Quantificateurs ($\forall$ et $\exists$) et notion de propositions, négation d'une proposition, notion de réciproque et de contraposée
Maitrise des notations, écriture de propriétés mathématiques à l'aide de quantificateurs,
Les différents types de raisonnements : Raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde, savoir comment prouver qu'une inégalité est vraie, raisonnements (simples) par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple et forte) sur des exemples;
Chp 1 - INÉGALITÉS, VALEUR ABSOLUE, PARTIE ENTIÈRE
INÉGALITÉS DANS $\mathbb{R}$ : Relation d'ordre, propriétés sur les inégalités, notion d'intervalle de $\mathbb{R}$.
PARTIES MAJORÉES, MINORÉES, BORNÉES : Définition d'un majorant, d'un minorant, d'un ensemble borné, notion de maximum, minimum, extremum.
Notions et démonstrations exigibles :
Démonstration impeccable de : "$n$ est pair si, et seulement si, $n^2$ est pair."
Démonstration impeccable de "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" (en admettant le point précédent).
Énoncé et démonstration impeccable de l'inégalité triangulaire (pas de cas d'égalité).
Exercice 20 : Démontrer que $\forall x \in \mathbb{R}, |\sin(x)| \leqslant |x|$.
Restitution impeccable de la définition d'un majorant, d'un minorant, d'une partie bornée, d'un maximum, d'un minimum, d'un extremum
Semaine du lundi 25 septembre 2023
Chp 0 - RUDIMENTS DE LOGIQUE
Découverte de l'alphabet grec,
Quantificateurs ($\forall$ et $\exists$) et notion de propositions, négation d'une proposition, notion de réciproque et de contraposée
Maitrise des notations, écriture de propriétés mathématiques à l'aide de quantificateurs,
Les différents types de raisonnements : Raisonnement direct, par contraposée, par l'absurde, savoir comment prouver qu'une inégalité est vraie, raisonnements (simples) par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple et forte) sur des exemples;
Chp 1 - INÉGALITÉS, VALEUR ABSOLUE, PARTIE ENTIÈRE
INÉGALITÉS DANS $\mathbb{R}$ : Relation d'ordre, propriétés sur les inégalités, notion d'intervalle de $\mathbb{R}$.
PARTIES MAJORÉES, MINORÉES, BORNÉES : Définition d'un majorant, d'un minorant, d'un ensemble borné, notion de maximum, minimum, extremum.
Notions et démonstrations exigibles :
Démonstration impeccable de : "$n$ est pair si, et seulement si, $n^2$ est pair."
Démonstration impeccable de "$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel" (en admettant le point précédent).
Énoncé et démonstration impeccable de l'inégalité triangulaire (pas de cas d'égalité).
Exercice 20 : Démontrer que $\forall x \in \mathbb{R}, |\sin(x)| \leqslant |x|$.
Restitution impeccable de la définition d'un majorant, d'un minorant, d'une partie bornée, d'un maximum, d'un minimum, d'un extremum
Semaine du lundi 2 octobre 2023
Chp 2 - SOMMES ET PRODUITS
SOMME ET PRODUITS : Définition du symbole $\Sigma$ et $\Pi$, règles de calcul pour la somme (linéarité) et pour le produit, méthodes de calculs (somme et produit de termes constants, sommes et produits télescopiques, changements d'indice, somme de termes de suites arithmétiques et géométriques)
SOMMES DOUBLES : indexation sur le couple $(i,j)$, permutation des indices des sommes doubles, développement du produit de deux sommes
COEFFICIENTS BINOMIAUX ET FORMULE DU BINÔME DE NEWTON : Définition de la factorielle, des coefficients binomiaux, propriétés (symétrie, formule du capitaine, triangle de Pascal), formule du binôme de Newton
Chp 3 - SYSTÈMES LINÉAIRES DE PETITE TAILLE
SYSTÈMES A 2 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans le plan, résolution par substitution, par combinaison (méthode préférentielle), opérations élémentaires (transvections : $L_i \leftarrow L_i-\lambda L_j$ , transpositions : $L_i \leftrightarrow L_j$ et dilatations : $L_i \leftarrow\lambda L_i$)
SYSTÈMES A 3 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans l'espace, méthode du Pivot de Gauss, exemples de résolution dans les différents cas. Notion de pivot et d'inconnue secondaire.
Pour les colleurs : pas de matrice augmentée, pas de rang d'un système ni de système linéaire de grande taille (nouveau programme 2021)
Notions et démonstrations exigibles :
Démonstration de l'identité remarquable $a^n-b^n$.
Calcul de la somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ et du produit $P_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1- \dfrac{1}{k} \right)$
Calcul de $S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \dfrac{i}{j}$
Démonstration du binôme de Newton.
