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C'est par ici :
Chapitre 11: Séries entières
Paragraphe 1: Rayon de convergence
Voir détails sur le programme de la semaine du 3 février
Paragraphe 2: Régularité de la somme d'une série entière d'une variable réelle
Continuité sur ]-R,R[, calcul d'une primitive par intégration terme à terme, classe C∞ sur ]-R,R[ avec dérivation terme à terme, relation entre les coefficients et les dérivées de la fonction somme.
Paragraphe 3: Développement en série entière au voisinage de 0
Définition, si f est développable en série entière alors ce développement est unique et donné par la série de Taylor en 0, cas particulier d'une fonction paire, d'une fonction impaire, formule de Taylor avec reste intégral.
Paragraphe 4: Développement en série entière des fonctions usuelles
Tableau avec justification par intégration terme à terme, ou dérivation, ou solution d'un problème de Cauchy.
Paragraphe 5: Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans N
Définition au moins sur le segment [-1,1], calculs pour les lois usuelles, fonction génératrice d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes (exemple avec la loi de Poisson, la loi binomiale), lien entre la fonction génératrice et l'espérance, comment trouver la variance avec la fonction génératrice.
Chapitre 12: Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2
Paragraphes 1 et 2: Rappels de première année
Equations différentielles linéaires d'ordre 1, forme des solutions, variation de la constante pour la, recherche d'une solution particulière, équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants.
Paragraphe 3: Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2
Toute solution d'une équation y''+a(t)y'+b(t)y=c(t) avec a,b,c continues sur un intervalle I s'écrit comme somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée. Théorème de Cauchy linéaire, l'ensemble des solutions d'une équation homogène y''+a(t)y'+b(t)y=0 est un espace vectoriel de dimension 2.
Méthode d'abaissement d'ordre pour la résolution d'une équation différentielle y''+a(t)y'+b(t)y=c(t).
Paragraphe 4: Séries entières et équations différentielles
Recherche des solutions développables en série entière d'une équation différentielle du type a(t)y''+b(t)y'+c(t)y=d(t) avec a,b,c des fonctions polynômiales et d une fonction développable en série entière. Exemple
Questions de cours:
Exercices faits en classe:
TD 11 exercices 1-2-4-5-6-9 - 11-12-13-14
TD 12 exercices 5-7-8-9
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