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Chapitre 15: Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

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Chapitre 16: Compléments sur les espaces vectoriels normés

Paragraphe 1: Un peu de topologie

Boules ouvertes, fermées, partie convexe, bornée, ouvert, fermé, adhérence, définition d'une partie dense.

Paragraphe 2: Fonctions d'un EVN dans un EVN

Limite en un point adhérent à une partie A sur lequel la fonction est définie, unicité de la limite, opérations algébriques sur les limites, caractérisation séquentielle, continuité en un point, sur une partie. L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert, l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé, application lipschitzienne.

Questions de cours:

• Une intersection finie d'ouverts d'un espace vectoriel normé E est un ouvert de E
• Si F est un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien stable par un endomorphisme autoadjoint u alors l'orthogonal de F est stable par u
• Deux sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont orthogonaux.
• Si une application f: E-> F est continue, alors l'image réciproque par f d'une partie fermée de F est une partie fermée de E.

Exercices faits en classe

TD n°15 exercices 1-2-3-5-6-7-8-10-11-12-14-15-16-17

TD n°16 exercices 1-2-3-4

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Chapitre n°15: Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Paragraphe 1: isométries vectorielles d'un espace euclidien

Définition par conservation de la norme, caractérisation par conservation du produit scalaire, caractérisation par par action sur une base orthonormée, groupe orthogonal, sous-espace vectoriel stable par une isométrie.

Paragraphe 2: Matrices orthogonales

Définition par A^T.A=I_n, caractérisation par l'inverse, caractérisation par les vecteurs colonnes, par les vecteurs lignes, par les coefficients, par changement de bases orthonormées, caractérisation matricielle d'une isométrie d'un espace euclidien, déterminant d'une matrice orthogonale, groupe orthogonal d'ordre n et groupe spécial orthogonal, orientation d'un espace euclidien

Paragraphe 3: Endomorphismes autoadjoints

Définition, caractérisation matricielle, stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable, polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle, théorème spectral (pour les endomorphismes autoadjoint, pour les matrices symétriques réelles), orthogonalité des sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint, endomorphisme autoadjoint (ou matrice symétrique réelle) positif, défini-positif, caractérisation par les valeurs propres.

Paragraphe 4: Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3

Produit mixte, produit vectoriel en dimension 3, orientation d'un plan par un vecteur normal au plan, orientation d'une droite donnée par deux équations de plans

Paragraphe 5: Isométries vectorielles d'un plan euclidien

Matrices orthogonales d'ordre 2, isométries vectorielles en dimension 2: les rotations, les réflexions.

Paragraphe 6: isométries vectorielles en dimension 3

Spectre d'une isométrie vectorielle, cas des éléments du groupe spécial orthogonal d'ordre 3, rotation en dimension 3

Questions de cours:

• Un endomorphisme d'un espace euclidien est une isométrie SSI l'endomorphisme conserve le produit scalaire.
• Un endomorphisme autoadjoint est positif SSI ses valeurs propres sont positives.
• Si A est une matrice symétrique réelle alors ses valeurs propres sont réelles.
• Le groupe orthogonal d'ordre n est non vide, stable par produit, stable par passage à l'inverse.

Exercices faits en classe

TD n°15 exercices 1-2-3-5-6-7-8-10-11-12-14-15

Très bonnes vacances à toutes et tous.

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Semaine du concours blanc

Pas de colle.

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