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Questions de cours et exercices : Solide en rotation autour d'un axe fixe

• Théorème du moment cinétique
• Moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe
• Moment d'inertie par rapport à un axe : définition, propriétés
• Relation $L_\Delta = J_\Delta \dot{\theta}$
• TMC par rapport à l'axe de rotation : $J_\Delta \ddot{\theta} = \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_{\text{ext}})$
• Moments d'inertie usuels (fournis en exercice) : tige, disque, sphère...
• Application aux dispositifs en rotation
• Notion de couple : définition, moment d'un couple
• Liaison pivot : réaction de l'axe, moment nul par rapport à l'axe
• Pendule de torsion
• Position du problème : solide rappelé par un fil de torsion de constante $C$
• Équation horaire du mouvement : $J\ddot{\theta} + C\theta = 0$
• Oscillations harmoniques : pulsation propre $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J}}$
• Intégrale première du mouvement (énergie mécanique)
• Aspects énergétiques
• Énergie cinétique d'un solide en rotation : $E_c = \frac{1}{2}J_\Delta \dot{\theta}^2$
• Puissance d'une force : $\mathcal{P}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{v}$
• Puissance d'un couple : $\mathcal{P} = \mathcal{M}_\Delta \dot{\theta}$
• Théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation
• Lien entre puissance, travail et TMC
• Conservation de l'énergie mécanique pour un système conservatif
• Cas des systèmes déformables
• Exemple du tabouret d'inertie (ou de la patineuse)
• Conservation du moment cinétique : $L_\Delta = J_\Delta \dot{\theta} = \text{cste}$ si $\mathcal{M}_\Delta = 0$
• Variation du moment d'inertie et conséquences sur la vitesse angulaire
• Variation de l'énergie cinétique lors d'une déformation
• Interprétation : travail des forces intérieures (non nul pour un système déformable)

Questions de cours seulement : Systèmes thermodynamiques

• Introduction et définitions
• Niveaux de description : macroscopique et microscopique
• Température et repérage (échelles de température)
• Pression : définition, unités
• Pression partielle (loi de Dalton)
• Système ouvert/fermé
• Grandeurs d'état : intensives et extensives
• Équilibre thermodynamique
• Étude du gaz parfait monoatomique
• Définition du gaz parfait
• Libre parcours moyen
• Pression cinétique
• Température cinétique
• Équation(s) d'état : $PV = nRT$, loi des gaz parfaits
• Fluides réels
• Gaz réels : écarts au modèle du gaz parfait
• Phases condensées : liquides et solides
• Compressibilité : coefficient de compressibilité isotherme
• Volumes molaires classiques
• Énergie interne
• Définition et propriétés (fonction d'état extensive)
• Capacité thermique à volume constant $C_V$
• Gaz parfait monoatomique : $U = \frac{3}{2}nRT$
• Autres gaz parfaits : loi de Joule $U = U(T)$
• Phases condensées : approximation $U \approx U(T)$

