Derniers contenus

Au programme du DS3 : M3 et M4

Il y aura des questions sur les régressions linéaires pour lesquelles il faut savoir :

• réaliser une régression linéaire pour obtenir y = ax+b
• calculer et représenter les résidus normalisés
• valider la régression (résidus normalisées entre -2 et 2 et aléatoirement répartis autour 0)
• réaliser une méthode de Monte Carlo pour déterminer u(a) et u(b)

Il y aura des questions sur les incertitudes pour lesquelles il faut savoir :

• déterminer une incertitude composée par composition des incertitudes (application des formules du polycopié à connaître par cœur)
• réaliser une méthode de Monte Carlo pour déterminer une incertitude composée

Il y aura des questions sur la résolution des équations différentielles d'ordre 2 pour lesquels il faut savoir :

• déterminer un système de 2 équations différentielles d'ordre 1 à partir d'une équation différentielle d'ordre 2
• identifier et définir la fonction $F: Y,t \rightarrow F(Y,t) = \dot Y$ avec $Y=[y,\dot y]$ et $\dot Y=[\dot y,\ddot y]$
• savoir utiliser la fonction odeint

semaine9_MPSI1

Document de 219 ko, dans Physique/Programmes de colle

1. Logique et ensembles
2. Calcul algébrique
3. Nombres complexes
4. Applications et relations
5. Fonctions usuelles, dérivation, primitives, intégrales
6. Réels et suites
7. Structures algébriques
8. Limite et continuité
9. Arithmétique dans \(\mathbb Z\)
10. Dérivabilité
11. Calcul matriciel
12. Fonctions convexes
13. Polynômes et fractions rationnelles

