Mathématiques
Chapitre 2 : Espaces probabilisés et variables aléatoires
- Définition d'une tribu et propriétés d'une tribu
- Définition d'une probabilité sur un ensemble $\Omega$ et propriétés usuelles des probabilités
- Définition des probabilités conditionnelles
- Formules des probabilités totales, des probabilités composées, formule de Bayes
- Indépendance: de deux évènements, de $n$ évènements, d'une suite d'évènements, de deux VA, de $n$ VA, d'une suite de VA
- Définition d'une VA
- Notation $(X\leqslant a)$ et compagnie
- Fonction de répartition et propriétés
Chapitre 3 : Variables aléatoires discrètes
- Vocabulaire d'une VA : variable finie, dénombrable, au plus dénombrable, discrètes, univers image, SCE des valeurs possibles, loi
- Lien entre loi et fonction de répartition
- Caractérisation de l'indépendance des VA discrètes (ne pas confondre avec la définition vue au chapitre précédent qui elle est valide pour toutes les VA et pas seulement les discrètes)
- Lemme des coalitions (admis)
- Espérance d'une VA et propriétés (linéarité, positivité, croissance)
- Formule de transfert
- Inégalité de Markov
- Espérance du produit de VA indépendantes
- Variance définition et propriétés
- Bienaymé-Tchebychev
- Lois usuelles de sup : connaître les lois, les univers images, les espérances et les variances
- Idem pour les lois géométriques et Poisson
Questions de cours
On vous posera deux questions de cours parmi les suivantes (exercice: combien cela fait-il de couplages différents ?)
- Donner la définition de $n$ évènements indépendants
- Donner la définition de $n$ VA indépendantes
- Donner la définition d'une suite évènements indépendants
- Donner la définition d'une suite de VA indépendantes
- Donner la caractérisation de $n$ VA discrètes indépendantes (ne pas confondre avec la définition)
- Énoncer impeccable de la formule des probabilités totales
- Énoncer impeccable de la formule des probabilités composées
- Pour l'une des lois usuelles (au choix du colleur parmi: uniforme, binomiale, géométrique, Poisson): donner la définition, l'univers image, l'espérance et la variance
- Donner le théorème des sommes de Riemann (à gauche ou à droite au choix du colleur), ainsi que la fonction Python permettant d'approximer l'intégrale par la méthode des rectangles (à gauche ou à droite suivant le choix fait précédemment).
- Énoncer impeccable du TVI ainsi que la fonction Python codant l'algorithme de Dichotomie (privilégier la version où «$(y - f(a))*(f(c) - y)\geq 0$)
- Énoncer la définition de la variance puis donner les propriétés usuelles: variance de aX+b, formule de König-Huygens
- Énoncer la formule de Markov et Bienaymé-Tchebychev (avec les hypothèses bien évidemment)
