Mathématiques
Chapitre 9 : Intégration
- Définition de l'intégrale généralisée d'une fonction continue sur $[a,b[$ ou $]a,b]$ ou $]a,b[$.
- Adaptation au cas où une fonction a un nombre fini de discontinuité
- Cas particulier des fonctions prolongeables par continuité
- Propriétés : linéarité, Chasles, positivité, croissance, théorème de stricte positivité de l'intégrale.
- IPP généralisée : ne pas oublier de dire que les fonctions sont de classe $\mathscr C^1$ et que le terme entre crochets admet bien des limites aux bornes, et de montrer que l'une des deux intégrales ont même nature. Sinon, on peut faire l'IPP sur un segment puis faire tendre les variables vers les bornes.
- Changement de variables généralisées : ne pas oublier de dire que le changement de variable est $\mathscr C^1$, de changer les bornes, le $dt$ etc.
- Cas particuliers des fonctions paires/impaires
- Comparaison des fonctions positives
- Critère d'équivalence pour les fonctions positives
- Intégrales absolument convergente : définition et elles convergent
Questions de cours
Une des questions parmi :
- Donner la définition de la convergence de l'intégrale d'une fonction continue sur un des trois types d'intervalle (hors segment) au choix du colleur
- Énoncer le théorème de stricte positivité de l'intégrale.
- Étude de la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}dt$ et valeur de l'intégrale en cas de convergence (résultat hors programme mais à savoir démontrer au besoin)
- Idem pour ou $\int_0^1 \frac{1}{t^\alpha}dt$
- Idem pour $\int_0^{+\infty} e^{-at}dt$
- Idem pour $\int_0^1\ln(t)dt$
- Énoncer le théorème d'intégration par parties pour les intégrales généralisées
