Maths
Chp 3 (suite) - FONCTIONS USUELLES
- FONCTIONS PUISSANCES : définition, propriétés, dérivée, limites,
- FONCTION $\exp$ EN BASE $a$ : définition, propriétés, dérivée, limites,
- LOGARITHME DÉCIMAL : définition
- FONCTIONS COSINUS ET SINUS HYPERBOLIQUE : définition, propriétés, dérivée, limites, graphique, formules
- FONCTIONS CIRCULAIRES COSINUS, SINUS ET TANGENTE : Définition de $\cos$ et $\sin$, définition de la relation de congruence, angles usuels, formules trigonométriques, limites indéterminées en $0$ (dans le but de prouver la dérivée de la fonction sin et cos), résolutions d'équations trigonométrique. Propriétés, variations, graphique de $\cos$ et $\sin$. Fonction tangente, propriétés, variations, graphique, angles usuels et formules trigonométriques.
- FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES :définition, propriétés, dérivée, graphique de $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$.
Chp 4 - SOMMES ET PRODUITS
- SOMME ET PRODUITS : Définition du symbole $\Sigma$ et $\Pi$, règles de calcul pour la somme (linéarité) et pour le produit, méthodes de calculs (somme et produit de termes constants, sommes et produits télescopiques, changements d'indice, somme de termes de suites arithmétiques et géométriques)
- SOMMES DOUBLES : indexation sur le couple $(i,j)$, permutation des indices des sommes doubles, développement du produit de deux sommes
- COEFFICIENTS BINOMIAUX ET FORMULE DU BINÔME DE NEWTON : Définition de la factorielle, des coefficients binomiaux, propriétés (symétrie, formule du capitaine, triangle de Pascal), formule du binôme de Newton
Notions et démonstrations exigibles :
- Exercice 65 - question 1) + 3) Prouver que ch est bijective de $\mathbb{R}^+$ vers $[1,+\infty[$ et déterminer la bijection réciproque de la fonction ch.
- Démonstration des propriétés de $\arcsin$, $\arccos$ OU $\arctan$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
- Démonstration de l'identité remarquable $a^n-b^n$.
- Calcul de la somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ et du produit $P_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1- \dfrac{1}{k} \right)$
- Calcul de $S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \dfrac{i}{j}$
- Définition et propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, formule du capitaine et formule du triangle de Pascal) à savoir démontrer.
- Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k}$ et $\displaystyle\underset{k \mbox{ pair}}{\sum_{k=0}^{n}} {n \choose k}$.
- Exercice 91 : pour $n$ entier naturel, on pose $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}$.
A l'aide du changement d'indice $j=2n+1-k$, déterminer une autre expression de $S_n$.
Puis en déduire la valeur de $2S_n$, puis celle de $S_n$.
Connaissances et méthodes essentielles :
- Savoir comment écrire $a^b$ sous la forme exponentielle, connaitre les ensembles de définitions, dérivées et limites de $x \mapsto a^x$ et $x \mapsto x^a$.
- Savoir se repérer sur un cercle trigonométrique, connaitre les principales formules de trigonométrie et savoir résoudre des équations de trigonométrie.
- Connaitre les ensembles de définition, variations, courbes, limites et dérivées des fonctions $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, ch, sh.
- Savoir faire des études de fonctions à partir de ces nouvelles fonctions usuelles.
- Savoir les méthodes classiques pour calculer une somme ou un produit : sommes de termes de suite arithmétique, géométrique, sommes de termes constants, sommes et produits télescopique.
- Maitriser le changement d'indice dans les sommes et produits.
- Connaitre la factorisation de $a^n-b^n$.
- Comprendre l'indexation des sommes doubles rectangulaires et triangulaires et savoir les réécrire avec une somme de somme.
- Savoir manipuler les factorielles, les coefficients binomiaux et leurs propriétés.
- Connaitre la formule du binôme de Newton et savoir l'appliquer à l'aide du triangle de Pascal pour développer ou bien pour calculer des sommes.
