Mathématiques
Applications linéaires
- Définition d'une application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, notation $\mathscr L(E,F)$, $\mathscr L(E)$
- Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaires, composition, composition et inverse d'isomorphisme
- Noyau et image (définition, caractérisation de l'injectivité et la surjectivité, écrire un ensemble comme un noyau permet de montrer que c'est un SEV)
- Une application linéaire est un isomorphisme ssi elle transforme une base en une base
- Une application linéaire est entièrement caractérisée par les images des vecteurs de sa base.
- Rang d'une application linéaire et calcul du rang en fonction du rang des images des vecteurs d'une base
- Théorème du rang (admis)
- Caractérisation de la bijectivité pour des applications linéaires dont l'espace de départ et d'arrivée sont de même dimension finie.
- Matrice d'une application linéaire
- Coordonnées de $y=u(x)$ en fonction de la matrice de $u$ et celle de $x$
- Matrice d'une combinaison linéaire, d'une composée, d'un automorphisme
- Noyau, image et rang d'une matrice
- Lien entre le noyau, image et rang d'une application linéaire et le noyau image et rang d'une matrice de cette application dans des bases
- Théorème du rang version matricielle
- Propriétés du rang d'une matrice
- Le calcul du noyau d'une matrice grâce aux relations de liaisons des colonnes a été présentée aux élèves mais n'est pas exigible
- Caractérisation des matrices inversibles
- Matrice de changement de base
- Formules de changement de base pour un vecteur ou pour un endomorphisme (le cas général d'une application linéaire n'est pas au programme)
- Matrices semblables (définition et interprétation en terme d'endomorphisme)
Chapitre 8 : Diagonalisation
- Définition valeurs propres/vecteurs propres/spectre/espaces propres pour un endo ou une matrice
- Lien entre valeur propre d'un endo et valeur propre d'une matrice idem pour les vecteurs propres
- Valeurs propre dans le cas d'une matrice 2*2 ou d'une matrice triangulaire supérieure, dans le cas général par le calcul du rang de $A-\lambda I_n$
- Théorème : une famille de vecteurs propres pour des valeurs propres deux à deux distinctes est libre, majoration du nombre de vecteurs propres, la juxtaposition de bases d'espaces propres est libre.
- Diagonalisabilité : définition et équivalence avec une base de vecteurs propres et la somme des dimensions des espaces propres
- Avoir n valeurs propres est une condition suffisante de diagonalisabilité
- Être matrice symétrique est une condition suffisante de diagonalisabilité
Questions de cours (deux questions de cours parmi les suivantes)
- Énoncer le théorème du rang (pour une application linéaire ou pour une matrice au choix du colleur)
- Donner la formule calculant la matrice de $g\circ f$ (en précisant bien les objets utilisés : EV de départ/d'arrivée de f et g, quelle base pour quel espace etc.)
- Donner la formule de changement de base pour un endomorphisme (idem que le point précédent)
- Énoncer le théorème de caractérisation de la bijectivité pour des applications linéaires
- Énoncer précis du théorème : une application linéaire est entièrement caractérisée par l'image d'une base.
- Lien entre noyau/image de $f$ et noyau et image de $A$ la matrice de $f$
- Écrire une fonction Python qui à deux matrices renvoie leur produit
- Donner la définition d'un vecteur propre, valeur propre, espace propre pour un endomorphisme (ou une matrice au choix du colleur)
- Donner la définition d'une matrice (ou d'un endomorphisme au choix du colleur) diagonalisable ainsi que deux équivalences
