Colles du 14/09 en Mathématiques (mise à jour)
Publication le 10/09 à 18h46 (publication initiale le 10/09 à 10h54)
Chapitre 01: Rappels sur les suites numériques et le calcul asymptotique
Paragraphe 1: Convergence de suites
Paragraphe 2: Opérations sur les limites
Comparaison de suites:
Domination, négligeabilité, règles opératoires, suites de référence, suites équivalentes, opérations sur les équivalents, formule de Stirling
Paragraphe 3: Formules de Taylor et développements limités
Formule de Taylor-Young, formule de Taylor avec reste intégral, développements limités usuels, opérations sur les DL
Paragraphe 4: Théorèmes de convergence des suites réelles
Théorème de la limite monotone, théorème d'encadrement (et pas des gendarmes)
, suites adjacentes
Paragraphe 6: Suites récurrentes
suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, vérifiant une relation u_(n+1)= f(u_n) avec rappel de l'inégalité des accroissements finis.
Chapitre 02: Rappels et compléments sur les séries numériques
Paragraphe 1: Rappels
Suite des sommes partielles, convergence d'une série numérique, reste d'ordre n d'une série convergente, séries géométriques, condition nécessaire de convergence d'une série, séries télescopiques, combinaison linéaire de séries convergentes, théorème de comparaison (inégalité avec des séries à termes positifs, domination et négligeabilité avec de la convergence absolue, équivalmence avec des suites de signe constant), la convergence absolue d'une série entraine sa convergence
Paragraphe 2: Séries alternées
Critère spécial des séries alternées, exemple avec les séries de Riemann alternées
Paragraphe 3: Règle de d'Alembert
Propriété, exemple d'application avec une série exponentielle
Paragraphe 4: Technique de comparaison série-intégrale
Technique d'encadrement pour des séries de terme général u_n=f(n) avec f monotone et continue. Exemples d'application à la convergence, divergence d'une série numérique, la recherche d'équivalent d'une somme partielle ou du reste.
Attention il n'y a pas de théorème avec un résultat final sur la convergence d'une série de terme général f(n), on doit connaitre la technique et refaire en détails les preuves qui amènent à un résultat.
Questions de cours:
- Si une série de terme général u_n converge alors la suite (u_n) converge vers 0. Donner un exemple d'une série ∑u_n telle que u_n->0 mais ∑u_n diverge
- Convergence des séries de Riemann (résultat global et démonstration uniquement dans la cas alpha=1)
- La règle de d'Alembert (énoncé complet, démonstration uniquement dans le cas où la limite est dans [0,1[)
- Si 0≤u_n ≤v_n et ∑v_n converge alors ∑u_n converge.
Exercices faits en classe:
TD n°01 exercices 1-2-3-7-8-10-11
TD n°02 exercices 1-2-3 -4
