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Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 06: Réduction

Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme

Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre, exemples, lien entre valeur propre et polynôme annulateur, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. Cas de la dimension finie.

Paragraphe 2: Eléments propres d'une matrice carrée

Définitions de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, valeur propre et déterminant, valeur propre et polynôme annulateur, spectre réel ou complexe d'une matrice réelle.

Paragraphe 3: Polynôme caractéristique

Pour une matrice carrée, définition, degré, trois coefficients à connaitre, lien avec les valeurs propres, cas d'un polynôme caractéristique scindé lien entre la trace, le déterminant et les valeurs propres, cas particulier d'une matrice triangulaire ou diagonale, deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, une matrice et sa transposée ont les même valeurs propres.

Pour un endomorphisme en dimension finie, reprise des points précédents, lien entre les polynômes caractéristiques d'un endomorphisme et d'un de ses endomorphismes induits. Multiplicité d'une valeur propre, lien entre cette multiplicité et la dimension du sous-espace propre associé. Théorème de Cayley-Hamilton

Paragraphe 4: Caractérisations de la diagonalisation

Cas d'un endomorphisme en dimension finie: u endomorphisme de E est diagonalisable SSI E est égal à la somme directe des sous-espaces propres SSI dim(E) est égale à la somme des dimension des sous-espaces propres SSI le polynôme caractéristique est scindé et chaque sous-espace propre est de dimension égale à la multiplicité de la valeur propre associée SSI (X-a1)..(X-ap) est annulateur de u avec a1,..,ap toutes les valeurs propres distinctes de u SSI u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Quelques cas particuliers

Adaptation pour une matrice carrée. Quelques cas particulier. 2tude pratique de la diagonalisation d'une matrice carrée, exemples.

Questions de cours:

• Lien entre valeur propre d'un endomorphisme et polynôme annulateur de cet endomorphisme.
• Si le polynôme caractéristique d'una matrice A est scindé alors la trace de A est égale à la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité et le déterminant de A est égal au produit de ces valeurs propres.
• En dimension finie, si un endomorphisme u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples alors u est diagonalisable.
• Si F, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie, est stable par un endomorphisme u alors le polynôme caractéristique de l'endomorphisme de F induit par u divise le polynôme caractéristique de u.

Exercices faits en classe:

TD 06 exercices 1-2-3-4-5-6-8

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