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Chapitre 11: Séries entières

Paragraphe 1: Rayon de convergence

Voir détails sur le programme de la semaine du 3 février

Paragraphe 2: Régularité de la somme d'une série entière d'une variable réelle

Continuité sur ]-R,R[, calcul d'une primitive par intégration terme à terme, classe C∞ sur ]-R,R[ avec dérivation terme à terme, relation entre les coefficients et les dérivées de la fonction somme.

Paragraphe 3: Développement en série entière au voisinage de 0

Définition, si f est développable en série entière alors ce développement est unique et donné par la série de Taylor en 0, cas particulier d'une fonction paire, d'une fonction impaire, formule de Taylor avec reste intégral.

Paragraphe 4: Développement en série entière des fonctions usuelles

Tableau avec justification par intégration terme à terme, ou dérivation, ou solution d'un problème de Cauchy.

Paragraphe 5: Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans N

Définition au moins sur le segment [-1,1], calculs pour les lois usuelles, fonction génératrice d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes (exemple avec la loi de Poisson, la loi binomiale), lien entre la fonction génératrice et l'espérance, comment trouver la variance avec la fonction génératrice.

Chapitre 12: Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2

Paragraphes 1 et 2: Rappels de première année

Equations différentielles linéaires d'ordre 1, forme des solutions, variation de la constante pour la, recherche d'une solution particulière, équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants.

Paragraphe 3: Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2

Toute solution d'une équation y''+a(t)y'+b(t)y=c(t) avec a,b,c continues sur un intervalle I s'écrit comme somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée. Théorème de Cauchy linéaire, l'ensemble des solutions d'une équation homogène y''+a(t)y'+b(t)y=0 est un espace vectoriel de dimension 2.

Méthode d'abaissement d'ordre pour la résolution d'une équation différentielle y''+a(t)y'+b(t)y=c(t).

Paragraphe 4: Séries entières et équations différentielles

Recherche des solutions développables en série entière d'une équation différentielle du type a(t)y''+b(t)y'+c(t)y=d(t) avec a,b,c des fonctions polynômiales et d une fonction développable en série entière. Exemple

Questions de cours:

• La somme d'une série entière de rayon de convergence R>0 est indéfiniment dérivable sur ]-R,R[ et expression de sa dérivée nième.
• Développement en série entière de la fonction Arctangente sur ]-1,1[.
• Si X et Y sont deux variables aléatoires à valeurs dans N alors la fonction génératrice de X+Y est le produit des fonctions génératrices de X et de Y.
• L'ensemble des solutions d'une équation différentielle y''+a(t)y'+b(t)y=0 avec a et b continue sur un intervalle I est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de C^2(I,K) (on admet le théorème de cauchy linéaire).

Exercices faits en classe:

TD 11 exercices 1-2-4-5-6-9 - 11-12-13-14

TD 12 exercices 5-7-8-9

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Pas de colle en raison du concours blanc

Chapitre 10: Variables aléatoires discrètes

Voir programme de la semaine précédente, surtout le paragraphes 3.

Chapitre 11: Séries entières

Paragraphe 1: Rayon de convergence

Lemme d'Abel, définition du rayon de convergence comme borne supérieure, lien avec la nature de la série, théorème de comparaison sur les coefficients, critère de d'Alembert, cas particulier d'une série entière lacunaire, somme de deux séries entières, produit de Cauchy de deux séries entières.

Paragraphe 2: Régularité de la somme d'une série entière d'une variable réelle

Continuité sur ]-R,R[, calcul d'une primitive par intégration terme à terme, classe C∞ sur ]-R,R[ avec dérivation terme à terme, relation entre les coefficients et les dérivées de la fonction somme.

Questions de cours:

• Convergence normale sur tout segment inclus dans ]-R,R[ d'une série entière de rayon R>0, en déduire la continuité.
• Loi faible des grands nombres
• V(X+Y) lorsque X² et Y² sont d'espérance finie.
• Relation entre les rayons de convergence de deux séries entières telles que a_n=O(b_n).

Exercices faits en classe:

TD n°10 exercices 8-10-11-12-14-16-17-18-19-20 - 22-23-25-26-28-29-30

TD n°11 exercices 1-2-4-5-6-9 - 14

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