Définition et propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, formule du capitaine et formule du triangle de Pascal) à savoir démontrer.
Exercice 34 : pour $n$ entier naturel, on pose $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}$.
A l'aide du changement d'indice $j=2n+1-k$, déterminer une autre expression de $S_n$, puis en déduire la valeur de $2S_n$, puis celle de $S_n$.
Semaine du lundi 9 octobre 2023
Chp 2 - SOMMES ET PRODUITS
SOMME ET PRODUITS : Définition du symbole $\Sigma$ et $\Pi$, règles de calcul pour la somme (linéarité) et pour le produit, méthodes de calculs (somme et produit de termes constants, sommes et produits télescopiques, changements d'indice, somme de termes de suites arithmétiques et géométriques)
SOMMES DOUBLES : indexation sur le couple $(i,j)$, permutation des indices des sommes doubles, développement du produit de deux sommes
COEFFICIENTS BINOMIAUX ET FORMULE DU BINÔME DE NEWTON : Définition de la factorielle, des coefficients binomiaux, propriétés (symétrie, formule du capitaine, triangle de Pascal), formule du binôme de Newton
Chp 3 - SYSTÈMES LINÉAIRES DE PETITE TAILLE
SYSTÈMES A 2 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans le plan, résolution par substitution, par combinaison (méthode préférentielle), opérations élémentaires (transvections : $L_i \leftarrow L_i-\lambda L_j$ , transpositions : $L_i \leftrightarrow L_j$ et dilatations : $L_i \leftarrow\lambda L_i$)
SYSTÈMES A 3 INCONNUES (2 ou 3 équations) : Interprétation graphique dans l'espace, méthode du Pivot de Gauss, exemples de résolution dans les différents cas. Notion de pivot et d'inconnue secondaire.
Pour les colleurs : pas de matrice augmentée, pas de rang d'un système ni de système linéaire de grande taille (nouveau programme 2021)
Notions et démonstrations exigibles :
Démonstration de l'identité remarquable $a^n-b^n$.
Calcul de la somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ et du produit $P_n = \displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1- \dfrac{1}{k} \right)$
Calcul de $S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \dfrac{i}{j}$
Démonstration du binôme de Newton.
Définition et propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, formule du capitaine et formule du triangle de Pascal) à savoir démontrer.
Exercice 34 : pour $n$ entier naturel, on pose $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {2n+1 \choose k}$.
A l'aide du changement d'indice $j=2n+1-k$, déterminer une autre expression de $S_n$, puis en déduire la valeur de $2S_n$, puis celle de $S_n$.
Semaine du lundi 16 octobre 2023
Chp 4 - TRIGONOMETRIE
CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE : Définition de $\cos$ et $\sin$, définition de la relation de congruence, angles usuels, formules trigonométriques, limites indéterminées en $0$ (dans le but de prouver la dérivée de la fonction sin et cos), résolutions d'équations trigonométrique.
FONCTIONS CIRCULAIRES COSINUS ET SINUS : Propriétés, variations, graphique de $\cos$ et $\sin$.
TANGENTE : Fonction tangente, propriétés, variations, graphique, angles usuels et formules trigonométriques.
Chp 5 - FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
GÉNÉRALITÉS : Fonction, graphe, parité, périodicité, fonctions minorées, majorées, bornées, composée de fonctions, fonction $|f|$, notion de bijection réciproque, graphique des fonctions $x \mapsto f(x)+k$, ou $x \mapsto f(x+k)$ ou $x \mapsto kf(x)$.
LIMITES ET ASYMPTOTES : Propriétés des limites, asymptotes horizontales, verticales et obliques.
CONTINUITÉ : Définition et propriétés.
DÉRIVÉE : Nombre dérivé, équation de la tangente, fonction dérivée, propriétés de la dérivée, dérivée de la bijection réciproque, dérivées d'ordre supérieur, extremum, extremum local.
Chp 6 - FONCTIONS USUELLES
FONCTION EXPONENTIELLE : définition, propriétés, inégalité classique, croissances comparées,
FONCTION $\ln$ : définition, propriétés, inégalité classique, croissances comparées,
FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES :définition, propriétés, dérivée, graphique de $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$.
Notions et démonstrations exigibles :
Définition impeccable d'une fonction bijective + énoncé impeccable de la propriété du nombre dérivé de la fonction réciproque
Démonstration de la propriété "Fonctions monotones et bijections"
Connaitre toutes les formules de dérivées usuelles, de formes usuelles, de composée AVEC LES ENSEMBLES+ équation de la tangente (le colleur pourra demander plusieurs formules choisies au hasard dans cette liste.)
Exercice 82 : Déterminer la bijection réciproque de la fonction sh.
