme d'Euclide étendu
  6. Polynômes premiers entre eux. Théorème de Bezout et lemme de Gauss
  7. Associativité du PGCD, PGCD d'un nombre fini de polynômes. Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble
  8. Polynômes irréductibles. Théorème fondamentale de l'arithmétique des polynômes. Valuations P-adique
4. Racines
  1. Définition de la multiplicité d'une racine et caractérisation
  2. Majoration du nombre de racines. Polynômes scindés. Exemple de X^n-1
  3. Relations coefficients/racines pour les polynômes scindés
  4. Fonctions polynomiales lorsque K est infini
5. Irréductibles dans C[X] et R[X]
  1. Théorème de d'Alembert-Gauss. Irréductibles de C[X].
  2. Caractérisation de la divisibilité et de la primalité relative en termes de racines.
  3. Cas de R[X]. Multiplicité d'une racine conjuguée. Irréductibles de R[X]
6. Dérivation
  1. Définition et opérations. Lien avec la dérivation des fonctions dans le cas réel. Formule de Leibniz
  2. a est racine de P de multiplicité n≥1 si et seulement si P(a)=0 et a est racine de P' de multiplicité n-1. Caractérisation de la multiplicité : a est racine de P de multiplicité n≥0 si et seulement si P(a)=P'(a)=…=P^(n-1)(a)=0 et P^(n)(a)≠0
  3. Formule de Taylor
7. Interpolation de Lagrange
  1. Base de Lagrange
  2. Polynôme interpolateur de Lagrange
  3. Description de tous les polynômes interpolateurs
8. Fractions rationnelles
  1. Corps K(X) (construction admise).
  2. Degré.
  3. Forme irréductible. Zéros et pôles, multiplicités.
  4. Partie entiére
  5. Décomposition en éléments simples sur K, sur C, sur R
  6. Calcul pratique de la décomposition. Cas d'un pôle simple.
  7. Décomposition de P'/P