1. Logique et ensembles
   1. Logique
      1. Assertions, quantificateurs
      2. Négation. Négation et quantificateurs.
      3. Opérateurs logiques : équivalence, conjonction, disjonction, implication.
      4. Propriétés des opérateurs logiques. Formules tautologiquement équivalentes. Tables de vérité. Propriétés.
      5. Réciproque et contraposée. Négation d'une implication.
   2. Démonstrations
      1. Avec des quantificateurs. Le mot "soit"
      2. Par récurrence (simple, double, forte)
      3. Implications, contraposition, démonstration d'une équivalence.
      4. Par l'absurde
      5. Par analyse-synthèse
      6. Variables, portée. Variables muettes.
      7. La différence entre "donc" et implique
   3. Ensembles
      1. Ensembles, appartenance, inclusion, sous-ensembles, ensemble vide. Définitions en compréhension, en extension.
      2. Opérations sur les parties d'un ensembles (union, intersection, différence, complémentaire)
      3. Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles
      4. Ensemble des parties d'un ensemble
   4. Division euclidienne
      1. Enoncé
      2. Application : écriture en base b
2. Calcul algébrique
   1. Le signe Σ
      1. Définition
      2. Linéarité, positivité, additivité
      3. Changements d'indice
      4. Sommes télescopiques
      5. L'identité aⁿ-bⁿ, aⁿ+bⁿ pour n impair
      6. Sommes de référence
   2. Sommes doubles
      1. Rectangulaire
      2. Triangulaire
      3. Application à la somme géométrique dérivée
   3. Le signe Π
      1. Définition et exemples
      2. Produit télescopique
   4. Factorielles
      1. Définition, relation de récurrence, premières valeurs
      2. Produit d'entiers pairs (resp. impairs) consécutifs
   5. Coefficients binomiaux
      1. Définition et conventions
      2. Triangle de Pascal et propriétés
      3. Ils sont entiers
   6. Formule du binôme de Newton
      1. Énoncé et démonstration
      2. Exemples. Application à des calculs de sommes.
   7. Systèmes linéaires
      1. Définition
      2. Systèmes 2*2, déterminant 2*2
      3. Système échelonnés
      4. Algorithme du pivot
      5. Exemples, écriture de l'ensemble des solutions
   8. Inégalités
      1. Relation d'ordre sur R, notations
      2. Intervalles
      3. Inégalités, addition, multiplications, encadrement d'une somme, d'une moyenne
      4. Inégalités et fonctions monotones. Fonctions, inverse, carré, cube.
      5. Valeur absolue, inégalités triangulaires. Interprétation géomététrique. Min et max, partie positive, partie négative.
   9. Trigonométrie
      1. Mesure d'angles, congruences
      2. Définition de cosinus, sinus, tangente. Parité. cos²+sin²=1
      3. Addition des angles (y compris pour tangente)
      4. Angle double et angle moitié
      5. Valeurs particulières
      6. Factorisation de cos(u)+cos(v)
      7. Transformation de Fresnel
      8. Résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques
      9. Domaine de définition de tan et de cotan. Résolution de tan(x)=tan(y)
3. Nombres complexes
   1. Nombres complexes, forme algébrique
      1. Rappel sur les ensembles de nombres \(\mathbf N\), \(\mathbf Z\), \(\mathbf Q\), \(\mathbf R\).
      2. Le corps des nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire. Identités remarquables (formule du binôme de Newton, etc).
      3. Conjuguaison, propriétés
      4. Identification avec le plan usuel muni d'un repère orthonormé. Affixe d'un point, d'un vecteur.
   2. Module
      1. Définition, propriétés algébriques
      2. Inégalité triangulaire, cas d'égalité
      3. Interprétation géométrique, cercles et disques.
   3. Nombres complexes de module 1
      1. L'ensemble \(\mathbf U\), le nombre \(j\), structure de groupe.
      2. Définition de \(e^{it}\), formules d'Euler, formule de De Moivre.
      3. Linéarisation et «délinéarisation»
   4. Argument, forme trigonométrique
      1. Arguments d'un nombre complexe non nul, propriétés
      2. Factorisation de \(1\pm e^{it}\)
      3. Calcul de \(\sum_{k=0}^n \cos(kt)\) et \(\sum_{k=0}^n \sin(kt)\)
   5. Équations du second degré
      1. Fonctions polynomiales. Racines. Factorisation par $z-a$ d'une fonction polynomiale admettant $a$ pour racine. Conjuguées des racines dans le cas où les coefficients sont réels.
      2. Racines carrées de nombres complexes (sous forme algébrique).
      3. Résolution des équations du second degré, forme canonique. *Factorisation des trinômes, identification des coefficients*.
      4. Somme et produit des racines
   6. Racines \(n\)-èmes
      1. Racines \(n\)-ème d'un nombre complexe, représentation géométrique.
      2. Ensemble \(\mathbf U_n\) des racines \(n\)-èmes de l'unité, structure de groupe. Somme des racines de l'unité.
      3. Lien entre les racines de l'unité et les racines d'un nombre quelconque
   7. Exponentielle complexe
      1. Définition, exponentielle d'une somme
      2. Périodicité. Résolution de \(\exp(z)=a\)
   8. Interprétation géométrique des nombres complexes
      1. Rappel sur la norme des vecteurs, et les angles orientés de vecteurs. Relation de Chasles pour les angles orientés.
      2. Module de \(c-b\), argument de \(\frac{c-b}{c-a}\), alignement et orthogonalité
      3. Translations, homothéties, rotations
      4. Applications \(z\mapsto az+b\) (similitudes directes). Les similitudes directes conservent les angles et les rapports de distance.
4. Applications et relations
   1. Applications
      1. Application d'un ensemble dans un ensemble, graphe d'une application, ensemble \(F^E\) des applications de \(E\) dans \(F\).
      2. Fonction identité d'un ensemble, fonctions indicatrices, fonctions constantes
      3. Suites et familles.
      4. Union et intersection d'une famille de parties d'un ensemble
      5. Restriction (et corestriction) et prolongement
      6. Image directe et image réciproque, propriétés
      7. Composition, associativité de la composition. Involutions
      8. Injection, surjection, bijection (caractérisations, composition). Cas des involutions.
      9. Application réciproque d'une bijection. Réciproque d’une composée. Cohérence de la notation $f^{-1}(B)$ lorsque $f$ est bijective.
   2. Relations
      1. Relation binaire sur un ensemble
      2. Relation d'équivalence, classes d'équivalence. Partition. Les classes d'équivalences forment une partition.
      3. Exemple des relations de congruence modulo un réel sur \(\mathbf R\) et relation de congruence modulo un entier sur \(\mathbf Z\).
      4. Relation d'ordre, ordre partiel, ordre total
      5. Majorant, minorant, minimum, maximum
      6. Applications croissantes, décroissantes. Fonctions strictement monotones et injectivité.
5. Fonctions usuelles et dérivation
   1. Généralités sur les fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles
      1. Graphe. Représentation graphique de \(x\mapsto f(x+a)\), etc. Résolution graphique de \(f(x)\ge \lambda\) etc.
      2. Parité, périodicité.
      3. Opérations sur les fonctions : somme, produit, puissance (d'exposant entier). Notations |f|, cos(f), exp(f), etc. Opérations sur les fonctions croissantes.
      4. Fonctions minorées, majorées, bornée. Une fonction \(f\) est bornée si et seulement si \(|f|\) est majorée. *Sommes et produits de fonctions bornées*.
   2. Dérivation (résultats admis)
      1. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'une composée. Dérivée d'une puissance, de l'inverse, d'un quotient etc.
      2. Tangente à une courbe représentative. Dérivabilité et graphe d'une réciproque.
      3. Étude des variations à l'aide de la dérivée. Tableau de variation. Étude pratique d'une fonction.
      4. Dérivées d'ordre supérieur
   3. Fonctions usuelles
      1. Signe et valeur absolue
      2. Exponentielle, inégalité exp(x)≥1+x
      3. Logarithme népérien (et logarithme en base quelconque), exponentielle de base quelconque. Inégalité ln(x)≤x-1
      4. Puissances
      5. Sinus, cosinus, tangente
      6. Fonctions circulaires réciproques : Arccos, Arcsin, Arctan
      7. Fonctions hyperboliques
   4. Calculs de limites
      1. Généralités
      2. Théorème des croissances comparées
      3. Limites usuelles
   5. Dérivation des fonctions à valeurs complexes
      1. Définition
      2. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient
      3. Dérivée de \(e^\varphi\) où \(\varphi\) est dérivable à valeurs complexes
   6. Primitives
      1. Généralités
         1. Définition
         2. Primitives d'une même fonction sur un intervalle
         3. Linéarité, parties réelles et imaginaires
      2. Primitives usuelles
         1. \(u'u^a\) avec \(a\neq -1\), \(u'/u\)
         2. \(u'e^u\), \(u'\cos(u)\), \(u'\sin(u)\)
