Derniers contenus

Le 08/09/2025 : Interrogation n°1 (Logique et quantificateurs, calculs)

Le 19/09/2025 : Interrogation n°2 (Logique, calculs, partie entière, valeur absolue et systèmes)

Le 26/09/2025 : Interrogation n°3 (Fonctions : généralités)

Le 03/10/2025 : Interrogation n°4 (Fonctions usuelles)

Le 07/11/2025 : Interrogation n°5 (Sommes et produits, Complexes, Primitives)

Voici la liste des séances de cours de mathématiques (avec démonstrations) et TD (avec corrigés). En cas de doute dans la prise du cours ou de blocage dans la résolution d'exercices vous pouvez vous y référer.

1. Rudiments de logique (Cours et TD)
2. Inégalités, valeur absolue, partie entière (Cours et TD)
3. Résolutions de petits systèmes linéaires (Cours et TD)
4. Étude de fonctions et fonctions usuelles (Cours et TD)
5. Sommes et produits (Cours et TD)
6. Nombres complexes (Cours et TD)
7. Primitives (Cours et TD)
8. Équations différentielles (Cours et TD)
9. Calcul matriciel (Cours et TD)
10. Ensembles et applications (Cours et TD) par ... 
11. Arithmétique (Cours et TD) par ...
12. Combinatoire-Dénombrement (Cours et TD) par ...
13. Nombres réels et suites numériques (Cours et TD)
14. Limites et continuité des fonctions d'une variable réelle (Cours et TD)
15. Dérivation des fonctions d'une variable réelle (Cours et TD)
16. Polynômes (Cours et TD)
17. Développements limités (Cours et TD)
18. L'espace Mn,1(K) : matrices et applications linéaires (Cours et TD)
19. Espaces vectoriels (Cours et TD)
20. Applications linéaires (Cours et TD)
21. Intégration (Cours et TD)
22. Déterminants (Cours et TD)
23. Séries numériques (Cours et TD)
24. Espaces vectoriels euclidiens (Cours et TD)
25. Fonctions de deux variables (Cours et TD)
26. Probabilités : (Cours et TD)

Physique - PCSI - semaine 2025-11-10

Pour le 17/09/2025 : DM n°1 sur la logique et les calculs algébriques : Sujet et corrigé

Pour le 01/10/2025 : DM n°2 sur les systèmes, les généralités sur les fonctions : Sujet et corrigé

Pour le 17/10/2025 : DM n°3 sur les fonctions usuelles, les sommes et produits : Sujet et corrigé

Pour le 13/11/2025 : DM n°4 sur les nombres complexes et les primitives : Sujet et corrigé

Chp 5 - NOMBRES COMPLEXES

• NOMBRES COMPLEXES : "Construction de $\mathbb{C}$, forme algébrique, le plan complexe, notion de conjugué, de module,
• NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 : Définition de $\mathbb{U}$, de l'exponentielle $e^{\textbf{i}\theta}$, propriétés de l'exp complexe, formule d'Euler et de Moivre,
• APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIE : Linéarisation de $\cos$ et $\sin$ avec Euler, factorisation par l'angle moitié, les polynômes trigonométriques (avec Moivre), calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
• FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET ARGUMENT : définition, propriété de l'argument, exponentielle d'un nombre complexe,
• RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS COMPLEXES : équations du second degré à coefficients réels, recherche des racines carrées d'un complexe, équations du second degré à coefficients complexes, application à la résolution d'un système somme-produit.
• ÉQUATIONS DU TYPE $Z^n=1$ - RACINES $n$-IEMES DE L’UNITÉ : Définition, ensemble des racines $n$-ième de l'unité, racines $n$-ième d'un nombre complexe $Z$.
• TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : Ne pas donner d'exercices de colle dessus.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir mettre sous forme algébrique et exponentielle/trigonométrique un nombre complexe, savoir laquelle est la plus pratique pour quoi faire.
• Savoir utiliser la forme d'Euler et de Moivre pour linéariser ou modifier l'expression de $\cos$ et $\sin$.
• Savoir calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et utiliser l'angle moitié.
• Savoir trouver la racine carrée d'un nombre complexe et résoudre une équation de degré $2$.
• Savoir trouver les racines $n$-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe.

