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Chapitre n°06: Intégrales à paramètre

Paragraphe 1: Suite et série de fonctions intégrables sur un intervalle

Théorème de convergence dominée, exemples. Théorème d'intégration terme à terme d'une somme de série de fonctions sur un intervalle quelconque, exemples.

Paragraphe 2: Régularité d'une fonction définie par une intégrale à paramètre

Théorème de continuité sous le signe ∫, exemples avec hypothèse de domination sur tout le domaine ou sur tout segment inclus dans le domaine, Théorème de convergence dominée à paramètre continu pour la limite en une borne d'un intervalle, théorème de dérivation sous le signe ∫, exemples, extension à la classe C^k et C^∞, exemple avec la fonction Gamma d'Euler.

Questions de cours:

• Théorème de continuité sous le signe ∫
• Enoncé du théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle
• Théorème de convergence dominée à paramètre continu
• La fonction Gamma d'Euler est de classe C^1 sur ]0,+∞[

Exercices faits en classe:

TD n°06 exercices 1-3-4-6 + les exemples dans le cours

Lors de cette colle les résultats et techniques vues dans le chapitre 05 sur les intégrales généralisées devront être maitrisés.

D'ici là bonnes vacances à toutes et tous

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Chapitre n°05: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Fonctions continues par mocreaux

Définition de fonction continue sur un segment, sur un intervalle, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, propriétés de l'intégrale sur un segment

Paragraphe 2: Intégration sur un intervalle [a,+∞[

Définition, intégrales de référence (intégrales de Riemann et de x-> exp(-βx)), cas d'une fonction positive, comparaison pour deux fonctions telles que 0<=f<=g

Paragraphe 3: Intégrale sur un intervalle quelconque

Définition pour un intervalle ]a,b], [a,b[, ]a,b[. Calcul avec une primitive, intégrale de référence (celle de ln sur ]0,1], les intégrales de Riemann sur ]0,a]), propriétés de l'intégrale généralisée (linéarité, positivité, croissance), intégration par parties, changement de variables.

Paragraphe 4: Intégrabilité sur un intervalle

Définition d'intégrale absolument convergente, la convergence absolue d'une intégrale entraine sa convergence et on a l'inégalité triangulaire. Définition de fonction intégrable sur un intervalle, L^1(I,K) est un espace vectoriel, fonctions de référence qui sont intégrables en 0 ou en +∞, théorème de comparaison sur les fonctions intégrables (domination, négligeabilité, équivalence), exemples

Questions de cours:

• L^1(I,K) est un espace vectoriel.
• Inégalité triangulaire dans le cas d'une fonction réelle intégrable sur ]a,b].
• Condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité en +∞ de t-> exp(-a t)
• La fonction t-> sin(t)/t n'est pas intégrable sur [Pi,+∞[

Exercices faits en classe:

Tous les exemples du cours, notamment les dernières intégrales ajouter en fin de chapitre.

TD n°05 excercices 1-2-3-4-6-10

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Chapitre n°04: Séries de fonctions

Voir le détail dans le programme de la semaine dernière

Chapitre n°05: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Fonctions continues par morceaux

Définition de fonction continue sur un segment, sur un intervalle, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, propriétés de l'intégrale sur un segment

Paragraphe 2: Intégration sur un intervalle [a,+∞[

Définition, intégrales de référence (intégrales de Riemann et de x-> exp(-βx)), cas d'une fonction positive, comparaison 0

Paragraphe 3: Intégrale sur un intervalle quelconque

Définition pour un intervalle ]a,b], [a,b[, ]a,b[. Calcul avec une primitive, intégrale de référence (celle de ln sur ]0,1], les intégrales de Riemann sur ]0,a]), propriétés de l'intégrale généralisée (linéarité, positivité, croissance), intégration par parties, changement de variables.

Paragraphe 4: Intégrabilité sur un intervalle

Définition d'intégrale absolument convergente, la convergence absolue d'une intégrale entraine s&a convergence et on a l'inégalité triangulaire.

Questions de cours:

• Convergence des intégrales de Riemann sur [a,+∞[ et sur ]0,a] (énoncé), preuve pour l'intégrale sur ]0,a].
• Lien entre convergence normale sur un intervalle d'une série de fonctions et convergence uniforme sur cet intervalle (énoncé et preuve)
• Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a,+∞[ telles que 0<=f<=g. Lien entre la convergence de l'intégrale de g sur [a,+∞[ et la convergence de l'intégrale de f sur ce même intervalle.
• Théorème de continuité de la fonction somme d'une série de fonctions (énoncé et preuve)

Exercices faits en classe:

TD N°04 exercices 1-2-3-4-6

TD n°05 exercices 1-2-3-4

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Document de 109 ko, dans Mathématiques/T.D. 26/27

Chapitre n°03: Suites de fonctions

Voir les détails sur le programme de la semaine précédente

Chapitre n°04: Séries de fonctions

Paragraphe 1: Modes de convergence

Convergence simple sur un intervalle, exemples, convergence uniforme sur un intervalle, exemples, convergence normale sur un intervalle, exemples. La convergence normale entraine la convergence uniforme qui entraine la convergence simple.

Paragraphe 2: Propriétés de la somme d'une série en cas de convergence unifoprme

Théorème de continuité, exemple, inversion limite en une borne de l'intervalle et ∑, exemples, intégration terme à terme sur un segment d'une somme de série, exemples, théorèmes de dérivation terme à terme (classe C1, classe Ck, classe C∞, exemples

Questions de cours:

• Théorème d'intégration terme à terme sur un segment pour une somme de série de fonctions avec convergence uniforme (énoncé et preuve)
• Théorème de la double limite (inversion limite en une borne d'un intervalle et ∑ (énoncé) et utilisation avec la fonction zêta de Riemann
• Montrer que exp'(x)=exp(x) pour tout réel x, avec la fonction exp définie comme somme d'une série de fonctions sur R
• Lien entre la convergence normale d'une série de fonctions sur un intervalle I et la convergence uniforme (énoncé et preuve)

Exercices faits en classe:

TD n°03 exercices 1-2-3-4-5-6

TD n°04 exercices 1-2-3-4

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