Programmes de colles

Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 9: Intégrales à paramètres

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.

Théorème de continuité, théorème de convergence dominée à paramètre continu, théorème de la classe C1, extension à la classe Ck et C∞, exemple avec la fonction Gamma d'Euler

Chapitre 10: Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Paragraphe 1: Produit scalaire et norme associée

Définition, caractérisation, inégalité de Cauchy-Schwarz, exemples de référence

Paragraphe 2: Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux, famille orthonormée, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, sous-espaces vectoriels orthogonaux, orthogonal d'un sous-espace vectoriel, d'une partie

Paragraphe 3: Bases orthonormées dans un espace euclidien

Existence d'une base orthonormée d'un espace euclidien, écriture du produit scalaire et des coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée.

Paragraphe 4: Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie

Si F est de dimension finie alors F et son orthogonal sont supplémentaires, projection orthogonale, écriture du projeté orthogonal d'un vecteur sur un sous-espace vectoriel dont on connait une base orthonormée, recherche pratique dans le cas général, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie, cas particulier d'un hyperplan donné par un vecteur normal

Paragraphe 5: Forme linéaire sur un espace euclidien

Ecriture d'une forme linéaire dans un espace euclidien avec le produit scalaire, vecteur normal à un hyperplan, équation d'un hyperplan dans une base orthonormée.

Questions de cours

• Si F est un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien réel E alors F et son orthogonal sont supplémentaires
• Si E est de dimension finie et F est un sous-espace vectoriel de E alors l'orthogonal de l'orthogonal de F est F.
• Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie et si x est un vecteur de E alors l'application y ∈F -> ||x-y|| admet un minimum atteint en l'unique point p_F(x) (projeté orthogonal de x sur F)
• Enoncé du théorème de la classe C1 pour une fonction définie par une intégrale à paramètre x-> ∫_If(x,t) dt.

Exercices faits en classe

TD 09 exercices 8-9-11

TD 10 ecercices 1-2-3-6-7

TD 10 bis: Polynômes de Legendre

TIPE

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Français-Philosophie

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Modélisation

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Physique

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Chimie

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L.V.

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