Questions de cours

1. Définir le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe fixe $\Delta$. Quelles sont ses propriétés ? Quelle est son unité ? Quelle est son interprétation physique ?
2. Exprimer le moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ en fonction de son moment d'inertie $J_\Delta$ et de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$. En déduire l'expression de la dérivée temporelle du moment cinétique.
3. Énoncer le théorème du moment cinétique (TMC) pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$. Préciser les hypothèses. Quelle est l'utilité de ce théorème par rapport au PFD ?
4. Qu'est-ce qu'un couple de forces ? Définir le moment d'un couple. Donner des exemples de couples en physique.
5. Étudier le mouvement d'un pendule de torsion : un solide de moment d'inertie $J$ peut tourner autour d'un axe vertical et est rappelé par un fil de torsion de constante de torsion $C$. Établir l'équation du mouvement et déterminer la pulsation propre des oscillations.
6. Démontrer que l'énergie mécanique d'un pendule de torsion (sans frottement) est une intégrale première du mouvement. Donner l'expression de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
7. Exprimer l'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ en fonction de son moment d'inertie $J_\Delta$ et de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$. Faire l'analogie avec l'énergie cinétique d'un point matériel en translation.
8. Définir la puissance d'une force appliquée à un solide en rotation. En déduire l'expression de la puissance d'un couple de moment $\mathcal{M}_\Delta$ agissant sur un solide tournant à la vitesse angulaire $\dot{\theta}$.
9. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. Faire le lien avec le TMC.
10. Expliquer le principe du tabouret d'inertie (ou de la patineuse qui tourne sur elle-même). Un système de moment d'inertie variable $J(t)$ tourne autour d'un axe vertical sans frottement. Montrer que le moment cinétique se conserve et en déduire la relation entre $J$ et $\dot{\theta}$. Que se passe-t-il pour l'énergie cinétique ?
11. Dans le cas du tabouret d'inertie, expliquer pourquoi l'énergie cinétique varie alors que le moment cinétique se conserve. D'où provient cette variation d'énergie ? Établir la relation entre la variation d'énergie cinétique et le travail fourni.
12. Quels sont les deux niveaux de description en thermodynamique ? Définir une grandeur d'état. Quelle est la différence entre une grandeur intensive et une grandeur extensive ? Donner trois exemples de chaque.
13. Définir la pression. Quelles sont les unités de pression usuelles ? Énoncer la loi de Dalton concernant les pressions partielles dans un mélange de gaz parfaits.
14. Qu'est-ce qu'un système à l'équilibre thermodynamique ? Quelles conditions doivent être remplies ? Quelle est la différence entre un système ouvert et un système fermé ?
15. Définir le gaz parfait. Énoncer l'équation d'état du gaz parfait. Donner la valeur de la constante des gaz parfaits $R$ et préciser son unité.
16. Définir le libre parcours moyen d'une molécule de gaz. Quelle est son ordre de grandeur dans les conditions usuelles ? Quel est le lien avec la validité du modèle du gaz parfait ?
17. Établir l'expression de la pression cinétique pour un gaz parfait monoatomique à partir du modèle microscopique. En déduire la relation entre la pression, le volume et la température cinétique.
18. Définir l'énergie interne d'un système thermodynamique. Quelles sont ses propriétés ? Quelle est la relation entre l'énergie interne et la température pour un gaz parfait (loi de Joule) ?
19. Définir la capacité thermique à volume constant $C_V$. Donner son expression pour un gaz parfait monoatomique. Comment généralise-t-on cette expression pour d'autres gaz parfaits ?
20. Qu'est-ce qu'un fluide réel ? Quelles sont les principales différences avec un gaz parfait ? Définir le coefficient de compressibilité isotherme. Comment se comporte-t-il pour les phases condensées ?

• Samedi 9 mai (salle D2): Informatique de 8h à 11h (8h-12h) puis LVB de 11h à 12h
• Lundi 11 mai (salle H1): Français de 8h à 12h (7h30-12h50) puis SI de 14h30 à 17h30
• Mardi 12 mai (salle H1): Mathématiques de 8h à 12h (7h30-12h50) puis Anglais de 13h30 à 16h30 (pour ceux qui auront choisi un sujet CCINP) ou 17h30 (pour ceux qui auront choisi un sujet Centrale)
• Mercredi 13 mai (salle H1): Physique de 8h à 12h (7h30-12h50) puis Chimie de 13h20 à 17h20 (13h20-18h40)

Les horaires entre parenthèse concernent les étudiants disposant d'un tiers temps.

Samedi 14 mars : devoir d'1h sur la représentation des nombres

Mardis 31 mars, 7 avril de 16h à 17h

Mardis 14 avril et 5 mai de 16h à 18h (colles à déplacer)

Samedi 9 mai : devoir de 3h lors du concours blanc

Mardi 9 juin de 16h à 17h : dernière interro

Questions de cours et exercices : Solide en rotation autour d'un axe fixe

• Théorème du moment cinétique
• Moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe
• Moment d'inertie par rapport à un axe : définition, propriétés
• Relation $L_\Delta = J_\Delta \dot{\theta}$
• TMC par rapport à l'axe de rotation : $J_\Delta \ddot{\theta} = \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_{\text{ext}})$
• Moments d'inertie usuels (fournis en exercice) : tige, disque, sphère...
• Application aux dispositifs en rotation
• Notion de couple : définition, moment d'un couple
• Liaison pivot : réaction de l'axe, moment nul par rapport à l'axe
• Pendule de torsion
• Position du problème : solide rappelé par un fil de torsion de constante $C$
• Équation horaire du mouvement : $J\ddot{\theta} + C\theta = 0$
• Oscillations harmoniques : pulsation propre $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J}}$
• Intégrale première du mouvement (énergie mécanique)
• Aspects énergétiques
• Énergie cinétique d'un solide en rotation : $E_c = \frac{1}{2}J_\Delta \dot{\theta}^2$
• Puissance d'une force : $\mathcal{P}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{v}$
• Puissance d'un couple : $\mathcal{P} = \mathcal{M}_\Delta \dot{\theta}$
• Théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation
• Lien entre puissance, travail et TMC
• Conservation de l'énergie mécanique pour un système conservatif
• Cas des systèmes déformables
• Exemple du tabouret d'inertie (ou de la patineuse)
• Conservation du moment cinétique : $L_\Delta = J_\Delta \dot{\theta} = \text{cste}$ si $\mathcal{M}_\Delta = 0$
• Variation du moment d'inertie et conséquences sur la vitesse angulaire
• Variation de l'énergie cinétique lors d'une déformation
• Interprétation : travail des forces intérieures (non nul pour un système déformable)

