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Chapitre 01: Rappels sur les suites numériques et le calcul asymptotique

Paragraphe 1: Convergence de suites

Paragraphe 2: Opérations sur les limites

Comparaison de suites:

Domination, négligeabilité, règles opératoires, suites de référence, suites équivalentes, opérations sur les équivalents, formule de Stirling

Paragraphe 3: Formules de Taylor et développements limités

Formule de Taylor-Young, formule de Taylor avec reste intégral, développements limités usuels, opérations sur les DL

Paragraphe 4: Théorèmes de convergence des suites réelles

Théorème de la limite monotone, théorème d'encadrement (et pas des gendarmes)

, suites adjacentes

Paragraphe 6: Suites récurrentes

suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, vérifiant une relation u_(n+1)= f(u_n) avec rappel de l'inégalité des accroissements finis.

Chapitre 02: Rappels et compléments sur les séries numériques

Paragraphe 1: Rappels

Suite des sommes partielles, convergence d'une série numérique, reste d'ordre n d'une série convergente, séries géométriques, condition nécessaire de convergence d'une série, séries télescopiques, combinaison linéaire de séries convergentes, théorème de comparaison (inégalité avec des séries à termes positifs, domination et négligeabilité avec de la convergence absolue, équivalmence avec des suites de signe constant), la convergence absolue d'une série entraine sa convergence

Paragraphe 2: Séries alternées

Critère spécial des séries alternées, exemple avec les séries de Riemann alternées

Paragraphe 3: Règle de d'Alembert

Propriété, exemple d'application avec une série exponentielle

Paragraphe 4: Technique de comparaison série-intégrale

Technique d'encadrement pour des séries de terme général u_n=f(n) avec f monotone et continue. Exemples d'application à la convergence, divergence d'une série numérique, la recherche d'équivalent d'une somme partielle ou du reste.

Attention il n'y a pas de théorème avec un résultat final sur la convergence d'une série de terme général f(n), on doit connaitre la technique et refaire en détails les preuves qui amènent à un résultat.

Questions de cours:

• Si une série de terme général u_n converge alors la suite (u_n) converge vers 0. Donner un exemple d'une série ∑u_n telle que u_n->0 mais ∑u_n diverge
• Convergence des séries de Riemann (résultat global et démonstration uniquement dans la cas alpha=1)
• La règle de d'Alembert (énoncé complet, démonstration uniquement dans le cas où la limite est dans [0,1[)
• Si 0≤u_n ≤v_n et ∑v_n converge alors ∑u_n converge.

Exercices faits en classe:

TD n°01 exercices 1-2-3-7-8-10-11

TD n°02 exercices 1-2-3 -4

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