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Chapitre 12: Séries entières (en entier)

Paragraphe 1: Rayon de convergence d'une série entière

Lemme d'Abel ,définition du rayon de convergence comme borne supérieure de l'intervalle des r positifs tels que la suite (a_n r^n) soit bornée. Exemples. Lien entre rayon de convergence et convergence de la série entière, étude pratique du rayon de convergence: théorème de comparaison, critère de d'Alembert, cas particulier des séries lacunaires, opérations sur les séries entières (multiplication par un scalaire, somme et produit de Cauchy)

Paragraphe 2: Régularité de la somme d'une série entière d'une variable réelle

∑a_n x^n converge normalement sur tout segment inclus dans ]-R,R[ où R est le rayon de convergence. La somme d'une série entière de rayon de convergence R>0 est continue sur ]-R,R[, primitive qui s'annule en 0 d'une somme de série entière, la somme d'une série entière est de classe C1 avec sa dérivée qui s'obtient par dérivation terme à terme, est indéfiniment dérivable sur ]-R,R[ et ses dérivées successives s'obtiennent par dérivation terme à terme, expression du coefficient a_n en fonction de la dérivée n-ième en 0 de la fonction somme

Paragraphe 3: Développement en série entière au voisinage de 0

Définition d'une fonction développable en série entière sur ]-r,r[ avec r>0, au voisinage de 0, unicité d'un tel développement en série entière, si f est développable en série entière alors son développement est sa série de Taylor en 0. Formule de Taylor avec reste intégral.

Paragraphe 4: Séries entières et équations différentielles linéaires

Exemples de recherche de fonctions développables en série entière vérifiant un problème de Cauchy d'ordre 1, une équation différentielle d'ordre deux du type a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x) avec a,b,c polynômes et d développable en série entière

Paragraphe 5: Développement en série entière des fonctions usuelles

Tableau des développements à connaitre par coeur.

Questions de cours:

• Développement en série entière de la fonction arctangente sur ]-1,1[: la formule et la preuve.
• Une série entière de rayon de convergence R>0 converge normalement sur tout segment inclus dans ]-R,R[.
• Développement en série entière de (1+x)^a avec a réel non entier naturel en passant par le problème de Cauchy: (1+x) y'+ ay=0 et y(0)=1.
• Soit ∑a_n x^n et ∑b_n x^n deux séries entières de rayon de convergence respectifs R_a et R_b, on note R le rayon de convergence de la série entière produit de Cauchy des deux séries entières précédentes. Montrer que R>= min(R_a,R_b).

Exercices faits en classe:

TD n°12 exercices 1-2-3-6-8-9-10-11-12

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Chapitre 11: Espaces probabilisés

Voir détails sur le programme de la semaine précédente

Chapitre 12: Séries entières

Paragraphe 1: Rayon de convergence d'une série entière

Lemme d'Abel ,définition du rayon de convergence comme borne supérieure de l'intervalle des r positifs tels que la suite (a_n r^n) soit bornée. Exemples.

Lien entre rayon de convergence et convergence de la série entière, étude pratique du rayon de convergence: théorème de comparaison, critère de d'Alembert, cas particulier des séries lacunaires, opérations sur les séries entières (multiplication par un scalaire, somme et produit de Cauchy)

Questions de cours:

• Lemme d'Abel
• Soit R le rayon de convergence d'une série entière, si | z|< R alors la série a_n z^n converge absolument
• Rayon de convergence de la somme de deux séries entières de rayons respectifs R_a et R_b distincts.
• Propriété de sous-additivité d'une probabilité

Exercices faits en classe:

TD n°11 bis exercices 1-2-3-4-6-7-8

TD n°12 exercices 1-2-3-4

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Chapitre 10: Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Voir semaine précédente.

Chapitre 11: Espaces probabilisés

Paragraphe 1: Notions sur les ensembles dénombrables et les familles sommables

Définition d'un ensemble dénombrables, quelques exemples. Définition d'une famille sommable d'éléments de [0,+∞], d'éléments de R ou C, quelques exemples, quelques propriétés admises dont le théorème de Fubbini

Paragraphe 2: Espaces probabilisables

Univers, tribu sur un univers, vocabulaire probabiliste

Paragraphe 3: probabilité sur un espace probabilisable

Définition d'une probabilité, propriétés qui en découlent dont la continuité croissante et décroissante

Paragraphe 4: Conditionnement

Définition d'une probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, Formules de Bayes, indépendance mutuelle ou deux à deux d'évéments.

Questions de cours:

• La formule des probabilités totales avec un système complet d'événements
• Si A est un événement de probabilité non nulle, alors l'application P_A: B-> P_A(B)=P(B|A) est une probabilité.
• Ecriture du projeté orthogonal d'un vecteur x sur un sous-espace vectoriel F dont on connait une base orthonormée.
• Dans un espace préhilbertien réel, si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie alors F et son orthogonal sont supplémentaires.

Exercices faits en classe:

TD 10 exercices 1-2-3-6-7

TD 11: Etude de sommes doubles

TD 11 bis exercices 1-2-3-4-6

Très bonne année 2026 à toutes et tous

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