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Chapitre 9: Intégrales à paramètres

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.

Théorème de continuité, théorème de convergence dominée à paramètre continu, théorème de la classe C1, extension à la classe Ck et C∞, exemple avec la fonction Gamma d'Euler

Chapitre 10: Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Paragraphe 1: Produit scalaire et norme associée

Définition, caractérisation, inégalité de Cauchy-Schwarz, exemples de référence

Paragraphe 2: Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux, famille orthonormée, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, sous-espaces vectoriels orthogonaux, orthogonal d'un sous-espace vectoriel, d'une partie

Paragraphe 3: Bases orthonormées dans un espace euclidien

Existence d'une base orthonormée d'un espace euclidien, écriture du produit scalaire et des coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée.

Paragraphe 4: Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie

Si F est de dimension finie alors F et son orthogonal sont supplémentaires, projection orthogonale, écriture du projeté orthogonal d'un vecteur sur un sous-espace vectoriel dont on connait une base orthonormée, recherche pratique dans le cas général, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie, cas particulier d'un hyperplan donné par un vecteur normal

Paragraphe 5: Forme linéaire sur un espace euclidien

Ecriture d'une forme linéaire dans un espace euclidien avec le produit scalaire, vecteur normal à un hyperplan, équation d'un hyperplan dans une base orthonormée.

Questions de cours

• Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien réel E alors F et son orthogonal sont supplémentaires
• Si E est de dimension finie et F est un sous-espace vectoriel de E alors l'orthogonal de l'orthogonal de F est F.
• Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie et si x est un vecteur de E alors l'application y ∈F -> ||x-y|| admet un minimum atteint en l'unique point p_F(x) (projeté orthogonal de x sur F)
• Enoncé du théorème de la classe C1 pour une fonction définie par une intégrale à paramètre x-> ∫_If(x,t) dt.

Exercices faits en classe

TD 09 exercices 8-9-11

TD 10 exercices 1-2-3-6-7

TD 10 bis: Polynômes de Legendre

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Chapitre 09: Intégrales à paramètre (en entier)

Paragraphe 1: Suites et séries de fonctions intégrables

Théorème de convergence dominée pour une suite de fonctions, théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque. Exemples

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre

Théorème de continuité (avec hypothèse de domination complète ou sur tout segment), théorème de convergence dominée à paramètre continu, théorème de dérivation sous le signe ∫ (théorème de la classe C1), extension à la classe Ck et à l classe C∞, exemple avec la fonction Gamma d'Euler

Chapitre 10: Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Paragraphe 1: Produit scalaire et norme euclidienne associée

Définition d'un produit scalaire, caractérisation, exemples usuels sur R^n, M_n(R), C^0([a,b],R), inégalité de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne associée à un produit scalaire, réécriture de l'inégalité de Cauchy-Shwarz, relations entre produit scalaire et norme associée (identité du parallélogramme, identité de polarisation)

Paragraphe 2: Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormée, relation de Pythagore

Questions de cours

• Enoncé du théorème de dérivation sous le signe ∫
• Une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre
• Théorème de Pythagore pour une famille de n vecteurs avec n>2
• La fonction Gamma d'Euler est définie et continue sur ]0,+∞[

Exercices faits en classe:

TD n°09 exercices 1-3-5-6-8-9-11

TD n°10 exercices 1-2-3-6-7

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Chapitre 08: Suites et séries de fonctions

Détails dans le programme de la sqemaine précédente

Chapitre 09: Suites et séries de fonctions intégrables - Intégrales à paramètre

Paragraphe 1: Suites et séries de fonctions intégrables

Théorème de convergence dominée - Théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle

Questions de cours

• Enoncé du théorème d'intégration terme à terme
• Théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions (énoncé et preuve)
• Limite en + de la fonction zeta de Riemann
• Théorème de dérivation terme à terme de la somme d'une série de fonctions (énoncé et preuve)

TD n°08 exercices 1-2-3-5-6-8

TD n°09 exercices 1-3-5-6