CONVERGENCE DE SÉRIES ENTIÈRES
1. Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
2. Convergence simple, normale d'une série entière,
3. Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
4. Somme et produit de séries entières
FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
1. Intervalle de convergence,
2. Dérivation d'une série entière
3. Intégration d'une série entière
4. Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
1. Fonction développable en série entière
2. Série de Taylor
3. Rappel des formules de Taylor
4. Opérations sur les fonctions développables en séries entières
5. Développements en série entière usuels
6. Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)

CONTINUITÉ D'UNE INTÉGRALE A PARAMÈTRE
1. Par domination globale ou sur tout segment
2. Limites
DÉRIVATION D'UNE INTÉGRALE A PARAMÈTRE
1. Dérivée partielle
2. Dérivation par domination
3. Exemples
4. Dérivées d'ordre supérieur
APPLICATIONS
1. Transformée de Laplace
2. Transformée de Fourier
3. La fonction Gamma

Questions de cours

Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
Énoncés des théorèmes de continuité, dérivabilité, continuité des intégrales à paramètre,
Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
Lemme d'Abel (démonstration)
$\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.

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