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Chapitre 06: Réduction

Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme

Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre, exemples, lien entre valeur propre et polynôme annulateur, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. Cas de la dimension finie.

Paragraphe 2: Eléments propres d'une matrice carrée

Définitions de valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, valeur propre et déterminant, valeur propre et polynôme annulateur, spectre réel ou complexe d'une matrice réelle.

Paragraphe 3: Polynôme caractéristique

Pour une matrice carrée, définition, degré, trois coefficients à connaitre, lien avec les valeurs propres, cas d'un polynôme caractéristique scindé lien entre la trace, le déterminant et les valeurs propres, cas particulier d'une matrice triangulaire ou diagonale, deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, une matrice et sa transposée ont les même valeurs propres.

Pour un endomorphisme en dimension finie, reprise des points précédents, lien entre les polynômes caractéristiques d'un endomorphisme et d'un de ses endomorphismes induits. Multiplicité d'une valeur propre, lien entre cette multiplicité et la dimension du sous-espace propre associé. Théorème de Cayley-Hamilton

Paragraphe 4: Caractérisations de la diagonalisation

Cas d'un endomorphisme en dimension finie: u endomorphisme de E est diagonalisable SSI E est égal à la somme directe des sous-espaces propres SSI dim(E) est égale à la somme des dimension des sous-espaces propres SSI le polynôme caractéristique est scindé et chaque sous-espace propre est de dimension égale à la multiplicité de la valeur propre associée SSI (X-a1)..(X-ap) est annulateur de u avec a1,..,ap toutes les valeurs propres distinctes de u SSI u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Quelques cas particuliers

Adaptation pour une matrice carrée. Quelques cas particulier. 2tude pratique de la diagonalisation d'une matrice carrée, exemples.

Questions de cours:

• Lien entre valeur propre d'un endomorphisme et polynôme annulateur de cet endomorphisme.
• Si le polynôme caractéristique d'una matrice A est scindé alors la trace de A est égale à la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité et le déterminant de A est égal au produit de ces valeurs propres.
• En dimension finie, si un endomorphisme u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples alors u est diagonalisable.
• Si F, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie, est stable par un endomorphisme u alors le polynôme caractéristique de l'endomorphisme de F induit par u divise le polynôme caractéristique de u.

Exercices faits en classe:

TD 06 exercices 1-2-3-4-5-6-8

Chapitre 05: Rappels et compléments d'algèbre linéaire (en entier)

Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 2: Déterminant d'une matrice carrée

Paragraphe 3: Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 4: Déterminant d'une famille de n vecteurs en dimension n

Paragraphe 5: Déterminant de Vandermonde

Paragraphe 6: Polynômes d'interpolation de Lagrange

Paragraphe 7: Polynôme d'endomorphisme ou de matrice carrée

Paragraphe 8: Espace produit et somme de sous-espaces vectoriels

Définition de E_1x...xE_p, dimension de E_1x...xE_p lorsque chaque espace est de dimension finie, somme et somme directe de deux sous-espaces vectoriels (tous les rappels de première année, somme de p sous-espaces vectoriels, somme directe de p sous-espaces vectoriels (définition et caractérisation), inégalité sur la dimension de la somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie, cas d'une somme directe, sous-espaces supplémentaires

Paragraphe 9: Matrices par blocs

Définition et opérations sur les matrices par blocs, transposée d'une matrice par blocs, matrice triangulaire par blocs, diagonale par blocs, déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, sous-espaces stables par un endomorphisme, lien avec les matrices par blocs.

Chapitre 06: Réduction

Paragraphe 1: Eléments propres d'un endomorphisme

Définition de valeur propre, de vecteur propre, de sous-espace propre, exemples, lien entre valeur propre et polynôme annulateur, des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.

Questions de cours:

• Si a est une valeur propre d'un endomorphisme u et si P est un polynôme annulateur de u alors a est racine de P.
• En admettant l'inégalité de la dimension d'une somme de p sous-espaces vectoriels de dimension finie, montrer qu'il y a égalité si et seulement si la somme est directe.
• Formule du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
• Si u et v sont deux endsomorphismes qui commutent alors Ker(u) est stable par v.

Exercices faits en classe:

TD 05 exercices 1-2-3-4-5-7-9-10-11-12-13-16

TD 06 exercices 1 et 2

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Chapitre 04: Intégrales généralisées

Voir détails sur le programme précédent

Chapitre 05: Rappels et compléments d'algèbre linéaire

Paragraphe 1: Trace d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme

Définition de la trace d'une matrice, propriétés usuelles (produit, transposée, matrices semblables), trace d'un endomorphisme en dimension finie

Paragraphe 2: Déterminant d'une matrice carrée

Reprise des résultats de première année, développement par rapport à une ligne ou une colonne, déterminant d'une matrice triangulaire

Paragraphe 3: Déterminant d'un endomorphisme (en dimension finie)

Paragraphe 4: Déterminant d'une famille de vecteurs

Paragraphe 5: Déterminant de Vandermonde

Définition, expression sous forme factorisée

Paragraphe 6: Polynômes d'interpolation de Lagrange

Définition, la famille des polynômes d'interpolation de Lagrange associés à n+1 points distincts est une base de C_n[X], expression d'un polynôme dans cette base, cas particulier L_0+...+L_n=1, expression factorisée des polynômes d'interpolation de Lagrange

Paragraphe 7: Polynômes d'endomorphisme ou de matrice carrée

Définition de P(u), P(M), opérations usuelles, polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice carrée, exemples, utilisation pour la recherche des puissances d'une matrice ou de l'inverse d'une matrice.

Questions de cours:

• La fonction t-> exp(-at) est intégrable en +∞ SSI a>0 et t-> ln(t) est intégrable en 0
• Si f est continue sur [a,+∞[ avec une limite finie L>0 en +∞ alors l'intégrale de f sur [a,+∞[ diverge.
• Existence d'un polynôme annulateur pour une matrice carrée d'ordre n
• Pour a_0,..,a_n des complexes distincts, décomposition d'un polynôme P de C_n[X] dans la base d'interpolation de Lagrange (L_0,..,L_n)

Exercices faits en classe:

TD 04 exercices 1-2-4-6-7-9-10-11

TD 05 exercices 1-2-3-4-5-7

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Chapitre 3: Rappels et compléments d'intégration

Voir les détails sur le programme précédent.

Chapitre 4: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Intégrales généralisées

Définition de convergence de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a,b[, ou ]a,b] ou ]a,b[,exemples, cas d'une fonction positive, comparaison 0

Paragraphe 2: Intégration par parties sur une intégrale généralisée

Paragraphe 3: Changement de variable sur une intégrale généralisée

Paragraphe 4: Fonctions intégrables sur un intervalle

Définition, inégalité triangulaire, théorème de comparaisons sur les fonctions intégrables en une borne de l'intervalle, fonctions de référence

Paragraphe 5: Quelques résultats supplémentaires

Cas d'une fonction paire, d'une fonction impaire, d'une fonction ayant une limite en +∞, cas d'une fonction bornée sur un intervalle borné

Questions de cours:

• Si f est continue positive sur un intervalle I et si l'intégrale de f sur I est nulle alors f est nulle sur I
• Les conditions de convergence des intégrales de Riemann, démonstration pour l'intervalle ]0,1]
• Propriété d'intégration par partie sur un intervalle [a,b[.
• Si f est continue et paire alors l'intégrale de f sur ]-a,0] converge SSI l'intégrale de f sur [0,a[ converge.

Exercices faits en classe:

TD 03 exercices 1-2-4-6-8-11

TD 04 exercices 1-2-4-7-9- 6 (pas fini)