D.M. n°02: Algèbre linéaire avec réduction (mise à jour)
Publication le 22/10 à 20h54 (publication initiale le 16/10 à 18h34)
Document de 135 ko, dans Mathématiques/DM-DS
Publication le 22/10 à 20h54 (publication initiale le 16/10 à 18h34)
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Publication le 17/10 à 17h35 (publication initiale le 16/10 à 18h34)
Document de 219 ko, dans Mathématiques/DM-DS
Publication le 16/10 à 11h00
Document de 178 ko, dans Mathématiques/DM-DS
Publication le 16/10 à 10h47
Chapitre 06: Réduction
Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme
Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre, exemples, lien entre valeur propre et polynôme annulateur, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. Cas de la dimension finie.
Paragraphe 2: Eléments propres d'une matrice carrée
Définitions de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, valeur propre et déterminant, valeur propre et polynôme annulateur, spectre réel ou complexe d'une matrice réelle.
Paragraphe 3: Polynôme caractéristique
Pour une matrice carrée, définition, degré, trois coefficients à connaitre, lien avec les valeurs propres, cas d'un polynôme caractéristique scindé lien entre la trace, le déterminant et les valeurs propres, cas particulier d'une matrice triangulaire ou diagonale, deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, une matrice et sa transposée ont les même valeurs propres.
Pour un endomorphisme en dimension finie, reprise des points précédents, lien entre les polynômes caractéristiques d'un endomorphisme et d'un de ses endomorphismes induits. Multiplicité d'une valeur propre, lien entre cette multiplicité et la dimension du sous-espace propre associé. Théorème de Cayley-Hamilton
Paragraphe 4: Caractérisations de la diagonalisation
Cas d'un endomorphisme en dimension finie: u endomorphisme de E est diagonalisable SSI E est égal à la somme directe des sous-espaces propres SSI dim(E) est égale à la somme des dimension des sous-espaces propres SSI le polynôme caractéristique est scindé et chaque sous-espace propre est de dimension égale à la multiplicité de la valeur propre associée SSI (X-a1)..(X-ap) est annulateur de u avec a1,..,ap toutes les valeurs propres distinctes de u SSI u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Quelques cas particuliers
Adaptation pour une matrice carrée. Quelques cas particulier. 2tude pratique de la diagonalisation d'une matrice carrée, exemples.
Questions de cours:
Exercices faits en classe:
TD 06 exercices 1-2-3-4-5-6-8
Publication le 09/10 à 10h27
Chapitre 05: Rappels et compléments d'algèbre linéaire (en entier)
Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme en dimension finie
Paragraphe 2: Déterminant d'une matrice carrée
Paragraphe 3: Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie
Paragraphe 4: Déterminant d'une famille de n vecteurs en dimension n
Paragraphe 5: Déterminant de Vandermonde
Paragraphe 6: Polynômes d'interpolation de Lagrange
Paragraphe 7: Polynôme d'endomorphisme ou de matrice carrée
Paragraphe 8: Espace produit et somme de sous-espaces vectoriels
Définition de E_1x...xE_p, dimension de E_1x...xE_p lorsque chaque espace est de dimension finie, somme et somme directe de deux sous-espaces vectoriels (tous les rappels de première année, somme de p sous-espaces vectoriels, somme directe de p sous-espaces vectoriels (définition et caractérisation), inégalité sur la dimension de la somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie, cas d'une somme directe, sous-espaces supplémentaires
Paragraphe 9: Matrices par blocs
Définition et opérations sur les matrices par blocs, transposée d'une matrice par blocs, matrice triangulaire par blocs, diagonale par blocs, déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, sous-espaces stables par un endomorphisme, lien avec les matrices par blocs.
Chapitre 06: Réduction
Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme
Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre, exemples, lien entre valeur propre et polynôme annulateur, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
Questions de cours:
Exercices faits en classe:
TD 05 exercices 1-2-3-4-5-7-9-10-11-12-13-16
TD 06 exercices 1 et 2
Publication le 09/10 à 10h12 (publication initiale le 09/10 à 10h08)
Document de 170 ko, dans Mathématiques/T.D.
Publication le 07/10 à 09h17
Document de 201 ko, dans Mathématiques/Cours
Publication le 02/10 à 10h40
Chapitre 04: Intégrales généralisées
Voir détails sur le programme précédent
Chapitre 05: Rappels et compléments d'algèbre linéaire
Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme
Définition de la trace d'une matrice, propriétés usuelles (produit, transposée, matrices semblables), trace d'un endomorphisme en dimension finie
Paragraphe 2: Déterminant d'une matrice carrée
Reprise des résultats de première année, développement par rapport à une ligne ou une colonne, déterminant d'une matrice triangulaire
Paragraphe 3: Déterminant d'un endomorphisme (en dimension finie)
Paragraphe 4: Déterminant d'une famille de vecteurs
Paragraphe 5: Déterminant de Vandermonde
Définition, expression sous forme factorisée
Paragraphe 6: Polynômes d'interpolation de Lagrange
Définition, la famille des polynômes d'interpolation de Lagrange associés à n+1 points distincts est une base de C_n[X], expression d'un polynôme dans cette base, cas particulier L_0+...+L_n=1, expression factorisée des polynômes d'interpolation de Lagrange
Paragraphe 7: Polynômes d'endomorphisme ou de matrice carrée
Définition de P(u), P(M), opérations usuelles, polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, exemples, utilisation pour la recherche des puissances d'une matrice ou de l'inverse d'une matrice.
Questions de cours:
Exercices faits en classe:
TD 04 exercices 1-2-4-6-7-9-10-11
TD 05 exercices 1-2-3-4-5-7
Publication le 01/10 à 18h53
Document de 210 ko, dans Mathématiques/DM-DS
Publication le 29/09 à 13h00
Document de 138 ko, dans Mathématiques/T.D.
Publication le 29/09 à 12h45 (publication initiale le 21/09 à 10h00)
Document de 125 ko, dans Mathématiques/DM-DS
Publication le 26/09 à 14h15 (publication initiale le 25/09 à 11h34)
Chapitre 3: Rappels et compléments d'intégration
Voir les détails sur le programme précédent.
Chapitre 4: Intégration sur un intervalle quelconque
Paragraphe 1: Intégrales généralisées
Définition de convergence de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a,b[, ou ]a,b] ou ]a,b[,exemples, cas d'une fonction positive, comparaison 0
Paragraphe 2: Intégration par parties sur une intégrale généralisée
Paragraphe 3: Changement de variable sur une intégrale généralisée
Paragraphe 4: Fonctions intégrables sur un intervalle
Définition, inégalité triangulaire, théorème de comparaisons sur les fonctions intégrables en une borne de l'intervalle, fonctions de référence
Paragraphe 5: Quelques résultats supplémentaires
Cas d'une fonction paire, d'une fonction impaire, d'une fonction ayant une limite en +∞, cas d'une fonction bornée sur un intervalle borné
Questions de cours:
Exercices faits en classe:
TD 03 exercices 1-2-4-6-8-11
TD 04 exercices 1-2-4-7-9- 6 (pas fini)
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