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Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 14: Variables aléatoires discrètes

Paragraphe 1: Généralité sur les variables aléatoires discrètes

Définition, notations des événements (X=x) ou (X∈ A), exemples, une fonction de VAD est une VAD, un couple de VAD est une VAD, opérations algébriques sur les variables aléatoires, n-uplet de VAD

Paragraphe 2: Loi d'une variable aléatoire discrète

Définition de P_X, P_X est une probabilité sur l'ensemble des parties de X(Ω), la loi d'une VAD X est donnée par X(Ω) et P(X=x) pour x∈X(Ω), loi conditionnelle de X sachant un événement A

Paragraphe 3: Lois discrètes usuelles

Loi uniforme sur un ensemble fini, loi de Bernoulli, loi binomiale de paramètre (n,p), loi géométrique de paramètre p, loi de Poisson de paramètre λ>0, avec les modèles pour les quatre premières lois

Paragraphe 3: Couple de variables aléatoires

Loi conjointe de (X,Y), lois marginales de X et de Y (données par la formule des probabilités totales), loi conditionnelle de Y sachant (X=x), extension à un n-uplet, indépendance de deux variables aléatoires, indépendance mutuelle de n variables aléatoires discrètes, Si X et Y sont indépendantes alors f(X) et g(Y) le sont aussi, lemme des coalitions

Paragraphe 5: Espérance

Définition de l'espérance pour une VAD à valeurs dans [0,+∞], définition de X est d'espérance finie pour une VAD à valeurs complexes, cas d'une VAD à valeurs dans N∪{+∞} avec la formule d'anti-répartition, positivité de l'espérance, théorème du transfert, utilisation pour la linéarité de l'espérance, si |X|<=Y et Y d'espérance finie alors X est d'espérance finie, croissance de l'espérance, si X et Y sont d'espérance finie et indépendantes alors XY est d'espérance finie et E(XY)=E(X)E(Y).

Questions de cours:

• Si X suit une loi géométrique de paramètre p alors P(X>k)=(1-p)^k
• Si X et Y sont indépendantes alors f(X) et g(Y) sont indépendantes
• Soit X une V.A.D. à valeurs complexes, si X est d'espérance finie alors pour tout (a,b) dans C² aX+b est d'espérance finie avec E(aX+b)=aE(X)+b
• Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes d'espérance finie alors XY est d'espérance finie avec E(XY)=E(X)E(Y)

Exercices faits en classe:

TD n°14 exercices 1-2-3-4-5-6-7-9-12

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