         3. \(\frac{u'}{1+u^2}\), \(\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\)
      3. Applications
         1. Primitives de \(x\mapsto e^{ax}\cos(bx)\).
         2. Primitives de \(x\mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}\). Cas particulier de \(x\mapsto \frac{1}{x^2+\alpha^2}\).
         3. Primitives de \(x\mapsto \frac{1}{x-\alpha}\) lorsque \(\alpha\) n'est pas réel.
   7. Intégrales
      1. Généralités
         1. Définition (construction admise) et interprétation géométrique pour les fonctions à valeurs positives.
         2. Additivité, linéarité, positivité. Partie réelle et imaginaire
      2. Le théorème fondamental de l'analyse
         1. Dérivée de \(x\mapsto \int_{x_0}^x f(t)\mathrm dt\) où \(f\) est continue.
         2. Existence de primitives. Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive.
      3. Calcul d'intégrales
         1. Intégration par parties (et définition de la classe \(\mathcal C^1\)). Exemples.
         2. Changement de variable. *Application aux fonctions paires, impaires, périodiques.*
         3. Exemples : primitives de \(\ln\), de \(x\mapsto x e^x\), de \(x\mapsto \frac{1}{\cos(x)}\)
6. Nombres réels
   1. Nombres réels
      1. Nombres décimaux, rationnels, irrationnel. L'ensemble \(\mathbf R\), muni de \(+\), \(\times\) et \(\le\) est un corps ordonné. Parties (et fonctions) majorées, minorées. La propriété de la borne supérieure; Elle implique la propriété de la borne inférieure, le caractère archimédien. Et elle permet de définir la :
      2. Partie entière \(\lfloor x\rfloor\), partie fractionnaire \(\{x\}\)
      3. Caractérisation avec epsilon du supremum
      4. Valeurs décimales approchées à la précision \(10^{-n}\) par défaut et par excès
      5. Parties denses, caractérisation avec epsilon. Toute partie contenant une partie dense est dense.
      6. Densité de \(\mathbf Q\) et de \(\mathbf R\setminus \mathbf Q\)
      7. Droite achevée \(\overline{\mathbf R}\). Prolongement de \(\le\), \(+\) et \(\times\)
      8. Parties convexes de \(\mathbf R\). Toute partie convexe de \(\mathbf R\) est un intervalle.
   2. Suites réelles
      1. Généralités
         1. Rappel sur la notion de suite. Suites définies par récurrence. Représentation graphique d'une suite
         2. Suites majorées, minorées, bornées. Une suite est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée. Suites complexes bornées.
         3. Suites monotones, strictement monotones.
         4. L'expression «à partir d'un certain rang». Toute suite bornée à partir d'un certain rang est bornée.
      2. Limite d'une suite
         1. Limite d'une suite réelle, finie ou infinie. Notation \(u_n\to \ell\). Équivalences \(u_n\to \ell \iff u_n-\ell\to 0 \iff |u_n-\ell|\to 0\).
         2. Premiers exemples : les suites constantes (ou stationnaires), la suite \(u_n=n\), la suite \(u_n=\frac{1}{n}\).
         3. Conservation des inégalités larges par passage à la limite puis unicité de la limite. Notation \(\lim u_n\)
         4. Suites convergentes, suites divergente. Toute suite convergente est bornée. Réciproque fausse.
         5. Si \(u_n\to \ell>0\), alors \(u_n>\frac{\ell}{2}\) à partir d'un certain rang. Théorème de convergence par encadrement. *Si \(|u_n-\ell|\le a_n\) et \(a_n\to 0\), alors \(u_n\to \ell\)*. Théorème de divergence par minoration ou majoration. Si \(u_n\to \ell\), alors \(|u_n|\to |\ell|\)
         6. Opérations sur les limites : somme de deux suite, produit d'une suite par un scalaire, produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle, produit de deux suites, inverse d'une suite, quotient de deux suites. Valeur absolue d'une suite convergente, racine carrée d'une suite positive convergente. *Somme d'une suite convergente et d'une suite divergente*.
      3. Suites monotones
         1. Théorème de la limite monotone
         2. Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes
      4. Suites extraites
         1. Suites extraites. Suite extraite d'une suite extraite.
         2. Si une suite a pour limite \(\ell\), toutes ses suites extraites aussi
         3. \(u_n\to\ell\) si et seulement si \(u_{2n}\to \ell\) et \(u_{2n+1}\to \ell\). Exemple de \((-1)^n\).
         4. Exemple : une suite est non majorée si et seulement si elle admet une suite extraite qui diverge vers \(+\infty\).
         5. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Extraction simultanée pour deux suites bornées.
      5. Traductions séquentielles de certaines propriétés
         1. Parties denses de \(\mathbf R\), caractérisation séquentielle
         2. Bornes supérieures et inférieures
      6. Suites complexes
         1. Définition de la limite, unicité de la limite
         2. Opération sur les limites. Limite du module d'une suite.
         3. Limite d'une suite extraite. Théorème de Bolzano-Weierstrass
      7. Exemples
         1. Limite d'une suite géométrique
         2. Croissances comparées de \(n!\) et \(c^n\)
         3. Étude d'une suite récurrente
         4. Étude d'une suite définie implicitement
      8. Suites particulières
         1. Suites arithmétiques
         2. Suites géométriques
         3. Suites arithmético-géométriques
         4. Suites à double récurrence linéaire
      9. Relations de comparaison pour les suites
         1. Équivalence, propriétés algébriques, propriétés conservées par l'équivalence
         2. Négligeabilité. Propriétés \(o(u)+o(u)=o(u)\), \(v o(u)=o(vu)\), etc.
         3. Domination
         4. Liens entre les relations : \(u\sim v\iff u=v+o(v)\), \(u\sim v\Rightarrow o(u)=o(v)\)
7. Structures algébriques usuelles
   1. Loi de composition interne
      1. Définition, exemples. Notation additive, notation multiplicative.
      2. Associativité, commutativité, distributivité.
      3. Élément neutre, unicité. Elément absorbant.
      4. Puissances \(x^n\) (ou \(nx\) pour une loi associative. Cas de \(x^0\) (ou \(0x\)). *Monoïdes*. idempotent.
      5. Inversibilité, inverse, unicité, dans un monoïde. Inversibilité et inverse d'un produit. Puissances d'exposants négatifs.
      6. Partie stable. Exemples et contre-exemples. Loi de composition induite par restriction à une partie stable.
      7. Table d'une loi de composition interne sur un ensemble fini.
   2. Groupes
      1. Définition. Groupes commutatifs. Notation multiplicative, additive. Groupes additifs usuels.
      2. Calculs et simplifications dans un groupe. Conjugués d'un élément.
      3. Groupe des inversibles d'un monoïde. Groupes multiplicatifs usuels. Groupe \(S_X\) des permutations de \(X\)
      4. Groupes produits. Groupe des vecteurs du plan. Groupes additifs des suites, des fonctions.
      5. Sous-groupes. Définition et caractérisation. Groupes de racines de l'unité.
      6. Morphisme de groupes. Image directe et réciproque d'un sous-groupe
      7. Noyau et image d'un morphisme de groupes. Caractérisation de l''injectivité.
      8. Composition des morphismes. Isomorphisme et isomorphisme réciproque. La relation « sont isomorphes ».
      9. Table d'un groupe fini (carré latin). Tables de deux groupes isomorphes.
      10. Classification des (tout) petits groupes finis : ordres ≤4. Table de \(S_3\).
   3. Anneaux et corps
      1. Anneaux, anneaux commutatifs. Exemples usuels et exemple des matrices
      2. Calcul dans un anneau : nilpotents, \(a^n-b^n\) et \((a+b)^n\) lorsque \(a\) et \(b\) commutent.
      3. Groupes des inversibles d'un anneau. Groupes multiplicatifs usuels.
      4. Anneaux intègres, corps
      5. Morphismes et isomorphismes d'anneaux.
8. Limites et continuité
   1. Limite d'une fonction en un point
      1. Voisinages. L'expression «au voisinage de».
      2. Définition de la limite. L'existence et la valeur d'une limite ne dépendent que des valeurs de la fonction au voisinage du point considéré.
      3. Caractérisation séquentielle de la limite
      4. Unicité de la limite
      5. Premiers exemples de limites. *Exemples de fonctions sans limite*.
      6. Opérations sur les limites. Composition.
      7. Limites et inégalités. Conservation des inégalités larges. Convergence par encadrement, divergence par minoration ou majoration. Une fonction qui admet une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
      8. Limites latérales (strictes). Si \(f\) admet une limite en un point \(a\) où elle est définie, alors cette limite est nécessairement \(f(a)\).
      9. Théorème de la limite monotone pour les fonctions.
   2. Continuité en un point
      1. Continuité en un point, prolongement par continuité, continuité latérale, caractérisation séquentielle de la continuité en un point
      2. Opérations sur les fonctions continues en un point. Composition. Premiers exemples de fonctions continues.
