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Document de 130 ko, dans Mathématiques/DM-DS 26/27

Chapitre n°06: Intégrales à paramètre

Paragraphe 1: Suite et série de fonctions intégrables sur un intervalle

Théorème de convergence dominée, exemples. Théorème d'intégration terme à terme d'une somme de série de fonctions sur un intervalle quelconque, exemples.

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre

Théorème de continuité sous le signe ∫, exemples avec hypothèse de domination sur tout le domaine ou sur tout segment inclus dans le domaine, Théorème de convergence dominée à paramètre continu pour la limite en une borne d'un intervalle, théorème de dérivation sous le signe ∫, exemples, extension à la classe C^k et C^∞, exemple avec la fonction Gamma d'Euler.

Questions de cours:

• Théorème de continuité sous le signe ∫
• Enoncé du théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle
• Théorème de convergence dominée à paramètre continu
• La fonction Gamma d'Euler est de classe C^1 sur ]0,+∞[

Exercices faits en classe:

TD n°06 exercices 1-3-4-6 + les exemples dans le cours

Lors de cette colle les résultats et techniques vues dans le chapitre 05 sur les intégrales généralisées devront être maitrisés.

D'ici là bonnes vacances à toutes et tous

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Chapitre n°05: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Fonctions continues par mocreaux

Définition de fonction continue sur un segment, sur un intervalle, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, propriétés de l'intégrale sur un segment

Paragraphe 2: Intégration sur un intervalle [a,+∞[

Définition, intégrales de référence (intégrales de Riemann et de x-> exp(-βx)), cas d'une fonction positive, comparaison pour deux fonctions telles que 0<=f<=g

Paragraphe 3: Intégrale sur un intervalle quelconque

Définition pour un intervalle ]a,b], [a,b[, ]a,b[. Calcul avec une primitive, intégrale de référence (celle de ln sur ]0,1], les intégrales de Riemann sur ]0,a]), propriétés de l'intégrale généralisée (linéarité, positivité, croissance), intégration par parties, changement de variables.

Paragraphe 4: Intégrabilité sur un intervalle

Définition d'intégrale absolument convergente, la convergence absolue d'une intégrale entraine sa convergence et on a l'inégalité triangulaire. Définition de fonction intégrable sur un intervalle, L^1(I,K) est un espace vectoriel, fonctions de référence qui sont intégrables en 0 ou en +∞, théorème de comparaison sur les fonctions intégrables (domination, négligeabilité, équivalence), exemples

Questions de cours:

• L^1(I,K) est un espace vectoriel.
• Inégalité triangulaire dans le cas d'une fonction réelle intégrable sur ]a,b].
• Condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité en +∞ de t-> exp(-a t)
• La fonction t-> sin(t)/t n'est pas intégrable sur [Pi,+∞[

Exercices faits en classe:

Tous les exemples du cours, notamment les dernières intégrales ajouter en fin de chapitre.

TD n°05 excercices 1-2-3-4-6-10

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Chapitre n°04: Séries de fonctions

Voir le détail dans le programme de la semaine dernière

Chapitre n°05: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Fonctions continues par morceaux

Définition de fonction continue sur un segment, sur un intervalle, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, propriétés de l'intégrale sur un segment

Paragraphe 2: Intégration sur un intervalle [a,+∞[

Définition, intégrales de référence (intégrales de Riemann et de x-> exp(-βx)), cas d'une fonction positive, comparaison 0

Paragraphe 3: Intégrale sur un intervalle quelconque

Définition pour un intervalle ]a,b], [a,b[, ]a,b[. Calcul avec une primitive, intégrale de référence (celle de ln sur ]0,1], les intégrales de Riemann sur ]0,a]), propriétés de l'intégrale généralisée (linéarité, positivité, croissance), intégration par parties, changement de variables.

Paragraphe 4: Intégrabilité sur un intervalle

Définition d'intégrale absolument convergente, la convergence absolue d'une intégrale entraine s&a convergence et on a l'inégalité triangulaire.

Questions de cours:

• Convergence des intégrales de Riemann sur [a,+∞[ et sur ]0,a] (énoncé), preuve pour l'intégrale sur ]0,a].
• Lien entre convergence normale sur un intervalle d'une série de fonctions et convergence uniforme sur cet intervalle (énoncé et preuve)
• Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a,+∞[ telles que 0<=f<=g. Lien entre la convergence de l'intégrale de g sur [a,+∞[ et la convergence de l'intégrale de f sur ce même intervalle.
• Théorème de continuité de la fonction somme d'une série de fonctions (énoncé et preuve)

Exercices faits en classe:

TD N°04 exercices 1-2-3-4-6

TD n°05 exercices 1-2-3-4

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