Derniers contenus

Voici la liste des séances de Cours et TP d'informatique avec leurs corrigés. Il est parfois nécessaire de télécharger des fichiers associés pour faire les TP.

1. Présentation de Python (Cours et TP, correction des exercices à la fin du fichier)
2. Instructions conditionnelles et itératives (Cours et TP + Correction des exercices)
3. Fonctions Python
   

   Cours et TP (Partie 1) + Fichier à télécharger (03_TP3_Partie_1) + Correction des exercices

       Cours et TP (Partie 2) + Fichier à télécharger (03_TP3_Partie_2) + Correction des exercices
4. Listes et tableaux (Cours et TP + Fichier à télécharger (04_TP) + Correction des exercices)
5. Chaînes de caractères (Cours et TP+ Fichier à télécharger + Correction des exercices)
6. Recherche dans un tableau unidimensionnel et dictionnaires (Cours et TP + Fichier à télécharger+ Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : listemotsfrancais.txt
7. Algorithmes à boucles imbriquées (Cours et TP + Correction des exercices)
8. Manipulation de fichiers texte (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : eningme.txt + data.txt +valeurs_x.txt +valeurs_y.txt
9. Utilisation de bibliothèque de tracé graphique (Cours et TP + Correction des exercices)
   Fichiers à télécharger en amont : 09_TP.py +1000_premiers_nombres_premiers.txt + Balance_commune_20218.csv + Positions_telephone.txt
10. Fichiers image : matrices de pixels (1/2) (Cours et TP + Correction des exercices 1 à 8)
    

    Fichiers à télécharger en amont : noir_et_blanc.jpg + couleurs.png

11. Fichiers image : modification d'image (2/2) (Cours et TP + Correction des exercices)
    Fichiers à télécharger en amont : Image_Noel.jpg + guepierNB.jpg
12. Algorithmes récursifs (Cours et TP+ Correction des exercices)
    Fichier à télécharger en amont : Sierpinski.py 
13. Algorithmes dichotomiques (Cours et TP+ Correction des exercices)
14. Algorithmes gloutons (Cours et TP+ Correction des exercices, à la fin du ficher ou ici en format Python)
    Fichier à télécharger en amont : 14_TP.py
15. Algorithmes de Tri, effet de bord (Cours et TP + Correction des exercices)
16. Assertion, signature, annotation Retour sur les listes et la récursivité (Cours et TP+ Correction des exercices)
17. Complexité d'un algorithme (Cours et TP+ Correction des exercices)
18. Introduction aux graphes : le jeu Saute-Canton (TP_Saute-Canton + Correction)
    Fichiers à télécharger en amont : 18_PT_Saute-Canton.py + communes.csv + voisines.csv
19. Graphes (non) orientés : Généralités (Cours et TP + Correction des exercices)
20. Graphes : Parcours en largueur et files (Cours et TP + Correction des exercices + Exemple_de_parcours_en_largeur)
    Fichier à télécharger en amont : 20_TP_Parcours_Largeur.py
21. Graphes : Parcours en longueur et piles (Cours et TP + Correction des exercices + Parcours en longueur : Exemple 1 et Exemple 2)
    Fichier à télécharger en amont : 21_TP_Parcours_Profondeur.py
22. Graphes : Parcours de labyrinthes et d'images (TP + Correction du labyrinthe + Correction de la baguette magique)
    Fichiers à télécharger en amont : 22_MagicWand.py + guepiers.jpg + 22_Labyrinthe.py + LabyrintheM1.txt + LabyrintheM2.txt
23. Graphes : Algorithme de Dijkstra (Cours et TP + Correction des exercices)

    Fichier à télécharger en amont : 23_TP_Dijkstra.py + Temps_Metro.npy + Dico_Stations.npy

24. Graphes : Algorithme A* (Cours et TP+ Correction des exercices)

    Fichier à télécharger en amont : 24_TP_A_Star.py

25. Terminaison et corrections d'un algorithme (Cours et TP + Correction des exercices)
26. Représentation des nombres (par Sylvie Delaët)
27. Exercices de révision et compléments (TP + Correction des exercices)

    Fichiers à télécharger en amont : Charlie.txt + lecture.py

28. Exercices de révision et compléments (TP + Correction des exercices)
    Fichiers à télécharger en amont : Mona-Lisa.png