   3. Continuité sur un intervalle
      1. Définition. Ensemble des fonctions continues sur un intervalles, opérations sur les fonctions continues
      2. Théorème des valeurs intermédiaires, image d'une intervalle par une fonction continue
      3. Cas des fonctions strictement monotone
      4. Théorème des bornes atteintes, image d'un segment par une fonction continue
      5. Pour une fonction continue sur un intervalle, l'injectivité équivaut à la stricte monotonie.
      6. Pour unr fonction monotone sur un intervalle, la continuité équivaut à avoir pour image un intervalle
      7. Continuité de la réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. Applications aux fonctions usuelles (racine carrée, arcsin, etc).
   4. Continuité des fonctions à valeurs complexes
      1. Définition
      2. Fonctions complexes continues sur un segment
9. Arithmétique dans \(\mathbf Z\)
   1. Divisibilité
      1. Diviseurs, multiples, entiers associés
      2. Théorème de division euclidienne. Caractérisation de la divisibilité.
      3. Les sous-groupes de \(\mathbb Z\)
   2. Congruences
      1. La congruence modulo \(n\) est une relation d'équivalence sur \(\mathbf Z\) compatible avec la somme et le produit. Systèmes de représentants.
      2. Applications : critères de divisibilité en base 10
      3. Caractérisation du reste d'une division euclidienne, exemple de calcul de reste
      4. Exemple de calcul de puissances modulo \(n\)
   3. PGCD
      1. Définition, caractérisation. Homogénéité.
      2. Algorithme d'Euclide
      3. Calcul d'une relation de Bézout
   4. Entiers premiers entre eux
      1. Définition, théorème de Bézout
      2. Lemme de Gauss. Si un entier est premier avec d'autres entiers, alors il est aussi premier avec leur produit.
      3. Représentant irréductible d'un rationnel
      4. Résolution des équations diophantiennes \(ax+by=c\)
      5. Entiers premiers entre eux dans leur ensemble, entiers deux à deux premiers entre eux
   5. Nombres premiers
      1. Définition. Le plus petit diviseur non trivial d'un entier non trivial est premier. Si un nombre premier divise un produit alors il divise l'un des facteurs. Test de primalité : on peut s'arreter à la racine carrée.
      2. Ensemble des nombres premiers : il est infini. Autres théorèmes et conjectures
      3. Théorème de décomposition en facteurs premiers
      4. Valuation \(p\)-adique : caractérisation de la divisibilité
      5. Expression du PGCD. Définition du PPCM, expression et relation avec le PGCD.
   6. Compléments sur les congruences
      1. Inverse modulo \(n\)
      2. Si \(p\) est premier, alors \(p\) divise \(\binom{p}{k}\) pour tout \(1\le k\le p-1\), Freshman's dream de Frobenius : \((a+b)^p\equiv a^p+b^p [p]\).
      3. Petit théorème de Fermat
10. Dérivabilité
    1. Nombre dérivé
       1. Définition, développement limité à l'ordre 1, tangente. Décidabilité latérale.
       2. La dérivabilité entraîne la continuité
       3. Opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, composée, inverse, quotient, puissance), dérivée d'une réciproque. Application aux fonctions usuelles (racine carrée, arcsin, …).
       4. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée
    2. Extrema locaux, points critiques
       1. Extrema globaux, locaux
       2. Lien avec les points critiques
    3. Théorème des accroissements finis
       1. Théorème de Rolle
       2. Égalité et inégalité des accroissements finis
       3. Fonctions lipschitziennes. Application aux suites récurrentes.
       4. Caractérisation des fonctions dérivables constantes, croissantes, strictement croissantes
       5. Théorème de la limite de la dérivée
    4. Fonctions de classe \(\mathcal C^k\)
       1. Définition des fonctions \(\mathcal D^k\) puis \(\mathcal C^k\) pour \(k\in\mathbb N\cup \{\infty\}\)
       2. Linéarité
       3. Formule de Leibniz
       4. Composition, inverse et quotient
       5. Réciproque
    5. Dérivation des fonctions complexes
       1. Définition
       2. Inégalité des accroissements finis pour une fonction \(\mathcal C^1\)
11. Calcul matriciel
    1. L'espace vectoriel des matrices n×p
       1. Définitions. Base canonique
       2. Produit matriciel. Matrices unités. Bilinéarité, associativité. Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne. Produit des matrices de la base canonique.
       3. Transposition. Propriétés
    2. Écriture matricielle des systèmes linéaires
       1. Généralités. Système homogène associé.
       2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes en termes de produits
    3. Anneau des matrices n×n
       1. Généralités. Exemples de matrices nilpotentes
       2. Trace, propriétés de la trace
       3. Matrices symétriques, antisymétriques
       4. Matrices triangulaires, matrices diagonales, matrices scalaires. Produits de telles matrices
       5. Matrices inversibles. Groupe linéaire
       6. Inverse et transposée
    4. Calcul de l'inverse d'une matrice inversible
       1. Matrices inversibles 2×2, déterminant
       2. Inversion par résolution d'un système linéaire
       3. Matrices d'opérations élémentaires. Inversibilité et inverses de ces matrices
       4. Inversion par opérations élémentaires
       5. Toute matrice carrée inversible d’un côté est inversible (admis). Inversibilité et inverse d'une matrice triangulaire par blocs puis d’une matrice triangulaire (resp. diagonale)
12. Fonctions convexes
    1. Généralités
       1. Moyennes
       2. Définition. Interprétation géométrique.
       3. Inégalité de Jensen
       4. Lemme des trois pentes et caractérisation de la convexité par la croissance des pentes. Position par rapport aux cordes «à l'extérieur».
       5. Dérivabilité latérale et continuité
    2. Fonctions convexes dérivables
       1. Caractérisation des fonctions convexes dérivables et des fonctions convexes deux fois dérivables
       2. Applications
13. Polynômes et fractions rationnelles
    1. Anneau K[X]
       1. Définitions, égalité de deux polynômes. Vocabulaire (indéterminée, polynôme unitaire, coefficient dominant), produit de deux polynômes
       2. Degré. Degré d'une somme, d'un produit
       3. Intégrité de K[X]. Les espaces vectoriels K_n[X]
    2. Substitution
       1. Substitution d'un scalaire. Relations (P+Q)(x)=P(x)+Q(x) et (PQ)(x)=P(x)Q(x). Racines. Fonction polynomiale associée à un polynôme
       2. Substitution d'une matrice
       3. Substitution d'un polynôme : composition de deux polynômes, notation P(X)
    3. Arithmétique dans K[X]
       1. Division euclidienne dans K[X]
       2. Divisibilité et congruences dans K[X] (et lien avec la division euclidienne)
       3. Inversibles de K[X], polynômes associés
       4. PGCD, définition, existence et unicité à un inversible près. Relation AU+BV=D
       5. Propriété du PGCD et calcul par l'algorithme d'Euclide. Algorithme d'Euclide étendu
       6. Polynômes premiers entre eux. Théorème de Bezout et lemme de Gauss
       7. Associativité du PGCD, PGCD d'un nombre fini de polynômes. Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble
       8. Polynômes irréductibles. Théorème fondamentale de l'arithmétique des polynômes. Valuations P-adique
    4. Racines
       1. Définition de la multiplicité d'une racine et caractérisation
       2. Majoration du nombre de racines. Polynômes scindés. Exemple de X^n-1
       3. Relations coefficients/racines pour les polynômes scindés
       4. Fonctions polynomiales lorsque K est infini
    5. Irréductibles dans C[X] et R[X]
       1. Théorème de d'Alembert-Gauss. Irréductibles de C[X].
       2. Caractérisation de la divisibilité et de la primalité relative en termes de racines.
       3. Cas de R[X]. Multiplicité d'une racine conjuguée. Irréductibles de R[X]
    6. Dérivation
       1. Définition et opérations. Lien avec la dérivation des fonctions dans le cas réel. Formule de Leibniz
       2. a est racine de P de multiplicité n≥1 si et seulement si P(a)=0 et a est racine de P' de multiplicité n-1. Caractérisation de la multiplicité : a est racine de P de multiplicité n≥0 si et seulement si P(a)=P'(a)=…=P^(n-1)(a)=0 et P^(n)(a)≠0
       3. Formule de Taylor
    7. Interpolation de Lagrange
       1. Base de Lagrange
       2. Polynôme interpolateur de Lagrange
       3. Description de tous les polynômes interpolateurs
    8. Fractions rationnelles
       1. Corps K(X) (construction admise).
       2. Degré.
       3. Forme irréductible. Zéros et pôles, multiplicités.
       4. Partie entiére
       5. Décomposition en éléments simples sur K, sur C, sur R
       6. Calcul pratique de la décomposition. Cas d'un pôle simple.
       7. Décomposition de P'/P

