Sciences Industrielles et de l'Ingénieur
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Dernière semaine de colle
Chapitre 16: Compléments sur les espaces vectoriels normés
Paragraphe 1: Un peu de topologie
Boules ouvertes, fermées, partie convexe, bornée, ouvert, fermé, adhérence, définition d'une partie dense.
Paragraphe 2: Limite et continuité d'une fonction d'un EVN dans un EVN
Limite en un point adhérent à une partie A sur lequel la fonction est définie, unicité de la limite, opérations algébriques sur les limites, caractérisation séquentielle, continuité en un point, sur une partie. L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert, l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé, application lipschitzienne.
Paragraphe 3: Espaces vectoriels de dimension finie
Si f:E-F est linéaire avec E de dimension finie alors f est continue (car lipschitzienne). En dimension finie toute application multilinéaire est continue. Exemples. Définition d'une fonction polynômiale, continuité des fonctions polynômiales. Caractérisation de la continuité d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie par la continuité des applications coordonnées dans une base. Théorème des bornes atteintes.
Paragraphe 4: Continuité des fonctions de plusieurs variables
Cas particulier des fonctions définies sur une partie A de R^n et à valeurs dans R. Définition des applications partielles en un point. Si f est continue en un point alors les applications partielles le sont, la réciproque est fausse. Méthode pour montrer qu'une fonction de plusieurs variables n'est pas continue par utilisation d'un ''bon'' chemin.
Chapitre n°17: Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
On se place ici dans le cas d'une fonction d'une variable réelle à valeurs dans R^n (ou par extension à valeurs dans un espace vectoriel E de dimension finie)
Paragraphe 1: Rappels sur les limites et la continuité d'une fonction
Passage par les coordonnées
Paragraphe 2: Dérivabilité et opérations sur les fonctions dérivables
Définition de la dérivée en un point, équivalence avec le développement limité à l'ordre 1 en ce point, opérations algébriques, dérivation de Lof avec L linéaire, dérivation de B(f,g) avec B bilinéaire, exemples.
Questions de cours:
Exercices faits en classe:
TD n°16 exercices 1-2-3-4-5-6-8-9-10-13
TD n°17 exercices 2-3-4
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