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Chapitre n°07: Compléments sur les espaces vectoriels, endomorphismes, matrices

Paragraphe 1: Trace

Définition de la trace d'une matrice carrée, propriétés usuelles, définition de la trace d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 2: Polynôme d'endomorphisme ou de matrice carrée

Pour P polynôme, u endomorphisme, M matrice carrée, définition de l'endomorphisme P(u), de la matrice P(M). Cas particulier d'une matrice M diagonale. Propriétés usuelles: (P+Q)(u)=P(u)+Q(u), (a P)(u)=a P(u), (PQ)(u)=P(u) o Q(u)= Q(u) o P(u). Définition de polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice carrée. Exemples. Existence de polynôme annulateur pour une matrice carrée, pour un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Exemple d'un endomorphisme n'admettant pas de polynôme annulateur. Utilisation d'un polynôme annulateur pour trouver les puissances d'un endomorphisme, pour trouver l'inversibilité d'une matrice et son inverse.

Paragraphe 3: Interpolation de Lagrange

Déterminant de Vandermonde (définition de expression factorisée), définition des polynômes interpolateurs de Lagrange associés à n+1 scalaires distincts (comme image réciproque de la base canonique de K^(n+1) par un isomorphisme de K_n[X] dans K^(n+1)), base des polynômes d'interpolation de Lagrange, expression d'un polynôme dans cette base, cas particulier de la somme des polynômes d'interpolation, expression factorisée des polynômes d'interpolation de Lagrange.

Paragraphe 4: Produit cartésien d'espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels

Définition de E_1x...xE_p lorsque E_i est un K-espace vectoriel pour tout i, dimension de cet espace vectoriel quand chaque espace E_i est de dimension finie, définition de la somme de p sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel, définition de somme directe, caractérisation de somme directe de p sous-espaces vectoriels, cas particulier si p=2, lien entre dim(F_1+..+F_p) et dim(F_1)+..+dim(F_p) en général puis dans le cas de somme directe, décomposition d'un espace vectoriel E en somme directe de p sous-espaces vectoriels, projecteurs associés à une telle décomposition, exemples.

Paragraphe 5: Matrices par blocs

Ecriture d'une matrice par blocs, opérations sur les matrices par blocs (lorsque les blocs sont compatibles), cas d'une matrice carrée (triangulaire par blocs, diagonale par blocs), exemples, déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

Définition de sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, en dimension finie caractérisation avec la matrice de l'endomorphisme dans une base adaptée, endomorphisme induit par u sur un sous-espace vectoriel stable, si u et v sont deux endomorphismes qui comuttent alors Ker(u) et Im(u) sont stables par v.

Questions de cours:

• Existence d'un polynôme annulateur pour une matrice carrée d'ordre n
• Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
• Décomposition d'un polynôme P de K_n[X] dans la base (L_0,..,L_n) des polynômes d'interpolation de Lagrange associés à n+1 scalaires a_0,..,a_n distincts
• Si A et B sont deux matrices carrées d'oredre n alors tr(AB)=tr(BA), en déduire que si P est inversible alors tr(A)=tr(P.A.P^(-1)).

Exercices faits en classe

TD n°07 exercices 2-3-4-6-8-10-11

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Pas de colle cette semaine en raison du 11 novembre

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