semaine8_MPSI1

Document de 341 ko, dans Physique/Programmes de colle

Le TP 7 aura lieu en B011.

Pour palier le souci de réseau, merci de vous munir d'une clé USB et d'y enregistrer le document suivant (.csv) : mesure_chute_Baumgartner_TVH.

semaine7_MPSI1

Document de 562 ko, dans Physique/Programmes de colle

Rapport sur le DS2

A la suite du DS2 qui a lieu de 8h00 à 11h00 :

Il s'agit d'une expérimentation (probablement amenée à être reconduite).

En cas de difficulté concernant les horaires, merci de venir me voir.

15. Analyse asymptotique
16. Espaces vectoriels
17. Dimension
18. Intégration
19. Dénombrement
20. Probabilités
21. Séries numériques
22. Applications linéaires
23. Équations différentielles
24. Matrices et applications linéaires
25. Variables aléatoires
26. Permutations et déterminant
27. Espaces préhilbertiens réels
28. Familles sommables
29. Fonctions de deux variables

14. Analyse asymptotique
    1. Relations de comparaison pour les fonctions
       1. Equivalence, négligeabilité, dominations. Lien entre ces relations. Exemple des croissances comparées.
       2. Règles de calcul
       3. Equivalence par encadrement. Le signe et la limite sont conservées par encadrement
    2. Développements limités
       1. Définition, troncature, unicité, lien avec les équivalents.
       2. Fonctions paires, fonctions impaires
       3. Développements limités à l'ordre 0 et 1.
       4. Lemme : si \(F'=f\) et \(f(x)=o(x^n)\) lorsque \(x\to 0\) et \(F(0)=0\), alors \(F(x)=o(x^{n+1})\). Primitivation des développements limités. *Dérivation des développements limités*. Formule de Taylor-Young
       5. Développements limités usuels
       6. *Opérations sur les petits o des puissances de \(x\) au voisinage de 0 : \(o(x^p)o(x^n)=o(x^{p+n})\), etc.* Opérations sur les développements limités : somme, produit, composition, quotient
    3. Applications et exemples
       1. Etude locale des fonctions. Position par rapport à une tangente. Condition suffisante d'extremum local.
       2. Etude au voisinage de l'infini, développement asymptootique, position par rapport à une asymptote.
       3. Exemple de développement limité d'une réciproque
       4. Formule de Stirling (admise), série harmonique (admis).
15. Espaces vectoriels
    1. Espaces vectoriels
       1. Structure de \(\mathbb K\)-espace vectoriel, \(\lambda x=0_E\iff (\lambda=0_{\mathbb K}\text{ ou }x=0_E)\), combinaisons linéaires (éventuellement infinies)
       2. Exemples : espaces vectoriels de fonctions, de suites, \(\mathbb K[X]\), matrices, \(\mathbb K\), produit d'espaces vectoriels
       3. Restriction des scalaires.
    2. Sous-espaces vectoriels
       1. Définition, tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul. Caractérisation
       2. Exemples : sous-espace nul, \(\mathbb K_n[X]\) dans \(\mathbb K[X]\), \(\mathcal C(I,\mathbb K)\) dans \(\mathcal F(I,\mathbb K)\), droites vectoriel, plans dans \(\mathbb K^3\)
       3. Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels
       4. Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou par une famille). Caractérisation. *Opérations sur les «Vect».*
    3. Familles de vecteurs
       1. Familles génératrices. Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice. Enlever un vecteur à une famille génératrice.
       2. Familles et parties libres. Toute sous-famille d'une famille libre est libre. Ajouter d'un vecteur à une famille libre. Liberté des familles de polynômes de degrés distincts.
       3. Bases, coordonnées
       4. Bases canoniques de \(\mathbb K^n\), \(\mathbb K_n[X]\), \(\mathbb K[X]\), matrices.
    4. Sommes de sous-espaces vectoriels
       1. Somme de deux sous-espaces vectoriels, somme de deux "Vect". La concaténation de familles génératrices de deux s.e.v. engendre leur somme.
       2. Sous-espaces vectoriels en somme directe, caractérisations. La concaténation de deux familles libres de deux s.e.v. en somme directe est libre. Bases adaptées.
       3. Sous-espaces supplémentaires. Construction de s.e.v. supplémentaires à l'aide d'une base de l'espace. *Tout supplémentaire de \(F\cap G\) dans \(F\) est un supplémentaire de \(G\) dans \(F+G\).*
16. Dimension
    1. Espaces vectoriels de dimension finie
       1. On peut compléter toute famille (finie) libre en une base en "piochant" dans une famille (finie) génératrice. Théorème de la base extraite.
       2. Espaces vectoriels de dimension finie. Exemples. Théorème de la base incomplète. Existence de base.
    2. Dimension des espaces vectoriels de dimension finie
       1. Deux bases finies ont le même cardinal. Un espace vectoriel qui a une base finie ne peut pas aussi avoir une base infinie.
       2. Définition de la dimension. Exemples de référence.
       3. Familles libres et familles génératrices en dimension \(n\). Application aux familles de polynômes de degrés échelonnés.
       4. Dimension d'un produit fini d'espaces vectoriels de dimension finie
    3. Dimension des sous-espaces vectoriels
       1. Dimension d'un sous-espace vectoriel, cas d'égalité. Droites, plans. Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^2\) et de \(\mathbb R^3\)
       2. Dimension d'une somme directe. Existence d'un supplémentaire, dimension commune des supplémentaires (en dimension finie), codimension.
       3. Formule de Grassmann. Caractérisation des couples de sous-espaces vectoriels supplémentaires
       4. Rang d'une famille de vecteurs. Majorations du rang d'une famille et cas d'égalité.
17. Intégration
    1. Compléments d'analyse
       1. Continuité uniforme, théorème de Heine. Exemple des fonctions lipschitziennes.
       2. Norme de la convergence uniforme.
       3. Subdivisions d'un segment, exemples, *subdivision plus fine que deux subdivisions données*.
       4. Fonctions en escaliers, *l'espace vectoriel \(\mathcal E([a,b],\mathbb K)\)*.
       5. Fonctions continues par morceaux sur un segment, *l'espace vectoriel \(\mathcal C_m([a,b],\mathbb K)\). Valeur absolue d'une fonction continue par morceaux.*
       6. Le théorème d'approximation
    2. Intégrale des fonctions en escaliers
       1. Définition
       2. Propriétés
    3. Intégrale des fonctions continues par morceaux
       1. Définition
       2. Propriétés. Définition de la moyenne d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Stricte positivité.
    4. Intégrale fonction de sa borne supérieure
       1. Intégrales orientées.
       2. Dérivation de \(x\mapsto \int_a^x f(t)\mathrm dt\) pour \(f\) continue. Calcul d'une intégrale au moyen de primitive. Existence de primitive pour les fonctions continues, *application : construction des fonctions usuelles transcendantes*. Nouvelle démonstration de la stricte positivité.
    5. Sommes de Riemann
       1. Cas des fonctions continues par morceaux
       2. Cas des fonctions lipsschitziennes
    6. Formules de Taylor globales
       1. Formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre \(n\) pour une fonction de classe \(\mathcal C^{n+1}\)
