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Chapitre 06: Compléments d'algèbre linéaire

Paragraphes 3, 4 et 5 (Voir détails sur le programme de la semaine précédente)

Chapitre 07: Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Paragraphe 1: Eléments propres

Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre d'un endomorphisme. Un vecteur propre est associé à une seule valeur propre. En dimension finie caractérisation de a est valeur propre de f avec Ker(f-aId) non réduit au vecteur nul, f-aId est inversible, det(f-aId)=0, exemples. Définitions pour une matrice carrée.

Polynôme caractéristique:

Définition pour un endomorphisme en dimension finie ou une matrice carrée, lien avec les valeurs propres, expression du polynôme caractéristique: il est unitaire de degré n, le coefficient de son monôme de degré n-1 est tr(f) et le coefficient constant est (-1)^n det(f) si E est de dimension n. lien entre tr(f), det(f) et les valeurs propres de f lorsque le polynôme caractéristique est scindé.

Propriétés des sous-espaces propres:

La somme de p sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. Ordre de multiplicité d'une valeur propre, lien entre cette multiplicité et la dimension du sous-espace propre associé.

Valeurs propres et polynômes annulateurs

Si a est une valeur propre de f et P est un polynôme annulateur de f alors P(a)=0.

Théorème de Cayley-Hamilton

Questions de cours

• Si a est une valeur propre d'un endomorphisme f et que P est un polynôme annulateur de f alors P(a)=0
• Si a est une valeur propre de f d'ordre de multiplicité p alors Ea le sous-espace propre de f associé à a vérifie: 1 <=dim(Ea)<=p
• Si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme f est scindé alors tr(f) est la somme de toutes les valeurs propres comptées avec leur ordre de multiplicité, le déterminant de f est le produit de toutes les valeurs propres de f comptées avec leur multiplicité
• En dimension finie, un sous-espace vectoriel F est stable par un endomorphisme f SSI la matrice de f dans une base adaptée à F est triangulaire par blocs.

Exercices faits en classe:

TD n°06 exercices

TD n°07 exercices 1-2-3-4-5-6-8

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Chapitre 06: Compléments d'algèbre linéaire

Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée

Définition de la trace d'une matrice, propriétés usuelles de l'application Trace, trace d'un endomorphisme.

Paragraphe 2: Polynôme d'endomorphisme ou de matrice carrée

Définitions, opérations P+Q,PQ,λP, définition de polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, existence d'un polynôme annulateur d'une matrice, existence d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme en dimension finie, exemple d'un endomorphisme n'admettant pas de polynôme annulateur, utilisation d'un polynôme annulateur pour l'inversibilité d'une matrice, pour le calcul de son inverse, pour le calcul des puissances de la matrice.

Paragraphe 3: Interpolation de Lagrange

Déterminant de Vandermonde (définition et formule), lien avec polynôme de degré inférieur ou égal à n prenant des valeurs fixées en n points distincts x1,..,xn.

Polynômes L0,..,Ln d'interpolation de Lagrange associés à n+1 points distincts x0,..,xn: définition comme image réciproque de la base canonique (e0,..,en) de R^(n+1) par un endomorphisme phi. (L0,..,Ln) est une base de R_n[X], écriture d'un polynôme P dans cette base, somme des polynômes d'interpolation de Lagrange, expression explicite des polynômes Lk.

Paragraphe 4: Produit cartésien d'espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels

Définition du produit cartésien E1x..xEn, base de cet espace vectoriel lorsque les Ei sont de dimension finie, somme de p sous-espaces vectoriels, somme directe de p sous-espaces vectoriels, caractérisation de somme directe, inégalité sur la dimension de la somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie avec égalité SSI la somme est directe, sous-espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie, base adaptée à la décomposition d'un espace en somme directe de sous-espaces vectoriels.

Paragraphe 5: Matrices par blocs, sous-espaces stables par un endomorphisme

Décomposition d'une matrice en matrice par blocs, opérations sur les matrices par blocs, matrice triangulaire par blocs, diagonale par blocs, déterminant d'une matrice triangulaire par blocs (avec 2 blocs diagonaux), extension à triangulaire avec n blocs diagonaux.

Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, lien entre sous-espace stable par un endomorphisme et sa matrice écrite par blocs dans une base adaptée.

Questions de cours:

• Toute matrice carrée d'ordre n admet au moins un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à n²
• Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs avec deux blocs diagonaux.
• Expression explicite des polynômes d'interpolation de Lagrange L0,..,Ln associés à n+1 scalaires distincts x0,..,xn.
• Soit F1,..,Fp sont p sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel E, lien entre dim(F1+..+Fp) et dim(F1)+..+dim(Fp).

Exercices faits en classe:

TD n°06 exercices 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-13-16-17-18

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Frais d’inscription 2024

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Chapitre 05: Intégrales à paramètre

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie comme intégrale à paramètre

Théorème de continuité, réduction à l'hypothèse de domination sur tout segment, théorème de convergence dominée à paramètre continu, théorème de dérivation sous la signe ∫ , réduction à l'hypothèse de domination suir tout segment, extension à la classe Ck et à la classe C∞, différents exemples et fonction Gamma d'Euler

Chapitre 06: Compléments d'algèbre linéaire

Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée, d'un endomorphisme

Définition de la trace d'une matrice, propriétés usuelles de l'application Trace, trace d'un endomorphisme.

Paragraphe 2: Polynômes d'endomorphisme ou de matrice carrée

Définitions, opérations P+Q,PQ,λP, définition de polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, existence d'un polynôme annulateur d'une matrice, existence d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme en dimension finie, exemple d'un endomorphisme n'admettant pas de polynôme annulateur, utilisation d'un polynôme annulateur pour l'inversibilité d'une matrice, pour le calcul de son inverse, pour le calcul des puissances de la matrice.

Questions de cours:

• Existence d'un polynôme annulateur pour une matrice carrée d'ordre n
• Si A et B sont deux matrices carrées alors tr(AB)tr(BA)
• Théorème de continuité à paramètre continu: énoncé et preuve.
• Domaine de définition de la fonction Gamma d'Euler

Exercices faits en classe:

TD N°05 exercices 1-2-4-5-6-7-8

TD n°06 exercices 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11

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