Démonstration des propriétés de $\arcsin$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
Démonstration des propriétés de $\arccos$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
Démonstration des propriétés de $\arctan$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
Lundi 23 octobre 2023 : Vacances de la Toussaint
Lundi 30 octobre 2023 : Vacances de la Toussaint
Semaine du lundi 6 novembre 2023
Chp 4 - TRIGONOMETRIE
CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE : Définition de $\cos$ et $\sin$, définition de la relation de congruence, angles usuels, formules trigonométriques, limites indéterminées en $0$ (dans le but de prouver la dérivée de la fonction sin et cos), résolutions d'équations trigonométrique.
FONCTIONS CIRCULAIRES COSINUS ET SINUS : Propriétés, variations, graphique de $\cos$ et $\sin$.
TANGENTE : Fonction tangente, propriétés, variations, graphique, angles usuels et formules trigonométriques.
Chp 5 - FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
GÉNÉRALITÉS : Fonction, graphe, parité, périodicité, fonctions minorées, majorées, bornées, composée de fonctions, fonction $|f|$, notion de bijection réciproque, graphique des fonctions $x \mapsto f(x)+k$, ou $x \mapsto f(x+k)$ ou $x \mapsto kf(x)$.
LIMITES ET ASYMPTOTES : Propriétés des limites, asymptotes horizontales, verticales et obliques.
CONTINUITÉ : Définition et propriétés.
DÉRIVÉE : Nombre dérivé, équation de la tangente, fonction dérivée, propriétés de la dérivée, dérivée de la bijection réciproque, dérivées d'ordre supérieur, extremum, extremum local.
Chp 6 - FONCTIONS USUELLES
FONCTION EXPONENTIELLE : définition, propriétés, inégalité classique, croissances comparées,
FONCTION $\ln$ : définition, propriétés, inégalité classique, croissances comparées,
FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES :définition, propriétés, dérivée, graphique de $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$.
Notions et démonstrations exigibles :
Définition impeccable d'une fonction bijective + énoncé impeccable de la propriété du nombre dérivé de la fonction réciproque
Démonstration de la propriété "Fonctions monotones et bijections"
Connaitre toutes les formules de dérivées usuelles, de formes usuelles, de composée AVEC LES ENSEMBLES+ équation de la tangente (le colleur pourra demander plusieurs formules choisies au hasard dans cette liste.)
Exercice 82 : Déterminer la bijection réciproque de la fonction sh.
Démonstration des propriétés de $\arcsin$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
Démonstration des propriétés de $\arccos$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
Démonstration des propriétés de $\arctan$ (continuité, dérivabilité, sens de variation et valeur de la dérivée)
Semaine du lundi 13 novembre 2023
Chp 7 - NOMBRES COMPLEXES
NOMBRES COMPLEXES : "Construction de $\mathbb{C}$, forme algébrique, le plan complexe, notion de conjugué, de module,
NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 : Définition de $\mathbb{U}$, de l'exponentielle $e^{\textbf{i}\theta}$, propriétés de l'exp complexe, formule d'Euler et de Moivre,
APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIE : Linéarisation de $\cos$ et $\sin$ avec Euler, factorisation par l'angle moitié, les polynômes trigonométriques (avec Moivre), calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET ARGUMENT : définition, propriété de l'argument, exponentielle d'un nombre complexe,
RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS COMPLEXES : équations du second degré à coefficients réels, recherche des racines carrées d'un complexe, équations du second degré à coefficients complexes, application à la résolution d'un système somme-produit.
ÉQUATIONS DU TYPE $Z^n=1$ - RACINES $n$-IEMES DE L’UNITÉ : Définition, ensemble des racines $n$-ième de l'unité, racines $n$-ième d'un nombre complexe $Z$.
TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : Ne pas donner d'exercices de colle dessus.
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir mettre sous forme algébrique et trigonométrique un nombre, savoir laquelle est la plus pratique pour quoi faire.
Savoir utiliser la forme d'Euler et de Moivre pour linéariser ou modifier l'expression de $\cos$ et $\sin$.
Savoir calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et utiliser l'angle moitié.
Savoir trouver la racine carrée d'un nombre complexe et résoudre une équation de degré $2$.
Savoir trouver les racines $n$-ièmes de l'unité, d'un nombre complexe.
Notions et démonstrations exigibles :
Inégalité triangulaire (uniquement la partie droite $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$) : l'énoncer proprement et savoir la démontrer avec le cas d'égalité.
Démonstration de l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité : $\mathbb{U}=\{e^{\frac{2\textbf{i}k\pi}{n}}~|~k \in [\![0,n-1]\!]\}$
Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
Formule de Moivre
Exercice 97 : Pour quelles valeurs de $n$, le complexe $\left( \dfrac{(1-i\sqrt{3})^5}{(1-i)^3} \right)^n$ est-il un réel positif ?