Chp 6 - PRIMITIVES

• CALCUL DE PRIMITIVES : Définition d'une primitive, existence de primitives, primitives complexes, primitives usuelles, primitives de formes usuelles, primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$).
• CALCUL D'INTÉGRALES : "Définition" de l'intégrale, intégrale d'une fonction complexe, Théorème fondamental de l'analyse, lien entre primitive et intégrale, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, intégration par partie, changement de variable, autres calculs (par exemple de polynômes trigonométriques en linéarisant ou reconnaissant des formes usuelles).
  Les règles de Bioche ne sont plus au programme de PCSI (comme tout excès de technicité dans les changements de variables).

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
• Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
• Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
• primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
• Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
• Savoir faire un changement de variable
• Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale

Notions et démonstrations exigibles

• Démonstration de l'inégalité triangulaire (uniquement la partie droite $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$)  : l'énoncer proprement et savoir la démontrer avec le cas d'égalité.
• Démonstration de l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité : $\mathbb{U}=\{e^{\frac{2\textbf{i}k\pi}{n}}~|~k \in [\![0,n-1]\!]\}$
• Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ pour $\theta \in \mathbb{R}$.
• Démonstration de la formule de Moivre
• Exercice 104 : Pour quelles valeurs de $n$, le complexe $\left( \dfrac{(1-i\sqrt{3})^5}{(1-i)^3} \right)^n$ est-il un réel positif ?
• Savoir calculer $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+x+1}~\text{d}x$ puis $\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+x+1}~\text{d}x$

• Savoir calculer $\displaystyle\int \cos(t)e^{-2t}~\text{d}t$ (par double IPP ou en utilisant les complexes)

Chp 5 - NOMBRES COMPLEXES

• NOMBRES COMPLEXES : "Construction de $\mathbb{C}$, forme algébrique, le plan complexe, notion de conjugué, de module,
• NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 : Définition de $\mathbb{U}$, de l'exponentielle $e^{\textbf{i}\theta}$, propriétés de l'exp complexe, formule d'Euler et de Moivre,
• APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIE : Linéarisation de $\cos$ et $\sin$ avec Euler, factorisation par l'angle moitié, les polynômes trigonométriques (avec Moivre), calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
• FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET ARGUMENT : définition, propriété de l'argument, exponentielle d'un nombre complexe,
• RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS COMPLEXES : équations du second degré à coefficients réels, recherche des racines carrées d'un complexe, équations du second degré à coefficients complexes, application à la résolution d'un système somme-produit.
• ÉQUATIONS DU TYPE $Z^n=1$ - RACINES $n$-IEMES DE L’UNITÉ : Définition, ensemble des racines $n$-ième de l'unité, racines $n$-ième d'un nombre complexe $Z$.
• TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : Ne pas donner d'exercices de colle dessus.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir mettre sous forme algébrique et exponentielle/trigonométrique un nombre complexe, savoir laquelle est la plus pratique pour quoi faire.
• Savoir utiliser la forme d'Euler et de Moivre pour linéariser ou modifier l'expression de $\cos$ et $\sin$.
• Savoir calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et utiliser l'angle moitié.
• Savoir trouver la racine carrée d'un nombre complexe et résoudre une équation de degré $2$.
• Savoir trouver les racines $n$-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe.

Chp 6 - PRIMITIVES

• CALCUL DE PRIMITIVES : Définition d'une primitive, existence de primitives, primitives complexes, primitives usuelles, primitives de formes usuelles, primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$).
• CALCUL D'INTÉGRALES : "Définition" de l'intégrale, intégrale d'une fonction complexe, Théorème fondamental de l'analyse, lien entre primitive et intégrale, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, intégration par partie, changement de variable, autres calculs (par exemple de polynômes trigonométriques en linéarisant ou reconnaissant des formes usuelles).
  Les règles de Bioche ne sont plus au programme de PCSI (comme tout excès de technicité dans les changements de variables).

