Programmes de colles

Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 01: Rappels sur les polynômes

Paragraphe 1: Structure algébrique des polynômes

Paragraphe 2: Degré d'un polynôme

définition, coefficient dominant, propriété deg(P+Q), deg(PQ)

Paragraphe 3: Multiples et diviseurs d'un polynôme

Division euclidienne dans K[X]

Paragraphe 4: Dérivation d'un polynôme

Paragraphe 5: racines d'un polynôme

Définition, multiplicité d'une racine, lien avec les polynômes dérivés, factorisation si on connait des racines distinctes

Paragraphe 6: Décomposition en produit de facteurs irréductibles

Théorème de d'Alembret-Gauss, décomposition dans C[X], dans R[X]

Chapitre 02: Rappels et compléments sur les séries numériques

Paragraphe 1: Généralités

Convergence, divergence, propriétés: séries télescopiques, condition nécessaire de convergence d'une série numérique, opérations sur les séries convergentes, séries géométriques

Paragraphe 2: Séries à termes positifs

Une série à termes positifs convergent SSI la suite des sommes partielles est majorée. Divergence de la série harmonique. Théorème de comparaison pour des séries à termes positifs (inégalité, domination, négligeabilité. Technique de comparaison série-intégrale, utilisation pour la nature d'une série, pour la recherche d'un équivalent d'une somme partielle, d'un reste équivalence)

Paragraphe 3: Séries à termes quelconques

Théorème spécial des séries alternées, exemple avec les séries de Riemann alternées. Convergence absolue d'une série, la convergence absolue entraine la convergence, théorème de comparaisons avec la convergence absolue, règle de d'Alembert, application à la série exponentielle

Questions de cours:

• La convergence absolue d'une série à termes réels entraine sa convergence.
• Etude de la convergence de la série de terme général 1/nln^2(n) avec la technique de comparaison série-intégrale
• Enoncé complet de la règle de d'Alembert avec démonstration dans le cas où la limite de |u(n+1)|/|u(n)| est égale à +∞
• Enoncé complet du théorème spécial des séries alternées. Donner la méthode de la preuve sans la faire

Exercioces faits en classe:

TD n°01 exercices 1-2-4-5-7-10

TD n°02 exercices 1-3-4-7

TIPE

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Français-Philosophie

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Modélisation

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Physique

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L.V.

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