Semaine du lundi 20 novembre 2023
Chp 7 - NOMBRES COMPLEXES
NOMBRES COMPLEXES : "Construction de $\mathbb{C}$, forme algébrique, le plan complexe, notion de conjugué, de module,
NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1 : Définition de $\mathbb{U}$, de l'exponentielle $e^{\textbf{i}\theta}$, propriétés de l'exp complexe, formule d'Euler et de Moivre,
APPLICATION A LA TRIGONOMÉTRIE : Linéarisation de $\cos$ et $\sin$ avec Euler, factorisation par l'angle moitié, les polynômes trigonométriques (avec Moivre), calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET ARGUMENT : définition, propriété de l'argument, exponentielle d'un nombre complexe,
RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS COMPLEXES : équations du second degré à coefficients réels, recherche des racines carrées d'un complexe, équations du second degré à coefficients complexes, application à la résolution d'un système somme-produit.
ÉQUATIONS DU TYPE $Z^n=1$ - RACINES $n$-IEMES DE L’UNITÉ : Définition, ensemble des racines $n$-ième de l'unité, racines $n$-ième d'un nombre complexe $Z$.
TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE : Ne pas donner d'exercices de colle dessus.
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir mettre sous forme algébrique et trigonométrique un nombre, savoir laquelle est la plus pratique pour quoi faire.
Savoir utiliser la forme d'Euler et de Moivre pour linéariser ou modifier l'expression de $\cos$ et $\sin$.
Savoir calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$ et utiliser l'angle moitié.
Savoir trouver la racine carrée d'un nombre complexe et résoudre une équation de degré $2$.
Savoir trouver les racines $n$-ièmes de l'unité, d'un nombre complexe.
Notions et démonstrations exigibles :
Inégalité triangulaire (uniquement la partie droite $|z+z'| \leqslant |z|+|z'|$) : l'énoncer proprement et savoir la démontrer avec le cas d'égalité.
Démonstration de l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité : $\mathbb{U}=\{e^{\frac{2\textbf{i}k\pi}{n}}~|~k \in [\![0,n-1]\!]\}$
Calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$.
Formule de Moivre
Exercice 97 : Pour quelles valeurs de $n$, le complexe $\left( \dfrac{(1-i\sqrt{3})^5}{(1-i)^3} \right)^n$ est-il un réel positif ?
Semaine du lundi 27 novembre 2023
Chp 8 - ENSEMBLES ET APPLICATIONS
ENSEMBLES : Définition, égalité d'ensembles, inclusion, propriétés de l'inclusion; Sous-ensembles ou parties, Opérations sur les parties d'un ensemble, Complémentaire; Produit cartésien d'ensembles.
APPLICATIONS : Définition, Graphe, Restriction, Fonction indicatrice, Images directes et réciproques d'une application, Applications injectives, surjective, et bijectives.
Chp 9 - ARITHMÉTIQUE ET DÉNOMBREMENT
ARITHMÉTIQUE : Diviseurs, Multiples, Division euclidienne, PGCD et PPCM, Algorithme d'Euclide, Nombres premiers, décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
DÉNOMBREMENT : Ensembles finis, cardinaux, lien avec l'injectivité, la surjectivité, $p$-uplet, $p$-listes, ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$, permutations, combinaisons/arrangements, Formule du binôme de Newton (version combinatoire)
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir montrer l'égalité entre deux ensembles en raisonnant par double inclusion ou par équivalence quand c'est possible.
Savoir expliciter des images directes et images réciproques d'ensembles par une application.
Savoir étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité d'une application.
Savoir traduire les situations concrètes en termes $p$-liste, d'arrangement, de permutation et de combinaison.
Savoir appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD et en déduire le PPCM ou bien en utilsiant la décomposition en facteurs premiers.
Savoir utiliser la formule du binôme de Newton.
Notions et démonstrations exigibles :
Soit $A, B, C \in \mathcal{P}(E)$. Montrer en utilisant les règles de calculs sur les opérations sur les ensembles : $(A \backslash C) \backslash(B \backslash C)=A \backslash(B \cup C)$.
TD Exercice 5: Montrer que $\left\{\frac{x}{1+x}: x \geq 0\right\}=[0,1[$.
Montrer que $z \mapsto \frac{z}{z-i}$ est bijective de $\mathbb{C} \backslash\{i\}$ sur $\mathbb{C} \backslash\{1\}$ et calculer sa réciproque.
TD Exercice 2 : Montrer que sh: $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ est bijective et déterminer son application réciproque.
