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Chapitre 14: Fonctions à valeurs vectorielles

Voir le détail sur le programme précédent.

Chapitre 15: Fonctions de plusieurs variables

Paragraphe 1: Continuité

Définition, applications partielles, si f est continue en a alors les applications partielles en a sont continue mais la réciproque est fausse. utilisation d'un chemin bien choisi pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point. Exemples

Paragraphe 2: Fonctions de classe C1

Définition de la dérivée de f en un point selon un vecteur, dérivée partielles d'ordre 1 en un point, fonction de classe C1, existence d'un DL1 en un point pour une fonction de classe C1, gradient de f en un point, différentielle de f en un point (c'est juste une définition), opérations algébriques sur les fonctions de classe C1

Paragraphe 3: Règle de la chaine et applications

Règle de la chaine, application au changement de coordonnées, exemple avec le passage en polaire, exemple d'application à la résolution d'une équation aux dérivées partielles.

Questions de cours:

Aucune démonstration. Seulement les énoncés des propriétés.

• Règle de la chaine
• Dérivées partielles de g:(r,theta)->f(rcos(theta),rsin(theta) en fonction des dérivées partielles de f:(x,y)->f(x,y)
• Développement limité à l'ordre 1 en un point a d'une fonction f de plusieurs variables de classe C1
• Formule de Leibniz pour la dérivée k-ième de B(f,g) avec B bilinéaire et f et g à valeurs vectorielles.
• Dérivées partielles de af+bg et de fg avec f et g fonctions de plusieurs variables de classe C1

Exercices faits en classe:

TD 14 exercices 1-3-4-5

TD 15 exercices 1-2-3-5-6-7-8

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Chapitre 13: Espaces vectoriels normés

Paragraphe 1: Norme et distance associée

Définition, exemples des trois normes usuelles sur K^n, norme associée à un produit scalaire (notamment sur les fonctions continues sur un segment, norme de la convergence uniforme sur l'ensemble des fonctions bornées. Boule ouverte, boule fermée, sphère. Partie convexe, partie bornée, suite bornée, fonction bornée, exemples.

Paragraphe 2: Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé

Définition de la convergence d'une suite de vecteurs pour une norme fixée, unicité de la limite, exemples, opérations sur les limites. Comparaison de normes: définition de normes équivalentes, cas des trois normes usuelles sur K^n, on admet qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

Paragraphe 3: Topologie d'un espace vectoriel normé

Point intérieur à une partie, partie ouverte, intersection er union d'ouverts, partie fermée (le complémentaire est un ouvert), intersection et union de fermés, caractérisation séquentielle de partie fermée, exemples, point adhérent à une partie, adhérence d'une partie, caractérisation séquentielle, partie dense, exemples

Paragraphe 4: Fonctions d'un EVN dans un EVN

Limite en un point adhérent, unicité de la limite, caractérisation séquentielle de limite, opérations algébriques, continuité en un point, continuité sur une partie, image réciproque d'un ouvert par une application continue, image réciproque d'un fermé par une application continue, application lipschitzienne.

Paragraphe 5: Cas particulier de la dimension finie

Caractérisation de la limite d'une suite ou d'une fonction par la limite des coordonnées dans une base, théorème des bornes atteintes, applications linéaires et multilinéaire en dimension finie, applications polynômiales, exemples.

Chapitre 14: Fonctions à valeurs vectorielles

Paragraphe 1: Dérivabilité et opérations sur les fonctions dérivables

Définition de la dérivabilité en un point de f:I⊂R-> R^p, lien avec les applications coordonnées, DL1(a), linéarité de la dérivation, composition, action d'une application linéaire, d'une application bilinéaire, extension aux applications multilinéaires

Paragraphe 2: Fonctions de classe Ck

Définition, opérations sur les fonctions de classe Ck, action d'une application linéaire, formule de Leibniz, exemples.

Questions de cours:

• Si f:I⊂ R-> R^p est dérivable an a et L:R^p-> R^q est linéaire alors Lof est dérivable en a avec (Lof)'(a)=L(f'(a)).
• Une intersection finie de parties ouvertes d'un espace vectoriel normé E est une partie ouverte de E.
• En dimension finie toute application linéaire est continue.
• Soit f:E-> F une application continue, si U est un ouvert de F alors son image réciproque par f est un ouvert de E.

Exercices faits en classe:

TD 13 exercices 1-4-5-6-7-8-11-13-15-17

TD 14 exercices 1-3-4-5

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Chapitre 12: Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2

Voir détails sur le programme de la semaine précédente.

Chapitre 13: Espaces vectoriels normés

Paragraphe 1: Norme et distance associée

Définition, exemples des trois normes usuelles sur K^n, norme associée à un produit scalaire (notamment sur les fonctions continues sur un segment, norme de la convergence uniforme sur l'ensemble des fonctions bornées. Boule ouverte, boule fermée, sphère. Partie convexe, partie bornée, suite bornée, fonction bornée, exemples.

Paragraphe 2: Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé

Définition de la convergence d'une suite de vecteurs pour une norme fixée, unicité de la limite, exemples, opérations sur les limites. Comparaison de normes: définition de normes équivalentes, cas des trois normes usuelles sur K^n, on admet qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

Questions de cours:

• Si N est une norme sur E alors pour x et y dans E, |N(x)-N(y)|<= N(x-y)<=N(x)+N(y)
• Une boule ouverte B(a,r) avec r>0 est une partie convexe.
• Les inégalités d'équivalences entre les trois normes usuelles de K^n, démonstration pour deux d'entre elles.
• L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène du type y''+a(t)y'+b(t)y=0 avec a et b continues sur un intervalle I est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de classe C² sur I.

Exercices faits en classe:

TD 12 exercices 5-7-8-9

TD 13 exercices 1-4-5-6-7-8-11-13

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