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Document de 79 ko, dans Chimie/Programmes de colles

Chp 7 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

• ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE : Définitions, équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène, Méthode de la variation de la constante, forme générale des solutions, Principe de superposition, problème de Cauchy, exemple de recollement en un point.
• ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COEFFICIENTS CONSTANTS) : Définitions, équation caractéristique, Résolution de l'équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, Solution particulière dans le cas de certains seconds membres. Principe de superposition, problème de Cauchy.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1
• Connaitre la méthode de variation de la constante
• Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène à coefficients constants
• Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre avec second membre de la forme $x \mapsto A e^{\lambda}$ ou $x \mapsto B \cos(\omega x)$ ou $x \mapsto B \sin(\omega x)$

Chp 8 - CALCUL MATRICIEL

• MATRICES ET OPÉRATIONS : Matrices de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}$), coefficients, matrices lignes, colonnes, opérations matricielles (Addition et multiplication externe, produit de matrices, transposition)

• MATRICES CARRÉES : $I_n$,$0_n$, matrices diagonales, triangulaires, matrices symétriques et antisymétriques, Puissances de matrices carrées, formule du binôme de Newton,

• MATRICES INVERSIBLES : inverse d'une matrice, cas d'une matrice $2 \times 2$, Méthode du pivot de Gauss-Jordan, polynôme annulateur,

• WARNING : LE POINT SUIVANT N'A PAS ÉTÉ ABORDÉ DONC N'EST PAS AU PROGRAMME DE COLLE :
  MATRICES ÉLÉMENTAIRES ET MATRICES D'OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES : Matrices élémentaires, d'opérations élémentaires, traduction matriciel des opérations élémentaires, Traduction matricielle d'un système, conditions nécessaires et suffisantes d'inversibilité.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Connaitre le vocabulaire propre aux matrices, notamment les notations des ensembles de matrices.
• Savoir ce qu'est la transposée d'une matrice, une matrice symétrique et antisymétrique.
• Savoir calculer le produit de deux matrices si c'est possible, notamment le produit de matrices triangulaires supérieures, inférieures ou diagonales.
• Savoir calculer les puissances d'une matrice, notamment en pensant à la formule du binôme de Newton si elle est triangulaire
• Savoir inverser une matrice avec la méthode du pivot de Gauss et connaitre la formule de l'inverse dans le cas $2 \times 2$.
• WARNING : LE POINT SUIVANT N'A PAS ÉTÉ ABORDÉ : Savoir écrire un système sous forme matriciel, et résoudre un système.
• Connaitre des exemples de matrices non inversibles.

Notions et démonstrations exigibles :

• Donner les 3 cas de formules pour les équations différentielles linéaires d'ordre 2 homogène à coefficients constants dans $\mathbb{R}$.
• Exemple du cours : Savoir résoudre l'équation $(E)~:~y''-3y'+2y=\dfrac{1}{2}e^x$.
• Exemple du cours : Savoir résoudre sur $]-1,1[$ l'équation $(E)~:~(1-x^2)y'-xy=1$.
• Exercice 131 : Pour $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $I_{p,q}=\displaystyle\int^b_a (t-a)^p(b-t)^q~\mbox{d}t$. Trouver une relation entre $I_{p,q}$ et $I_{p+1,q-1}$ puis exprimer $I_{p,q}$ à l'aide de factorielles.
• Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées. Démonstration de $(AB)^T=B^TA^T$
• Si $A$ et $B$ sont inversibles, savoir démontrer que : $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ${}^t(A^{-1})=({}^tA))^{-1}$
• Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur et les coefficients de la diagonale sont les produits des coefficients diagonaux.

