Derniers contenus

Document de 192 ko, dans Mathématiques/Cours

Chapitre 07: Normes et suites dans un EVN

Paragraphe 3: Suites dans un espace vectoriel normé

Voir semaine précédente

Paragraphe 4: Comparaison de normes

Voir semaine précédente

Paragraphe 5: Cas particulier de la dimension finie

Voir semaine précédente

Chapitre 08: Suites et séries de fonctions

Paragraphe 1: Modes de convergence d'une suite de fonctions

Convergence simple d'une suite de fonctions sur un intervalle, convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle, la convergence uniforme entraine la convergence simple, convergence uniforme sur tout segment inclus dans un intervalle. Exemples.

Modes de convergence d'une série de fonctions

Convergence simple sur un intervalle d'une série de fonctions, convergence uniforme sur un intervalle d'une série de fonctions (en pratique cela revient à vérifier la convergence simple de la suite de fonctions des restes vers la fonction nulle), la convergence uniforme de ∑f_n sur I entraine la convergence uniforme sur I de (f_n) vers la fonction nulle, convergence normale sur un intervalle d'une série de fonctions, la convergence normale d'une série de fonctions sur un intervalle I entraine la convergence uniforme sur I de cette série de fonctions. Exemples.

Paragraphe 3: Régularité de la limite uniforme d'une suite de fonctions

Théorème de continuité par convergence uniforme, intégration sur un segment, dérivation de la limite uniforme d'une suite de fonctions de classe C1 sur un intervalle I, théorème de la classe Ck pour une suite de fonctions.

Paragraphe 4: Régularité de la somme d'une série de fonctions

Continuité de la fonction somme d'une série de fonctions qui converge uniformément sur I ou sur tout segment inclus dans I, intégration terme à terme sur un segment de la somme d'une série de fonctions sous convergence uniforme sur ce segment, théorème d'inversion limite et ∑ pour la recherche de la limite en une extrémité de l'intervalle sur lequel il y a convergence uniforme, théorème de la classe C1 (dérivation terme à terme) pour une somme de série de fonctions, théorème de la classe Ck, puis C∞. Exemple de la fonction zeta de Riemann.

Questions de cours:

• Si (f_n) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément sur un segment [a,b] vers une fonction f alors la suite (u_n) avec u_n= ∫_[a,b]f_n(t) dt converge vers ∫_[a,b]f(t) dt.
• Si la série de fonctions ∑f_n converge normalement sur un intervalle I alors la série converge uniformément sur cet intervalle I
• Si Deux normes d'un même espace vectoriel E sont équivalentes et si une suite de vecteurs de E converge vers un vecteur L pour l'une des normes alors elle converge vers ce même vecteur pour l'autre norme.
• Montrer que la fonction zeta de Riemann est définie sur ]1,+∞[ et déterminer sa limite en +∞

Exercices faits en classe

TD 07 exercices 1-3-4-6-7-8-9-10

TD n°08 exercices 1-2-3-5-6-8

… c'est ici ou là.

Accès direct

Document de 150 ko, dans Mathématiques/T.D.

Document de 213 ko, dans Mathématiques/DM-DS

Chapitre 07: Normes et suites dans un espace vectoriel normé

Paragraphe 1: Norme et distance associée

Définition d'une norme sur un espacer vectoriel. Cas particulier d'une norme associée à un produit scalaire, inégalités triangulaire et triangulaire inversée, généralisation de l'inégalité triangulaire à la norme d'une combinaison linéaire de p vecteurs, distance associée à une norme.

Paragraphe 2: Exemples de normes usuelles

Les trois normes usuelles sur K^p, normes usuelles sur un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base, la norme infinie sur l'espace des fonctions bornées de I vers K.

