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Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre n°12: Séries entières

A partir du paragraphe 2. Voir le détail sur le programme de la semaine précédente

Chapitre n°13: Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2

Forme des solutions d'une équation du type y''+a(t)y'+b(t)y=c(t) avec a,b,c continue sur un intervalle I à valeurs dans C.

Théorème de Cauchy linéaire, l'ensemble des solutions sur un intervalle I d'une équation du type y''+a(t)y'+b(t)y=0, avec a et b continues, est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel des fonctions de classe C2 sur I.

Exemples de résolution: abaissement d'ordre, raccord des solutions, changement de variable, solutions développable en série entière.

Questions de cours:

• Donner le développement en série entière de ln(1+x), puis démontrer la formule.
• Si f est la somme d'une série entière ∑a_n x^n de rayon de convergence R>0, alors a_n=f^(n)(0)/n!
• L'ensemble des solutions sur un intervalle I d'une équation différentielle du type y''+a(t) y'+b(t)y=0 avec a et b continues sur I est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel des fonctions de classe C2 sur I.
• Toute solution d'une équation différentielle du type y''+a(t)y'+b(t)y=c(t) avec a,b,c continues sur I s'écrit comme somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation différentielle homogène associée.

Exercices faits en classe:

TD n°12 exercices 1-2-3-6-8-9-10-11-12

TD n°13 exercices 1-2-3-4-5

TIPE

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Français-Philosophie

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Modélisation

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L.V.

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