Chp 7 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

• ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE : Définitions, équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène, Méthode de la variation de la constante, forme générale des solutions, Principe de superposition, problème de Cauchy, exemple de recollement en un point.
• ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COEFFICIENTS CONSTANTS) : Définitions, équation caractéristique, Résolution de l'équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, Solution particulière dans le cas de certains seconds membres. Principe de superposition, problème de Cauchy.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1
• Connaitre la méthode de variation de la constante
• Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène à coefficients constants
• Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre avec second membre de la forme $x \mapsto A e^{\lambda}$ ou $x \mapsto B \cos(\omega x)$ ou $x \mapsto B \sin(\omega x)$

Chp 8 - CALCUL MATRICIEL

• MATRICES ET OPÉRATIONS : Matrices de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}$), coefficients, matrices lignes, colonnes, opérations matricielles (Addition et multiplication externe, produit de matrices, transposition)

• MATRICES CARRÉES : $I_n$,$0_n$, matrices diagonales, triangulaires, matrices symétriques et antisymétriques, Puissances de matrices carrées, formule du binôme de Newton,

• MATRICES INVERSIBLES : inverse d'une matrice, cas d'une matrice $2 \times 2$, Méthode du pivot de Gauss-Jordan, polynôme annulateur,

• WARNING : LE POINT SUIVANT N'A PAS ÉTÉ ABORDÉ DONC N'EST PAS AU PROGRAMME DE COLLE :
  MATRICES ÉLÉMENTAIRES ET MATRICES D'OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES : Matrices élémentaires, d'opérations élémentaires, traduction matriciel des opérations élémentaires, Traduction matricielle d'un système, conditions nécessaires et suffisantes d'inversibilité.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Connaitre le vocabulaire propre aux matrices, notamment les notations des ensembles de matrices.
• Savoir ce qu'est la transposée d'une matrice, une matrice symétrique et antisymétrique.
• Savoir calculer le produit de deux matrices si c'est possible, notamment le produit de matrices triangulaires supérieures, inférieures ou diagonales.
• Savoir calculer les puissances d'une matrice, notamment en pensant à la formule du binôme de Newton si elle est triangulaire
• Savoir inverser une matrice avec la méthode du pivot de Gauss et connaitre la formule de l'inverse dans le cas $2 \times 2$.
• WARNING : LE POINT SUIVANT N'A PAS ÉTÉ ABORDÉ : Savoir écrire un système sous forme matriciel, et résoudre un système.
• Connaitre des exemples de matrices non inversibles.

Notions et démonstrations exigibles :

• Donner les 3 cas de formules pour les équations différentielles linéaires d'ordre 2 homogène à coefficients constants dans $\mathbb{R}$.
• Exemple du cours : Savoir résoudre l'équation $(E)~:~y''-3y'+2y=\dfrac{1}{2}e^x$.
• Exemple du cours : Savoir résoudre sur $]-1,1[$ l'équation $(E)~:~(1-x^2)y'-xy=1$.
• Exercice 131 : Pour $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $I_{p,q}=\displaystyle\int^b_a (t-a)^p(b-t)^q~\mbox{d}t$. Trouver une relation entre $I_{p,q}$ et $I_{p+1,q-1}$ puis exprimer $I_{p,q}$ à l'aide de factorielles.
• Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées. Démonstration de $(AB)^T=B^TA^T$
• Si $A$ et $B$ sont inversibles, savoir démontrer que : $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ${}^t(A^{-1})=({}^tA))^{-1}$
• Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur et les coefficients de la diagonale sont les produits des coefficients diagonaux.

Mardi 10/09/24 : Interrogation n°1 - Commandes de base

Mardi 17/09/24 : Interrogation n°2 - Instructions itératives (for) et conditionnelles (if)

Mardi 24/09/24 : Interrogation n°3 - Fonctions

Mardi 08/10/24 : Interrogation n°4 - Listes et tableaux

Mardi 15/10/24 : Interrogation n°5 - Algorithmes à boucles imbriquées

Mardi 05/11/24 : Interrogation n°6 - Tout, notamment les chaînes de caractères

Mardi 12/11/24 : Interrogation n°7 - Chaînes de caractères et listes

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°8 - Algorithmes classiques

Mardi ??/?/24 : Manipulation d'images

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°9 - Dichotomie

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°10 - Algorithmes classiques

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°11 - Algorithmes classiques (dont récursivité)

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°12 - Complexité, assertion, signature

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°13 - Graphes (Définitions et généralités)

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°14 - Graphes (Parcours, piles et files)

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°15 - Graphes (Algorithme de Dijkstra)

Mardi ??/?/24 : Interrogation n°16 - Graphes (Algorithme A*)

Voici la liste des séances de Cours et TP d'informatique avec leurs corrigés. Il est parfois nécessaire de télécharger des fichiers associés pour faire les TP.