Enoncer, démontrer le théorème de la division euclidienne (l'existence suffit pour la preuve).
TD Exercice 4: De combien de façons peut-on asseoir $n$ personnes sur un banc rectiligne? autour d'une table ronde?
Semaine du lundi 4 décembre 2023
Chp 8 - ENSEMBLES ET APPLICATIONS
ENSEMBLES : Définition, égalité d'ensembles, inclusion, propriétés de l'inclusion; Sous-ensembles ou parties, Opérations sur les parties d'un ensemble, Complémentaire; Produit cartésien d'ensembles.
APPLICATIONS : Définition, Graphe, Restriction, Fonction indicatrice, Images directes et réciproques d'une application, Applications injectives, surjective, et bijectives.
Chp 9 - ARITHMÉTIQUE ET DÉNOMBREMENT
ARITHMÉTIQUE : Diviseurs, Multiples, Division euclidienne, PGCD et PPCM, Algorithme d'Euclide, Nombres premiers, décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
DÉNOMBREMENT : Ensembles finis, cardinaux, lien avec l'injectivité, la surjectivité, $p$-uplet, $p$-listes, ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$, permutations, combinaisons/arrangements, Formule du binôme de Newton (version combinatoire)
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir montrer l'égalité entre deux ensembles en raisonnant par double inclusion ou par équivalence quand c'est possible.
Savoir expliciter des images directes et images réciproques d'ensembles par une application.
Savoir étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité d'une application.
Savoir traduire les situations concrètes en termes $p$-liste, d'arrangement, de permutation et de combinaison.
Savoir appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD et en déduire le PPCM ou bien en utilsiant la décomposition en facteurs premiers.
Savoir utiliser la formule du binôme de Newton.
Notions et démonstrations exigibles :
Soit $A, B, C \in \mathcal{P}(E)$. Montrer en utilisant les règles de calculs sur les opérations sur les ensembles : $(A \backslash C) \backslash(B \backslash C)=A \backslash(B \cup C)$.
TD Exercice 5: Montrer que $\left\{\frac{x}{1+x}: x \geq 0\right\}=[0,1[$.
Montrer que $z \mapsto \frac{z}{z-i}$ est bijective de $\mathbb{C} \backslash\{i\}$ sur $\mathbb{C} \backslash\{1\}$ et calculer sa réciproque.
TD Exercice 2 : Montrer que sh: $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ est bijective et déterminer son application réciproque.
Enoncer, démontrer le théorème de la division euclidienne (l'existence suffit pour la preuve).
TD Exercice 4: De combien de façons peut-on asseoir $n$ personnes sur un banc rectiligne? autour d'une table ronde?
Semaine du lundi 11 décembre 2023
Chp 10 - PRIMITIVES
CALCUL DE PRIMITIVES : Définition d'une primitive, existence de primitives, primitives complexes, primitives usuelles, primitives de formes usuelles, primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$).
CALCUL D'INTÉGRALES : "Définition" de l'intégrale, intégrale d'une fonction complexe, Théorème fondamental de l'analyse, lien entre primitive et intégrale, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, intégration par partie, changement de variable, autres calculs (par exemple de polynômes trigonométriques en linéarisant ou reconnaissant des formes usuelles).
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
Savoir faire un changement de variable
Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale
Chp 11 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE : Définitions, équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène, Méthode de la variation de la constante, forme générale des solutions, Principe de superposition, problème de Cauchy, exemple de recollement en un point.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COEFFICIENTS CONSTANTS) : Définitions, équation caractéristique, Résolution de l'équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, Solution particulière dans le cas de certains seconds membres. Principe de superposition, problème de Cauchy.
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
Savoir faire un changement de variable
Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale
Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1
Connaitre la méthode de variation de la constante
Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène à coefficients constants
Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre avec second membre de la forme $x \mapsto A e^{\lambda}$ ou $x \mapsto B \cos(\omega x)$ ou $x \mapsto B \sin(\omega x)$
Notions et démonstrations exigibles :
Donner les 3 cas de formules pour les équations différentielles linéaires d'ordre 2 homogène à coefficients constants dans $\mathbb{R}$.
Exemple du cours : Savoir résoudre l'équation $(E)~:~y''-3y'+2y=\dfrac{1}{2}e^x$.
Exemple du cours : Savoir résoudre sur $]-1,1[$ l'équation $(E)~:~(1-x^2)y'-xy=1$.
Exercice 125 : Pour $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $I_{p,q}=\displaystyle\int^b_a (t-a)^p(b-t)^q~\mbox{d}t$. Trouver une relation entre $I_{p,q}$ et $I_{p+1,q-1}$ puis exprimer $I_{p,q}$ à l'aide de factorielles.
