SUITES DE FONCTIONS : Définition d'une suite de fonctions, convergence simple (noté CVS), convergence uniforme (noté CVU), norme infinie $\Vert f_n \Vert_\infty$, convergence en norme uniforme, exemples.
SÉRIES DE FONCTIONS : Définition d'une série de fonctions, CVS, somme infinie, reste, CVU, convergence normale (noté CVN), caractérisation de la CVU (CVS + $R_n$ CVU vers $0$), $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$, Exemples.
CONTINUITÉ ET LIMITE : CVU sur tout segment, exemples
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (suites),
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (séries),
Théorème de la double limite (pour les suites et les séries), exemples.
THÉORÈMES D'INTÉGRATION :
Sur un segment $[a,b]$ : Théorème de permutation limite-intégrale, Théorème d'intégration terme à terme utilisant la CVU
Sur un intervalle $I$ : Théorème de convergence dominée (admis), Théorème d'intégration terme à terme (admis) utilisant des hypothèses de majoration uniformes
THÉORÈMES DE DÉRIVATION :
Théorème d'interversion limite-dérivée (suites),
Théorème de dérivation terme à terme (séries),
Versions similaires pour les dérivées d'ordre supérieures (suites et séries).
Démonstrations exigibles :
Savoir : énoncer (pas démontrer) très précisément (le colleur en demande 2 au choix parmi les 5) :
Les théorèmes de continuité d'une suite ou série de fonctions,
Les théorèmes de dérivabilité d'une suite ou série de fonctions (classe $\mathcal{C}^1$),
Les théorèmes de double limite pour une suite ou une série de fonctions,
Les théorèmes d'intégration sur un segment d'une suite ou série de fonctions,
Existence, continuité, dérivabilité de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\infty[$.
Ensemble de définition et continuité de la fonction $S : t \mapsto \displaystyle\sum^{+\infty}_{n=0} \dfrac{t^n}{(2n+1)!}$
Étude de la convergence simple et uniforme de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n+t}$ sur $\mathbb{R}^+$.
Semaine du lundi 29 janvier 2024
Chp 8 - SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
SUITES DE FONCTIONS : Définition d'une suite de fonctions, convergence simple (noté CVS), convergence uniforme (noté CVU), norme infinie $\Vert f_n \Vert_\infty$, convergence en norme uniforme, exemples.
SÉRIES DE FONCTIONS : Définition d'une série de fonctions, CVS, somme infinie, reste, CVU, convergence normale (noté CVN), caractérisation de la CVU (CVS + $R_n$ CVU vers $0$), $\fbox{ CVN $\Rightarrow$ CVU $\Rightarrow$ CVS}$, Exemples.
CONTINUITÉ ET LIMITE : CVU sur tout segment, exemples
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (suites),
Théorèmes utilisant la CVU (sur l'intervalle ou sur tout segment) et impliquant la continuité de la limite (séries),
Théorème de la double limite (pour les suites et les séries), exemples.
THÉORÈMES D'INTÉGRATION :
Sur un segment $[a,b]$ : Théorème de permutation limite-intégrale, Théorème d'intégration terme à terme utilisant la CVU
Sur un intervalle $I$ : Théorème de convergence dominée (admis), Théorème d'intégration terme à terme (admis) utilisant des hypothèses de majoration uniformes
THÉORÈMES DE DÉRIVATION :
Théorème d'interversion limite-dérivée (suites),
Théorème de dérivation terme à terme (séries),
Versions similaires pour les dérivées d'ordre supérieures (suites et séries).
Démonstrations exigibles :
Savoir : énoncer (pas démontrer) très précisément (le colleur en demande 2 au choix parmi les 5) :
Les théorèmes de continuité d'une suite ou série de fonctions,
Les théorèmes de dérivabilité d'une suite ou série de fonctions (classe $\mathcal{C}^1$),
Les théorèmes de double limite pour une suite ou une série de fonctions,
Les théorèmes d'intégration sur un segment d'une suite ou série de fonctions,
Existence, continuité, dérivabilité de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\infty[$.