1. Présentation de Python (Cours et TP)
2. Instructions conditionnelles et itératives (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichier à télécharger en amont : 02_Cours-Instructions_conditionnelles_itératives.py
3. Fonctions Python (Cours et TP + Correction des exercices + suite du TP et sa correction)
4. Listes et tableaux (Cours et TP + Fichier à télécharger + Correction des exercices)
5. Chaînes de caractères (Cours et TP + Fichier à télécharger + Correction des exercices)
6. Recherche dans un tableau unidimensionnel et dictionnaires (Cours et TP + listemotsfrancais.txt + Fichier à télécharger + Correction des exercices)
   
7. Algorithmes à boucles imbriquées (Cours + TP et Correction des ex n°1 à 4 à la fin du fichier pdf + Fichier Python des fonctions en correction)
8. Manipulation de fichiers texte (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : enigme.txt + data.txt + valeurs_x.txt + valeurs_y.txt
9. Utilisation de bibliothèque de tracé graphique (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : 09_TP.py + 1000_premiers_nombres_premiers.txt + Balance_commune_2018.csv + Positions_telephone.txt
10. Fichiers image : matrices de pixels (1/2) (Cours et TP + Correction des exercices)
    Fichiers à télécharger en amont : noir_et_blanc.png + couleurs.png
11. Fichiers image : modification d'image (2/2) (Cours et TP + Correction des exercices)
    Fichiers à télécharger en amont : Hooke_Bernoulli.jpeg + guepiersNB.jpeg
12. Algorithmes récursifs (Cours et TP + Correction des exercices)
    Fichier à télécharger en amont : Sierpinski.py
13. Algorithmes dichotomiques (Cours et TP + Correction des exercices)
14. Algorithmes gloutons (Cours et TP + Correction des exercices (à la fin du fichier de cours ou ici en format Python) )
    Fichier à télécharger en amont : 14_TP.py
15. Algorithmes de Tri, effet de bord (Cours et TP + Correction des exercices)
16. Assertion, signature, annotation - TP : Retour sur les listes et la récursivité (Cours et TP + Correction des exercices)
17. Complexité d'un algorithme (Cours et TP + Correction des exercices)
18. Introduction aux graphes : le jeu Saute-Canton (TP Saute-Canton + Correction)
    Fichiers à télécharger en amont : 18_TP_Saute-Canton.py + communes.csv + voisines.csv
19. Graphes (non) orientés : Généralités (Cours et TP + Correction des exercices)
20. Graphes : Parcours en largueur et files (Cours et TP + Correction des exercices + Exemple de parcours en largeur)
    

    Fichier à télécharger en amont : 20_TP_Parcours_Largeur.py

21. Graphes : Parcours en longueur et piles (Cours et TP + Correction des exercices +Parcours en longueur : Exemple 1 et Exemple 2)
        Fichier à télécharger en amont : 21_TP_Parcours_Longueur.py
22. Graphes : Parcours de labyrinthes et d'images (TP + Correction du labyrinthe + Correction de la baguette magique)

Fichiers à télécharger en amont : MagicWand.py + guepiers.jpg + Labyrinthe.py + LabyrintheM1.txt + LabyrintheM2.txt

23. Graphes : Algorithme de Dijkstra (Cours et TP + Correction des exercices)

    Fichier à télécharger en amont : 23_TP_Dijkstra.py + Temps_Metro.npy + Dico_Stations.npy

24. Graphes : Algorithme A* (Cours et TP + Correction des exercices)

    Fichier à télécharger en amont : 24_TP_A_Star.py

25. Terminaison et corrections d'un algorithme (Cours et TP + Correction des exercices)
26. Exercices de révision et compléments (TP + Correction des exercices partie 1 et partie 2)

    Fichiers à télécharger en amont : Charlie.txt + lecture.py + Mona-Lisa.png

27. Représentation des nombres (par Sylvie Delaët sur 3 séances)

Document de 137 ko, dans Chimie/DS année précédente

Document de 276 ko, dans Chimie/DS année précédente

Le 14/09/2024 : DS n°1 sur la logique, les raisonnements et les calculs algébriques, équations, inéquations
Énoncé et corrigé