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
• Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
• Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
• primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
• Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
• Savoir faire un changement de variable
• Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale

Notions et démonstrations exigibles

• Démonstration de l'inégalité triangulaire (uniquement la partie droite $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$)  : l'énoncer proprement et savoir la démontrer avec le cas d'égalité.
• Démonstration de l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité : $\mathbb{U}=\{e^{\frac{2\textbf{i}k\pi}{n}}~|~k \in [\![0,n-1]\!]\}$
• Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ pour $\theta \in \mathbb{R}$.
• Démonstration de la formule de Moivre
• Exercice 104 : Pour quelles valeurs de $n$, le complexe $\left( \dfrac{(1-i\sqrt{3})^5}{(1-i)^3} \right)^n$ est-il un réel positif ?
• Savoir calculer $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+x+1}~\text{d}x$ puis $\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+x+1}~\text{d}x$

• Savoir calculer $\displaystyle\int \cos(t)e^{-2t}~\text{d}t$ (par double IPP ou en utilisant les complexes)

Voici la liste des séances de Cours et TP d'informatique avec leurs corrigés. Il est parfois nécessaire de télécharger des fichiers associés pour faire les TP.

1. Présentation de Python (Cours et TP)
2. Instructions conditionnelles et itératives (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichier à télécharger en amont : 02_Cours-Instructions_conditionnelles_itératives.py
3. Fonctions Python (Cours et TP + Correction des exercices + suite du TP et sa correction)
4. Listes et tableaux (Cours et TP + Fichier à télécharger + Correction des exercices)
5. Chaînes de caractères (Cours et TP + Fichier à télécharger + Correction des exercices)
6. Recherche dans un tableau unidimensionnel et dictionnaires (Cours et TP + Fichier à télécharger + Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : listemotsfrancais.txt
7. Manipulation de fichiers texte (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : enigme.txt + data.txt + valeurs_x.txt + valeurs_y.txt
8. Utilisation de bibliothèque de tracé graphique (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : 09_TP.py + 1000_premiers_nombres_premiers.txt + Balance_commune_2028.csv + Positions_telephone.txt
9. Fichiers image : matrices de pixels (1/2) (Cours et TP + Correction des exercices + Correction des exercices 1 à 8)
   Fichiers à télécharger en amont : noir_et_blanc.png + couleurs.png
10. Fichiers image : modification d'image (2/2) (Cours et TP + Correction des exercices)
    Fichiers à télécharger en amont : Image_Noel.jpg + guepierNB.jpg
11. Algorithmes récursifs (Cours et TP + Correction des exercices)
    Fichier à télécharger en amont : Sierpinski.py 
12. Algorithmes dichotomiques (Cours et TP + Correction des exercices)
13. Algorithmes gloutons (Cours et TP + Correction des exercices, à la fin du fichier de cours ou ici en format Python )
    Fichier à télécharger en amont : 14_TP.py
14. Algorithmes de Tri, effet de bord (Cours et TP + Correction des exercices)
15. Assertion, signature, annotation Retour sur les listes et la récursivité (Cours et TP + Correction des exercices)
16. Complexité d'un algorithme (Cours et TP + Correction des exercices)
17. Introduction aux graphes : le jeu Saute-Canton (TP_Saute-Canton + Correction)
    Fichiers à télécharger en amont : 18_TP_Saute-Canton.py + communes.csv + voisines.csv
18. Graphes (non) orientés : Généralités(Cours et TP + Correction des exercices)
19. Graphes : Parcours en largueur et files (Cours et TP + Correction des exercices + Exemple_de_parcours_en largeur)
    Fichier à télécharger en amont : 20_TP_Parcours_Largeur.py
20. Graphes : Parcours en longueur et piles (Cours et TP + Correction des exercices)Parcours en longueur : Exemple 1 et Exemple 2)
    Fichier à télécharger en amont : 20_TP_Parcours_Largeur.py
21. Graphes : Parcours de labyrinthes et d'images (TP + Correction du labyrinthe + Correction de la baguette magique)
    Fichiers à télécharger en amont : 22_MagicWand.py + guepiers.jpg + 22_Labyrinthe.py + LabyrintheM1.txt + LabyrintheM2.txt
22. Graphes : Algorithme de Dijkstra (Cours et TP + Correction des exercices)

    Fichier à télécharger en amont : 23_TP_Dijkstra.py + Temps_Metro.npy + Dico_Stations.npy