Par ici

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Pour le 23/09/2026 : DM n°1 sur : Énoncé et corrigé

Pour le 07/10/2026 : DM n°2 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°3 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°4 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°5 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°6 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°7 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°8 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°9 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°10 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°11 sur : Énoncé et corrigé

Pour le ??/??/2026 : DM n°12 sur : Énoncé et corrigé

Le 12/09/2026 : DS n°1 sur le stage de pré-rentrée, les rudiments de logique  : Enoncé et corrigé

Le 03/10/2026 : DS n°2 sur les inégalités, la valeur absolue, la partie entière, les fonctions usuelles et de référence : Enoncé et corrigé

Le ??/11/2026 : DS n°3 sur  : Enoncé et corrigé

Le ??/12/2026 : DS n°4 sur  : Enoncé et corrigé

Le ??/01/2027 : DS n°5 sur  : Enoncé et corrigé

Le ??/02/2027 : DS n°6 sur  : Enoncé et corrigé

Le ??/03/2027 : Concours blanc sur  : Enoncé et corrigé

Le ??/04/2027 : DS n°8 sur  : Enoncé et corrigé

Chp 2 - SYSTÈMES LINÉAIRES DE PETITE TAILLE

• SYSTÈMES A 2 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans le plan, résolution par substitution, par combinaison (méthode préférentielle), opérations élémentaires (transvections : $L_i \leftarrow L_i-\lambda L_j$ , transpositions : $L_i \leftrightarrow L_j$ et dilatations : $L_i \leftarrow\lambda L_i$)
• SYSTÈMES A 3 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans l'espace, méthode du Pivot de Gauss, exemples de résolution dans les différents cas. Notion de pivot et d'inconnue secondaire.
• SYSTÈMES A PARAMÈTRE : Exemples
• Pour les colleurs : pas de matrice augmentée, pas de rang d'un système ni de système linéaire de grande taille (nouveau programme 2021)
  

Chp 3 - FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

• GÉNÉRALITÉS : Fonction, graphe, parité, périodicité, fonctions minorées, majorées, bornées, composée de fonctions, fonction $|f|$, notion de bijection réciproque.
• LIMITES ET ASYMPTOTES : Propriétés des limites, asymptotes horizontales, verticales. (Les recherches d'asymptotes obliques doivent être guidées).
• CONTINUITÉ : Définition et propriétés.
• DÉRIVÉE : Nombre dérivé, équation de la tangente, fonction dérivée, propriétés de la dérivée, dérivée de la bijection réciproque, dérivées d'ordre supérieur, extremum, extremum local.

• FONCTION $\ln$ : définition, propriétés, inégalité classique, croissances comparées, définition du logarithme décimal
• FONCTIONS PUISSANCES : définition, propriétés, dérivée, limites,

Notions et démonstrations exigibles :

• Exercice 27 : Démontrer que $\forall x \in \mathbb{R}, |\sin(x)| \leqslant |x|$.
• Démonstration de la proposition 25 : "Une fonction $f$ est bornée sur $I$ si, et seulement si, $|f|$ est majorée" ET application à l'exemple 33 : "montrer que la fonction $f$ définie par $f(x) = 3 \cos(1/x^2) - {1 \over 2} \sin(3x+1)$ est bornée sur $\mathbb{R}^*$".
• Démonstration de la proposition 32 "Fonctions monotones et bijections" ET application à la fonction définie par $f(x) = {x +1 \over x+3}$ (on ne demande pas le calcul de la réciproque).
• Exercice 38 : Résoudre $\left\{ \begin{array}{rrl} x-y+z&=&m \\ x+my-z&=&1 \\ x-y-z&=&1 \end{array} \right.$ où $m$ est un paramètre réel.  

• Exercice 45 : On pose $f : x \mapsto \ln \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$, étudier sa parité et les variations de $f$.
• Connaitre toutes les formules de dérivées usuelles, de formes usuelles, de composée AVEC LES ENSEMBLES/CONDITIONS + équation de la tangente (le colleur pourra demander plusieurs formules choisies au hasard dans cette liste.)