Exemple du cours : Savoir calculer $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+x+1}~\text{d}x$ puis $\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+x+1}~\text{d}x$
Exemple du cours : Savoir calculer $\displaystyle\int \cos(t)e^{-2t}~\text{d}t$ (par IPP ou à l'aide de la formule d'Euler)
Semaine du lundi 18 décembre 2023
Chp 10 - PRIMITIVES
CALCUL DE PRIMITIVES : Définition d'une primitive, existence de primitives, primitives complexes, primitives usuelles, primitives de formes usuelles, primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$).
CALCUL D'INTÉGRALES : "Définition" de l'intégrale, intégrale d'une fonction complexe, Théorème fondamental de l'analyse, lien entre primitive et intégrale, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles, intégration par partie, changement de variable, autres calculs (par exemple de polynômes trigonométriques en linéarisant ou reconnaissant des formes usuelles).
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
Savoir faire un changement de variable
Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale
Chp 11 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE : Définitions, équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, résolution de l'équation homogène, Méthode de la variation de la constante, forme générale des solutions, Principe de superposition, problème de Cauchy, exemple de recollement en un point.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE (COEFFICIENTS CONSTANTS) : Définitions, équation caractéristique, Résolution de l'équation homogène, Structure de l'ensemble des solutions, Solution particulière dans le cas de certains seconds membres. Principe de superposition, problème de Cauchy.
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir les primitives usuelles et leurs ensembles de définition
Savoir reconnaitre les formes usuelles et leurs ensembles de définition
Connaitre une primitive de la fonction $\ln$
primitives de fonctions rationnelles de la forme $x \mapsto \frac{1}{ax^2+bx+c}$ (3 cas suivant la valeur de $\Delta$)
Savoir faire une Intégration Par Partie (sur les intégrales ou pour déterminer une primitive)
Savoir faire un changement de variable
Savoir linéariser (une expression trigonométrique) pour calculer une intégrale
Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1
Connaitre la méthode de variation de la constante
Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène à coefficients constants
Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre avec second membre de la forme $x \mapsto A e^{\lambda}$ ou $x \mapsto B \cos(\omega x)$ ou $x \mapsto B \sin(\omega x)$
Notions et démonstrations exigibles :
Donner les 3 cas de formules pour les équations différentielles linéaires d'ordre 2 homogène à coefficients constants dans $\mathbb{R}$.
Exemple du cours : Savoir résoudre l'équation $(E)~:~y''-3y'+2y=\dfrac{1}{2}e^x$.
Exemple du cours : Savoir résoudre sur $]-1,1[$ l'équation $(E)~:~(1-x^2)y'-xy=1$.
Exercice 125 : Pour $(p,q) \in \mathbb{N}^2$, $I_{p,q}=\displaystyle\int^b_a (t-a)^p(b-t)^q~\mbox{d}t$. Trouver une relation entre $I_{p,q}$ et $I_{p+1,q-1}$ puis exprimer $I_{p,q}$ à l'aide de factorielles.
Exemple du cours : Savoir calculer $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+x+1}~\text{d}x$ puis $\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+x+1}~\text{d}x$
Exemple du cours : Savoir calculer $\displaystyle\int \cos(t)e^{-2t}~\text{d}t$ (par IPP ou à l'aide de la formule d'Euler)
Lundi 25 décembre 2023 : Vacances de Noël
Lundi 1er janvier 2024 : Vacances de Noël
Semaine du lundi 8 janvier 2024
Chp 12 - CALCUL MATRICIEL
MATRICES ET OPÉRATIONS : Matrices de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}$), coefficients, matrices lignes, colonnes, opérations matricielles (Addition et multiplication externe, produit de matrices, transposition)
MATRICES CARRÉES : $I_n$,$0_n$, matrices diagonales, triangulaires, matrices symétriques et antisymétriques, Puissances de matrices carrées, formule du binôme de Newton,
MATRICES INVERSIBLES : inverse d'une matrice, cas d'une matrice $2 \times 2$, Méthode du pivot de Gauss-Jordan, polynôme annulateur,
MATRICES ÉLÉMENTAIRES ET MATRICES D'OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES : Matrices élémentaires, d'opérations élémentaires, traduction matriciel des opérations élémentaires, Traduction matricielle d'un système, conditions nécessaires et suffisantes d'inversibilité.
Connaissances et méthodes essentielles :
Connaitre le vocabulaire propre aux matrices, notamment les notations des ensembles de matrices.
Savoir ce qu'est la transposée d'une matrice, une matrice symétrique et antisymétrique.
Savoir calculer le produit de deux matrices si c'est possible, notamment le produit de matrices triangulaires supérieures, inférieures ou diagonales.
