Programme de colles - Maths

Semaine du lundi 18 mars 2024

Attention colleurs, changements de programme en 2022-2023 donc certaines notions en plus/en moins à modifier dans vos exercices ! (voir mes remarques entre parenthèses pour vous ci-dessous.)

Chp 10 - ENDOMORPHISMES D'UN ESPACE EUCLIDIEN

• Il est bien entendu évident qu'il faut maitriser les notions du chapitre sur les espaces vectoriels préhilbertiens et que vous pouvez être interrogé dessus!... 

• ISOMÉTRIES VECTORIELLES

  1. Isométries vectorielles (le mot automorphisme orthogonal est délaissé au profit du mot isométrie vectorielle)
  2. Groupe orthogonal
  3. Matrice d'une isométrie vectorielle
• MATRICES ORTHOGONALES
  1. Caractérisation des matrices orthogonales
  2. Changement de base orthogonale
  3. Groupe orthogonal et spécial orthogonal
• ESPACES EUCLIDIENS ORIENTÉ DE DIMENSION 2 OU 3
  
  1. Bases directes et indirectes
  2. Produit mixte
  3. Produit vectoriel
  4. Plans et droites de l'espace euclidien, orientation induite
• ISOMÉTRIES DU PLAN VECTORIEL
  1. Isométries directes, rotations
  2. Isométries indirectes, symétries orthogonales
• ISOMÉTRIES DE L'ESPACE
  1. Réduction d'une isométrie de l'espace
  2. Isométries directes : rotations
  3. Isométries indirectes : symétries orthogonales (dernier cas : composée de symétrie par une rotation hors-programme)
• ENDOMORPHISMES AUTOADJOINT (le vocabulaire n'est plus plus "endomorphismes symétriques")
  
  1. Définition, image et noyau d'un endomorphisme autoadjoint, notation $\mathcal{S}(E)$
  2. Matrice dans une b.o.n. d'un endomorphisme autoadjoint
  3. Théorème spectral
  4. Diagonalisation des matrices symétriques réelles
  5. Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs : notation $\mathcal{S}^+(E)$ et $\mathcal{S}^{++}(E)$, caractérisation par leur spectre (ajout dans le nouveau programme)
  6. Matrices symétriques positives, définies positives

Questions de cours

• Savoir donner les définitions d'une isométrie, d'un endomorphisme autoadjoint, le théorème spectral complet, sa caractérisation matricielle
• Savoir lister les différentes isométries directes ou indirectes du plan, connaitre leur matrice et comment les différencier.
• Savoir lister les différentes isométrie directes ou indirectes de l'espace, connaitre leur matrice dans une base adaptée et comment les différencier.
• Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, $u$ est une isométrie vectorielle si et seulement si $u$ conserve le produit scalaire. 
• Soit $u \in \mathcal{O}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
• Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
• Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, les sous-espaces vectoriels propres sont orthogonaux.
• Un endomorphisme autoadjoint est positif si, et seulement si, son spectre est inclus dans $\mathbb{R}^+$