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Sciences Industrielles et de l'Ingénieur

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Mathématiques

Chapitre 14: Variables aléatoires discrètes (en entier)

Paragraphes 1 à 5:

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Paragraphe 5.4: Variance et écart-type

X est une variable aléatoire discrète à valeurs réelles. Si X² est d'espérance finie alors X est d'espérance finie. Si X² et Y² sont d'espérance finie alors XY est d'espérance finie. Inégalité de Cauchy-Schwarz: E²(XY)= E(X²)xE(Y²), définition de la variance V(X)=E((X-E(X))²) et de l'écart-type, formule de Koenig-Huygens, calcul de la variance pour une variable aléatoire suivant une loi usuelle, V(aX), V(aX+b)

Paragraphe 5.5: Covariance de deux variables aléatoires discrètes

Définition de cov(X,Y), cas particulier de deux variables aléatoires indépendantes, V(X)=cov(X,X), formule de la variance d'une somme de deux (puis de n) variables aléatoires, cas particulier de variables aléatoires indépendantes

Paragraphe 6: Inégalités probabilistes

Inégalité de Markov, inégalité de Bienanymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres

Paragraphe 7: Fonction génératrice

X est une variable aléatoire à valeurs dans N. Définition de la fonction génératrice G_X, continuité au moins sur [-1,1], classe C∞ au moins sur ]-1,1[, la fonction génératrice G_X caractérise la loi de X, cas particulier des lois usuelles, fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, application pour la somme de deux lois de Poisson, de deux binomiales de paramètres (n,p) et (m,p), lien entre la fonction génératrice et l'espérance et la variance.

Questions de cours

• Si X² est d'espérance finie alors X est d'espérance finie
• Si X et Y admettent un moment d'ordre 2 alors XY est d'espérance finie
• Propriété sur V(aX) et V(aX+b) avec a et b réels et X² d'espérance finie
• Si X et Y sont indépendantes à valeurs dans N alors la fonction génératrice de X+Y est le produit de la fonction génératrice de X et de la fonction génératrice de Y

Exercices faits en classe:

TD n°14 bis: tous les exercices de la feuille

TD n°14 exercices n° 1-2-3-4-5-6-7-9-12-13

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