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir faire des calculs algébriques élémentaires (équations de degré 1,2 ...) et manipulations de puissances/radicaux. Quantité conjuguée.
• Savoir manipuler la valeur absolue et la partie entière d'un réel.
• Savoir résoudre un système $2 \times 2$ par combinaison et un système $2 \times 3$ par l'algorithme du pivot de Gauss.
• Maitriser l'interprétation graphique d'une résolution de système linéaire.
• Savoir faire les bonnes distinctions de cas quand le système admet un paramètre.
• Savoir que si le système a 3 pivots, il admet une unique solution et savoir écrire l'ensemble des solutions dans tous les cas.
• FACTORISATION DE POLYNÔMES : connaissant une/des racine(s) évidente(s), trouver la forme factorisée.
• Savoir prouver qu'une fonction est paire, impaire, périodique et ce que cela entraine sur sa courbe.
• Savoir manipuler les inégalités avec des valeurs absolues pour montrer qu'une fonction est bornée.
• Savoir prouver qu'une fonction est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
• Savoir lever l'indétermination dans les calculs de limites.
• Savoir calculer un nombre dérivé, une dérivée, une étude de fonction et faire un tableau de variation complet.
• Connaitre les propriétés des fonctions $\ln$, $\exp$ et puissances et les croissances comparées.

Chp 1 - INÉGALITÉS, VALEUR ABSOLUE, PARTIE ENTIÈRE (partie 2)

• INÉGALITÉS DANS $\mathbb{R}$ : Relation d'ordre, propriétés sur les inégalités, notion d'intervalle de $\mathbb{R}$.
• VALEUR ABSOLUE : Définition, propriétés, inégalités avec valeurs absolues, inégalité triangulaire
• PARTIES MAJORÉES, MINORÉES, BORNÉES : Définition d'un majorant, d'un minorant, d'un ensemble borné, notion de maximum, minimum, extremum.

Chp 2 - SYSTÈMES LINÉAIRES DE PETITE TAILLE

• SYSTÈMES A 2 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans le plan, résolution par substitution, par combinaison (méthode préférentielle), opérations élémentaires (transvections : $L_i \leftarrow L_i-\lambda L_j$ , transpositions : $L_i \leftrightarrow L_j$ et dilatations : $L_i \leftarrow\lambda L_i$)
• SYSTÈMES A 3 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans l'espace, méthode du Pivot de Gauss, exemples de résolution dans les différents cas. Notion de pivot et d'inconnue secondaire.
• SYSTÈMES A PARAMÈTRE : Exemples
• Pour les colleurs : pas de matrice augmentée, pas de rang d'un système ni de système linéaire de grande taille (nouveau programme 2021)
  

Chp 3 - FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

• GÉNÉRALITÉS : Fonction, graphe, parité, périodicité, fonctions minorées, majorées, bornées, composée de fonctions, fonction $|f|$, notion de bijection réciproque.
• LIMITES ET ASYMPTOTES : Propriétés des limites, asymptotes horizontales, verticales. (Les recherches d'asymptotes obliques doivent être guidées).
• CONTINUITÉ : Définition et propriétés.
• DÉRIVÉE : Nombre dérivé, équation de la tangente, fonction dérivée, propriétés de la dérivée, dérivée de la bijection réciproque, dérivées d'ordre supérieur, extremum, extremum local.

• FONCTION $\ln$ : définition, propriétés, inégalité classique, croissances comparées, définition du logarithme décimal
• FONCTIONS PUISSANCES : définition, propriétés, dérivée, limites,

Notions et démonstrations exigibles :

• Exercice 27 : Démontrer que $\forall x \in \mathbb{R}, |\sin(x)| \leqslant |x|$.
• Démonstration de la proposition 25 : "Une fonction $f$ est bornée sur $I$ si, et seulement si, $|f|$ est majorée" ET application à l'exemple 33 : "montrer que la fonction $f$ définie par $f(x) = 3 \cos(1/x^2) - {1 \over 2} \sin(3x+1)$ est bornée sur $\mathbb{R}^*$".
• Démonstration de la proposition 32 "Fonctions monotones et bijections" ET application à la fonction définie par $f(x) = {x +1 \over x+3}$ (on ne demande pas le calcul de la réciproque).
• Exercice 38 : Résoudre $\left\{ \begin{array}{rrl} x-y+z&=&m \\ x+my-z&=&1 \\ x-y-z&=&1 \end{array} \right.$ où $m$ est un paramètre réel.  

