Programmes de colles

Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 05: Rappels et compléments d'algèbre linéaire (en entier)

Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 2: Déterminant d'une matrice carrée

Paragraphe 3: Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 4: Déterminant d'une famille de n vecteurs en dimension n

Paragraphe 5: Déterminant de Vandermonde

Paragraphe 6: Polynômes d'interpolation de Lagrange

Paragraphe 7: Polynôme d'endomorphisme ou de matrice carrée

Paragraphe 8: Espace produit et somme de sous-espaces vectoriels

Définition de E_1x...xE_p, dimension de E_1x...xE_p lorsque chaque espace est de dimension finie, somme et somme directe de deux sous-espaces vectoriels (tous les rappels de première année, somme de p sous-espaces vectoriels, somme directe de p sous-espaces vectoriels (définition et caractérisation), inégalité sur la dimension de la somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie, cas d'une somme directe, sous-espaces supplémentaires

Paragraphe 9: Matrices par blocs

Définition et opérations sur les matrices par blocs, transposée d'une matrice par blocs, matrice triangulaire par blocs, diagonale par blocs, déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, sous-espaces stables par un endomorphisme, lien avec les matrices par blocs.

Chapitre 06: Réduction

Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme

Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre, exemples, lien entre valeur propre et polynôme annulateur, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.

Questions de cours:

• Si a est une valeur propre d'un endomorphisme u et si P est un polynôme annulateur de u alors a est racine de P.
• En admettant l'inégalité de la dimension d'une somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie, montrer qu'il y a égalité si et seulement si la somme est directe.
• Formule du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
• Si u et v sont deux endsomorphismes qui commutent alors Ker(u) est stable par v.

Exercices faits en classe:

TD 05 exercices 1-2-3-4-5-7-9-10-11-12-13-16

TD 06 exercices 1 et 2

TIPE

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Français-Philosophie

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Modélisation

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L.V.

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