Attention colleurs, changements de programme en 2022-2023 donc certaines notions en plus/en moins à modifier dans vos exercices ! (voir mes remarques entre parenthèses pour vous ci-dessous.)
Chp 10 - ENDOMORPHISMES D'UN ESPACE EUCLIDIEN
- Il est bien entendu évident qu'il faut maitriser les notions du chapitre sur les espaces vectoriels préhilbertiens et que vous pouvez être interrogé dessus!...
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ISOMÉTRIES VECTORIELLES
- Isométries vectorielles (le mot automorphisme orthogonal est délaissé au profit du mot isométrie vectorielle)
- Groupe orthogonal
- Matrice d'une isométrie vectorielle
- MATRICES ORTHOGONALES
- Caractérisation des matrices orthogonales
- Changement de base orthogonale
- Groupe orthogonal et spécial orthogonal
- ESPACES EUCLIDIENS ORIENTÉ DE DIMENSION 2 OU 3
- Bases directes et indirectes
- Produit mixte
- Produit vectoriel
- Plans et droites de l'espace euclidien, orientation induite
- ISOMÉTRIES DU PLAN VECTORIEL
- Isométries directes, rotations
- Isométries indirectes, symétries orthogonales
- ISOMÉTRIES DE L'ESPACE
- Réduction d'une isométrie de l'espace
- Isométries directes : rotations
- Isométries indirectes : symétries orthogonales (Le cas de composée de symétrie par une rotation est hors-programme)
- ENDOMORPHISMES AUTOADJOINT (le vocabulaire n'est plus plus "endomorphismes symétriques")
- Définition, image et noyau d'un endomorphisme autoadjoint, notation $\mathcal{S}(E)$
- Matrice dans une b.o.n. d'un endomorphisme autoadjoint
- Théorème spectral
- Diagonalisation des matrices symétriques réelles
- Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs : notation $\mathcal{S}^+(E)$ et $\mathcal{S}^{++}(E)$, caractérisation par leur spectre (ajout dans le nouveau programme)
- Matrices symétriques positives, définies positives
Questions de cours
- Savoir donner les définitions d'une isométrie, d'un endomorphisme autoadjoint, le théorème spectral complet, sa caractérisation matricielle
- Savoir lister les différentes isométries directes ou indirectes du plan, connaitre leur matrice et comment les différencier.
- Savoir lister les différentes isométrie directes ou indirectes de l'espace, connaitre leur matrice dans une base adaptée et comment les différencier.
- Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, savoir prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) $u$ est une isométrie vectorielle.
(ii) $u$ conserve le produit scalaire.
(iii) L'image par $u$ de toute base orthonormée est une base orthonormée.
(iii) Il existe une base orthonormée dont l'image par $u$ est une base orthonormée.
- Soit $u \in \mathcal{O}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
- Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
- Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, les sous-espaces vectoriels propres sont orthogonaux.
- Un endomorphisme autoadjoint est positif si, et seulement si, son spectre est inclus dans $\mathbb{R}^+$
