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Chapitre 14: Variables aléatoires discrètes (en entier)

Paragraphes 1 à 5:

Voir le détail dans le programme de la semaine précédente

Paragraphe 5.4: Variance et écart-type

X est une variable aléatoire discrète à valeurs réelles. Si X² est d'espérance finie alors X est d'espérance finie. Si X² et Y² sont d'espérance finie alors XY est d'espérance finie. Inégalité de Cauchy-Schwarz: E²(XY)= E(X²)xE(Y²), définition de la variance V(X)=E((X-E(X))²) et de l'écart-type, formule de Koenig-Huygens, calcul de la variance pour une variable aléatoire suivant une loi usuelle, V(aX), V(aX+b)

Paragraphe 5.5: Covariance de deux variables aléatoires discrètes

Définition de cov(X,Y), cas particulier de deux variables aléatoires indépendantes, V(X)=cov(X,X), formule de la variance d'une somme de deux (puis de n) variables aléatoires, cas particulier de variables aléatoires indépendantes

Paragraphe 6: Inégalités probabilistes

Inégalité de Markov, inégalité de Bienanymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres

Paragraphe 7: Fonction génératrice

X est une variable aléatoire à valeurs dans N. Définition de la fonction génératrice G_X, continuité au moins sur [-1,1], classe C∞ au moins sur ]-1,1[, la fonction génératrice G_X caractérise la loi de X, cas particulier des lois usuelles, fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, application pour la somme de deux lois de Poisson, de deux binomiales de paramètres (n,p) et (m,p), lien entre la fonction génératrice et l'espérance et la variance.

Questions de cours

• Si X² est d'espérance finie alors X est d'espérance finie
• Si X et Y admettent un moment d'ordre 2 alors XY est d'espérance finie
• Propriété sur V(aX) et V(aX+b) avec a et b réels et X² d'espérance finie
• Si X et Y sont indépendantes à valeurs dans N alors la fonction génératrice de X+Y est le produit de la fonction génératrice de X et de la fonction génératrice de Y

Exercices faits en classe:

TD n°14 bis: tous les exercices de la feuille

TD n°14 exercices n° 1-2-3-4-5-6-7-9-12-13

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d-(^o^)-b

(Dates sous réserve de l'arrêté à paraitre)

Chapitre 14: Variables aléatoires discrètes

Paragraphe 1: Généralité sur les variables aléatoires discrètes

Définition, notations des événements (X=x) ou (X∈ A), exemples, une fonction de VAD est une VAD, un couple de VAD est une VAD, opérations algébriques sur les variables aléatoires, n-uplet de VAD

Paragraphe 2: Loi d'une variable aléatoire discrète

Définition de P_X, P_X est une probabilité sur l'ensemble des parties de X(Ω), la loi d'une VAD X est donnée par X(Ω) et P(X=x) pour x∈X(Ω), loi conditionnelle de X sachant un événement A

Paragraphe 3: Lois discrètes usuelles

Loi uniforme sur un ensemble fini, loi de Bernoulli, loi binomiale de paramètre (n,p), loi géométrique de paramètre p, loi de Poisson de paramètre λ>0, avec les modèles pour les quatre premières lois

Paragraphe 3: Couple de variables aléatoires

Loi conjointe de (X,Y), lois marginales de X et de Y (données par la formule des probabilités totales), loi conditionnelle de Y sachant (X=x), extension à un n-uplet, indépendance de deux variables aléatoires, indépendance mutuelle de n variables aléatoires discrètes, Si X et Y sont indépendantes alors f(X) et g(Y) le sont aussi, lemme des coalitions

Paragraphe 5: Espérance

Définition de l'espérance pour une VAD à valeurs dans [0,+∞], définition de X est d'espérance finie pour une VAD à valeurs complexes, cas d'une VAD à valeurs dans N∪{+∞} avec la formule d'anti-répartition, positivité de l'espérance, théorème du transfert, utilisation pour la linéarité de l'espérance, si |X|<=Y et Y d'espérance finie alors X est d'espérance finie, croissance de l'espérance, si X et Y sont d'espérance finie et indépendantes alors XY est d'espérance finie et E(XY)=E(X)E(Y).

Questions de cours:

• Si X suit une loi géométrique de paramètre p alors P(X>k)=(1-p)^k
• Si X et Y sont indépendantes alors f(X) et g(Y) sont indépendantes
• Soit X une V.A.D. à valeurs complexes, si X est d'espérance finie alors pour tout (a,b) dans C² aX+b est d'espérance finie avec E(aX+b)=aE(X)+b
• Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes d'espérance finie alors XY est d'espérance finie avec E(XY)=E(X)E(Y)

Exercices faits en classe:

TD n°14 exercices 1-2-3-4-5-6-7-9-12

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Chapitre n°12: Séries entières

A partir du paragraphe 2. Voir le détail sur le programme de la semaine précédente

Chapitre n°13: Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2

Forme des solutions d'une équation du type y''+a(t)y'+b(t)y=c(t) avec a,b,c continue sur un intervalle I à valeurs dans C.