Questions de cours

1. Définir le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe fixe $\Delta$. Quelles sont ses propriétés ? Quelle est son unité ? Quelle est son interprétation physique ?
2. Exprimer le moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ en fonction de son moment d'inertie $J_\Delta$ et de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$. En déduire l'expression de la dérivée temporelle du moment cinétique.
3. Énoncer le théorème du moment cinétique (TMC) pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$. Préciser les hypothèses. Quelle est l'utilité de ce théorème par rapport au PFD ?
4. Qu'est-ce qu'un couple de forces ? Définir le moment d'un couple. Donner des exemples de couples en physique.
5. Étudier le mouvement d'un pendule de torsion : un solide de moment d'inertie $J$ peut tourner autour d'un axe vertical et est rappelé par un fil de torsion de constante de torsion $C$. Établir l'équation du mouvement et déterminer la pulsation propre des oscillations.
6. Démontrer que l'énergie mécanique d'un pendule de torsion (sans frottement) est une intégrale première du mouvement. Donner l'expression de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
7. Exprimer l'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ en fonction de son moment d'inertie $J_\Delta$ et de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$. Faire l'analogie avec l'énergie cinétique d'un point matériel en translation.
8. Définir la puissance d'une force appliquée à un solide en rotation. En déduire l'expression de la puissance d'un couple de moment $\mathcal{M}_\Delta$ agissant sur un solide tournant à la vitesse angulaire $\dot{\theta}$.
9. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. Faire le lien avec le TMC.
10. Expliquer le principe du tabouret d'inertie (ou de la patineuse qui tourne sur elle-même). Un système de moment d'inertie variable $J(t)$ tourne autour d'un axe vertical sans frottement. Montrer que le moment cinétique se conserve et en déduire la relation entre $J$ et $\dot{\theta}$. Que se passe-t-il pour l'énergie cinétique ?
11. Dans le cas du tabouret d'inertie, expliquer pourquoi l'énergie cinétique varie alors que le moment cinétique se conserve. D'où provient cette variation d'énergie ? Établir la relation entre la variation d'énergie cinétique et le travail fourni.

Bonnes vacances !

Questions de cours et exercices : Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

• Champ de force centrale conservatif
• Définition d'une force centrale : $\vec{F} = F(r)\vec{e}_r$
• Force centrale conservative : $F(r) = -\frac{dE_p}{dr}$
• Exemples : interaction gravitationnelle, interaction électrostatique, potentiel de Yukawa
• Conservation du moment cinétique et planéité du mouvement
• Constante des aires : $C = r^2\dot{\theta} = \text{cste}$
• Loi des aires (2^e loi de Kepler généralisée) : $\frac{dS}{dt} = \frac{C}{2}$
• Énergie potentielle effective : $E_{p,\text{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2}$
• Barrière centrifuge
• États lié et de diffusion
• Mouvement dans un champ newtonien
• Définition du champ newtonien : $\vec{F} = -\frac{K}{r^2}\vec{e}_r$, $E_p(r) = -\frac{K}{r}$
• Cas attractif ($K > 0$) et cas répulsif ($K < 0$)
• Énergie potentielle effective et diagramme énergétique
• Types de trajectoires (coniques) selon l'énergie mécanique
• Correspondance trajectoire-énergie : cercle, ellipse, parabole, hyperbole
• Énergie mécanique des états liés : $E_m = -\frac{K}{2a}$
• Mouvement des planètes et satellites
• Référentiels de Copernic et de Kepler
• Cas des trajectoires circulaires : $v^2 = \frac{GM}{r}$, expressions énergétiques
• Troisième loi de Kepler : $\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$
• Les trois lois de Kepler
• Satellite géostationnaire : altitude, conditions
• Différents types d'orbites (LEO, MEO, GEO, HEO)
• Vitesses cosmiques : $v_1 = \sqrt{g_0 R_T}$ et $v_2 = \sqrt{2g_0 R_T}$

