Programmes de colles

Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 07: Normes et suites dans un EVN

Paragraphe 3: Suites dans un espace vectoriel normé

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Paragraphe 4: Comparaison de normes

Voir semaine précédente

Paragraphe 5: Cas particulier de la dimension finie

Voir semaine précédente

Chapitre 08: Suites et séries de fonctions

Paragraphe 1: Modes de convergence d'une suite de fonctions

Convergence simple d'une suite de fonctions sur un intervalle, convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle, la convergence uniforme entraine la convergence simple, convergence uniforme sur tout segment inclus dans un intervalle. Exemples.

Modes de convergence d'une série de fonctions

Convergence simple sur un intervalle d'une série de fonctions, convergence uniforme sur un intervalle d'une série de fonctions (en pratique cela revient à vérifier la convergence simple de la suite de fonctions des restes vers la fonction nulle), la convergence uniforme de ∑f_n sur I entraine la convergence uniforme sur I de (f_n) vers la fonction nulle, convergence normale sur un intervalle d'une série de fonctions, la convergence normale d'une série de fonctions sur un intervalle I entraine la convergence uniforme sur I de cette série de fonctions. Exemples.

Paragraphe 3: Régularité de la limite uniforme d'une suite de fonctions

Théorème de continuité par convergence uniforme, intégration sur un segment, dérivation de la limite uniforme d'une suite de fonctions de classe C1 sur un intervalle I, théorème de la classe Ck pour une suite de fonctions.

Paragraphe 4: Régularité de la somme d'une série de fonctions

Continuité de la fonction somme d'une série de fonctions qui converge uniformément sur I ou sur tout segment inclus dans I, intégration terme à terme sur un segment de la somme d'une série de fonctions sous convergence uniforme sur ce segment, théorème d'inversion limite et ∑ pour la recherche de la limite en une extrémité de l'intervalle sur lequel il y a convergence uniforme, théorème de la classe C1 (dérivation terme à terme) pour une somme de série de fonctions, théorème de la classe Ck, puis C∞. Exemple de la fonction zeta de Riemann.

Questions de cours:

• Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément sur un segment [a,b] vers une fonction f alors la suite (u_n) avec u_n= ∫_[a,b]f_n(t) dt converge vers ∫_[a,b]f(t) dt.
• Si la série de fonctions ∑f_n converge normalement sur un intervalle I alors la série converge uniformément sur cet intervalle I
• Si Deux normes d'un même espace vectoriel E sont équivalentes et si une suite de vecteurs de E converge vers un vecteur L pour l'une des normes alors elle converge vers ce même vecteur pour l'autre norme.
• Montrer que la fonction zeta de Riemann est définie sur ]1,+∞[ et déterminer sa limite en +∞

Exercices faits en classe

TD 07 exercices 1-3-4-6-7-8-9-10

TD n°08 exercices 1-2-3-5-6-8

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Français-Philosophie

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L.V.

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