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Physique

Questions de cours et exercices : Solide en rotation autour d'un axe fixe

• Théorème du moment cinétique
• Moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe
• Moment d'inertie par rapport à un axe : définition, propriétés
• Relation $L_\Delta = J_\Delta \dot{\theta}$
• TMC par rapport à l'axe de rotation : $J_\Delta \ddot{\theta} = \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_{\text{ext}})$
• Moments d'inertie usuels (fournis en exercice) : tige, disque, sphère...
• Application aux dispositifs en rotation
• Notion de couple : définition, moment d'un couple
• Liaison pivot : réaction de l'axe, moment nul par rapport à l'axe
• Pendule de torsion
• Position du problème : solide rappelé par un fil de torsion de constante $C$
• Équation horaire du mouvement : $J\ddot{\theta} + C\theta = 0$
• Oscillations harmoniques : pulsation propre $\omega_0 = \sqrt{\frac{C}{J}}$
• Intégrale première du mouvement (énergie mécanique)
• Aspects énergétiques
• Énergie cinétique d'un solide en rotation : $E_c = \frac{1}{2}J_\Delta \dot{\theta}^2$
• Puissance d'une force : $\mathcal{P}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{v}$
• Puissance d'un couple : $\mathcal{P} = \mathcal{M}_\Delta \dot{\theta}$
• Théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation
• Lien entre puissance, travail et TMC
• Conservation de l'énergie mécanique pour un système conservatif
• Cas des systèmes déformables
• Exemple du tabouret d'inertie (ou de la patineuse)
• Conservation du moment cinétique : $L_\Delta = J_\Delta \dot{\theta} = \text{cste}$ si $\mathcal{M}_\Delta = 0$
• Variation du moment d'inertie et conséquences sur la vitesse angulaire
• Variation de l'énergie cinétique lors d'une déformation
• Interprétation : travail des forces intérieures (non nul pour un système déformable)

Questions de cours

1. Définir le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe fixe $\Delta$. Quelles sont ses propriétés ? Quelle est son unité ? Quelle est son interprétation physique ?
2. Exprimer le moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ en fonction de son moment d'inertie $J_\Delta$ et de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$. En déduire l'expression de la dérivée temporelle du moment cinétique.
3. Énoncer le théorème du moment cinétique (TMC) pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$. Préciser les hypothèses. Quelle est l'utilité de ce théorème par rapport au PFD ?
4. Qu'est-ce qu'un couple de forces ? Définir le moment d'un couple. Donner des exemples de couples en physique.
5. Étudier le mouvement d'un pendule de torsion : un solide de moment d'inertie $J$ peut tourner autour d'un axe vertical et est rappelé par un fil de torsion de constante de torsion $C$. Établir l'équation du mouvement et déterminer la pulsation propre des oscillations.
6. Démontrer que l'énergie mécanique d'un pendule de torsion (sans frottement) est une intégrale première du mouvement. Donner l'expression de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
7. Exprimer l'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ en fonction de son moment d'inertie $J_\Delta$ et de sa vitesse angulaire $\dot{\theta}$. Faire l'analogie avec l'énergie cinétique d'un point matériel en translation.
8. Définir la puissance d'une force appliquée à un solide en rotation. En déduire l'expression de la puissance d'un couple de moment $\mathcal{M}_\Delta$ agissant sur un solide tournant à la vitesse angulaire $\dot{\theta}$.
9. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe. Faire le lien avec le TMC.
10. Expliquer le principe du tabouret d'inertie (ou de la patineuse qui tourne sur elle-même). Un système de moment d'inertie variable $J(t)$ tourne autour d'un axe vertical sans frottement. Montrer que le moment cinétique se conserve et en déduire la relation entre $J$ et $\dot{\theta}$. Que se passe-t-il pour l'énergie cinétique ?
11. Dans le cas du tabouret d'inertie, expliquer pourquoi l'énergie cinétique varie alors que le moment cinétique se conserve. D'où provient cette variation d'énergie ? Établir la relation entre la variation d'énergie cinétique et le travail fourni.

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