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Chapitre 9 : Intégration

• Définition de l'intégrale généralisée d'une fonction continue sur $[a,b[$ ou $]a,b]$ ou $]a,b[$.
• Adaptation au cas où une fonction a un nombre fini de discontinuité
• Cas particulier des fonctions prolongeables par continuité
• Propriétés : linéarité, Chasles, positivité, croissance, théorème de stricte positivité de l'intégrale.
• IPP généralisée : ne pas oublier de dire que les fonctions sont de classe $\mathscr C^1$ et que le terme entre crochets admet bien des limites aux bornes, et de montrer que l'une des deux intégrales ont même nature. Sinon, on peut faire l'IPP sur un segment puis faire tendre les variables vers les bornes.
• Changement de variables généralisées : ne pas oublier de dire que le changement de variable est $\mathscr C^1$, de changer les bornes, le $dt$ etc.
• Cas particuliers des fonctions paires/impaires
• Comparaison des fonctions positives
• Critère d'équivalence pour les fonctions positives
• Intégrales absolument convergente : définition et elles convergent

Questions de cours

Une des questions parmi :

• Donner la définition de la convergence de l'intégrale d'une fonction continue sur un des trois types d'intervalle (hors segment) au choix du colleur
• Énoncer le théorème de stricte positivité de l'intégrale.
• Étude de la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}dt$ et valeur de l'intégrale en cas de convergence (résultat hors programme mais à savoir démontrer au besoin)
• Idem pour ou $\int_0^1 \frac{1}{t^\alpha}dt$
• Idem pour $\int_0^{+\infty} e^{-at}dt$
• Idem pour $\int_0^1\ln(t)dt$
• Énoncer le théorème d'intégration par parties pour les intégrales généralisées

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• Corrigé du TP1 (séries et graphe) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/2fd9-7027348
• Corrigé du TP2/3 (méthode d'Euler partie 1) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/8a93-7140541
• Corrigé du TP2/3 (méthode d'Euler partie 2) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/4502-7128536
• Corrigé du TP4/5 (analyse numérique partie 1) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/d614-7375159
• Corrigé du TP4/5 (analyse numérique partie 2) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/b711-7331165
• Corrigé du TP6 (simulation de variables aléatoires) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/4b52-7597524
• Corrigé du TP7 (texte) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/f351-7815458
• Corrigé du TP8 (Levenshtein) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/13a0-8083759
• Corrigé du TP9 (Tri de listes) : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/7270-8231913
• Corrigé du TP10 Révision de récursivité : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/f35a-8379689
• Corrigé du TP11/12 Polyômes : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/2b08-8536398
• Corrigé du TP11/12 Matrices : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/88bc-8866254
• Corrigé du TP13 Dictionnaires Parcours : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/664d-9011106
• Corrigé du TP14 Tri de listes : rapides et fusion : https://capytale2.ac-paris.fr/web/c/2852-9163786

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Même programme de colle que la semaine précédente

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Applications linéaires

• Définition d'une application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, notation $\mathscr L(E,F)$, $\mathscr L(E)$
• Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaires, composition, composition et inverse d'isomorphisme
• Noyau et image (définition, caractérisation de l'injectivité et la surjectivité, écrire un ensemble comme un noyau permet de montrer que c'est un SEV)
• Une application linéaire est un isomorphisme ssi elle transforme une base en une base
• Une application linéaire est entièrement caractérisée par les images des vecteurs de sa base.
• Rang d'une application linéaire et calcul du rang en fonction du rang des images des vecteurs d'une base
• Théorème du rang (admis)
• Caractérisation de la bijectivité pour des applications linéaires dont l'espace de départ et d'arrivée sont de même dimension finie.
• Matrice d'une application linéaire
• Coordonnées de $y=u(x)$ en fonction de la matrice de $u$ et celle de $x$
• Matrice d'une combinaison linéaire, d'une composée, d'un automorphisme
• Noyau, image et rang d'une matrice
• Lien entre le noyau, image et rang d'une application linéaire et le noyau image et rang d'une matrice de cette application dans des bases
• Théorème du rang version matricielle
• Propriétés du rang d'une matrice
• Le calcul du noyau d'une matrice grâce aux relations de liaisons des colonnes a été présentée aux élèves mais n'est pas exigible
• Caractérisation des matrices inversibles
• Matrice de changement de base
• Formules de changement de base pour un vecteur ou pour un endomorphisme (le cas général d'une application linéaire n'est pas au programme)
• Matrices semblables (définition et interprétation en terme d'endomorphisme)

