Maths
Chp 0 - RUDIMENTS DE LOGIQUE
- Découverte de l'alphabet grec,
- Quantificateurs ($\forall$ et $\exists$) et notion de propositions, négation d'une proposition, notion de réciproque et de contraposée
- Maitrise des notations, écriture de propriétés mathématiques à l'aide de quantificateurs,
- Les différents types de raisonnements : Raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde, savoir comment prouver qu'une inégalité est vraie, raisonnements (simples) par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple et forte) sur des exemples;
Chp 1 - INÉGALITÉS, VALEUR ABSOLUE, PARTIE ENTIÈRE
- INÉGALITÉS DANS $\mathbb{R}$ : Relation d'ordre, propriétés sur les inégalités, notion d'intervalle de $\mathbb{R}$.
- VALEUR ABSOLUE : Définition, propriétés, inégalités avec valeurs absolues, inégalité triangulaire
- PARTIES MAJORÉES, MINORÉES, BORNÉES : Définition d'un majorant, d'un minorant, d'un ensemble borné, notion de maximum, minimum, extremum.
Notions et démonstrations exigibles :
- Démonstration impeccable de : "$n$ est pair si, et seulement si, $n^2$ est pair."
- Démonstration impeccable de "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" (en admettant le point précédent).
- Énoncé et démonstration impeccable de l'inégalité triangulaire (pas de cas d'égalité).
- Exercice 27 : Démontrer que $\forall x \in \mathbb{R}, |\sin(x)| \leqslant |x|$.
- Restitution impeccable de la définition d'un majorant, d'un minorant, d'une partie bornée, d'un maximum, d'un minimum, d'un extremum
Connaissances et méthodes essentielles :
- Proposition avec des quantificateurs : savoir la lire, la traduire en français, la nier, écrire une contraposée, une négation, savoir dire si une proposition est vraie ou fausse (démonstration ou contre-exemple)
- Savoir démontrer une implication (raisonnement direct, par contraposée ou par l'absurde), savoir démontrer une équivalence (par double implication)
- Savoir prouver qu'une égalité/inégalité est vraie : se ramener par équivalence à une égalité/inégalité triviale.
- Raisonnement par analyse/synthèse : son utilité et savoir quand l'appliquer.
- Raisonnement par récurrence (simple, double, triple, multiple, forte).
- Savoir développer/factoriser des expressions classiques, simplifier des fractions, puissances, radicaux (méthode de la quantité conjuguée)
- Savoir résoudre des équations du premier degré, du second degré, factoriser un polynôme connaissant une racine.
- Savoir résoudre des équations avec radicaux (attention à l'ensemble de définition, et à ne pas oublier la synthèse au besoin)
- Savoir manipuler des inégalités, et noter l'intervalle des solutions
- Connaitre les propriétés de la valeur absolue, résoudre des inégalités avec valeurs absolue (par disjonction de cas si besoin)
- Savoir ce qu'est une partie minorée, majorée, bornée et l'écrire avec des quantificateurs. Savoir prouver qu'une partie est bornée, etc...
- Connaitre la définition de la partie entière, ses propriétés, savoir prouver des égalités avec des parties entières (ou résoudre des équations)
