Maths
Chp 5 - NOMBRES COMPLEXES
- NOMBRES COMPLEXES : "Construction de $\mathbb{C}$, forme algébrique, le plan complexe, notion de conjugué, de module,
- NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 : Définition de $\mathbb{U}$, de l'exponentielle $e^{\textbf{i}\theta}$, propriétés de l'exp complexe, formule d'Euler et de Moivre,
- APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIE : Linéarisation de $\cos$ et $\sin$ avec Euler, factorisation par l'angle moitié, les polynômes trigonométriques (avec Moivre), calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
- FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET ARGUMENT : définition, propriété de l'argument, exponentielle d'un nombre complexe,
- RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS COMPLEXES : équations du second degré à coefficients réels, recherche des racines carrées d'un complexe, équations du second degré à coefficients complexes, application à la résolution d'un système somme-produit.
- ÉQUATIONS DU TYPE $Z^n=1$ - RACINES $n$-IEMES DE L’UNITÉ : Définition, ensemble des racines $n$-ième de l'unité, racines $n$-ième d'un nombre complexe $Z$.
- TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : Ne pas donner d'exercices de colle dessus.
Connaissances et méthodes essentielles :
- Savoir mettre sous forme algébrique et exponentielle/trigonométrique un nombre complexe, savoir laquelle est la plus pratique pour quoi faire.
- Savoir utiliser la forme d'Euler et de Moivre pour linéariser ou modifier l'expression de $\cos$ et $\sin$.
- Savoir calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et utiliser l'angle moitié.
- Savoir trouver la racine carrée d'un nombre complexe et résoudre une équation de degré $2$.
- Savoir trouver les racines $n$-ièmes de l'unité et d'un nombre complexe.
Chp 6 - PRIMITIVES
- CALCUL DE PRIMITIVES : Définition d'une primitive, existence de primitives, primitives complexes, primitives usuelles, primitives de formes usuelles, primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$).
- CALCUL D'INTÉGRALES : "Définition" de l'intégrale, intégrale d'une fonction complexe, Théorème fondamental de l'analyse, lien entre primitive et intégrale, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, intégration par partie, changement de variable, autres calculs (par exemple de polynômes trigonométriques en linéarisant ou reconnaissant des formes usuelles).
Les règles de Bioche ne sont plus au programme de PCSI (comme tout excès de technicité dans les changements de variables).
Connaissances et méthodes essentielles :
- Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
- Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
- Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
- primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
- Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
- Savoir faire un changement de variable
- Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale
Notions et démonstrations exigibles
- Démonstration de l'inégalité triangulaire (uniquement la partie droite $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$) : l'énoncer proprement et savoir la démontrer avec le cas d'égalité.
- Démonstration de l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité : $\mathbb{U}=\{e^{\frac{2\textbf{i}k\pi}{n}}~|~k \in [\![0,n-1]\!]\}$
- Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ pour $\theta \in \mathbb{R}$.
- Démonstration de la formule de Moivre
- Exercice 104 : Pour quelles valeurs de $n$, le complexe $\left( \dfrac{(1-i\sqrt{3})^5}{(1-i)^3} \right)^n$ est-il un réel positif ?
- Savoir calculer $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+x+1}~\text{d}x$ puis $\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+x+1}~\text{d}x$
- Savoir calculer $\displaystyle\int \cos(t)e^{-2t}~\text{d}t$ (par double IPP ou en utilisant les complexes)