       2. Inégalité de Taylor-Lagrange
       3. Application au développement en série de l'exponentielle
18. Dénombrement
    1. Cardinal d'un ensemble fini
       1. Lemmes sur les ensembles {1,...,n} et les applications entre eux
       2. Ensembles finis, définition du cardinal, cohérence de la définition. Cardinal de \(\{x\in\mathbb Z, a\le x\le b\}\)
       3. Injection, surjections et inégalités entre les cardinaux. Principe des tiroirs. Pour une application entre ensembles finis de même cardinal, l'injectivité équivaut à la surjectivité. Si \(E\) est fini et \(A\subset E\), alors \(A\) est finie et \(|A|\le |E|\), cas d'égalité.
       4. Opérations sur les ensembles finis :
          1. Unions disjointes et unions quelconques d'ensembles finis. Lemme des bergers.
          2. Produit d'ensembles finis
          3. Ensemble des applications d'un ensemble fini dans un autre
          4. Ensemble des parties d'un ensemble fini
    2. Listes et combinaisons
       1. Dénombrement de \(p\)-listes d'éléments distincts, dénombrement d'injections, de permutations
       2. Dénombrement de \(p\)-combinaisons. Applications : démonstrations combinatoires des formules de Pascal et du binôme de Newton.
19. Probabilités sur un univers fini
    1. Espaces probabilisés finis
       1. Mesure de probabilité sur un univers fini, espace probabilisé fini, événement presque certain, presque impossible.
       2. Propriétés des probabilités : probabilité de la réunion de deux événements, du complémentaire d'un événement, croissance, etc
       3. Exemple de la mesure de probabilité uniforme
       4. Formule des probabilités totales (version 1). Systèmes complets d'événements.
    2. Construction de mesures de probabilités
       1. Une mesure de probabilité est déterminée par sa valeur sur les événements élémenaires. Distribution de probabilités
       2. Existence d'une mesure de probabilités, pour une distribution donnée.
       3. Mesures de probabilités uniformes, binomiales, de Bernoulli
    3. Probabilités conditionnelles
       1. Probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées, *représentation graphique à l'aide d'un arbre*
       2. Formule des probabilités totales, formules de Bayes, exemples
    4. Événements indépendants
       1. Couples d'événements indépendants, lien avec les probabilités conditionnelles
       2. Famille finie d'événements mutuellement indépendants, lien avec l'indépendance deux à deux. Indépendance et passage aux complémentaires.
20. Séries numériques
    1. Généralités
       1. Série \(\sum u_n\) de terme général \(u_n\). Sommes partielles, convergence, divergence. Somme \(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\) et restes \(\sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n\) d'une série convergente.
       2. Linéarité de la somme
       3. Divergence grossière
       4. Séries géométriques, *série exponentielle, série harmonique*
       5. Lien suite-série, la suite \((u_n)\) et la série \(\sum (u_{n+1}-u_n)\) ont même nature
    2. Séries à termes positifs
       1. Une série à termes positifs *à partir d'un certain rang* converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée
       2. Si \(0\le u\le v\), la convergence de \(\sum v_n\) implique celle de \(\sum u_n\).
       3. Si \(u\ge 0\) et \(v\ge 0\) et \(u_n\sim v_n\), alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature. *Si \(u_n\sim v_n\) et si \(v\) est de signe constant à partir d'un certain rang, alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature*.
       4. Comparaison série-intégrale dans le cas monotone. Applications aux séries de Riemann. Fin de la preuve de la formule de Stirling.
    3. Séries à termes non nécessairement positifs
       1. Convergence absolue. La convergence absolue implique la convergence.
       2. Critère spécial des séries alternées
       3. Si \(u\) est une suite complexe, \(v\) une suite réelle à termes positifs, si \(u=O(v)\), et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) est absolument convergente.
21. Applications linéaires
    1. Généralités
       1. Linéarité, caractérisation, image du vecteur nul. L'espace vectoriel \(\mathcal L(E,F)\), composition, bilinéarité de la composition, isomorphismes, isomorphisme réciproque.
       2. Images et images réciproques de sous-espaces vectoriels. Noyau et image. Caractérisation de l'injectivité. *\(f\left(\mathrm{Vect}(x_1,\dots,x_p)\right)=\mathrm{Vect}(f(x_1),\dots,f(x_p))\)*, l'image d'une famille génératrice est une famille génératrice de l'image. Image d'une base par un isomorphisme.
       3. Applications linéaires de rang fini. Rang. Invariance par composition par un isomorphisme.
    2. Détermination d'une application linéaire
       1. Une application linéaire est déterminée par l'image d'une famille génératrice. Définition d'une application linéaire sur une somme directe \(E_1\oplus E_2\). Définition d'une application linéaire par l'image d'une base. Caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité de cette application linéaire. Classification à isomorphisme près des espaces vectoriels de dimension finie par leur dimension.
       2. Injectivité et surjectivité des applications linéaires entre espaces vectoriels de même dimension finie. Inversibilité à gauchet et à droite des endomorphismes en dimension finie.
       3. Dimension de \(\mathcal L(E,F)\) lorsque \(E\) et \(F\) sont de dimension finie.
    3. Endomorphismes
       1. Identité \(\mathrm{Id}_E\), homothéties, anneau \(\mathcal L(E)\), notation \(uv\) pour \(u\circ v\), notation \(u^k\) où \(k\) est un entier naturel, non commutativité en dimension \(\ge 2\).
       2. Automorphismes, groupe linéaire \(\mathrm{GL}(E)\), notation \(u^k\) où \(k\) est un entier relatif.
       3. Projecteurs et symétries. Caractérisation des idempotents et des involutions.
    4. Théorème du rang
       1. Toute application linéaire induit un isomphisme de tout supplémentaire de son noyau sur son image Théorème du rang
       2. *Nouvelle démonstration de la formule de Grassmann*
    5. Formes linéaires et hyperplans
       1. Formes linéaires. Formes coordonnées relatives à une base
       2. Hyperplans (noyau d'une forme linéaire non nulle) Supplémentaires des hyperplans, supplémentaires des droites. Caractérisation des hyperplans par leur dimension, en dimension finie. Équation en dimension finie. Comparaison des équations d'un même hyperplan.
       3. Intersection d'un nombre fini d'hyperplans. Tout sous-espace vectoriel de codimension \(p\) est l'intersection de \(p\) hyperplans. Exemples des droites de \(\mathbb R^2\), des droites et des plans de \(\mathbb R^3\)
    6. Sous-espaces affines des espaces vectoriels
       1. Structure affine d'un espace vectoriel, points et vecteurs. Translation. Relation de Chasles.
       2. Sous-espace affine, direction, hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines.
