Mathématiques
Chapitre 2 : Espaces probabilisés et variables aléatoires
- Définition d'une tribu et propriétés d'une tribu
- Définition d'une probabilité sur un ensemble $\Omega$ et propriétés usuelles des probabilités
- Définition des probabilités conditionnelles
- Formules des probabilités totales, des probabilités composées, formule de Bayes
- Indépendance: de deux évènements, de $n$ évènements, d'une suite d'évènements, de deux VA, de $n$ VA, d'une suite de VA
- Définition d'une VA
- Notation $(X\leqslant a)$ et compagnie
- Fonction de répartition et propriétés
Chapitre 3 : Variables aléatoires discrètes
- Vocabulaire d'une VA : variable finie, dénombrable, au plus dénombrable, discrètes, univers image, SCE des valeurs possibles, loi
- Lien entre loi et fonction de répartition
- Caractérisation de l'indépendance des VA discrètes (ne pas confondre avec la définition vue au chapitre précédent qui elle est valide pour toutes les VA et pas seulement les discrètes)
- Lemme des coalitions (admis)
- Espérance d'une VA et propriétés (linéarité, positivité, croissance)
- Formule de transfert
- Inégalité de Markov
- Espérance du produit de VA indépendantes
- Variance définition et propriétés
- Bienaymé-Tchebychev
- Lois usuelles de sup : connaître les lois, les univers images, les espérances et les variances
- Idem pour les lois géométriques et Poisson
Chapitre 4 : Couples de variables aléatoires
- Définition et vocabulaire sur les couples de variables aléatoires
- Méthode pour calculer les lois marginales à partir de la loi du couple
- Loi conditionnelle
- Méthode pour calculer le maximum/minimum de VA indépendantes
- Méthode pour calculer la somme de VA
- Somme de VA indépendantes suivant une loi de Poisson
- Formule de transfert pour les couples
- Covariance : définition et calcul grâce à la formule de König-Huygens
- Variance de la somme
Questions de cours
- Démonstration de l'espérance et la variance d'une loi de Poisson
- Démonstration de l'espérance et de la variance d'une loi géométrique
- Déterminer le maximum (ou le minimum au choix du colleur) de $p$ variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$
- Déterminer la loi de $X+Y$ si $X$ et $Y$ indépendantes et suivant des lois de Poisson
- Déterminer la loi de $X+Y$ si $X$ et $Y$ indépendantes et suivant des lois géométrique (exemple de cours mais ce n'est pas au programme de BCPST2)
- Déterminer la loi de $X_1+...+X_n$ si les $X_k$ sont indépendantes et suivant une loi de Poisson par récurrence (on pourra admettre le cas $n=2$, voir démo précédente)
- Écrire une fonction Python qui simule une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$
- Écrire une fonction Python qui simule une loi de Poisson de paramètre $\mu\geq 0$
- Écrire une fonction Python qui simule une variable aléatoire finie suivant une loi donnée sous la forme de deux listes : la liste des valeurs et la liste des probabilités associées
