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Dernière semaine de colle

Chapitre 16: Compléments sur les espaces vectoriels normés

Paragraphe 1: Un peu de topologie

Boules ouvertes, fermées, partie convexe, bornée, ouvert, fermé, adhérence, définition d'une partie dense.

Paragraphe 2: Limite et continuité d'une fonction d'un EVN dans un EVN

Limite en un point adhérent à une partie A sur lequel la fonction est définie, unicité de la limite, opérations algébriques sur les limites, caractérisation séquentielle, continuité en un point, sur une partie. L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert, l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé, application lipschitzienne.

Paragraphe 3: Espaces vectoriels de dimension finie

Si f:E-F est linéaire avec E de dimension finie alors f est continue (car lipschitzienne). En dimension finie toute application multilinéaire est continue. Exemples. Définition d'une fonction polynômiale, continuité des fonctions polynômiales. Caractérisation de la continuité d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie par la continuité des applications coordonnées dans une base. Théorème des bornes atteintes.

Paragraphe 4: Continuité des fonctions de plusieurs variables

Cas particulier des fonctions définies sur une partie A de R^n et à valeurs dans R. Définition des applications partielles en un point. Si f est continue en un point alors les applications partielles le sont, la réciproque est fausse. Méthode pour montrer qu'une fonction de plusieurs variables n'est pas continue par utilisation d'un ''bon'' chemin.

Chapitre n°17: Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles

On se place ici dans le cas d'une fonction d'une variable réelle à valeurs dans R^n (ou par extension à valeurs dans un espace vectoriel E de dimension finie)

Paragraphe 1: Rappels sur les limites et la continuité d'une fonction

Passage par les coordonnées

Paragraphe 2: Dérivabilité et opérations sur les fonctions dérivables

Définition de la dérivée en un point, équivalence avec le développement limité à l'ordre 1 en ce point, opérations algébriques, dérivation de Lof avec L linéaire, dérivation de B(f,g) avec B bilinéaire, exemples.

Questions de cours:

• Si f:I-> R^n est dérivable et si L:R^n->R^p est linéaire alors Lof est dérivable et (Lof)'=Lof'
• Si f:E-R est lipschitzienne alors f est continue sur E.
• Si f:E-> F est linéaire et si E est de dimension finie, alors f est lipschitzienne et donc continue.
• Dns un espace vectoriel normé, une boule ouverte est une partie convexe.

Exercices faits en classe:

TD n°16 exercices 1-2-3-4-5-6-8-9-10-13

TD n°17 exercices 2-3-4

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Chapitre 15: Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Voir détails sur le programme de la semaine précédente

Chapitre 16: Compléments sur les espaces vectoriels normés

Paragraphe 1: Un peu de topologie

Boules ouvertes, fermées, partie convexe, bornée, ouvert, fermé, adhérence, définition d'une partie dense.

Paragraphe 2: Fonctions d'un EVN dans un EVN

Limite en un point adhérent à une partie A sur lequel la fonction est définie, unicité de la limite, opérations algébriques sur les limites, caractérisation séquentielle, continuité en un point, sur une partie. L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert, l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé, application lipschitzienne.

Questions de cours:

• Une intersection finie d'ouverts d'un espace vectoriel normé E est un ouvert de E
• Si F est un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien stable par un endomorphisme autoadjoint u alors l'orthogonal de F est stable par u
• Deux sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont orthogonaux.
• Si une application f: E-> F est continue, alors l'image réciproque par f d'une partie fermée de F est une partie fermée de E.

Exercices faits en classe

TD n°15 exercices 1-2-3-5-6-7-8-10-11-12-14-15-16-17

TD n°16 exercices 1-2-3-4

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