       3. Ensemble des solutions de l'équation \(u(x)=a\) où \(u\) est une application linéaire. Retour sur les équations différentielles linéaires, les systèmes linéaires, l'interpolation polynomiale, les suites arithmético-géométriques.
22. Équations différentielles
    1. Équations différentielles linéaire d'ordre n
       1. Définition, équation homogène associée
       2. Principe de superposition
       3. Structure de l'ensemble des solutions d'une équation homogène
       4. Structure de l'ensemble des solutions dans le cas général.
       5. Parties réelles et imaginaires d'une équation différentielle linéaire à coefficients réels.
       6. Problème de Cauchy (définition)
    2. Équations différentielles linéaires d'ordre 1
       1. Résolution des équations homogènes \(y'+ay=0\)
       2. Recherche d'une solution particulière : méthode de la variation de la constante
       3. Problème de Cauchy, complexe puis réel
       4. Recherche d'une solution particulière pour \(ay'+by=P(x)e^{kx}\)où \(P\) est un polynôme et \(a,b,k\) des constantes.
    3. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
       1. Résolution des équations homogènes, équation caractéristique associée, cas complexe et cas réel.
       2. Recherche d'une solution particulière dans le cas où le second membre est de la forme \(P(x)e^{k x}\) où \(P\) est un polynôme.
23. Matrices et applications linéaires
    1. Matrices et applications linéaires
       1. Matrice d'une application linéaire dans des bases
          1. Matrice \(\mathrm{Mat}_e(v_1,\dots,v_p)\) d'une famille de vecteurs dans une base, matrice \(\mathrm{Mat}_{e,f}(u)\) d'une application linéaire dans un couple de bases. Isomorphisme \(u\mapsto \mathrm{Mat}_{e,f}(u)\).
          2. Matrice de l'image d'un vecteur par une application linéaire, matrice d'une composée, lien entre matrices inversibles et isomorphismes. Cas particulier des endomorphismes.
       2. Application linéaire canoniquement associée à une matrice
          1. Noyau, image et rang d'une matrice. Les colonnes engendrent l'image, les lignes donnent un système d'équation du noyau. Caractérisation de l'inversibitilité d'une matrice carrée par son image, ou son noyau, ou son rang. Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à gauche (resp. à droite).
       3. Blocs
          1. Théorème du produit par blocs (démonstration non exigible)
          2. Matrices triangulaires par blocs, interprétation (sous-espace stable). Matrices triangulaires, interprétation. Inversibilité et inverse d'une matrice triangulaire (par blocs).
       4. Compléments sur le rang
          1. Lien entre rang d'une application linéaire et rang d'une matrice qui la représente
          2. Lien entre rang d'une famille de vecteurs et rang d'une matrice qui la représente
    2. Changement de base, équivalence, similitude
       1. Matrice de passage.
          1. Matrice de changement de base \(P_{\mathcal B}^{\mathcal C}\), inversibilité et inverse des matrices de passage. *Toute matrice inversible est une matrice de passage*.
          2. Changement de base pour un vecteur, pour une application linéaire, pour un endomorphisme. *Exemple : calcul d'un projecteur*.
       2. Matrices équivalentes et rang.
          1. Matrices \(J_r\). Toute application linéaire de rang \(r\) a pour matrice \(J_r\) dans des bases convenables
          2. Équivalence des matrices, interprétation géométrique. Une matrice est de rang \(r\) si et seulement si elle est équivalente à \(J_r\). Invariance du rang par transposition.
          3. Rang d'une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices carrées extraites
       3. Matrices semblables et trace.
          1. Matrices semblables, interprétation géométrique, *exemples des matrices idempotentes*.
          2. Trace d'une matrice carrée, trace d'un produit, invariance par similitude
          3. Trace d'un endomorphisme en dimension fini, trace d'un projecteur
       4. Calcul du rang : les opérations élémentaires sur les lignes conservent le noyau, celles sur les colonnes conservent l'image, toutes conservent le rang. Application au calcul du rang
24. Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini
    1. Variable aléatoire, loi d'une variable aléatoire
       1. Variables aléatoires \(X:\Omega\to E\) sur un univers fini, ensemble des valeurs \(X(\Omega)\). Exemples : indicatrice d'un événement, constante. Événements associés : \((X\in B)\), opérations sur ces événement, système complet associé à \(X\). Opérations sur les variables aléatoires réelles.
       2. Loi \(P_X\) d'une variable aléatoire \(X:\Omega\to E\). La loi \(P_X\) est déterminée par les \(P(X=x)\) pour \(x\in X(\Omega)\).
       3. Loi de l'image d'une variable aléatoire par une fonction.
       4. Indépendance de deux variables aléatoires (ou plus). Lemme des coalitions. Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre.
    2. Espérance
       1. Définition : \(E(X)=\sum_{\omega\in\Omega} X(\omega)P(\{\omega\})\). Formule de transfert. Cas particulier de la formule de transfert pour un couple.
       2. Linéarité, positivité, croissance. La variable aléatoire \(X-E(X)\) est centrée.
       3. Espérance du produit de deux variables réelles indépendantes
       4. Inégalité de Markov : si \(X\ge 0\) et \(a\gt 0\), alors \(a P(X\ge a)\le E(X)\)
    3. Variance, écart type, covariance
       1. Variance, écart type.
       2. Premières propriétés de la variance. Variance de $aX+b$. La variable aléatoire \(\frac{X}{\sigma(X)}\) est réduite, \(\frac{X-E(X)}{\sigma(X)}\) est centrée réduite.
       3. Covariance. Variables décorrélées. Lien avec l'indépendance. Variance d'une somme, cas de variables décorrélées.
       4. Inégalité de Bienaymée Chebychev
    4. Lois usuelles
       1. Loi uniforme \(\mathcal U([\!| a,b|\!])\), espérance et variance.
       2. Loi de Bernoulli \(\mathcal B(p)\). Lien avec l'indicatrice d'un événement. Espérance et variance.
       3. Loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\). Espérance et variance. Nombre de succès lors de \(n\) épreuve de Bernoulli indépendantes.
25. Permutations et déterminant
    1. Permutations
       1. Permutations d'un ensemble fini. Caractérisation. Notation. Non commutativité du groupe symétrique d'un ensemble de plus de trois éléments
       2. Points fixes et support d'un permutation. Le support est stable. Permutations à supports disjoints.
       3. Orbites d'une permutation. Elles forment une partition du domaine. Si l'orbite de $x$ sous $\sigma$ a $p$ éléments, alors elle est égale à $\{x,\sigma(x),\dots,\sigma^{p-1}(x)\}$.
       4. Cycles. Un cycle possède une unique orbite non triviale, et elle est égale à son support.
       5. La décomposition en cycles disjoints
       6. Transposition. Décomposition en produit de transposition.
       7. Signature, groupe alterné
    2. Forme multi-linéaire alternée sur un espace vectoriel
