Maths
Chp 12 - NOMBRES RÉELS ET SUITES NUMÉRIQUES
- NOMBRES RÉELS ET BORNES SUPÉRIEURE/INFÉRIEURE : Les ensembles de nombres, relation d'ordre dans les réels, définition de borne supérieure, inférieure, Théorème d'existence de la borne inférieure ou supérieure, exemples, caractérisation (avec des $\varepsilon$) des bornes sup/inf, Définition et caractérisation des intervalles de $\mathbb{R}$.
- GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES : Définition d'une suite, opérations sur les suites, sens de variation, suites majorées, minorées, bornées
- SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE 1 ET 2 : Suites arithmétiques, géométriques, linéaires récurrentes d'ordre 1 et 2
- LIMITE D'UNE SUITE RÉELLE : Convergence et divergence, limites infinies, opérations sur les limites, passage à la limite dans une inégalité
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THÉORÈMES D'EXISTENCE DE LIMITES : Théorèmes de comparaison et d'encadrement, Théorème de convergence monotone, Théorème des suites adjacentes
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SUITES EXTRAITES
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EXEMPLE D'ÉTUDE D'UNE SUITE RÉCURRENTE $u_{n+1}=f(u_n)$
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ÉQUIVALENTS ET RELATIONS DE COMPARAISON : Relations de négligeabilité, relations de domination, réécriture des croissances comparées, relations d'équivalences (Note : cette sous-partie a été vue dans le but de préparer aux équivalents et notations de Landau $o()$ et $O()$ pour les fonctions. Les définitions ont été vues ainsi que quelques exercices simples mais ne pas exiger trop de technicité de la part des étudiants ni de calculs de développements limités)
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EXTENSION AUX SUITES COMPLEXES
Connaissances et méthodes essentielles :
- Savoir déterminer la borne inférieure ou supérieur d'ensembles sur des exemples simples.
- Savoir trouver le sens de variation d'une suite ($u_{n+1}-u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ou $u_n=f(n)$ en étudiant $f$).
- Savoir prouver qu'une suite est bornée
- Connaitre ses formules sur les suites arithmétiques et géométriques (terme général et somme)
- Savoir trouver l'expression du terme général d'une suite linéaire récurrente d'ordre 1 (=arithmético-géométrique) : NE PAS RETENIR PAR CŒUR LA FORMULE!!! REFAIRE AVEC LE POINT FIXE)
- Savoir trouver l'expression d'une suite linéaire récurrente d'ordre 2 dans le cas réel.
- Connaitre la définition de limite finie, infinie, de convergence, divergence et savoir calculer la limite de suites données explicitement.
- Connaitre les théorèmes d'existence de limite : théorèmes de comparaison, d'encadrement, de convergence monotone, des suites adjacentes.
- Savoir utiliser les suites extraites pour prouver la convergence ou la divergence de suites.
- Savoir étudier une suite de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ (voir méthode du cours avec les intervalles stables $I$, se limiter au cas où $f$ est croissante sur $I$)
- Savoir montrer que deux quantités sont équivalentes, qu'une est négligeable devant l'autre, et savoir l'utiliser pour déterminer les limites de suites. Pas d'excès de technicité ni d'utilisation de DL.
- Savoir ce qui change avec les suites complexes par rapport aux suites réelles et ce qui est conservé.
Démonstrations exigibles
- Savoir calculer $\underset{n \rightarrow + \infty}{\text{lim}}\left(1+ \dfrac{x}{n}\right)^n$ où $x \in \mathbb{R}$ (avec ou sans les équivalents) et démontrer que $\ln(n+1) \underset{+\infty}{\sim} \ln(n)$.
- Savoir donner à la virgule près les définitions de $\underset{n \rightarrow + \infty}{\text{lim}} u_n = \ell$, $\underset{n \rightarrow + \infty}{\text{lim}} u_n = +\infty$ et $\underset{n \rightarrow + \infty}{\text{lim}} u_n = -\infty$.
- Savoir énoncer (pas démontrer) à la virgule près l'expression du terme général d'une suite linéaire récurrente d'ordre 2 (3 cas d'une suite réelle)
- Étude de la suite récurrente $(u_n)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 1+\dfrac{u_n^2}{4}$ (exercice 179 - (2) ).
- Démonstration de : "Toute suite réelle convergente est bornée".
- Énoncé et démonstration du Théorème des gendarmes
- Énoncé et démonstration du Théorème des suites adjacentes
- Énoncé et démonstration du Théorème de convergence monotone (uniquement suite croissante : les 2 cas)
