Mathématique
Programme de colle semaine S1 (15 septembre)
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Révisions d'analyse
Sans excès de technicité, on vérifiera que les réflexes de base sont bien présents et mobilisables.
- Relations de comparaison o, O, ∼
- Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
- Méthodes pour les suites récurrentes un+1=f(un)
- Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
- Techniques de base pour le calcul des primitives
Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions
Je n'ai pas fait plus que ce qui est là : pas encore de séries de fonctions en tant que telles (juste des convergences normales), pas de théorème général d'interversion de limites, pas de dérivation des suites ou séries
- Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
- Convergence simple d'une suite de fonctions
- Convergence uniforme d'une suite de fonctions
- Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
- Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
- Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
- Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
- La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].
Exercices-type
Peuvent être donnés en question de cours
- Borne supérieure de {||AX||∞/||X||∞,X∈Rn, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |Ai,j|
- Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
- Types de convergence pour nxexp(-nx2) sur différents intervalles
- continuité de ∑1/(nx) sur ]1,+∞[
Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue
Je présente en parallèle séries et intégrales, ces dernières uniquement pour des fonctions continues sur [a,+∞[. Je n'ai fait que ce qui figure ci-dessous, notamment PAS de séries alternées, PAS vu sin(t)/t.
- Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
- Calculs connus : géométrique [C], télescopique
- Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
- Convergence des intégrales en +∞, exemples
- Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
- Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
- Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
- Séries de référence : Riemann [C]
- Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
- Règle de d'Alembert [C]