       1. *applications multi-linéaires, calcul de \(f\left(\sum_{i_1} \lambda_{i_1,1}x_{i_1},\dots,\sum_{i_p} \lambda_{i_p,p}x_{i_p}\right)\), formes multi-linéaire alternées*
       2. antisymétrie, effet d'une permutation
       3. annulation sur les familles liées.
    3. Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base \(e\)
       1. Existence et unicité en dimension \(n\) d'une forme \(n\)-linéaire alternée \(\det_e\), telle que \(\det_e(e)=1\). Toute forme \(n\)-linéaire alternée est un multiple de \(\det_e\). Expression du déterminant en fonction des coordonnées. Interprétation en dimension 2 ou 3 comme une aire orientée ou un volume orienté.
       2. Comparaison de \(\det_e\) et \(det_{e'}\). Caractérisation des bases
       3. Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie
    4. Déterminant d'un endomorphisme
       1. Définition. Déterminant d'un composé.
       2. Caractérisation des automorphismes.
    5. Déterminant d'une matrice carrée.
       1. Définition. Déterminant d'un produit. Caractérisation des matrices inversibles.
       2. Déterminant d'une transposée.
       3. Description des formes \(\mathcal M_n(\mathbb K)\to\mathbb K\) multilinéaire et alternées par rapport aux colonnes (resp. lignes).
    6. Calcul de déterminants
       1. Effet des opérations élémentaires
       2. Déterminant d'une matrice triangulaire, puis d'une matrice triangulaire par blocs
       3. *Mineur, caractérisation du rang*. Cofacteur. Développement par rapport à une ligne ou à une colonne
       4. Déterminant de Vandermonde
    7. Comatrice \(\mathrm{Com}(A)\).
       1. Relation \(A{}^t\mathrm{Com}(A)={}^t\mathrm{Com}(A)=\det(A)I_n\)
       2. Expression de l'inverse d'une matrice inversible.
       3. Matrices à coefficients entiers dont l'inverse est à coefficients entiers
26. Espaces préhilbertiens réels
    1. Produit scalaire
       1. Produit scalaire, espace préhilbertien, espace euclidien. Notation \(\langle x,y\rangle\), \((x|y)\), \(x\cdot y\).
       2. Exemples : produit scalaire canonique sur \(\mathbf R^n\), produit scalaire \((f,g)\mapsto \int fg\) sur \(\mathcal C([a,b],\mathbf R)\). *Produit scalaire \((A,B)\mapsto \mathrm{tr}({}^t AB)\) sur \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf R)\)*.
    2. Norme associée à un produit scalaire
       1. *Définition d'une distance, d'une norme. Distance associée à une norme*.
       2. Norme associée à un produit scalaire, distance associée.
       3. Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité.
       4. Inégalité triangulaire, cas d'égalité.
       5. Formule de polarisation : \(2\langle x,y\rangle=\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\).
    3. Orthogonalité
       1. Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie (et premières propriétés de \(F\mapsto F^{\perp}\)).
       2. Famille orthogonale, orthonormale (ou orthonormée). Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
       3. Théorème de Pythagore.
       4. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie. Dimension de l'orthogonal dans un espace euclidien. Propriétés de \(F\mapsto F^{\perp}\).
       5. Bases orthonormées. Existence de bases orthonormées dans un espace euclidien et théorème de la base orthonormée incomplète.
       6. Coordonnées dans une base orthonormale. Expression du produit scalaire et de la norme.
    4. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
       1. Projection orthogonale $p_F$ sur un sous-espace de dimension finie $F$. Lien entre $p_F$ et $p_{F^\perp}$. Expression du projeté dans une base orthonormale ou orthogonale. Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie en dimension quelconque.
       2. Distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie.
       3. Projeté orthogonal sur l'hyperplan orthogonal à un vecteur non nul. Distance à un tel hyperplan.
       4. Orthogonalisation de Gram-Schmidt : $y_{k+1}=p_{\mathrm{Vect}(x_1,\dots,x_k)^\perp}(x_{k+1})=x_{k+1}-p_{\mathrm{Vect}(x_1,\dots,x_k)}(x_{k+1})$. Propriétés : le drapeau associé aux $y_k$ est égal au drapeau associé aux $x_k$ (en particulier, si les $x_k$ sont linéairement indépendants, les $y_k$ le sont aussi) et la famille des $y_k$ est orthogonale.
27. Familles sommables
    1. Sommes de réels positifs
       1. Définition
       2. Cas d'une famille finie
       3. Lien avec les séries à termes positifs
       4. Croissances
       5. Sommation par paquets
       6. Linéarité
       7. Produit, produit de Cauchy
    2. Sommes de réels
       1. Définition
       2. Cas d'une famille positive
       3. Caractérisation avec epsilon
       4. Lien avec les séries
       5. Linéarité
       6. Croissance
       7. Sommation par paquets
       8. Produit, produit de Cauchy
    3. Sommes de complexes
       1. Définition
       2. Caractérisation
       3. Lien avec les séries
       4. Linéarité
       5. Sommation par paquets
       6. Produit, produit de Cauchy
       7. Application à la fonction exponentielle
28. Fonctions de deux variables
    1. Ouverts du plan
       1. Boules
       2. Topologie du plan
       3. Suite de points du plan
    2. Fonctions continues de deux variables
       1. Définition et caractérisation séquentielle
       2. Surface représentative
    3. Dérivées partielles
       1. Définition. Exemple de fonction non continue ayant des dérivées partielles.
       2. Fonctions de classe C¹. Développement limité à l'ordre 1. Plan tangent.
       3. Gradient. Expression du développement limité à l'aide du gradient.
    4. Dérivées partielles d'une composée
       1. Dérivée selon un vecteur. Expression à l'aide du gradient.
       2. Règle de la chaîne. Dérivée le long d'un arc paramétré. Expression à l'aide du gradient.
       3. Lignes de niveau. Lien avec le gradient.
    5. Extrema
       1. Définition des extrama locaux et globaux.
       2. Points critiques et lien avec les extrema.

Le DS durera 3h de 8h00 à 11h00.

Il y aura 3 problèmes (dont un plus petit) sur les chapitres E3, M1 et M2.

Il y aura des capacités numériques : tracé de graphique et méthode d'euler

(1) Pour le tracé, il faut savoir mettre un titre au graphique, un titre aux axes, des marqueurs en croix, une ligne entre les points ou une absence de ligne, choisir une couleur ainsi que faire apparaitre une légende et le quadrillage.

(2) Pour la méthode d'euler, il faut savoir trouver la formule de récurrence, la fonction "deriv" qui permet de calculer la dérivée et connaitre les étapes (création du tableau temps avec linspace, création d'un tableau de zéros avec np.zeros, initialisation avec la condition initiale, mise en oeuvre de la boucle for)

Je vous conseille de revoir les TP et particulièrement le TP n°4 avec le décrément logarithmique. Sa définition n'est pas exigible mais vous devez savoir déterminer, à partir de la définition fournie, sa valeur expérimentale et son expression théorique $\delta=T_p/\tau$.