Maths
Chp 9 - SÉRIES ENTIÈRES
- CONVERGENCE DE SÉRIES ENTIÈRES
- Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
- Convergence simple, normale d'une série entière,
- Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
- Somme et produit de séries entières
- FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
- Intervalle de convergence,
- Dérivation d'une série entière
- Intégration d'une série entière
- Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
- DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
- Fonction développable en série entière
- Série de Taylor
- Rappel des formules de Taylor
- Opérations sur les fonctions développables en séries entières
- Développements en série entière usuels
- Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)
Questions de cours
- Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
- Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
- Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
- Lemme d'Abel (démonstration)
- $\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
- Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.
- Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, savoir prouver que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) $u$ est une isométrie vectorielle.
(ii) $u$ conserve le produit scalaire.
(iii) L'image par $u$ de toute base orthonormée est une base orthonormée.
(iii) Il existe une base orthonormée dont l'image par $u$ est une base orthonormée.