Ensemble de définition et continuité de la fonction $S : t \mapsto \displaystyle\sum^{+\infty}_{n=0} \dfrac{t^n}{(2n+1)!}$
Étude de la convergence simple et uniforme de la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n+t}$ sur $\mathbb{R}^+$.
Semaine du lundi 5 février 2024
Chp 9 - SÉRIES ENTIÈRES
CONVERGENCE DE SÉRIES ENTIÈRES
Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
Convergence simple, normale d'une série entière,
Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
Somme et produit de séries entières
FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
Intervalle de convergence,
Dérivation d'une série entière
Intégration d'une série entière
Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
Fonction développable en série entière
Série de Taylor
Rappel des formules de Taylor
Opérations sur les fonctions développables en séries entières
Développements en série entière usuels
Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)
Questions de cours
Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
Lemme d'Abel (démonstration)
$\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.
Lundi 12 février 2024 : Vacances d'hiver
Lundi 19 février 2024 : Vacances d'hiver
Semaine du lundi 26 février 2024
Il n'y a pas de colles cette semaine.
Semaine du lundi 4 mars 2024
Chp 9 - SÉRIES ENTIÈRES
CONVERGENCE DE SÉRIES ENTIÈRES
Définition d'une série entière, du rayon de convergence, Lemme d'Abel, définition du disque de convergence,
Convergence simple, normale d'une série entière,
Exemples de calculs de rayon de convergence (avec le critère de d'Alembert, les séries lacunaires, par comparaison, rayon de convergence de $\sum n a_n z^n$).
Somme et produit de séries entières
FONCTION DÉFINIE PAR UNE SÉRIE ENTIÈRE
Intervalle de convergence,
Dérivation d'une série entière
Intégration d'une série entière
Expression des coefficients d'une série entière : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$
DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
Fonction développable en série entière
Série de Taylor
Rappel des formules de Taylor
Opérations sur les fonctions développables en séries entières
Développements en série entière usuels
Exemples de développement en série entière (notamment pour la résolution d'une équation différentielle)
Questions de cours
Savoir réciter par cœur le développement en série entière de $e^x$, $\mbox{ch } x$, $\mbox{sh } x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{1-x}$, $\frac{1}{1+x}$, $\ln(1-x)$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ et la définition du rayon de convergence,
Savoir retrouver à partir du DSE de $\frac{1}{1+x}$ celui de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$.
Savoir retrouver le développement en série entière de $\arcsin x$ (écriture à l'aide de factorielles).
Lemme d'Abel (démonstration)
$\sum a_n x^z$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence (démonstration)
Savoir trouver le DSE des solutions impaires de l'équation différentielle $(1-x^2)y'-xy=1$.
Semaine du lundi 11 mars 2024
Attention colleurs, changements de programme en 2022-2023 donc certaines notions en plus/en moins à modifier dans vos exercices ! (voir mes remarques entre parenthèses pour vous ci-dessous.)
Chp 10 - ENDOMORPHISMES D'UN ESPACE EUCLIDIEN
Il est bien entendu évident qu'il faut maitriser les notions du chapitre sur les espaces vectoriels préhilbertiens et que vous pouvez être interrogé dessus!...
ISOMÉTRIES VECTORIELLES
Isométries vectorielles (le mot automorphisme orthogonal est délaissé au profit du mot isométrie vectorielle)
Groupe orthogonal
Matrice d'une isométrie vectorielle
MATRICES ORTHOGONALES
Caractérisation des matrices orthogonales
Changement de base orthogonale
Groupe orthogonal et spécial orthogonal
ESPACES EUCLIDIENS ORIENTÉ DE DIMENSION 2 OU 3
Bases directes et indirectes
Produit mixte
Produit vectoriel
Plans et droites de l'espace euclidien, orientation induite
ISOMÉTRIES DU PLAN VECTORIEL
Isométries directes, rotations
Isométries indirectes, symétries orthogonales
ISOMÉTRIES DE L'ESPACE
Réduction d'une isométrie de l'espace
Isométries directes : rotations
Isométries indirectes : symétries orthogonales (dernier cas : composée de symétrie par une rotation hors-programme)
ENDOMORPHISMES AUTOADJOINT (le vocabulaire n'est plus plus "endomorphismes symétriques")
Définition, image et noyau d'un endomorphisme autoadjoint, notation $\mathcal{S}(E)$
Matrice dans une b.o.n. d'un endomorphisme autoadjoint
Théorème spectral
Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs : notation $\mathcal{S}^+(E)$ et $\mathcal{S}^{++}(E)$, caractérisation par leur spectre (ajout dans le nouveau programme)
Savoir donner les définitions d'une isométrie, d'un endomorphisme autoadjoint, le théorème spectral complet, sa caractérisation matricielle
Savoir lister les différentes isométries directes ou indirectes du plan, connaitre leur matrice et comment les différencier.
