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Chapitre n°02: Rappels et compléments sur les séries numériques

Voir programme semaine précédente + Paragraphe 5: Produit de Cauchy

Définition de la série produit de Cauchy de deux séries numériques, propriété en cas de convergence absolue et égalité de la somme de la série produit de Cauchy, deux exemples (produit de la somme d'une série géométrique avec elle-même, produit de Cauchy de deux séries exponentielles)

Chapitre n°03: Suites de fonctions

Paragraphe 1: Modes de convergence

Convergence simple d'une série de fonctions sur un intervalle, exemples, exemple de non conservation de la continuité par passage à la limite simple. Convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle, la convergence uniforme entraine la convergence simple, exeùmples.

Paragraphe 2: Conservation de la continuité par convergence uniforme

Si f_n est continue sur I et si la suite (f_n) converge uniformément sur I vers f alors f est continue sur I. Utilisation de la contraposée.

Paragraphe 3: Intégration sur un segment et convergence uniforme

Si (f_n) converge uniformément sur un segment [a,b] vers f alors la suite de terme général I_n converge vers I où I_n est l'intégrale sur [a,b] de f_n et I l'intégrale de f sur [a,b]. Utilisation de la contraposée.

Paragraphe 4: Dérivation

Théorème de la classe C1: si f_n est de classe C1 sur I, si (f_n) converge simplement sur I vers f, si (f'_n) converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers g alors f est de classe C1 sur I et f'=g Extension à la classe Ck et à la classe C∞

Questions de cours:

• La convergence absolue d'une série numérique entraine sa convergence, démonstration dans le cas d'une série de terme général réel.
• Propriété d'intégration sur un segment d'une suite de fonctions (énoncé et preuve)
• La convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle I vers une fonction f entraine sa convergence simple sur I vers f .
• Enoncé du théorème de la classe C1 pour une suite de fonctions, exemple d'une suite de fonctions de classe C1 qui converge uniformément vers une fonction f sur un intervalle I avec f qui n'est pas de classe C1,

Exercices faits en classe:

TD n°02 exercices 1-2-3-4

TD n°03 exercices 1-2-3-4-5-6

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Chapitre 01: Rappels sur les suites numériques et le calcul asymptotique

Paragraphe 1: Convergence de suites

Paragraphe 2: Opérations sur les limites

Comparaison de suites:

Domination, négligeabilité, règles opératoires, suites de référence, suites équivalentes, opérations sur les équivalents, formule de Stirling

Paragraphe 3: Formules de Taylor et développements limités

Formule de Taylor-Young, formule de Taylor avec reste intégral, développements limités usuels, opérations sur les DL

Paragraphe 4: Théorèmes de convergence des suites réelles

Théorème de la limite monotone, théorème d'encadrement (et pas des gendarmes)

, suites adjacentes

Paragraphe 6: Suites récurrentes

suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, vérifiant une relation u_(n+1)= f(u_n) avec rappel de l'inégalité des accroissements finis.

Chapitre 02: Rappels et compléments sur les séries numériques

Paragraphe 1: Rappels

Suite des sommes partielles, convergence d'une série numérique, reste d'ordre n d'une série convergente, séries géométriques, condition nécessaire de convergence d'une série, séries télescopiques, combinaison linéaire de séries convergentes, théorème de comparaison (inégalité avec des séries à termes positifs, domination et négligeabilité avec de la convergence absolue, équivalmence avec des suites de signe constant), la convergence absolue d'une série entraine sa convergence

Paragraphe 2: Séries alternées

Critère spécial des séries alternées, exemple avec les séries de Riemann alternées

Paragraphe 3: Règle de d'Alembert

Propriété, exemple d'application avec une série exponentielle

Paragraphe 4: Technique de comparaison série-intégrale

Technique d'encadrement pour des séries de terme général u_n=f(n) avec f monotone et continue. Exemples d'application à la convergence, divergence d'une série numérique, la recherche d'équivalent d'une somme partielle ou du reste.

Attention il n'y a pas de théorème avec un résultat final sur la convergence d'une série de terme général f(n), on doit connaitre la technique et refaire en détails les preuves qui amènent à un résultat.

Questions de cours:

• Si une série de terme général u_n converge alors la suite (u_n) converge vers 0. Donner un exemple d'une série ∑u_n telle que u_n->0 mais ∑u_n diverge
• Convergence des séries de Riemann (résultat global et démonstration uniquement dans la cas alpha=1)
• La règle de d'Alembert (énoncé complet, démonstration uniquement dans le cas où la limite est dans [0,1[)
• Si 0≤u_n ≤v_n et ∑v_n converge alors ∑u_n converge.

Exercices faits en classe:

TD n°01 exercices 1-2-3-7-8-10-11

TD n°02 exercices 1-2-3 -4

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