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• Corrigé du TP1 (séries et graphe) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/2fd9-7027348
• Corrigé du TP2/3 (méthode d'Euler partie 1) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/8a93-7140541
• Corrigé du TP2/3 (méthode d'Euler partie 2) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/4502-7128536
• Corrigé du TP4/5 (analyse numérique partie 1) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/d614-7375159
• Corrigé du TP4/5 (analyse numérique partie 2) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/b711-7331165
• Corrigé du TP6 (simulation de variables aléatoires) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/4b52-7597524
• Corrigé du TP7 (texte) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/f351-7815458

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DM2 à rendre

DS4 de maths

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Même programme de colle que la semaine précédente

Chapitre 2 : Espaces probabilisés et variables aléatoires

• Définition d'une tribu et propriétés d'une tribu
• Définition d'une probabilité sur un ensemble $\Omega$ et propriétés usuelles des probabilités
• Définition des probabilités conditionnelles
• Formules des probabilités totales, des probabilités composées, formule de Bayes
• Indépendance: de deux évènements, de $n$ évènements, d'une suite d'évènements, de deux VA, de $n$ VA, d'une suite de VA
• Définition d'une VA
• Notation $(X\leqslant a)$ et compagnie
• Fonction de répartition et propriétés

Chapitre 3 : Variables aléatoires discrètes

• Vocabulaire d'une VA : variable finie, dénombrable, au plus dénombrable, discrètes, univers image, SCE des valeurs possibles, loi
• Lien entre loi et fonction de répartition
• Caractérisation de l'indépendance des VA discrètes (ne pas confondre avec la définition vue au chapitre précédent qui elle est valide pour toutes les VA et pas seulement les discrètes)
• Lemme des coalitions (admis)
• Espérance d'une VA et propriétés (linéarité, positivité, croissance)
• Formule de transfert
• Inégalité de Markov
• Espérance du produit de VA indépendantes
• Variance définition et propriétés
• Bienaymé-Tchebychev
• Lois usuelles de sup : connaître les lois, les univers images, les espérances et les variances
• Idem pour les lois géométriques et Poisson

Chapitre 4 : Couples de variables aléatoires

• Définition et vocabulaire sur les couples de variables aléatoires
• Méthode pour calculer les lois marginales à partir de la loi du couple
• Loi conditionnelle
• Méthode pour calculer le maximum/minimum de VA indépendantes
• Méthode pour calculer la somme de VA
• Somme de VA indépendantes suivant une loi de Poisson
• Formule de transfert pour les couples
• Covariance : définition et calcul grâce à la formule de König-Huygens
• Variance de la somme

Questions de cours

• Démonstration de l'espérance et la variance d'une loi de Poisson
• Démonstration de l'espérance et de la variance d'une loi géométrique
• Déterminer le maximum (ou le minimum au choix du colleur) de $p$ variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$
• Déterminer la loi de $X+Y$ si $X$ et $Y$ indépendantes et suivant des lois de Poisson
• Déterminer la loi de $X+Y$ si $X$ et $Y$ indépendantes et suivant des lois géométrique (exemple de cours mais ce n'est pas au programme de BCPST2)
• Déterminer la loi de $X_1+...+X_n$ si les $X_k$ sont indépendantes et suivant une loi de Poisson par récurrence (on pourra admettre le cas $n=2$, voir démo précédente)
• Écrire une fonction Python qui simule une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$
• Écrire une fonction Python qui simule une loi de Poisson de paramètre $\mu\geq 0$
• Écrire une fonction Python qui simule une variable aléatoire finie suivant une loi donnée sous la forme de deux listes : la liste des valeurs et la liste des probabilités associées

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Chapitre 2 : Espaces probabilisés et variables aléatoires

• Définition d'une tribu et propriétés d'une tribu
• Définition d'une probabilité sur un ensemble $\Omega$ et propriétés usuelles des probabilités
• Définition des probabilités conditionnelles
• Formules des probabilités totales, des probabilités composées, formule de Bayes
• Indépendance: de deux évènements, de $n$ évènements, d'une suite d'évènements, de deux VA, de $n$ VA, d'une suite de VA
• Définition d'une VA
• Notation $(X\leqslant a)$ et compagnie
• Fonction de répartition et propriétés

Chapitre 3 : Variables aléatoires discrètes

• Vocabulaire d'une VA : variable finie, dénombrable, au plus dénombrable, discrètes, univers image, SCE des valeurs possibles, loi
• Lien entre loi et fonction de répartition
• Caractérisation de l'indépendance des VA discrètes (ne pas confondre avec la définition vue au chapitre précédent qui elle est valide pour toutes les VA et pas seulement les discrètes)
• Lemme des coalitions (admis)
• Espérance d'une VA et propriétés (linéarité, positivité, croissance)
• Formule de transfert
• Inégalité de Markov
• Espérance du produit de VA indépendantes
• Variance définition et propriétés
• Bienaymé-Tchebychev
• Lois usuelles de sup : connaître les lois, les univers images, les espérances et les variances
• Idem pour les lois géométriques et Poisson

Questions de cours

On vous posera deux questions de cours parmi les suivantes (exercice: combien cela fait-il de couplages différents ?)

• Donner la définition de $n$ évènements indépendants
• Donner la définition de $n$ VA indépendantes
• Donner la définition d'une suite évènements indépendants
• Donner la définition d'une suite de VA indépendantes
• Donner la caractérisation de $n$ VA discrètes indépendantes (ne pas confondre avec la définition)
• Énoncer impeccable de la formule des probabilités totales
• Énoncer impeccable de la formule des probabilités composées
• Pour l'une des lois usuelles (au choix du colleur parmi: uniforme, binomiale, géométrique, Poisson): donner la définition, l'univers image, l'espérance et la variance
• Donner le théorème des sommes de Riemann (à gauche ou à droite au choix du colleur), ainsi que la fonction Python permettant d'approximer l'intégrale par la méthode des rectangles (à gauche ou à droite suivant le choix fait précédemment).
• Énoncer impeccable du TVI ainsi que la fonction Python codant l'algorithme de Dichotomie (privilégier la version où «$(y - f(a))*(f(c) - y)\geq 0$)
• Énoncer la définition de la variance puis donner les propriétés usuelles: variance de aX+b, formule de König-Huygens
• Énoncer la formule de Markov et Bienaymé-Tchebychev (avec les hypothèses bien évidemment)

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