23. Graphes : Algorithme A* (Cours et TP + Correction des exercices)

    Fichier à télécharger en amont : 24_TP_A_Star.py

24. Exercices de révision et compléments (TP + Correction des exercices)

    Fichiers à télécharger en amont : Charlie.txt + lecture.py

25. Terminaison et corrections d'un algorithme (Cours et TP + Correction des exercices)
26. Exercices de révision et compléments (TP + Correction des exercices)

    Fichiers à télécharger en amont : Mona-lisa.png

27. Représentation des nombres (par Sylvie Delaët - 3 séances)

Programme colle chimie_S10_011225

Programme colle chimie_S9_241125

Programme colle chimie_S8_171125

Programme colle chimie_S7_101125

Programme colle chimie_S6_031125

Samedi 04/10/2025 : Devoir surveillé n°1 - Sujet et Corrigé (Variables, fonctions Python, instructions conditionnelles et itératives)

Samedi 18/10/2025 : Devoir surveillé n°2 - Sujet et Corrigé (Ajouter à ce qui précède : listes, chaînes de caractères)

Mercredi ??/??/2025 : Devoir surveillé n°3 - Sujet et Corrigé (Ajouter à ce qui précède : dictionnaires, algorithmes à boucles imbriqués, fichiers texte et image, récursivité, complexité)

Samedi ??/??/2025 : Devoir surveillé n°4 - Sujet et Corrigé (Ajouter à ce qui précède : Récursivité, Dichotomie)

Mardi ??/??/2025 : Concours blanc - Sujet et Corrigé  (Ajouter à ce qui précède : , algorithmes récursifs, dichotomique, algorithmes gloutons, de tri, annotation, assertion, signature, complexité - notamment fonctions récursives)

Samedi ??/??/2025 : Devoir surveillé n°6 - Sujet et Corrigé (Essentiellement les graphes : Généralités et Parcours en largeur + questions sur les chapitres précédents)

Samedi ??/??/2025 : Devoir surveillé n°7 - Sujet et Corrigé (Graphes : Parcours, Algorithme de Dijkstra, manipulation de listes, de chaines, dictionnaires)

Mercredi ??/??/2025 : Devoir surveillé n°8 - Sujet et Corrigé (Tout depuis le début de l'année dont graphes : Dijkstra, A*)

Mercredi ??/??/2025 : Interro - Sujet et Corrigé (Représentation des nombres)

Physique - PCSI - semaine 2025-11-03

Mardi 09/09/25 : Interrogation n°1 - Commandes de base

Mardi 16/09/25 : Interrogation n°2 - Instructions itératives (for) et conditionnelles (if)

Mardi 23/09/25 : Interrogation n°3 - Instructions itératives (for) et conditionnelles (if et while)

Mardi 30/09/25 : Interrogation n°4 - Fonctions

Mardi 13/10/25 : Interrogation n°5 - Listes et tableaux

Mardi ??/??/25 : Interrogation n°6 - Algorithmes à boucles imbriquées

Mardi ??/??/25 : Interrogation n°7 - Tout, notamment les chaînes de caractères

Mardi ??/??/25 : Interrogation n°8 - Chaînes de caractères et listes

Mardi ??/??/25 : Interrogation n°9 - Algorithmes classiques

Mardi ??/??/25 : Interrogation n°10 - Manipulation d'images

Mardi ??/??/25 : Interrogation n°11 - Manipulation d'image

Mardi ??/??/25 : Interrogation n°12 - Récursivité

Mardi ??/??/26 : Interrogation n°13 - Dichotomie

Mardi ??/??/26 : Interrogation n°14 - Tris

Mardi ??/??/26 : Interrogation n°15 - Assertion, signature, complexité

Mardi ??/??/26 : Interrogation n°16 - Graphes (Définitions et généralités)

Mardi ??/??/26 : Interrogation n°17 - Graphes (Parcours en largueur, files)

Mardi ??/??/26 : Interrogation n°18 - Graphes (Algorithme de Dijkstra)

Mardi ??/??/26 : Interrogation n°19 - Graphes (Algorithmes de Dijkstra et A*)

