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Chapitre 05: Rappels et compléments d'algèbre linéaire (en entier)

Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 2: Déterminant d'une matrice carrée

Paragraphe 3: Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 4: Déterminant d'une famille de n vecteurs en dimension n

Paragraphe 5: Déterminant de Vandermonde

Paragraphe 6: Polynômes d'interpolation de Lagrange

Paragraphe 7: Polynôme d'endomorphisme ou de matrice carrée

Paragraphe 8: Espace produit et somme de sous-espaces vectoriels

Définition de E_1x...xE_p, dimension de E_1x...xE_p lorsque chaque espace est de dimension finie, somme et somme directe de deux sous-espaces vectoriels (tous les rappels de première année, somme de p sous-espaces vectoriels, somme directe de p sous-espaces vectoriels (définition et caractérisation), inégalité sur la dimension de la somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie, cas d'une somme directe, sous-espaces supplémentaires

Paragraphe 9: Matrices par blocs

Définition et opérations sur les matrices par blocs, transposée d'une matrice par blocs, matrice triangulaire par blocs, diagonale par blocs, déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, sous-espaces stables par un endomorphisme, lien avec les matrices par blocs.

Chapitre 06: Réduction

Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme

Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre, exemples, lien entre valeur propre et polynôme annulateur, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.

Questions de cours:

• Si a est une valeur propre d'un endomorphisme u et si P est un polynôme annulateur de u alors a est racine de P.
• En admettant l'inégalité de la dimension d'une somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie, montrer qu'il y a égalité si et seulement si la somme est directe.
• Formule du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
• Si u et v sont deux endsomorphismes qui commutent alors Ker(u) est stable par v.

Exercices faits en classe:

TD 05 exercices 1-2-3-4-5-7-9-10-11-12-13-16

TD 06 exercices 1 et 2

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Document de 201 ko, dans Mathématiques/Cours

Chapitre 04: Intégrales généralisées

Voir détails sur le programme précédent

Chapitre 05: Rappels et compléments d'algèbre linéaire

Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme

Définition de la trace d'une matrice, propriétés usuelles (produit, transposée, matrices semblables), trace d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 2: Déterminant d'une matrice carrée

Reprise des résultats de première année, développement par rapport à une ligne ou une colonne, déterminant d'une matrice triangulaire

Paragraphe 3: Déterminant d'un endomorphisme (en dimension finie)

Paragraphe 4: Déterminant d'une famille de vecteurs

Paragraphe 5: Déterminant de Vandermonde

Définition, expression sous forme factorisée

Paragraphe 6: Polynômes d'interpolation de Lagrange

Définition, la famille des polynômes d'interpolation de Lagrange associés à n+1 points distincts est une base de C_n[X], expression d'un polynôme dans cette base, cas particulier L_0+...+L_n=1, expression factorisée des polynômes d'interpolation de Lagrange

Paragraphe 7: Polynômes d'endomorphisme ou de matrice carrée

Définition de P(u), P(M), opérations usuelles, polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, exemples, utilisation pour la recherche des puissances d'une matrice ou de l'inverse d'une matrice.

Questions de cours:

• La fonction t-> exp(-at) est intégrable en +∞ SSI a>0 et t-> ln(t) est intégrable en 0
• Si f est continue sur [a,+∞[ avec une limite finie L>0 en +∞ alors l'intégrale de f sur [a,+∞[ diverge.
• Existence d'un polynôme annulateur pour une matrice carrée d'ordre n
• Pour a_0,..,a_n des complexes distincts, décomposition d'un polynôme P de C_n[X] dans la base d'interpolation de Lagrange (L_0,..,L_n)

Exercices faits en classe:

TD 04 exercices 1-2-4-6-7-9-10-11

TD 05 exercices 1-2-3-4-5-7

Document de 210 ko, dans Mathématiques/DM-DS

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Chapitre 3: Rappels et compléments d'intégration

Voir les détails sur le programme précédent.

Chapitre 4: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Intégrales généralisées

Définition de convergence de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a,b[, ou ]a,b] ou ]a,b[,exemples, cas d'une fonction positive, comparaison 0

Paragraphe 2: Intégration par parties sur une intégrale généralisée

Paragraphe 3: Changement de variable sur une intégrale généralisée

Paragraphe 4: Fonctions intégrables sur un intervalle

Définition, inégalité triangulaire, théorème de comparaisons sur les fonctions intégrables en une borne de l'intervalle, fonctions de référence

Paragraphe 5: Quelques résultats supplémentaires

Cas d'une fonction paire, d'une fonction impaire, d'une fonction ayant une limite en +∞, cas d'une fonction bornée sur un intervalle borné

Questions de cours:

• Si f est continue positive sur un intervalle I et si l'intégrale de f sur I est nulle alors f est nulle sur I
• Les conditions de convergence des intégrales de Riemann, démonstration pour l'intervalle ]0,1]
• Propriété d'intégration par partie sur un intervalle [a,b[.
• Si f est continue et paire alors l'intégrale de f sur ]-a,0] converge SSI l'intégrale de f sur [0,a[ converge.

Exercices faits en classe:

TD 03 exercices 1-2-4-6-8-11

TD 04 exercices 1-2-4-7-9- 6 (pas fini)

Document de 253 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 179 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 128 ko, dans Mathématiques/T.D.

