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Chapitre n°15: Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Paragraphe 1: isométries vectorielles d'un espace euclidien

Définition par conservation de la norme, caractérisation par conservation du produit scalaire, caractérisation par par action sur une base orthonormée, groupe orthogonal, sous-espace vectoriel stable par une isométrie.

Paragraphe 2: Matrices orthogonales

Définition par A^T.A=I_n, caractérisation par l'inverse, caractérisation par les vecteurs colonnes, par les vecteurs lignes, par les coefficients, par changement de bases orthonormées, caractérisation matricielle d'une isométrie d'un espace euclidien, déterminant d'une matrice orthogonale, groupe orthogonal d'ordre n et groupe spécial orthogonal, orientation d'un espace euclidien

Paragraphe 3: Endomorphismes autoadjoints

Définition, caractérisation matricielle, stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable, polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle, théorème spectral (pour les endomorphismes autoadjoint, pour les matrices symétriques réelles), orthogonalité des sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint, endomorphisme autoadjoint (ou matrice symétrique réelle) positif, défini-positif, caractérisation par les valeurs propres.

Paragraphe 4: Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3

Produit mixte, produit vectoriel en dimension 3, orientation d'un plan par un vecteur normal au plan, orientation d'une droite donnée par deux équations de plans

Paragraphe 5: Isométries vectorielles d'un plan euclidien

Matrices orthogonales d'ordre 2, isométries vectorielles en dimension 2: les rotations, les réflexions.

Paragraphe 6: isométries vectorielles en dimension 3

Spectre d'une isométrie vectorielle, cas des éléments du groupe spécial orthogonal d'ordre 3, rotation en dimension 3

Questions de cours:

• Un endomorphisme d'un espace euclidien est une isométrie SSI l'endomorphisme conserve le produit scalaire.
• Un endomorphisme autoadjoint est positif SSI ses valeurs propres sont positives.
• Si A est une matrice symétrique réelle alors ses valeurs propres sont réelles.
• Le groupe orthogonal d'ordre n est non vide, stable par produit, stable par passage à l'inverse.

Exercices faits en classe

TD n°15 exercices 1-2-3-5-6-7-8-10-11-12-14-15

Très bonnes vacances à toutes et tous.

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Semaine du concours blanc

Pas de colle.

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Chapitre 14: Variables aléatoires discrètes (en entier)

Paragraphes 1 à 5:

Voir le détail dans le programme de la semaine précédente

Paragraphe 5.4: Variance et écart-type

X est une variable aléatoire discrète à valeurs réelles. Si X² est d'espérance finie alors X est d'espérance finie. Si X² et Y² sont d'espérance finie alors XY est d'espérance finie. Inégalité de Cauchy-Schwarz: E²(XY)= E(X²)xE(Y²), définition de la variance V(X)=E((X-E(X))²) et de l'écart-type, formule de Koenig-Huygens, calcul de la variance pour une variable aléatoire suivant une loi usuelle, V(aX), V(aX+b)

Paragraphe 5.5: Covariance de deux variables aléatoires discrètes

Définition de cov(X,Y), cas particulier de deux variables aléatoires indépendantes, V(X)=cov(X,X), formule de la variance d'une somme de deux (puis de n) variables aléatoires, cas particulier de variables aléatoires indépendantes

Paragraphe 6: Inégalités probabilistes

Inégalité de Markov, inégalité de Bienanymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres

Paragraphe 7: Fonction génératrice

X est une variable aléatoire à valeurs dans N. Définition de la fonction génératrice G_X, continuité au moins sur [-1,1], classe C∞ au moins sur ]-1,1[, la fonction génératrice G_X caractérise la loi de X, cas particulier des lois usuelles, fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, application pour la somme de deux lois de Poisson, de deux binomiales de paramètres (n,p) et (m,p), lien entre la fonction génératrice et l'espérance et la variance.

Questions de cours

• Si X² est d'espérance finie alors X est d'espérance finie
• Si X et Y admettent un moment d'ordre 2 alors XY est d'espérance finie
• Propriété sur V(aX) et V(aX+b) avec a et b réels et X² d'espérance finie
• Si X et Y sont indépendantes à valeurs dans N alors la fonction génératrice de X+Y est le produit de la fonction génératrice de X et de la fonction génératrice de Y

Exercices faits en classe:

TD n°14 bis: tous les exercices de la feuille

TD n°14 exercices n° 1-2-3-4-5-6-7-9-12-13

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d-(^o^)-b

(Dates sous réserve de l'arrêté à paraitre)