Théorème de Cauchy linéaire, l'ensemble des solutions sur un intervalle I d'une équation du type y''+a(t)y'+b(t)y=0, avec a et b continues, est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel des fonctions de classe C2 sur I.

Exemples de résolution: abaissement d'ordre, raccord des solutions, changement de variable, solutions développable en série entière.

Questions de cours:

• Donner le développement en série entière de ln(1+x), puis démontrer la formule.
• Si f est la somme d'une série entière ∑a_n x^n de rayon de convergence R>0, alors a_n=f^(n)(0)/n!
• L'ensemble des solutions sur un intervalle I d'une équation différentielle du type y''+a(t) y'+b(t)y=0 avec a et b continues sur I est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel des fonctions de classe C2 sur I.
• Toute solution d'une équation différentielle du type y''+a(t)y'+b(t)y=c(t) avec a,b,c continues sur I s'écrit comme somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation différentielle homogène associée.

Exercices faits en classe:

TD n°12 exercices 1-2-3-6-8-9-10-11-12

TD n°13 exercices 1-2-3-4-5

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Chapitre 12: Séries entières (en entier)

Paragraphe 1: Rayon de convergence d'une série entière

Lemme d'Abel ,définition du rayon de convergence comme borne supérieure de l'intervalle des r positifs tels que la suite (a_n r^n) soit bornée. Exemples. Lien entre rayon de convergence et convergence de la série entière, étude pratique du rayon de convergence: théorème de comparaison, critère de d'Alembert, cas particulier des séries lacunaires, opérations sur les séries entières (multiplication par un scalaire, somme et produit de Cauchy)

Paragraphe 2: Régularité de la somme d'une série entière d'une variable réelle

∑a_n x^n converge normalement sur tout segment inclus dans ]-R,R[ où R est le rayon de convergence. La somme d'une série entière de rayon de convergence R>0 est continue sur ]-R,R[, primitive qui s'annule en 0 d'une somme de série entière, la somme d'une série entière est de classe C1 avec sa dérivée qui s'obtient par dérivation terme à terme, est indéfiniment dérivable sur ]-R,R[ et ses dérivées successives s'obtiennent par dérivation terme à terme, expression du coefficient a_n en fonction de la dérivée n-ième en 0 de la fonction somme

Paragraphe 3: Développement en série entière au voisinage de 0

Définition d'une fonction développable en série entière sur ]-r,r[ avec r>0, au voisinage de 0, unicité d'un tel développement en série entière, si f est développable en série entière alors son développement est sa série de Taylor en 0. Formule de Taylor avec reste intégral.

Paragraphe 4: Séries entières et équations différentielles linéaires

Exemples de recherche de fonctions développables en série entière vérifiant un problème de Cauchy d'ordre 1, une équation différentielle d'ordre deux du type a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x) avec a,b,c polynômes et d développable en série entière

Paragraphe 5: Développement en série entière des fonctions usuelles

Tableau des développements à connaitre par coeur.

Questions de cours:

• Développement en série entière de la fonction arctangente sur ]-1,1[: la formule et la preuve.
• Une série entière de rayon de convergence R>0 converge normalement sur tout segment inclus dans ]-R,R[.
• Développement en série entière de (1+x)^a avec a réel non entier naturel en passant par le problème de Cauchy: (1+x) y'+ ay=0 et y(0)=1.
• Soit ∑a_n x^n et ∑b_n x^n deux séries entières de rayon de convergence respectifs R_a et R_b, on note R le rayon de convergence de la série entière produit de Cauchy des deux séries entières précédentes. Montrer que R>= min(R_a,R_b).

Exercices faits en classe:

TD n°12 exercices 1-2-3-6-8-9-10-11-12

Document de 147 ko, dans Mathématiques/T.D.

Document de 125 ko, dans Mathématiques/Cours

Document de 39 ko, dans Général

Document de 43 ko, dans Général

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Chapitre 11: Espaces probabilisés

Voir détails sur le programme de la semaine précédente

Chapitre 12: Séries entières

Paragraphe 1: Rayon de convergence d'une série entière

Lemme d'Abel ,définition du rayon de convergence comme borne supérieure de l'intervalle des r positifs tels que la suite (a_n r^n) soit bornée. Exemples.

Lien entre rayon de convergence et convergence de la série entière, étude pratique du rayon de convergence: théorème de comparaison, critère de d'Alembert, cas particulier des séries lacunaires, opérations sur les séries entières (multiplication par un scalaire, somme et produit de Cauchy)

Questions de cours:

• Lemme d'Abel
• Soit R le rayon de convergence d'une série entière, si | z|< R alors la série a_n z^n converge absolument
• Rayon de convergence de la somme de deux séries entières de rayons respectifs R_a et R_b distincts.
• Propriété de sous-additivité d'une probabilité

Exercices faits en classe:

TD n°11 bis exercices 1-2-3-4-6-7-8

TD n°12 exercices 1-2-3-4