Chp 3 (suite) - FONCTIONS USUELLES

• FONCTIONS PUISSANCES : définition, propriétés, dérivée, limites,
• FONCTION $\exp$ EN BASE $a$ : définition, propriétés, dérivée, limites,
• LOGARITHME DÉCIMAL : définition
• FONCTIONS COSINUS ET SINUS HYPERBOLIQUE : définition, propriétés, dérivée, limites, graphique, formules
• FONCTIONS CIRCULAIRES COSINUS, SINUS ET TANGENTE : Définition de $\cos$ et $\sin$, définition de la relation de congruence, angles usuels, formules trigonométriques, limites indéterminées en $0$ (dans le but de prouver la dérivée de la fonction sin et cos), résolutions d'équations trigonométrique. Propriétés, variations, graphique de $\cos$ et $\sin$. Fonction tangente, propriétés, variations, graphique, angles usuels et formules trigonométriques.
• FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES :définition, propriétés, dérivée, graphique de $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$.

Chp 4 - SOMMES ET PRODUITS

• SOMME ET PRODUITS : Définition du symbole $\Sigma$ et $\Pi$, règles de calcul pour la somme (linéarité) et pour le produit, méthodes de calculs (somme et produit de termes constants, sommes et produits télescopiques, changements d'indice, somme de termes de suites arithmétiques et géométriques)
• SOMMES DOUBLES : indexation sur le couple $(i,j)$, permutation des indices des sommes doubles, développement du produit de deux sommes
• COEFFICIENTS BINOMIAUX ET FORMULE DU BINÔME DE NEWTON : Définition de la factorielle, des coefficients binomiaux,  propriétés (symétrie, formule du capitaine, triangle de Pascal), formule du binôme de Newton

Notions et démonstrations exigibles :

• Exercice 65 - question 1) + 3) Prouver que ch est bijective de $\mathbb{R}^+$ vers $[1,+\infty[$ et déterminer la bijection réciproque de la fonction ch.
• Démonstration des propriétés de  $\arcsin$, $\arccos$ OU $\arctan$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
• Démonstration de l'identité remarquable $a^n-b^n$.
• Calcul de la somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ et du produit $P_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1- \dfrac{1}{k} \right)$
• Calcul de $S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \dfrac{i}{j}$
• Définition et propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, formule du capitaine et formule du triangle de Pascal) à savoir démontrer.
• Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k}$ et $\displaystyle\underset{k \mbox{ pair}}{\sum_{k=0}^{n}} {n \choose k}$.
• Exercice 91 : pour $n$ entier naturel, on pose $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}$.
  

  A l'aide du changement d'indice $j=2n+1-k$, déterminer une autre expression de $S_n$.

  Puis en déduire la valeur de $2S_n$, puis celle de $S_n$.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir comment écrire $a^b$ sous la forme exponentielle, connaitre les ensembles de définitions, dérivées et limites de $x \mapsto a^x$ et $x \mapsto x^a$.
• Savoir se repérer sur un cercle trigonométrique, connaitre les principales formules de trigonométrie et savoir résoudre des équations de trigonométrie.
• Connaitre les ensembles de définition, variations, courbes, limites et dérivées des fonctions $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, ch, sh.
• Savoir faire des études de fonctions à partir de ces nouvelles fonctions usuelles.
• Savoir les méthodes classiques pour calculer une somme ou un produit : sommes de termes de suite arithmétique, géométrique, sommes de termes constants, sommes et produits télescopique.
• Maitriser le changement d'indice dans les sommes et produits.
• Connaitre la factorisation de $a^n-b^n$.
• Comprendre l'indexation des sommes doubles rectangulaires et triangulaires et savoir les réécrire avec une somme de somme.
• Savoir manipuler les factorielles, les coefficients binomiaux et leurs propriétés.
• Connaitre la formule du binôme de Newton et savoir l'appliquer à l'aide du triangle de Pascal pour développer ou bien pour calculer des sommes.