Le 12/10/2024 : DS n°2 ajouter à ce qui précède les sommes, produits, coefficients binomiaux, les systèmes, les fonctions (usuelles et généralités)
Énoncé et corrigé

Le 16/11/2024 : DS n°3 sur tout de le début, notamment les complexes, les primitives et intégrales et les EQDF :
Énoncé et corrigé

Le ??? : DS n°4 sur ??? : Énoncé et corrigé

Le ??? : CONCOURS BLANC sur ??? : Énoncé et corrigé

Le ??? : DS n°6 sur ??? : énoncé et corrigé

Voici la liste des séances de cours de mathématiques (avec démonstrations) et TD (avec corrigés). En cas de doute dans la prise du cours ou de blocage dans la résolution d'exercices vous pouvez vous y référer.

1. Rudiments de logique (Cours et TD)
2. Inégalités, valeur absolue, partie entière (Cours et TD)
3. Sommes et produits (Cours et TD)
4. Résolutions de petits systèmes linéaires (Cours et TD)
5. Étude de fonctions et fonctions usuelles (Cours et TD)
6. Nombres complexes (Cours et TD)
7. Primitives (Cours et TD)
8. Équations différentielles (Cours et TD)
9. Calcul matriciel (Cours et TD)
10. Ensembles et applications (Cours et TD) par Mathieu Da Silva
    
11. Arithmétique (Cours et TD) et Dénombrement (Cours et TD) par Mathieu Da Silva
12. Nombres réels et suites numériques (Cours et TD)
13. Limites et continuité des fonctions d'une variable réelle (Cours et TD)
14. Dérivation des fonctions d'une variable réelle (Cours et TD)
    
15. Polynômes (Cours et TD)
16. Développements limités (Cours et TD)
    
17. L'espace Kn : matrices et applications linéaires (Cours et TD)
    
18. Espaces vectoriels (Cours et TD)
    
19. Applications linéaires (Cours et TD)
    
20. Intégration (Cours et TD)
    
21. Déterminants (Cours et TD)
    
22. Séries numériques (Cours et TD)
    
23. Espaces vectoriels euclidiens (Cours et TD)
    
24. Fonctions de deux variables (Cours et TD)
    

Document de 185 ko, dans Physique/Programmes de colles

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Pour le 18/09/2024 : DM n°1 sur la logique et le calcul algébrique : Sujet et corrigé

Pour le 02/10/2024 : DM n°2 sur les fonctions (généralités), les systèmes, les sommes et produits, la logique : Sujet et corrigé

Pour le 16/10/2024 : DM n°3 sur les fonctions usuelles : Sujet et corrigé

Pour le 13/11/2024 : DM n°4 sur Les complexes et les primitives/intégrales : Sujet et corrigé

Pour le ??? : DM n°5 sur ??? : Sujet et corrigé

Pour le ??? : DM n°6 sur ??? : Sujet et corrigé

Pour le ??? : DM n°7 sur ??? : Sujet et corrigé

Pour le ??? : DM n°8 sur ??? : Sujet et corrigé

Pour le ??? : DM n°9 sur ??? : Sujet et corrigé

Pour le ??? : DM n°10 sur ??? : Sujet et corrigé

Identification de la réponse temporelle: identifier la fonction de transfert d'un processus dont la réponse temporelle est fournie dans le cas d'un système de premier ordre et dans le cas d'un système d'ordre 2 (approximation ordre 1 pour $\xi\ge 1$ et utilisation d'abaques pour $\xi<1)$. Démarche de tracé à savoir réaliser également. Toujours être capable de déterminer une fonction de transfert à partir des équations et de calculer une FTBF. Amener vos abaques.

Document de 187 ko, dans Physique/Programmes de colles

Qu'est-ce que Anki?