Questions de cours seulement : Mécanique du solide

• Cinématique du solide
• Définition et repérage d'un solide
• Mouvement de translation et mouvement de rotation
• Centre de masse (ou centre d'inertie) : définition, propriétés
• Quantité de mouvement d'un solide : $\vec{p} = M\vec{v}_G$
• Moment cinétique d'un solide par rapport à un point
• Énergie cinétique d'un solide
• Compléments : Théorèmes de Koenig (quantité de mouvement, moment cinétique, énergie cinétique)
• Dynamique du solide
• Forces intérieures et forces extérieures
• Propriétés des forces intérieures : somme nulle, moment des forces intérieures nul
• Puissance des forces intérieures (nulle pour un solide indéformable)
• Théorème de la résultante cinétique (TRC) : $M\vec{a}_G = \sum \vec{F}_{\text{ext}}$
• Théorème du moment cinétique pour un solide
• Théorèmes énergétiques : théorème de l'énergie cinétique, théorème de l'énergie mécanique

Questions de cours

1. Qu'est-ce qu'une force centrale ? Montrer qu'une force centrale entraîne la conservation du moment cinétique. En déduire la planéité du mouvement et la constante des aires.
2. Énoncer la loi des aires (2^e loi de Kepler généralisée). Quelle est sa signification physique ? Faire le lien avec la conservation du moment cinétique.
3. Qu'est-ce qu'une force centrale conservative ? Donner trois exemples. Définir l'énergie potentielle effective $E_{p,\text{eff}}(r)$. Quel est le rôle de la barrière centrifuge ?
4. Définir un champ de force newtonien. Donner deux exemples physiques (gravitationnel et électrostatique). Tracer l'allure de l'énergie potentielle effective pour un champ newtonien attractif ($K > 0$).
5. Pour un champ newtonien attractif, expliquer la différence entre un état lié et un état de diffusion. Comment le type de mouvement dépend-il de l'énergie mécanique ? Donner la correspondance entre les différentes trajectoires (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) et l'énergie mécanique.
6. Démontrer que pour un état lié dans un champ newtonien attractif, l'énergie mécanique vaut $E_m = -\frac{K}{2a}$ où $a = \frac{r_{\min} + r_{\max}}{2}$ est le demi-grand axe de l'ellipse.
7. Établir la relation entre la vitesse et le rayon pour un satellite en orbite circulaire autour d'un astre de masse $M$. En déduire les expressions de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie mécanique.
8. Énoncer et démontrer la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire. Comment se généralise-t-elle pour une orbite elliptique ?
9. Énoncer les trois lois de Kepler. Montrer qu'elles sont des conséquences de l'interaction gravitationnelle en $1/r^2$ et de la conservation du moment cinétique.
10. Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ? Quelles sont les conditions pour qu'un satellite soit géostationnaire ? Calculer son altitude.
11. Définir les première et deuxième vitesses cosmiques. Établir leurs expressions et faire le lien avec les types de trajectoires possibles.
12. Définir le centre de masse d'un système de points matériels. Quelles sont ses propriétés ? Comment se calcule-t-il pour un système discret ? Pour un système continu ?
13. Définir la quantité de mouvement d'un solide. Exprimer la quantité de mouvement totale d'un solide en fonction de son centre de masse et de sa masse totale.
14. Définir le moment cinétique d'un solide par rapport à un point A. Comment se calcule-t-il pour un système discret de points matériels ?
15. Définir l'énergie cinétique d'un solide. Comment se calcule-t-elle pour un système discret de points matériels ?
16. Énoncer les trois théorèmes de Koenig (pour la quantité de mouvement, le moment cinétique et l'énergie cinétique). Quelle est leur utilité ?
17. Quelle est la différence entre forces intérieures et forces extérieures pour un système ? Montrer que la somme des forces intérieures est nulle (principe des actions réciproques).
18. Montrer que le moment total des forces intérieures par rapport à un point quelconque est nul.
19. Énoncer le théorème de la résultante cinétique (TRC) pour un solide. Démontrer ce théorème. Quelle est la signification physique de ce théorème ?
20. Énoncer le théorème du moment cinétique pour un solide. Préciser les conditions d'application. Quelle est la différence avec le TMC pour un point matériel ?
21. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique pour un solide. Quelle est la propriété importante de la puissance des forces intérieures pour un solide indéformable ?