Document de 128 ko, dans Mathématiques/T.D.

Document de 210 ko, dans Mathématiques/DM-DS

Chapitre 02: Rappels et compléments sur les séries numériques

Paragraphe 1: Généralités

Convergence, divergence, propriétés: séries télescopiques, condition nécessaire de convergence d'une série numérique, opérations sur les séries convergentes, séries géométriques

Paragraphe 2: Séries à termes positifs

Une série à termes positifs convergent SSI la suite des sommes partielles est majorée. Divergence de la série harmonique. Théorème de comparaison pour des séries à termes positifs (inégalité, domination, négligeabilité. Technique de comparaison série-intégrale, utilisation pour la nature d'une série, pour la recherche d'un équivalent d'une somme partielle, d'un reste équivalence)

Paragraphe 3: Séries à termes quelconques

Théorème spécial des séries alternées, exemple avec les séries de Riemann alternées. Convergence absolue d'une série, la convergence absolue entraine la convergence, théorème de comparaisons avec la convergence absolue, règle de d'Alembert, application à la série exponentielle

Paragraphe 4: Produit de Cauchy de deux séries

Définition de la série produit de Cauchy de deux séries numériques, convergence lorsque les deux séries convergent absolument, exemples

Paragraphe 5: Formule de Stirling

Chapitre 03: Rappels et compléments d'intégration sur un segment

Paragraphe 1: Fonction continue par morceaux

Sur un segment, sur un intervalle, l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur un intervalle I est un espace vectoriel stable par produit.

Paragraphe 2: Intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux

Paragraphe 3: Propriété usuelles

On conserve toutes les propriétés usuelles de l'intégrale sur un segment sauf la stricte positivité.

Paragraphe 4: Primitives et intégrale d'une fonction continue

Théorème fondamental de l'analyse, quelques applications

Paragraphe 5: Calculs pratiques

Intégration par parties sur un segment, changement de variable sur un segment, sommes de Riemann, Primitives de référence, Formules de Taylor (notamment avec reste intégral)

Paragraphe 6: Quelques règles pratiques d'intégration

Méthodes pour le calcul de certains types d'intégrales (voir le cours)

Questions de cours:

• Enoncé complet de la propriété sur le produit de Cauchy de deux séries, application à exp(z+z')=exp(z).exp(z')
• Si f est continue positive sur un segment [a,b] d'intégrale nulle alors f est nulle sur ce segment
• Si u_n=O(v_n) et la série ∑v_n converge absolument alors la série ∑u_n converge absolument.
• Si f est continue par morceaux sur [a,b] et positive alors son intégrale sur [a,b] est positive.

Exercices faits en classe:

TD n°02 exercices 1-3-4-6-7-9-11

TD n°03 exercices 1-2-4-6-8-11

Document de 244 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 155 ko, dans Mathématiques/DM-DS

Document de 138 ko, dans Mathématiques/T.D.

Chapitre 01: Rappels sur les polynômes

Paragraphe 1: Structure algébrique des polynômes

Paragraphe 2: Degré d'un polynôme

définition, coefficient dominant, propriété deg(P+Q), deg(PQ)

Paragraphe 3: Multiples et diviseurs d'un polynôme

Division euclidienne dans K[X]

Paragraphe 4: Dérivation d'un polynôme

Paragraphe 5: racines d'un polynôme

Définition, multiplicité d'une racine, lien avec les polynômes dérivés, factorisation si on connait des racines distinctes

Paragraphe 6: Décomposition en produit de facteurs irréductibles

Théorème de d'Alembret-Gauss, décomposition dans C[X], dans R[X]

Chapitre 02: Rappels et compléments sur les séries numériques

Paragraphe 1: Généralités

Convergence, divergence, propriétés: séries télescopiques, condition nécessaire de convergence d'une série numérique, opérations sur les séries convergentes, séries géométriques

Paragraphe 2: Séries à termes positifs

Une série à termes positifs convergent SSI la suite des sommes partielles est majorée. Divergence de la série harmonique. Théorème de comparaison pour des séries à termes positifs (inégalité, domination, négligeabilité. Technique de comparaison série-intégrale, utilisation pour la nature d'une série, pour la recherche d'un équivalent d'une somme partielle, d'un reste équivalence)

Paragraphe 3: Séries à termes quelconques

Théorème spécial des séries alternées, exemple avec les séries de Riemann alternées. Convergence absolue d'une série, la convergence absolue entraine la convergence, théorème de comparaisons avec la convergence absolue, règle de d'Alembert, application à la série exponentielle

Questions de cours:

• La convergence absolue d'une série à termes réels entraine sa convergence.
• Etude de la convergence de la série de terme général 1/nln^2(n) avec la technique de comparaison série-intégrale
• Enoncé complet de la règle de d'Alembert avec démonstration dans le cas où la limite de |u(n+1)|/|u(n)| est égale à +∞
• Enoncé complet du théorème spécial des séries alternées. Donner la méthode de la preuve sans la faire

Exercioces faits en classe:

TD n°01 exercices 1-2-4-5-7-10

TD n°02 exercices 1-3-4-7