Anki est une aide d'apprentissage, un jeu de cartes (deks) contient des cartes, au recto d'une carte une question et au verso la réponse. Pour chaque question, si vous connaissez la réponse, alors cette question reviendra plus tardivement, au contraire si vous n'avez pas la bonne réponse, cette question reviendra plus souvent. Ainsi, vous travaillez automatiquement plus souvent ce que vous avez du mal à retenir.
Vous pouvez soit créer vos propres jeux de cartes, soit utiliser ceux qui sont partagés publiquement sur Ankiweb : https://ankiweb.net/shared/decks dont le mien (chercher PCSI Essouriau).

Comment utiliser Anki?

Plusieurs méthodes, mais la première est la plus pratique au quotidien selon moi.

• Vous installez l'application sur votre smartphone.
• Vous installez l'application sur votre ordinateur.
• Vous utilisez la version web de Anki sur votre ordinateur/téléphone.

Ensuite, vous téléchargez mon deck via le lien ci-dessus (ou bien un deck public sur le site Anki).

Quand vous voyez la réponse à une question soyez honnête, ne mettez pas que vous aviez la bonne réponse si ce n'est pas le cas. Sinon la question reviendra moins souvent et le travail de mémorisation n'en sera que moins efficace. Re-téléchargez régulièrement mon deck, je ferai des mises à jour avec des corrections ou des ajouts.

Rentabilisez le temps passé dans les transports en commun en révisant avec Anki sur votre téléphone.

Quand vous avez une colle ou un DS, vous pouvez réviser des cartes Anki sur un chapitre particulier, cliquez sur le chapitre désirée et sélectionner "étude personnalisé" puis "réviser une sélection aléatoire de cartes".

Le 20/09/2024 : Interrogation n°1 (Sommes, produits, coefficients binomiaux)

Le 27/09/2024 : Interrogation n°2 (Sommes, produits, coefficients binomiaux, systèmes)

Le 04/10/2024 : Interrogation n°3 (Fonctions usuelles et généralités)

Le 18/10/2024 : Interrogation n°4 (Nombres complexes)

Le 04/11/2024 : Interrogation n°5 (Primitives)

Le ??? : Interrogation n°6 (Équations différentielles)

Le ??? : Interrogation n°7 (Calcul matriciel)

Le ??? : Interrogation n°8 (Suites)

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Chp 5 - NOMBRES COMPLEXES

• NOMBRES COMPLEXES : "Construction de $\mathbb{C}$, forme algébrique, le plan complexe, notion de conjugué, de module,
• NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 : Définition de $\mathbb{U}$, de l'exponentielle $e^{\textbf{i}\theta}$, propriétés de l'exp complexe, formule d'Euler et de Moivre,
• APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIE : Linéarisation de $\cos$ et $\sin$ avec Euler, factorisation par l'angle moitié, les polynômes trigonométriques (avec Moivre), calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
• FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET ARGUMENT : définition, propriété de l'argument, exponentielle d'un nombre complexe,
• RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS COMPLEXES : équations du second degré à coefficients réels, recherche des racines carrées d'un complexe, équations du second degré à coefficients complexes, application à la résolution d'un système somme-produit.
• ÉQUATIONS DU TYPE $Z^n=1$ - RACINES $n$-IEMES DE L’UNITÉ : Définition, ensemble des racines $n$-ième de l'unité, racines $n$-ième d'un nombre complexe $Z$.
• TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : Ne pas donner d'exercices de colle dessus.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir mettre sous forme algébrique et trigonométrique un nombre, savoir laquelle est la plus pratique pour quoi faire.
• Savoir utiliser la forme d'Euler et de Moivre pour linéariser ou modifier l'expression de $\cos$ et $\sin$.
• Savoir calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et utiliser l'angle moitié.
• Savoir trouver la racine carrée d'un nombre complexe et résoudre une équation de degré $2$.
• Savoir trouver les racines $n$-ièmes de l'unité, d'un nombre complexe.

Chp 6 - PRIMITIVES

• CALCUL DE PRIMITIVES : Définition d'une primitive, existence de primitives, primitives complexes, primitives usuelles, primitives de formes usuelles, primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$).
• CALCUL D'INTÉGRALES : "Définition" de l'intégrale, intégrale d'une fonction complexe, Théorème fondamental de l'analyse, lien entre primitive et intégrale, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, intégration par partie, changement de variable, autres calculs (par exemple de polynômes trigonométriques en linéarisant ou reconnaissant des formes usuelles).

