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Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 06: Compléments d'algèbre linéaire

Paragraphes 3, 4 et 5 (Voir détails sur le programme de la semaine précédente)

Chapitre 07: Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Paragraphe 1: Eléments propres

Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre d'un endomorphisme. Un vecteur propre est associé à une seule valeur propre. En dimension finie caractérisation de a est valeur propre de f avec Ker(f-aId) non réduit au vecteur nul, f-aId est inversible, det(f-aId)=0, exemples. Définitions pour une matrice carrée.

Polynôme caractéristique:

Définition pour un endomorphisme en dimension finie ou une matrice carrée, lien avec les valeurs propres, expression du polynôme caractéristique: il est unitaire de degré n, le coefficient de son monôme de degré n-1 est tr(f) et le coefficient constant est (-1)^n det(f) si E est de dimension n. lien entre tr(f), det(f) et les valeurs propres de f lorsque le polynôme caractéristique est scindé.

Propriétés des sous-espaces propres:

La somme de p sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. Ordre de multiplicité d'une valeur propre, lien entre cette multiplicité et la dimension du sous-espace propre associé.

Valeurs propres et polynômes annulateurs

Si a est une valeur propre de f et P est un polynôme annulateur de f alors P(a)=0.

Théorème de Cayley-Hamilton

Questions de cours

• Si a est une valeur propre d'un endomorphisme f et que P est un polynôme annulateur de f alors P(a)=0
• Si a est une valeur propre de f d'ordre de multiplicité p alors Ea le sous-espace propre de f associé à a vérifie: 1 <=dim(Ea)<=p
• Si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme f est scindé alors tr(f) est la somme de toutes les valeurs propres comptées avec leur ordre de multiplicité, le déterminant de f est le produit de toutes les valeurs propres de f comptées avec leur multiplicité
• En dimension finie, un sous-espace vectoriel F est stable par un endomorphisme f SSI la matrice de f dans une base adaptée à F est triangulaire par blocs.

Exercices faits en classe:

TD n°06 exercices

TD n°07 exercices 1-2-3-4-5-6-8

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L.V.

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