Derniers contenus

Document de 162 ko, dans Mathématiques/DM-DS 26/27

Document de 203 ko, dans Mathématiques/DM-DS 26/27

Chapitre n°05: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Fonctions continues par mocreaux

Définition de fonction continue sur un segment, sur un intervalle, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, propriétés de l'intégrale sur un segment

Paragraphe 2: Intégration sur un intervalle [a,+∞[

Définition, intégrales de référence (intégrales de Riemann et de x-> exp(-βx)), cas d'une fonction positive, comparaison pour deux fonctions telles que 0<=f<=g

Paragraphe 3: Intégrale sur un intervalle quelconque

Définition pour un intervalle ]a,b], [a,b[, ]a,b[. Calcul avec une primitive, intégrale de référence (celle de ln sur ]0,1], les intégrales de Riemann sur ]0,a]), propriétés de l'intégrale généralisée (linéarité, positivité, croissance), intégration par parties, changement de variables.

Paragraphe 4: Intégrabilité sur un intervalle

Définition d'intégrale absolument convergente, la convergence absolue d'une intégrale entraine sa convergence et on a l'inégalité triangulaire. Définition de fonction intégrable sur un intervalle, L^1(I,K) est un espace vectoriel, fonctions de référence qui sont intégrables en 0 ou en +∞, théorème de comparaison sur les fonctions intégrables (domination, négligeabilité, équivalence), exemples

Questions de cours:

• L^1(I,K) est un espace vectoriel.
• Inégalité triangulaire dans le cas d'une fonction réelle intégrable sur ]a,b].
• Condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité en +∞ de t-> exp(-a t)
• La fonction t-> sin(t)/t n'est pas intégrable sur [Pi,+∞[

Exercices faits en classe:

Tous les exemples du cours, notamment les dernières intégrales ajouter en fin de chapitre.

TD n°05 excercices 1-2-3-4-6-10

Document de 160 ko, dans Mathématiques/DM-DS 26/27

Document de 146 ko, dans Mathématiques/DM-DS 26/27

Document de 224 ko, dans Mathématiques/DM-DS 26/27

Chapitre n°04: Séries de fonctions

Voir le détail dans le programme de la semaine dernière

Chapitre n°05: Intégration sur un intervalle quelconque

Paragraphe 1: Fonctions continues par morceaux

Définition de fonction continue sur un segment, sur un intervalle, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, propriétés de l'intégrale sur un segment

Paragraphe 2: Intégration sur un intervalle [a,+∞[

Définition, intégrales de référence (intégrales de Riemann et de x-> exp(-βx)), cas d'une fonction positive, comparaison 0

Paragraphe 3: Intégrale sur un intervalle quelconque

Définition pour un intervalle ]a,b], [a,b[, ]a,b[. Calcul avec une primitive, intégrale de référence (celle de ln sur ]0,1], les intégrales de Riemann sur ]0,a]), propriétés de l'intégrale généralisée (linéarité, positivité, croissance), intégration par parties, changement de variables.

Paragraphe 4: Intégrabilité sur un intervalle

Définition d'intégrale absolument convergente, la convergence absolue d'une intégrale entraine s&a convergence et on a l'inégalité triangulaire.

Questions de cours:

• Convergence des intégrales de Riemann sur [a,+∞[ et sur ]0,a] (énoncé), preuve pour l'intégrale sur ]0,a].
• Lien entre convergence normale sur un intervalle d'une série de fonctions et convergence uniforme sur cet intervalle (énoncé et preuve)
• Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a,+∞[ telles que 0<=f<=g. Lien entre la convergence de l'intégrale de g sur [a,+∞[ et la convergence de l'intégrale de f sur ce même intervalle.
• Théorème de continuité de la fonction somme d'une série de fonctions (énoncé et preuve)

Exercices faits en classe:

TD N°04 exercices 1-2-3-4-6

TD n°05 exercices 1-2-3-4

Document de 117 ko, dans Mathématiques/T.D. 26/27

Document de 109 ko, dans Mathématiques/T.D. 26/27

Chapitre n°03: Suites de fonctions

Voir les détails sur le programme de la semaine précédente

Chapitre n°04: Séries de fonctions

Paragraphe 1: Modes de convergence

Convergence simple sur un intervalle, exemples, convergence uniforme sur un intervalle, exemples, convergence normale sur un intervalle, exemples. La convergence normale entraine la convergence uniforme qui entraine la convergence simple.