Savoir calculer les puissances d'une matrice, notamment en pensant à la formule du binôme de Newton si elle est triangulaire
Savoir inverser une matrice avec la méthode du pivot de Gauss et connaitre la formule de l'inverse dans le cas $2 \times 2$.
Savoir écrire un système sous forme matriciel, et résoudre un système.
Connaitre des exemples de matrices non inversibles.
Chp 13 - NOMBRES RÉELS ET SUITES NUMÉRIQUES
NOMBRES RÉELS ET BORNES SUPÉRIEURE/INFÉRIEURE : Les ensembles de nombres, relation d'ordre dans les réels, définition de borne supérieure, inférieure, Théorème d'existence de la borne inférieure ou supérieure, exemples, caractérisation (avec des $\varepsilon$) des bornes sup/inf, Définition et caractérisation des intervalles de $\mathbb{R}$.
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES : Définition d'une suite, opérations sur les suites, sens de variation, suites majorées, minorées, bornées
SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE 1 ET 2 : Suites arithmétiques, géométriques, linéaires récurrentes d'ordre 1 et 2
LIMITE D'UNE SUITE RÉELLE : Convergence et divergence, limites infinies, opérations sur les limites, passage à la limite dans une inégalité
THÉORÈMES D'EXISTENCE DE LIMITES : Théorèmes de comparaison et d'encadrement, Théorème de convergence monotone, Théorème des suites adjacentes
SUITES EXTRAITES
EXEMPLE D'ÉTUDE D'UNE SUITE RÉCURRENTE $u_{n+1}=f(u_n)$
ÉQUIVALENTS ET RELATIONS DE COMPARAISON : Relations de négligeabilité, relations de domination, réécriture des croissances comparées, relations d'équivalences (Note : cette sous-partie a été vue dans le but de préparer aux équivalents et notations de Landau $o()$ et $O()$ pour les fonctions. Les définitions ont été vues ainsi que quelques exercices simples mais ne pas exiger trop de technicité de la part des étudiants ni de calculs de développements limités)
EXTENSION AUX SUITES COMPLEXES
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir déterminer la borne inférieure ou supérieur d'ensembles sur des exemples simples.
Savoir trouver le sens de variation d'une suite ($u_{n+1}-u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ou $u_n=f(n)$ en étudiant $f$).
Savoir prouver qu'une suite est bornée
Connaitre ses formules sur les suites arithmétiques et géométriques (terme général et somme)
Savoir trouver l'expression du terme général d'une suite linéaire récurrente d'ordre 1 (=arithmético-géométrique) : NE PAS RETENIR PAR CŒUR LA FORMULE!!! REFAIRE AVEC LE POINT FIXE)
Savoir trouver l'expression d'une suite linéaire récurrente d'ordre 2 dans le cas réel.
Connaitre la définition de limite finie, infinie, de convergence, divergence et savoir calculer la limite de suites données explicitement.
Connaitre les théorèmes d'existence de limite : théorèmes de comparaison, d'encadrement, de convergence monotone, des suites adjacentes.
Savoir utiliser les suites extraites pour prouver la convergence ou la divergence de suites.
Savoir étudier une suite de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ (voir méthode du cours avec les intervalles stables $I$, se limiter au cas où $f$ est croissante sur $I$)
Savoir montrer que deux quantités sont équivalentes, qu'une est négligeable devant l'autre, et savoir l'utiliser pour déterminer les limites de suites. Pas d'excès de technicité ni d'utilisation de DL.
Savoir ce qui change avec les suites complexes par rapport aux suites réelles et ce qui est conservé.
Démonstrations exigibles
Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées. Démonstration de $(AB)^T=B^TA^T$, puis si $A$ et $B$ sont inversibles, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ${}^t(A^{-1})=({}^tA))^{-1}$
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur et les coefficients de la diagonale sont les produits des coefficients diagonaux.
Savoir énoncer (pas démontrer) à la virgule près l'expression du terme général d'une suite linéaire récurrente d'ordre 2 (cas réel)
Démonstration de : "Toute suite réelle convergente est bornée".
Enoncé et démonstration du Théorème des gendarmes
Enoncé et démonstration du Théorème des suites adjacentes
Enoncé et démonstration du Théorème de convergence monotone (cas d'une suite croissante)
Semaine du lundi 15 janvier 2024
Chp 12 - CALCUL MATRICIEL
MATRICES ET OPÉRATIONS : Matrices de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}$), coefficients, matrices lignes, colonnes, opérations matricielles (Addition et multiplication externe, produit de matrices, transposition)
MATRICES CARRÉES : $I_n$,$0_n$, matrices diagonales, triangulaires, matrices symétriques et antisymétriques, Puissances de matrices carrées, formule du binôme de Newton,
MATRICES INVERSIBLES : inverse d'une matrice, cas d'une matrice $2 \times 2$, Méthode du pivot de Gauss-Jordan, polynôme annulateur,
MATRICES ÉLÉMENTAIRES ET MATRICES D'OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES : Matrices élémentaires, d'opérations élémentaires, traduction matriciel des opérations élémentaires, Traduction matricielle d'un système, conditions nécessaires et suffisantes d'inversibilité.