• Exercice 45 : On pose $f : x \mapsto \ln \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$, étudier sa parité et les variations de $f$.
• Connaitre toutes les formules de dérivées usuelles, de formes usuelles, de composée AVEC LES ENSEMBLES/CONDITIONS + équation de la tangente (le colleur pourra demander plusieurs formules choisies au hasard dans cette liste.)

Connaissances et méthodes essentielles :

• Savoir faire des calculs algébriques élémentaires (équations de degré 1,2 ...) et manipulations de puissances/radicaux. Quantité conjuguée.
• Savoir manipuler la valeur absolue et la partie entière d'un réel.
• Savoir résoudre un système $2 \times 2$ par combinaison et un système $2 \times 3$ par l'algorithme du pivot de Gauss.
• Maitriser l'interprétation graphique d'une résolution de système linéaire.
• Savoir faire les bonnes distinctions de cas quand le système admet un paramètre.
• Savoir que si le système a 3 pivots, il admet une unique solution et savoir écrire l'ensemble des solutions dans tous les cas.
• FACTORISATION DE POLYNÔMES : connaissant une/des racine(s) évidente(s), trouver la forme factorisée.
• Savoir prouver qu'une fonction est paire, impaire, périodique et ce que cela entraine sur sa courbe.
• Savoir manipuler les inégalités avec des valeurs absolues pour montrer qu'une fonction est bornée.
• Savoir prouver qu'une fonction est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
• Savoir lever l'indétermination dans les calculs de limites.
• Savoir calculer un nombre dérivé, une dérivée, une étude de fonction et faire un tableau de variation complet.
• Connaitre les propriétés des fonctions $\ln$, $\exp$ et puissances et les croissances comparées.

Voici la liste des séances de cours de mathématiques (avec démonstrations) et TD (avec corrigés). En cas de doute dans la prise du cours ou de blocage dans la résolution d'exercices vous pouvez vous y référer.

1. Rudiments de logique (Cours et TD)
2. Inégalités, valeur absolue, partie entière (Cours et TD)
3. Résolutions de petits systèmes linéaires (Cours et TD)
4. Étude de fonctions et fonctions usuelles (Cours et TD)
5. Sommes et produits (Cours et TD)
6. Nombres complexes (Cours et TD)
7. Primitives (Cours et TD)
8. Équations différentielles (Cours et TD)
9. Ensembles et applications (Cours et TD) par Marc Coulomb
10. Arithmétique (Cours et TD) par Marc Coulomb
11. Combinatoire-Dénombrement (Cours et TD) par Marc Coulomb
12. Calcul matriciel (Cours et TD)
13. Nombres réels et suites numériques (Cours et TD)
14. Limites et continuité des fonctions d'une variable réelle  : Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
15. Dérivation des fonctions d'une variable réelle  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
16. Polynômes  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
17. Développements limités  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
18. L'espace Mn,1(K) : matrices et applications linéaires  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
19. Espaces vectoriels  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
20. Applications linéaires  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
21. Intégration  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
22. Déterminants  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
23. Séries numériques  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
24. Espaces vectoriels euclidiens :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
25. Fonctions de deux variables  :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
26. Espaces probabilisés finis :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé
27. Variables aléatoires finies :Cours et TD ; cours détaillé ; TD détaillé

Samedi 12/09/2026 : Devoir surveillé n°1 - Sujet, document réponse et Corrigé (Variables, découverte de Spyder et Python, connaissances de Tale)

Samedi 03/10/2026 : Devoir surveillé n°2 - Sujet, document réponse et Corrigé (Ajouter à ce qui précède : fonctions)

Samedi ??/??/2026 : Devoir surveillé n°3 - Sujet et Corrigé (Ajouter à ce qui précède : dictionnaires, algorithmes à boucles imbriqués, fichiers texte, complexité)

Samedi ??/??/2027 : Devoir surveillé n°4 - Sujet et Corrigé (Ajouter à ce qui précède : fichiers image, récursivité)

Mardi ??/??/2027 : Concours blanc - Sujet, document réponse et Corrigé (Ajouter à ce qui précède : , algorithmes récursifs, dichotomique, algorithmes gloutons, de tri, annotation, assertion, signature, complexité - notamment fonctions récursives)

