Questions de cours et exercices : Théorème du moment cinétique
- Moment d'une force
- Exemple et nécessité d'une nouvelle grandeur pour les mouvements de rotation
- Définition du moment d'une force par rapport à un point : $\vec{\mathcal{M}}_A(\vec{F}) = \vec{AM} \wedge \vec{F}$
- Propriétés : linéarité, dépendance au point choisi, force passant par A
- Méthode du bras de levier : $\|\vec{\mathcal{M}}_A(\vec{F})\| = a F$
- Moment cinétique
- Définition du moment cinétique par rapport à un point : $\vec{L}_A = \vec{AM} \wedge m\vec{v}$
- Propriétés et interprétation physique
- Expression en coordonnées polaires planes : $\vec{L}_O = mr^2\dot{\theta}\vec{e}_z$
- Méthode du bras de levier pour le moment cinétique
- Théorème du moment cinétique (TMC)
- Énoncé : $\left(\frac{d\vec{L}_A}{dt}\right)_{\mathcal{R}_g} = \vec{\mathcal{M}}_A(\vec{F})$ avec A fixe dans $\mathcal{R}_g$
- Démonstration du TMC
- Conservation du moment cinétique : $\vec{\mathcal{M}}_A(\vec{F}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{L}_A = \text{cste}$
- Cas particulier : force centrale et loi des aires
- Expressions scalaires projetées sur un axe fixe
- Moment scalaire d'une force par rapport à un axe : $\mathcal{M}_\Delta(\vec{F}) = \vec{\mathcal{M}}_A(\vec{F}) \cdot \vec{e}_\Delta$
- Moment cinétique scalaire par rapport à un axe : $L_\Delta = \vec{L}_A \cdot \vec{e}_\Delta$
- TMC scalaire : $\frac{dL_\Delta}{dt} = \mathcal{M}_\Delta(\vec{F})$ avec $\Delta$ axe fixe dans $\mathcal{R}_g$
- Application au pendule simple (sans notion de moment d'inertie)
Questions de cours seulement : Mouvements dans un champ de force centrale conservatif
- Champ de force centrale conservatif (partie I)
- Définition d'une force centrale : $\vec{F} = F(r)\vec{e}_r$
- Force centrale conservative : $F(r) = -\frac{dE_p}{dr}$
- Exemples : interaction gravitationnelle, interaction électrostatique, potentiel de Yukawa (seulement à titre d'exemple)
- Conservation du moment cinétique et planéité du mouvement
- Constante des aires : $C = r^2\dot{\theta} = \text{cste}$
- Loi des aires (2e loi de Kepler généralisée) : $\frac{dS}{dt} = \frac{C}{2}$
- Énergie potentielle effective : $E_{p,\text{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2}$
- Barrière centrifuge
- États lié et de diffusion
- Mouvement dans un champ newtonien (partie II)
- Définition du champ newtonien : $\vec{F} = -\frac{K}{r^2}\vec{e}_r$
- Énergie potentielle : $E_p(r) = -\frac{K}{r}$
- Cas attractif ($K > 0$) et cas répulsif ($K < 0$)
- Énergie potentielle effective et diagramme énergétique
- Types de trajectoires (coniques) selon l'énergie mécanique
- Correspondance trajectoire-énergie : cercle, ellipse, parabole, hyperbole
- Énergie mécanique des états liés : $E_m = -\frac{K}{2a}$
Questions de cours
- Définir le moment d'une force $\vec{F}$ appliquée en M par rapport à un point A. Quelles sont les propriétés du moment d'une force ? Expliquer la méthode du bras de levier pour calculer la norme du moment.
- Définir le moment cinétique d'un point matériel M par rapport à un point A. Donner son expression en coordonnées polaires planes. Quelle est l'interprétation physique du moment cinétique ?
- Énoncer et démontrer le théorème du moment cinétique (TMC) pour un point matériel dans un référentiel galiléen. Préciser les conditions d'application.
- Qu'est-ce qu'une force centrale ? Montrer qu'une force centrale entraîne la conservation du moment cinétique. En déduire la planéité du mouvement et la constante des aires.
- Énoncer la loi des aires (2e loi de Kepler généralisée). Quelle est sa signification physique ? Faire le lien avec la conservation du moment cinétique.
- Étudier le mouvement d'un pendule simple (masse $m$, longueur $\ell$) soumis au poids et à la tension du fil. Établir l'équation du mouvement en utilisant le TMC scalaire par rapport à l'axe de rotation.
- Qu'est-ce qu'une force centrale conservative ? Donner deux exemples. Définir l'énergie potentielle effective $E_{p,\text{eff}}(r)$. Quel est le rôle de la barrière centrifuge ?
- Définir un champ de force newtonien. Donner deux exemples physiques (gravitationnel et électrostatique). Tracer l'allure de l'énergie potentielle effective pour un champ newtonien attractif ($K > 0$).
- Pour un champ newtonien attractif, expliquer la différence entre un état lié et un état de diffusion. Comment le type de mouvement dépend-il de l'énergie mécanique ? Donner la correspondance entre les différentes trajectoires (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) et l'énergie mécanique.
- Démontrer que pour un état lié dans un champ newtonien attractif, l'énergie mécanique vaut $E_m = -\frac{K}{2a}$ où $a = \frac{r_{\min} + r_{\max}}{2}$ est le demi-grand axe de l'ellipse.
Note : Des exercices (non seulement d'application directe) pourront être donnés sur le chapitre 5 (TMC). Pour le chapitre 6 (parties I et II), seules des applications directes du cours pourront être demandées en plus des questions de cours.