Savoir lister les différentes isométrie directes ou indirectes de l'espace, connaitre leur matrice dans une base adaptée et comment les différencier.
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, $u$ est une isométrie vectorielle si et seulement si $u$ conserve le produit scalaire.
Soit $u \in \mathcal{O}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, les sous-espaces vectoriels propres sont orthogonaux.
Un endomorphisme autoadjoint est positif si, et seulement si, son spectre est inclus dans $\mathbb{R}^+$
Semaine du lundi 18 mars 2024
Attention colleurs, changements de programme en 2022-2023 donc certaines notions en plus/en moins à modifier dans vos exercices ! (voir mes remarques entre parenthèses pour vous ci-dessous.)
Chp 10 - ENDOMORPHISMES D'UN ESPACE EUCLIDIEN
Il est bien entendu évident qu'il faut maitriser les notions du chapitre sur les espaces vectoriels préhilbertiens et que vous pouvez être interrogé dessus!...
ISOMÉTRIES VECTORIELLES
Isométries vectorielles (le mot automorphisme orthogonal est délaissé au profit du mot isométrie vectorielle)
Groupe orthogonal
Matrice d'une isométrie vectorielle
MATRICES ORTHOGONALES
Caractérisation des matrices orthogonales
Changement de base orthogonale
Groupe orthogonal et spécial orthogonal
ESPACES EUCLIDIENS ORIENTÉ DE DIMENSION 2 OU 3
Bases directes et indirectes
Produit mixte
Produit vectoriel
Plans et droites de l'espace euclidien, orientation induite
ISOMÉTRIES DU PLAN VECTORIEL
Isométries directes, rotations
Isométries indirectes, symétries orthogonales
ISOMÉTRIES DE L'ESPACE
Réduction d'une isométrie de l'espace
Isométries directes : rotations
Isométries indirectes : symétries orthogonales (dernier cas : composée de symétrie par une rotation hors-programme)
ENDOMORPHISMES AUTOADJOINT (le vocabulaire n'est plus plus "endomorphismes symétriques")
Définition, image et noyau d'un endomorphisme autoadjoint, notation $\mathcal{S}(E)$
Matrice dans une b.o.n. d'un endomorphisme autoadjoint
Théorème spectral
Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs : notation $\mathcal{S}^+(E)$ et $\mathcal{S}^{++}(E)$, caractérisation par leur spectre (ajout dans le nouveau programme)
Savoir donner les définitions d'une isométrie, d'un endomorphisme autoadjoint, le théorème spectral complet, sa caractérisation matricielle
Savoir lister les différentes isométries directes ou indirectes du plan, connaitre leur matrice et comment les différencier.
Savoir lister les différentes isométrie directes ou indirectes de l'espace, connaitre leur matrice dans une base adaptée et comment les différencier.
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, $u$ est une isométrie vectorielle si et seulement si $u$ conserve le produit scalaire.
Soit $u \in \mathcal{O}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$.
Soit $u \in \mathcal{S}(E)$, les sous-espaces vectoriels propres sont orthogonaux.
Un endomorphisme autoadjoint est positif si, et seulement si, son spectre est inclus dans $\mathbb{R}^+$
Semaine du lundi 25 mars 2024
Chp 11 - VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
RAPPELS
Généralités : définition d'une v.a discrète, de sa loi. Définition et propriétés des fonctions de répartition.