Chp 3 (suite) - FONCTIONS USUELLES

• FONCTIONS PUISSANCES : définition, propriétés, dérivée, limites,
• FONCTION $\exp$ EN BASE $a$ : définition, propriétés, dérivée, limites,
• LOGARITHME DÉCIMAL : définition
• FONCTIONS COSINUS ET SINUS HYPERBOLIQUE : définition, propriétés, dérivée, limites, graphique, formules
• FONCTIONS CIRCULAIRES COSINUS, SINUS ET TANGENTE : Définition de $\cos$ et $\sin$, définition de la relation de congruence, angles usuels, formules trigonométriques, limites indéterminées en $0$ (dans le but de prouver la dérivée de la fonction sin et cos), résolutions d'équations trigonométrique. Propriétés, variations, graphique de $\cos$ et $\sin$. Fonction tangente, propriétés, variations, graphique, angles usuels et formules trigonométriques.
• FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES :définition, propriétés, dérivée, graphique de $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$.

Chp 4 - SOMMES ET PRODUITS

• SOMME ET PRODUITS : Définition du symbole $\Sigma$ et $\Pi$, règles de calcul pour la somme (linéarité) et pour le produit, méthodes de calculs (somme et produit de termes constants, sommes et produits télescopiques, changements d'indice, somme de termes de suites arithmétiques et géométriques)
• SOMMES DOUBLES : indexation sur le couple $(i,j)$, permutation des indices des sommes doubles, développement du produit de deux sommes
• COEFFICIENTS BINOMIAUX ET FORMULE DU BINÔME DE NEWTON : Définition de la factorielle, des coefficients binomiaux,  propriétés (symétrie, formule du capitaine, triangle de Pascal), formule du binôme de Newton

Notions et démonstrations exigibles :

• Exercice 65 - question 1) + 3) Prouver que ch est bijective de $\mathbb{R}^+$ vers $[1,+\infty[$ et déterminer la bijection réciproque de la fonction ch.
• Démonstration des propriétés de  $\arcsin$, $\arccos$ OU $\arctan$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
• Démonstration de l'identité remarquable $a^n-b^n$.
• Calcul de la somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ et du produit $P_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1- \dfrac{1}{k} \right)$
• Calcul de $S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \dfrac{i}{j}$
• Définition et propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, formule du capitaine et formule du triangle de Pascal) à savoir démontrer.
• Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k}$ et $\displaystyle\underset{k \mbox{ pair}}{\sum_{k=0}^{n}} {n \choose k}$.
• Exercice 91 : pour $n$ entier naturel, on pose $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}$.
  

  A l'aide du changement d'indice $j=2n+1-k$, déterminer une autre expression de $S_n$.

  Puis en déduire la valeur de $2S_n$, puis celle de $S_n$.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir comment écrire $a^b$ sous la forme exponentielle, connaitre les ensembles de définitions, dérivées et limites de $x \mapsto a^x$ et $x \mapsto x^a$.
• Savoir se repérer sur un cercle trigonométrique, connaitre les principales formules de trigonométrie et savoir résoudre des équations de trigonométrie.
• Connaitre les ensembles de définition, variations, courbes, limites et dérivées des fonctions $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, ch, sh.
• Savoir faire des études de fonctions à partir de ces nouvelles fonctions usuelles.
• Savoir les méthodes classiques pour calculer une somme ou un produit : sommes de termes de suite arithmétique, géométrique, sommes de termes constants, sommes et produits télescopique.
• Maitriser le changement d'indice dans les sommes et produits.
• Connaitre la factorisation de $a^n-b^n$.
• Comprendre l'indexation des sommes doubles rectangulaires et triangulaires et savoir les réécrire avec une somme de somme.
• Savoir manipuler les factorielles, les coefficients binomiaux et leurs propriétés.
• Connaitre la formule du binôme de Newton et savoir l'appliquer à l'aide du triangle de Pascal pour développer ou bien pour calculer des sommes.

Le 13/09/2025 : DS n°1 sur la logique, les calculs algébriques, valeurs absolues : Énoncé et corrigé

Le 11/10/2025 : DS n°2 sur les systèmes, les fonctions (usuelles et généralités), les sommes et produits : Énoncé et corrigé

Le ??/??/2025 : DS n°3 sur ??? : Énoncé et corrigé

Le ??/??/2025 : DS n°4 sur ??? : Énoncé et corrigé

Programme colle chimie_13102025