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Chapitre 9: Intégrales à paramètres

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre.

Théorème de continuité, théorème de convergence dominée à paramètre continu, théorème de la classe C1, extension à la classe Ck et C∞, exemple avec la fonction Gamma d'Euler

Chapitre 10: Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Paragraphe 1: Produit scalaire et norme associée

Définition, caractérisation, inégalité de Cauchy-Schwarz, exemples de référence

Paragraphe 2: Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux, famille orthonormée, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, sous-espaces vectoriels orthogonaux, orthogonal d'un sous-espace vectoriel, d'une partie

Paragraphe 3: Bases orthonormées dans un espace euclidien

Existence d'une base orthonormée d'un espace euclidien, écriture du produit scalaire et des coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée.

Paragraphe 4: Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie

Si F est de dimension finie alors F et son orthogonal sont supplémentaires, projection orthogonale, écriture du projeté orthogonal d'un vecteur sur un sous-espace vectoriel dont on connait une base orthonormée, recherche pratique dans le cas général, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie, cas particulier d'un hyperplan donné par un vecteur normal

Paragraphe 5: Forme linéaire sur un espace euclidien

Ecriture d'une forme linéaire dans un espace euclidien avec le produit scalaire, vecteur normal à un hyperplan, équation d'un hyperplan dans une base orthonormée.

Questions de cours

• Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien réel E alors F et son orthogonal sont supplémentaires
• Si E est de dimension finie et F est un sous-espace vectoriel de E alors l'orthogonal de l'orthogonal de F est F.
• Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie et si x est un vecteur de E alors l'application y ∈F -> ||x-y|| admet un minimum atteint en l'unique point p_F(x) (projeté orthogonal de x sur F)
• Enoncé du théorème de la classe C1 pour une fonction définie par une intégrale à paramètre x-> ∫_If(x,t) dt.

Exercices faits en classe

TD 09 exercices 8-9-11

TD 10 exercices 1-2-3-6-7

TD 10 bis: Polynômes de Legendre

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Chapitre 09: Intégrales à paramètre (en entier)

Paragraphe 1: Suites et séries de fonctions intégrables

Théorème de convergence dominée pour une suite de fonctions, théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque. Exemples

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre

Théorème de continuité (avec hypothèse de domination complète ou sur tout segment), théorème de convergence dominée à paramètre continu, théorème de dérivation sous le signe ∫ (théorème de la classe C1), extension à la classe Ck et à l classe C∞, exemple avec la fonction Gamma d'Euler

Chapitre 10: Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Paragraphe 1: Produit scalaire et norme euclidienne associée

Définition d'un produit scalaire, caractérisation, exemples usuels sur R^n, M_n(R), C^0([a,b],R), inégalité de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne associée à un produit scalaire, réécriture de l'inégalité de Cauchy-Shwarz, relations entre produit scalaire et norme associée (identité du parallélogramme, identité de polarisation)

Paragraphe 2: Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormée, relation de Pythagore

Questions de cours

• Enoncé du théorème de dérivation sous le signe ∫
• Une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre
• Théorème de Pythagore pour une famille de n vecteurs avec n>2
• La fonction Gamma d'Euler est définie et continue sur ]0,+∞[

Exercices faits en classe:

TD n°09 exercices 1-3-5-6-8-9-11

TD n°10 exercices 1-2-3-6-7

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Chapitre 08: Suites et séries de fonctions

Détails dans le programme de la sqemaine précédente

Chapitre 09: Suites et séries de fonctions intégrables - Intégrales à paramètre

Paragraphe 1: Suites et séries de fonctions intégrables

Théorème de convergence dominée - Théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle

Questions de cours

• Enoncé du théorème d'intégration terme à terme
• Théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions (énoncé et preuve)
• Limite en + de la fonction zeta de Riemann
• Théorème de dérivation terme à terme de la somme d'une série de fonctions (énoncé et preuve)

TD n°08 exercices 1-2-3-5-6-8

TD n°09 exercices 1-3-5-6

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Chapitre 07: Normes et suites dans un EVN

Paragraphe 3: Suites dans un espace vectoriel normé

Voir semaine précédente

Paragraphe 4: Comparaison de normes

Voir semaine précédente

Paragraphe 5: Cas particulier de la dimension finie

Voir semaine précédente

Chapitre 08: Suites et séries de fonctions

Paragraphe 1: Modes de convergence d'une suite de fonctions

Convergence simple d'une suite de fonctions sur un intervalle, convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle, la convergence uniforme entraine la convergence simple, convergence uniforme sur tout segment inclus dans un intervalle. Exemples.

Modes de convergence d'une série de fonctions

Convergence simple sur un intervalle d'une série de fonctions, convergence uniforme sur un intervalle d'une série de fonctions (en pratique cela revient à vérifier la convergence simple de la suite de fonctions des restes vers la fonction nulle), la convergence uniforme de ∑f_n sur I entraine la convergence uniforme sur I de (f_n) vers la fonction nulle, convergence normale sur un intervalle d'une série de fonctions, la convergence normale d'une série de fonctions sur un intervalle I entraine la convergence uniforme sur I de cette série de fonctions. Exemples.

Paragraphe 3: Régularité de la limite uniforme d'une suite de fonctions

Théorème de continuité par convergence uniforme, intégration sur un segment, dérivation de la limite uniforme d'une suite de fonctions de classe C1 sur un intervalle I, théorème de la classe Ck pour une suite de fonctions.

Paragraphe 4: Régularité de la somme d'une série de fonctions

Continuité de la fonction somme d'une série de fonctions qui converge uniformément sur I ou sur tout segment inclus dans I, intégration terme à terme sur un segment de la somme d'une série de fonctions sous convergence uniforme sur ce segment, théorème d'inversion limite et ∑ pour la recherche de la limite en une extrémité de l'intervalle sur lequel il y a convergence uniforme, théorème de la classe C1 (dérivation terme à terme) pour une somme de série de fonctions, théorème de la classe Ck, puis C∞. Exemple de la fonction zeta de Riemann.

Questions de cours:

• Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément sur un segment [a,b] vers une fonction f alors la suite (u_n) avec u_n= ∫_[a,b]f_n(t) dt converge vers ∫_[a,b]f(t) dt.
• Si la série de fonctions ∑f_n converge normalement sur un intervalle I alors la série converge uniformément sur cet intervalle I
• Si Deux normes d'un même espace vectoriel E sont équivalentes et si une suite de vecteurs de E converge vers un vecteur L pour l'une des normes alors elle converge vers ce même vecteur pour l'autre norme.
• Montrer que la fonction zeta de Riemann est définie sur ]1,+∞[ et déterminer sa limite en +∞

Exercices faits en classe

TD 07 exercices 1-3-4-6-7-8-9-10

TD n°08 exercices 1-2-3-5-6

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