Maths
Chp 0 - RUDIMENTS DE LOGIQUE
- Découverte de l'alphabet grec,
- Notion d'assertion et de connecteurs logiques, notion de prédicat et quantificateurs ($\forall$ et $\exists$), négation d'une assertion, notion de réciproque et de contraposée
- Maitrise des notations, écriture de propriétés mathématiques à l'aide de quantificateurs,
- Les différents types de raisonnements : Raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde, savoir comment prouver qu'une inégalité est vraie, raisonnements (simples) par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple et forte) sur des exemples;
Chp 1 - NOMBRES REELS, INEGALITES, PARTIE ENTIERE ET VALEUR ABSOLUE (partie 1)
- Identités remarquables, calcul littéral, manipulation de fractions, de puissances, de radicaux,
- Résolution d'équations simples (degré $\leqslant 2$ ou de degré supérieur avec racines évidentes ou sous forme factorisée)
- Manipulation d'inégalités,
- Intervalles de $\mathbb{R}$, présentation de l'ensemble des solutions d'une inéquation en utilisant des intervalles,
- Définition de la valeur absolue d'un nombre réel, inégalité triangulaire
Notions et démonstrations exigibles :
- \'Ecrire avec des quantificateurs les assertions suivantes ainsi que leur négation ($f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$) :
- la fonction $f$ est paire,
- la fonction $f$ est strictement croissante,
- la fonction $f$ est bien définie sur $I$,
- la fonction $f$ admet un maximum sur $I$.
- Démonstration impeccable de : "$n$ est pair si, et seulement si, $n^2$ est pair."
- Démonstration impeccable de "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" (en admettant le point précédent).
- Trouver les réels $x$ tels que $\sqrt{5x - 6} = x$.
- Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0 \geqslant 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle u_{n+1} \leqslant \sum_{k = 0}^n u_k$. Démonstration impeccable par récurrence de "pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant 2^n u_0$".
- Énoncé et démonstration impeccable de l'inégalité triangulaire (pas de cas d'égalité).
Connaissances et méthodes essentielles :
- Proposition avec des quantificateurs : savoir la lire, la traduire en français, la nier, écrire une contraposée, une négation, savoir dire si une proposition est vraie ou fausse (démonstration ou contre-exemple)
- Savoir démontrer une implication (raisonnement direct, par contraposée ou par l'absurde), savoir démontrer une équivalence (par double implication)
- Savoir prouver qu'une égalité/inégalité est vraie : se ramener par équivalence à une égalité/inégalité triviale.
- Raisonnement par analyse/synthèse : son utilité et savoir quand l'appliquer.
- Raisonnement par récurrence (simple, double, triple, multiple, forte).
- Savoir développer/factoriser des expressions classiques, simplifier des fractions, puissances, radicaux (méthode de la quantité conjuguée)
- Savoir résoudre des équations du premier degré, du second degré, factoriser un polynôme connaissant une racine.
- Savoir résoudre des équations avec radicaux (attention à l'ensemble de définition, et à ne pas oublier la synthèse au besoin)