Samedi ??/??/2027 : Devoir surveillé n°6 - Sujet, document réponse et Corrigé (Essentiellement les graphes : Généralités et Parcours en largeur + questions sur les chapitres précédents)

Samedi ??/??/2027 : Devoir surveillé n°7 - Sujet, document réponse et Corrigé (Graphes : Parcours, Algorithme de Dijkstra, manipulation de listes, de chaines, dictionnaires)

Jeudi ??/??/2027 : Devoir surveillé n°8 - Sujet, document réponse et Corrigé et code Python du corrigé (Tout depuis le début de l'année dont graphes : Dijkstra, A*)

Programme colle chimie_S4_05102026

Programme colle chimie_S5_12102026

Physique - PCSI - semaine 2026-10-05

Mardi 08/09/26 : Interro n°1 - Commandes de base

Mardi 15/09/26 : Interro n°2 - Instructions itératives (for) et conditionnelles (if)

Mardi 22/09/26 : Interro n°3 - Instructions itératives (for) et conditionnelles (if et while)

Mardi 29/09/26 : Interro n°4 - Fonctions

Mardi ??/??/26 : Interro n°5 - Listes et tableaux

Mardi ??/??/26 : Interro n°6 - Dictionnaires

Mardi ??/??/26 : Interro n°7 - Algorithmes à boucles imbriquées

Mardi ??/??/26 : Interro n°8 - Tout, notamment les algorithmes "classiques"

Mardi ??/??/26 : Interro n°9 - Manipulation d'images

Mardi ??/??/27 : Interro n°10 - Manipulation d'image

Mardi ??/??/27 : Interro n°11 - Récursivité

Mardi ??/??/27 : Interro n°12 - Dichotomie

Mardi ??/??/27 : Interro n°13 - Tris

Mardi ??/??/27 : Interro n°14 - Assertion, signature, complexité

Mardi ??/??/27 : Interro n°15 - Graphes (Définitions et généralités)

Mardi ??/??/27 : Interro n°16 - Graphes (Parcours en largueur, files)

Mardi ??/??/27 : Interro n°17 - Graphes (Algorithme de Dijkstra)

Mardi ??/??/27 : Interro n°18 - Graphes (Algorithmes de Dijkstra et A*)

Physique - PCSI - semaine 2026-09-28

Programme colle chimie_S3_28092026

Programme colle chimie_S2_21092026

Chp 0 - RUDIMENTS DE LOGIQUE

• Découverte de l'alphabet grec,
• Notion d'assertion et de connecteurs logiques, notion de prédicat et quantificateurs ($\forall$ et $\exists$), négation d'une assertion, notion de réciproque et de contraposée
• Maitrise des notations, écriture de propriétés mathématiques à l'aide de quantificateurs,
• Les différents types de raisonnements : Raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde, savoir comment prouver qu'une inégalité est vraie, raisonnements (simples) par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple et forte) sur des exemples;

Chp 1 - NOMBRES REELS, INEGALITES, PARTIE ENTIERE ET VALEUR ABSOLUE (partie 1)

• Identités remarquables, calcul littéral, manipulation de fractions, de puissances, de radicaux,
• Résolution d'équations simples (degré $\leqslant 2$ ou de degré supérieur avec racines évidentes ou sous forme factorisée)
• Manipulation d'inégalités,
• Intervalles de $\mathbb{R}$, présentation de l'ensemble des solutions d'une inéquation en utilisant des intervalles,
• Définition de la valeur absolue d'un nombre réel, inégalité triangulaire

Notions et démonstrations exigibles :

• \'Ecrire avec des quantificateurs les assertions suivantes ainsi que leur négation ($f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$) :
  • la fonction $f$ est paire,
  • la fonction $f$ est strictement croissante,
  • la fonction $f$ est bien définie sur $I$,
  • la fonction $f$ admet un maximum sur $I$.
• Démonstration impeccable de : "$n$ est pair si, et seulement si, $n^2$ est pair."
• Démonstration impeccable de "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" (en admettant le point précédent).
• Trouver les réels $x$ tels que $\sqrt{5x - 6} = x$.
• Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0 \geqslant 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle u_{n+1} \leqslant \sum_{k = 0}^n u_k$. Démonstration impeccable par récurrence de "pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant 2^n u_0$".
• Énoncé et démonstration impeccable de l'inégalité triangulaire (pas de cas d'égalité).

