Semaine du lundi 22 avril 2024
Chp 11 - VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
- RAPPELS
- Généralités : définition d'une v.a discrète, de sa loi. Définition et propriétés des fonctions de répartition.
- Lois usuelles : Uniforme, Bernoulli, Binomiale, Géométrique, Poisson. Interprétation de la loi géométrique comme le rang du premier succès dans un schéma de Bernoulli. Absence de mémoire de la loi géométrique. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
- ESPÉRANCE ET VARIANCE
- Définition et propriétés de l'espérance et de la variance. Théorème de transfert.
- Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson.
- Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
- COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
- Définition de loi conjointe et loi marginale, lien entre les deux. Loi conditionnelle.
- Indépendance de deux v.a. Indépendance mutuelle et deux à deux de n v.a. Lemme des coalitions.
- Espérance d'un produit de v.a indépendantes. Définition et propriétés de la covariance. Définition du coefficient de corrélation. Inégalité de Cauchy-Schwarz, encadrement du coefficient de corrélation.
- Loi faible des grands nombres, estimation grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- FONCTIONS GÉNÉRATRICES
- Fonctions génératrices
- Définition de la fonction génératrice, rayon de convergence, régularité, caractérisation de la loi. Lien avec espérance et variance. Fonction génératrice d'une somme de v.a indépendantes.
- Fonction génératrice des lois usuelles. Somme de deux v.a indépendantes de loi binomiale, de loi de Poisson
Questions de cours
- Démo de l'inégalité en probabilité de Cauchy-Schwarz
- Démo de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (à partir de celle de Markov).
- Démo de la loi faible des grands nombres (à partir de Bienaymé-Tchebychev).
- Connaitre par cœur le tableau des lois usuelles : pour les deux dernières colonnes, elles ne sont pas à connaitre par cœur mais vous devez savoir retrouver le résultat à l'aide des fonctions génératrices.