Connaissances et méthodes essentielles :
Connaitre le vocabulaire propre aux matrices, notamment les notations des ensembles de matrices.
Savoir ce qu'est la transposée d'une matrice, une matrice symétrique et antisymétrique.
Savoir calculer le produit de deux matrices si c'est possible, notamment le produit de matrices triangulaires supérieures, inférieures ou diagonales.
Savoir calculer les puissances d'une matrice, notamment en pensant à la formule du binôme de Newton si elle est triangulaire
Savoir inverser une matrice avec la méthode du pivot de Gauss et connaitre la formule de l'inverse dans le cas $2 \times 2$.
Savoir écrire un système sous forme matriciel, et résoudre un système.
Connaitre des exemples de matrices non inversibles.
Chp 13 - NOMBRES RÉELS ET SUITES NUMÉRIQUES
NOMBRES RÉELS ET BORNES SUPÉRIEURE/INFÉRIEURE : Les ensembles de nombres, relation d'ordre dans les réels, définition de borne supérieure, inférieure, Théorème d'existence de la borne inférieure ou supérieure, exemples, caractérisation (avec des $\varepsilon$) des bornes sup/inf, Définition et caractérisation des intervalles de $\mathbb{R}$.
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES : Définition d'une suite, opérations sur les suites, sens de variation, suites majorées, minorées, bornées
SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE 1 ET 2 : Suites arithmétiques, géométriques, linéaires récurrentes d'ordre 1 et 2
LIMITE D'UNE SUITE RÉELLE : Convergence et divergence, limites infinies, opérations sur les limites, passage à la limite dans une inégalité
THÉORÈMES D'EXISTENCE DE LIMITES : Théorèmes de comparaison et d'encadrement, Théorème de convergence monotone, Théorème des suites adjacentes
SUITES EXTRAITES
EXEMPLE D'ÉTUDE D'UNE SUITE RÉCURRENTE $u_{n+1}=f(u_n)$
ÉQUIVALENTS ET RELATIONS DE COMPARAISON : Relations de négligeabilité, relations de domination, réécriture des croissances comparées, relations d'équivalences (Note : cette sous-partie a été vue dans le but de préparer aux équivalents et notations de Landau $o()$ et $O()$ pour les fonctions. Les définitions ont été vues ainsi que quelques exercices simples mais ne pas exiger trop de technicité de la part des étudiants ni de calculs de développements limités)
EXTENSION AUX SUITES COMPLEXES
Connaissances et méthodes essentielles :
Savoir déterminer la borne inférieure ou supérieur d'ensembles sur des exemples simples.
Savoir trouver le sens de variation d'une suite ($u_{n+1}-u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ou $u_n=f(n)$ en étudiant $f$).
Savoir prouver qu'une suite est bornée
Connaitre ses formules sur les suites arithmétiques et géométriques (terme général et somme)
Savoir trouver l'expression du terme général d'une suite linéaire récurrente d'ordre 1 (=arithmético-géométrique) : NE PAS RETENIR PAR CŒUR LA FORMULE!!! REFAIRE AVEC LE POINT FIXE)
Savoir trouver l'expression d'une suite linéaire récurrente d'ordre 2 dans le cas réel.
Connaitre la définition de limite finie, infinie, de convergence, divergence et savoir calculer la limite de suites données explicitement.
Connaitre les théorèmes d'existence de limite : théorèmes de comparaison, d'encadrement, de convergence monotone, des suites adjacentes.
Savoir utiliser les suites extraites pour prouver la convergence ou la divergence de suites.
Savoir étudier une suite de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ (voir méthode du cours avec les intervalles stables $I$, se limiter au cas où $f$ est croissante sur $I$)
Savoir montrer que deux quantités sont équivalentes, qu'une est négligeable devant l'autre, et savoir l'utiliser pour déterminer les limites de suites. Pas d'excès de technicité ni d'utilisation de DL.
Savoir ce qui change avec les suites complexes par rapport aux suites réelles et ce qui est conservé.
Démonstrations exigibles
Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées. Démonstration de $(AB)^T=B^TA^T$, puis si $A$ et $B$ sont inversibles, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ${}^t(A^{-1})=({}^tA))^{-1}$
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur et les coefficients de la diagonale sont les produits des coefficients diagonaux.