Paragraphe 2: Propriétés de la somme d'une série en cas de convergence unifoprme

Théorème de continuité, exemple, inversion limite en une borne de l'intervalle et ∑, exemples, intégration terme à terme sur un segment d'une somme de série, exemples, théorèmes de dérivation terme à terme (classe C1, classe Ck, classe C∞, exemples

Questions de cours:

• Théorème d'intégration terme à terme sur un segment pour une somme de série de fonctions avec convergence uniforme (énoncé et preuve)
• Théorème de la double limite (inversion limite en une borne d'un intervalle et ∑ (énoncé) et utilisation avec la fonction zêta de Riemann
• Montrer que exp'(x)=exp(x) pour tout réel x, avec la fonction exp définie comme somme d'une série de fonctions sur R
• Lien entre la convergence normale d'une série de fonctions sur un intervalle I et la convergence uniforme (énoncé et preuve)

Exercices faits en classe:

TD n°03 exercices 1-2-3-4-5-6

TD n°04 exercices 1-2-3-4

Document de 246 ko, dans Général

Document de 133 ko, dans Mathématiques/DM-DS 26/27

Document de 51 ko, dans Général

Chapitre n°02: Rappels et compléments sur les séries numériques

Voir programme semaine précédente + Paragraphe 5: Produit de Cauchy

Définition de la série produit de Cauchy de deux séries numériques, propriété en cas de convergence absolue et égalité de la somme de la série produit de Cauchy, deux exemples (produit de la somme d'une série géométrique avec elle-même, produit de Cauchy de deux séries exponentielles)

Chapitre n°03: Suites de fonctions

Paragraphe 1: Modes de convergence

Convergence simple d'une série de fonctions sur un intervalle, exemples, exemple de non conservation de la continuité par passage à la limite simple. Convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle, la convergence uniforme entraine la convergence simple, exeùmples.

Paragraphe 2: Conservation de la continuité par convergence uniforme

Si f_n est continue sur I et si la suite (f_n) converge uniformément sur I vers f alors f est continue sur I. Utilisation de la contraposée.

Paragraphe 3: Intégration sur un segment et convergence uniforme

Si (f_n) converge uniformément sur un segment [a,b] vers f alors la suite de terme général I_n converge vers I où I_n est l'intégrale sur [a,b] de f_n et I l'intégrale de f sur [a,b]. Utilisation de la contraposée.

Paragraphe 4: Dérivation

Théorème de la classe C1: si f_n est de classe C1 sur I, si (f_n) converge simplement sur I vers f, si (f'_n) converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers g alors f est de classe C1 sur I et f'=g Extension à la classe Ck et à la classe C∞

Questions de cours:

• La convergence absolue d'une série numérique entraine sa convergence, démonstration dans le cas d'une série de terme général réel.
• Propriété d'intégration sur un segment d'une suite de fonctions (énoncé et preuve)
• La convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un intervalle I vers une fonction f entraine sa convergence simple sur I vers f .
• Enoncé du théorème de la classe C1 pour une suite de fonctions, exemple d'une suite de fonctions de classe C1 qui converge uniformément vers une fonction f sur un intervalle I avec f qui n'est pas de classe C1,

Exercices faits en classe:

TD n°02 exercices 1-2-3-4

TD n°03 exercices 1-2-3-4-5-6

Document de 114 ko, dans Mathématiques/T.D. 26/27

Document de 133 ko, dans Général