Paragraphe 3: Suites d'éléments d'une espace vectoriel normé

Définition d'une suite de vecteurs, suite bornée, espace vectoriel des suites bornées que l'on peut munir de la norme uniforme, définition de la convergence d'une suite de vecteurs vers un vecteur dans un espace vectoriel normé, unicité de la limite, une suite convergente est bornée, exemple d'une suite de fonctions qui converge vers une fonction f pour une norme et pas pour une autre norme, opérations algébriques sur les suites convergentes, suite convergente et suites extraites.

Paragraphe 3: Comparaison de normes

Définition de deux normes équivalentes, invariance du caractère borné ou de la convergence d'une suite pour deux normes équivalentes, les inégalités entre les trois normes usuelles sur K^p

Paragraphe 4: Cas particulier de la dimension finie

On admet qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, convergence d'une suite de vecteurs à l'aide des suites coordonnées dans une base, exemple avec des suites de matrices.

Questions de cours:

• Définition des trois normes usuelles sur K^p, preuve pour la norme || ||∞
• Dans un espace vectoriel normé, une suite de vecteurs qui converge est bornée.
• Si N et N' sont deux normes équivalentes sur un espace vectoriel E alors une suite de vecteurs de E qui converge vers un vecteur L pour l'une des normes converge aussi vers L pour l'autre norme.
• Si (u_n) est une suite de vecteurs qui converge vers un vecteur u et si (a_n) est une suite de scalaire qui converge vers un scalaire a alors la suite de vecteurs (a_n u_n) converge vers le vecteur a.u

Exercices faits en classe:

TD 07 exercices 1-3-4-6-7-8-9-10

Document de 240 ko, dans Mathématiques/Cours

Chapitre 06: Réduction (en entier)

Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme

Voir semaine précédente

Paragraphe 2: Eléments propres d'une matrice carrée

Voir semaine précédente

Paragraphe 3: Polynôme caractéristique

Voir semaine précédente

Paragraphe 4: Caractérisation de la diagonalisation

Voir semaine précédente

Paragraphe 5: Deux exemples d'application de la diagonalisation

Calcul des puissances d'une matrice diagonalisable. Résolution d'un système différentiel linéaire à coefficients constants de la forme X'=AX+B avec A diagonalisable et B matrice colonne de fonctions continues.

Paragraphe 6: Trigonalisation

Définition d'nedomorphisme trigonalisable, de matrice carrée trigonalisable. Condition nécessaire et suffisante sur le polynôme caractéristique pour qu'un endomorphisme ou une matrice carrée soit trigonalisable. Exemples.

Chapitre 07: Normes sur un espace vectoriel et Suites dans un espace vectoriel normé

Paragraphe 1: Norme et distance associée

Définition d'une norme sur un espacer vectoriel. Cas particulier d'une norme associée à un produit scalaire, inégalités triangulaire et triangulaire inversée, généralisation de l'inégalité triangulaire à la norme d'une combinaison linéaire de p vecteurs, distance associée à une norme.

Paragraphe 2: Exemples de normes usuelles

Les trois normes usuelles sur K^p, normes usuelles sur un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base, la norme infinie sur l'espace des fonctions bornées de I vers K.

Questions de cours:

• Enoncé toutes les façons de dire qu'un endomorphisme est diagonalisable (la définition + les 5 caractérisations)
• Montrer que si a est une valeur propre d'un endomorphisme u alors la dimension du sous-espace propre associé à a est comprise entre 1 et la multiplicité de la valeur propre a.
• Donner les définitions des trois normes usuelles sur K^p, montrer que la norme indice 1 est vraiment une norme sur K^p
• Généralisation de l'inégalité triangulaire à une combinaison linéaire de p vecteurs d'un espace vectoriel normé.

Exercices faits en classe:

TD n°06 exercices 1-2-3-4-5-6-8-11-14-16 questions 1 à 5.

TD n°07 exercices 1-3-4

Document de 210 ko, dans Mathématiques/DM-DS

Document de 144 ko, dans Mathématiques/T.D.

Document de 176 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 152 ko, dans Mathématiques/DM-DS

Document de 166 ko, dans Mathématiques/T.D.