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
• Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
• Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
• primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
• Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
• Savoir faire un changement de variable
• Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale

Notions et démonstrations exigibles

• Inégalité triangulaire (uniquement la partie droite $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$)  : l'énoncer proprement et savoir la démontrer avec le cas d'égalité.
• Démonstration de l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité : $\mathbb{U}=\{e^{\frac{2\textbf{i}k\pi}{n}}~|~k \in [\![0,n-1]\!]\}$
• Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ pour $\theta \in \mathbb{R}$.
• Formule de Moivre
• Exercice 103 : Pour quelles valeurs de $n$, le complexe $\left( \dfrac{(1-i\sqrt{3})^5}{(1-i)^3} \right)^n$ est-il un réel positif ?

Chp 5 - NOMBRES COMPLEXES

• NOMBRES COMPLEXES : "Construction de $\mathbb{C}$, forme algébrique, le plan complexe, notion de conjugué, de module,
• NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 : Définition de $\mathbb{U}$, de l'exponentielle $e^{\textbf{i}\theta}$, propriétés de l'exp complexe, formule d'Euler et de Moivre,
• APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIE : Linéarisation de $\cos$ et $\sin$ avec Euler, factorisation par l'angle moitié, les polynômes trigonométriques (avec Moivre), calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
• FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET ARGUMENT : définition, propriété de l'argument, exponentielle d'un nombre complexe,
• RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS COMPLEXES : équations du second degré à coefficients réels, recherche des racines carrées d'un complexe, équations du second degré à coefficients complexes, application à la résolution d'un système somme-produit.
• ÉQUATIONS DU TYPE $Z^n=1$ - RACINES $n$-IEMES DE L’UNITÉ : Définition, ensemble des racines $n$-ième de l'unité, racines $n$-ième d'un nombre complexe $Z$.
• TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : Ne pas donner d'exercices de colle dessus.

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir mettre sous forme algébrique et trigonométrique un nombre, savoir laquelle est la plus pratique pour quoi faire.
• Savoir utiliser la forme d'Euler et de Moivre pour linéariser ou modifier l'expression de $\cos$ et $\sin$.
• Savoir calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et utiliser l'angle moitié.
• Savoir trouver la racine carrée d'un nombre complexe et résoudre une équation de degré $2$.
• Savoir trouver les racines $n$-ièmes de l'unité, d'un nombre complexe.

Chp 6 - PRIMITIVES

• CALCUL DE PRIMITIVES : Définition d'une primitive, existence de primitives, primitives complexes, primitives usuelles, primitives de formes usuelles, primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$).
• CALCUL D'INTÉGRALES : "Définition" de l'intégrale, intégrale d'une fonction complexe, Théorème fondamental de l'analyse, lien entre primitive et intégrale, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, intégration par partie, changement de variable, autres calculs (par exemple de polynômes trigonométriques en linéarisant ou reconnaissant des formes usuelles).

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
• Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
• Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
• primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
• Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
• Savoir faire un changement de variable
• Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale

Notions et démonstrations exigibles

• Inégalité triangulaire (uniquement la partie droite $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$)  : l'énoncer proprement et savoir la démontrer avec le cas d'égalité.
• Démonstration de l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité : $\mathbb{U}=\{e^{\frac{2\textbf{i}k\pi}{n}}~|~k \in [\![0,n-1]\!]\}$
• Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ pour $\theta \in \mathbb{R}$.
• Formule de Moivre
• Exercice 103 : Pour quelles valeurs de $n$, le complexe $\left( \dfrac{(1-i\sqrt{3})^5}{(1-i)^3} \right)^n$ est-il un réel positif ?

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Document de 83 ko, dans Chimie/Programmes de colles

Emploi du temps PCSI-PSI

Planning des DS-DM de l'année

Planning des TP de physique-chimie du semestre 1

Planning des TP de physique-chimie du semestre 2

Planning des khôlles du semestre 1

Planning des khôlles du semestre 2

Planning du tutorat de mathématiques et physique à l'université