Lois usuelles : Uniforme, Bernoulli, Binomiale, Géométrique, Poisson. Interprétation de la loi géométrique comme le rang du premier succès dans un schéma de Bernoulli. Absence de mémoire de la loi géométrique. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
ESPÉRANCE ET VARIANCE
Définition et propriétés de l'espérance et de la variance. Théorème de transfert.
Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson.
Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
Définition de loi conjointe et loi marginale, lien entre les deux. Loi conditionnelle.
Indépendance de deux v.a. Indépendance mutuelle et deux à deux de n v.a. Lemme des coalitions.
Espérance d'un produit de v.a indépendantes. Définition et propriétés de la covariance. Définition du coefficient de corrélation. Inégalité de Cauchy-Schwarz, encadrement du coefficient de corrélation.
Loi faible des grands nombres, estimation grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
FONCTIONS GÉNÉRATRICES
Fonctions génératrices
Définition de la fonction génératrice, rayon de convergence, régularité, caractérisation de la loi. Lien avec espérance et variance. Fonction génératrice d'une somme de v.a indépendantes.
Fonction génératrice des lois usuelles. Somme de deux v.a indépendantes de loi binomiale, de loi de Poisson
Questions de cours
Démo de l'inégalité en probabilité de Cauchy-Schwarz
Démo de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (à partir de celle de Markov).
Démo de la loi faible des grands nombres (à partir de Bienaymé-Tchebychev).
Connaitre par cœur le tableau des lois usuelles : pour les deux dernières colonnes, elles ne sont pas à connaitre par cœur mais vous devez savoir retrouver le résultat à l'aide des fonctions génératrices.
Semaine du lundi 1er avril 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Lundi 8 avril 2024 : Vacances de printemps
Lundi 15 avril 2024 : Vacances de printemps
Semaine du lundi 22 avril 2024
Chp 11 - VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
RAPPELS
Généralités : définition d'une v.a discrète, de sa loi. Définition et propriétés des fonctions de répartition.
Lois usuelles : Uniforme, Bernoulli, Binomiale, Géométrique, Poisson. Interprétation de la loi géométrique comme le rang du premier succès dans un schéma de Bernoulli. Absence de mémoire de la loi géométrique. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
ESPÉRANCE ET VARIANCE
Définition et propriétés de l'espérance et de la variance. Théorème de transfert.
Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson.
Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
Définition de loi conjointe et loi marginale, lien entre les deux. Loi conditionnelle.
Indépendance de deux v.a. Indépendance mutuelle et deux à deux de n v.a. Lemme des coalitions.
Espérance d'un produit de v.a indépendantes. Définition et propriétés de la covariance. Définition du coefficient de corrélation. Inégalité de Cauchy-Schwarz, encadrement du coefficient de corrélation.
Loi faible des grands nombres, estimation grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
FONCTIONS GÉNÉRATRICES
Fonctions génératrices
Définition de la fonction génératrice, rayon de convergence, régularité, caractérisation de la loi. Lien avec espérance et variance. Fonction génératrice d'une somme de v.a indépendantes.
Fonction génératrice des lois usuelles. Somme de deux v.a indépendantes de loi binomiale, de loi de Poisson
Questions de cours
Démo de l'inégalité en probabilité de Cauchy-Schwarz
Démo de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (à partir de celle de Markov).
Démo de la loi faible des grands nombres (à partir de Bienaymé-Tchebychev).
Connaitre par cœur le tableau des lois usuelles : pour les deux dernières colonnes, elles ne sont pas à connaitre par cœur mais vous devez savoir retrouver le résultat à l'aide des fonctions génératrices.
Semaine du lundi 29 avril 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 6 mai 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 13 mai 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 20 mai 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 27 mai 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 3 juin 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 10 juin 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 17 juin 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 24 juin 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 1er juillet 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
Semaine du lundi 8 juillet 2024
Le programme de colles de cette semaine n'est pas défini.