Connaissances et méthodes essentielles :

• Proposition avec des quantificateurs : savoir la lire, la traduire en français, la nier, écrire une contraposée, une négation, savoir dire si une proposition est vraie ou fausse (démonstration ou contre-exemple)
• Savoir démontrer une implication (raisonnement direct, par contraposée ou par l'absurde), savoir démontrer une équivalence (par double implication)
• Savoir prouver qu'une égalité/inégalité est vraie : se ramener par équivalence à une égalité/inégalité triviale.
• Raisonnement par analyse/synthèse : son utilité et savoir quand l'appliquer.
• Raisonnement par récurrence (simple, double, triple, multiple, forte).
• Savoir développer/factoriser des expressions classiques, simplifier des fractions, puissances, radicaux (méthode de la quantité conjuguée)
• Savoir résoudre des équations du premier degré, du second degré, factoriser un polynôme connaissant une racine.
• Savoir résoudre des équations avec radicaux (attention à l'ensemble de définition, et à ne pas oublier la synthèse au besoin)

Chp 0 - RUDIMENTS DE LOGIQUE

• Découverte de l'alphabet grec,
• Notion d'assertion et de connecteurs logiques, notion de prédicat et quantificateurs ($\forall$ et $\exists$), négation d'une assertion, notion de réciproque et de contraposée
• Maitrise des notations, écriture de propriétés mathématiques à l'aide de quantificateurs,
• Les différents types de raisonnements : Raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde, savoir comment prouver qu'une inégalité est vraie, raisonnements (simples) par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple et forte) sur des exemples;

Chp 1 - NOMBRES REELS, INEGALITES, PARTIE ENTIERE ET VALEUR ABSOLUE (partie 1)

• Identités remarquables, calcul littéral, manipulation de fractions, de puissances, de radicaux,
• Résolution d'équations simples (degré $\leqslant 2$ ou de degré supérieur avec racines évidentes ou sous forme factorisée)
• Manipulation d'inégalités,
• Intervalles de $\mathbb{R}$, présentation de l'ensemble des solutions d'une inéquation en utilisant des intervalles,
• Définition de la valeur absolue d'un nombre réel, inégalité triangulaire

Notions et démonstrations exigibles :

• \'Ecrire avec des quantificateurs les assertions suivantes ainsi que leur négation ($f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$) :
  • la fonction $f$ est paire,
  • la fonction $f$ est strictement croissante,
  • la fonction $f$ est bien définie sur $I$,
  • la fonction $f$ admet un maximum sur $I$.
• Démonstration impeccable de : "$n$ est pair si, et seulement si, $n^2$ est pair."
• Démonstration impeccable de "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" (en admettant le point précédent).
• Trouver les réels $x$ tels que $\sqrt{5x - 6} = x$.
• Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0 \geqslant 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle u_{n+1} \leqslant \sum_{k = 0}^n u_k$. Démonstration impeccable par récurrence de "pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant 2^n u_0$".
• Énoncé et démonstration impeccable de l'inégalité triangulaire (pas de cas d'égalité).

Connaissances et méthodes essentielles :

• Proposition avec des quantificateurs : savoir la lire, la traduire en français, la nier, écrire une contraposée, une négation, savoir dire si une proposition est vraie ou fausse (démonstration ou contre-exemple)
• Savoir démontrer une implication (raisonnement direct, par contraposée ou par l'absurde), savoir démontrer une équivalence (par double implication)
• Savoir prouver qu'une égalité/inégalité est vraie : se ramener par équivalence à une égalité/inégalité triviale.
• Raisonnement par analyse/synthèse : son utilité et savoir quand l'appliquer.
• Raisonnement par récurrence (simple, double, triple, multiple, forte).
• Savoir développer/factoriser des expressions classiques, simplifier des fractions, puissances, radicaux (méthode de la quantité conjuguée)
• Savoir résoudre des équations du premier degré, du second degré, factoriser un polynôme connaissant une racine.
• Savoir résoudre des équations avec radicaux (attention à l'ensemble de définition, et à ne pas oublier la synthèse au besoin)

Physique - PCSI - semaine 2026-09-21

Programme colle chimie_S1_14092026