Questions de cours (deux questions de cours parmi les suivantes)

• Énoncer le théorème du rang
• Donner la formule calculant la matrice de $g\circ f$ (en précisant bien les objets utilisés : EV de départ/d'arrivée de f et g, quelle base pour quel espace etc.)
• Donner la formule de changement de base pour un endomorphisme (idem que le point précédent)
• Énoncer le théorème de caractérisation de la bijectivité pour des applications linéaires
• Énoncer précis du théorème : une application linéaire est entièrement caractérisée par l'image d'une base.
• Lien entre noyau/image de $f$ et noyau et image de $A$ la matrice de $f$
• Écrire une fonction Python qui prend en entrée un polynôme (définie comme la liste de ses coefficients dans l'ordre croissant) et renvoie sa dérivée
• Écrire une fonction Python qui prend en entrée un polynôme $P$ (modélisée de la même façon qu'à la question précédente) et un réel $a$ et renvoie $P(a)$

Applications linéaires

• Définition d'une application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, notation $\mathscr L(E,F)$, $\mathscr L(E)$
• Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaires, composition, composition et inverse d'isomorphisme
• Noyau et image (définition, caractérisation de l'injectivité et la surjectivité, écrire un ensemble comme un noyau permet de montrer que c'est un SEV)
• Une application linéaire est un isomorphisme ssi elle transforme une base en une base
• Une application linéaire est entièrement caractérisée par les images des vecteurs de sa base.
• Rang d'une application linéaire et calcul du rang en fonction du rang des images des vecteurs d'une base
• Théorème du rang (admis)
• Caractérisation de la bijectivité pour des applications linéaires dont l'espace de départ et d'arrivée sont de même dimension finie.
• Matrice d'une application linéaire
• Coordonnées de $y=u(x)$ en fonction de la matrice de $u$ et celle de $x$
• Matrice d'une combinaison linéaire, d'une composée, d'un automorphisme
• Noyau, image et rang d'une matrice
• Lien entre le noyau, image et rang d'une application linéaire et le noyau image et rang d'une matrice de cette application dans des bases
• Théorème du rang version matricielle
• Propriétés du rang d'une matrice
• Le calcul du noyau d'une matrice grâce aux relations de liaisons des colonnes a été présentée aux élèves mais n'est pas exigible
• Caractérisation des matrices inversibles
• Matrice de changement de base
• Formules de changement de base pour un vecteur ou pour un endomorphisme (le cas général d'une application linéaire n'est pas au programme)
• Matrices semblables (définition et interprétation en terme d'endomorphisme)

Chapitre 8 : Diagonalisation

• Définition valeurs propres/vecteurs propres/spectre/espaces propres pour un endo ou une matrice
• Lien entre valeur propre d'un endo et valeur propre d'une matrice idem pour les vecteurs propres
• Valeurs propre dans le cas d'une matrice 2*2 ou d'une matrice triangulaire supérieure, dans le cas général par le calcul du rang de $A-\lambda I_n$
• Théorème : une famille de vecteurs propres pour des valeurs propres deux à deux distinctes est libre, majoration du nombre de vecteurs propres, la juxtaposition de bases d'espaces propres est libre.
• Diagonalisabilité : définition et équivalence avec une base de vecteurs propres et la somme des dimensions des espaces propres
• Avoir n valeurs propres est une condition suffisante de diagonalisabilité
• Être matrice symétrique est une condition suffisante de diagonalisabilité

Questions de cours (deux questions de cours parmi les suivantes)

• Énoncer le théorème du rang (pour une application linéaire ou pour une matrice au choix du colleur)
• Donner la formule calculant la matrice de $g\circ f$ (en précisant bien les objets utilisés : EV de départ/d'arrivée de f et g, quelle base pour quel espace etc.)
• Donner la formule de changement de base pour un endomorphisme (idem que le point précédent)
• Énoncer le théorème de caractérisation de la bijectivité pour des applications linéaires
• Énoncer précis du théorème : une application linéaire est entièrement caractérisée par l'image d'une base.
• Lien entre noyau/image de $f$ et noyau et image de $A$ la matrice de $f$
• Écrire une fonction Python qui à deux matrices renvoie leur produit
• Donner la définition d'un vecteur propre, valeur propre, espace propre pour un endomorphisme (ou une matrice au choix du colleur)
• Donner la définition d'une matrice (ou d'un endomorphisme au choix du colleur) diagonalisable ainsi que deux équivalences

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