Mathématique
Programme de colle semaine S8
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Convergence d'intégrales.
Pour les élèves : cela signifie savoir refaire les questions de cours vues dans le chapitre II (sur [a,+∞[).
- Intégrale d'une fonction continue sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
- Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
- Théorème de changement de variables (hypothèse C1 bijectif)
- Linéarité, positivité, croissance
- Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
- Intégration par parties généralisée
- Théorème de comparaison des fonctions positives [C]
- L'absolue convergence entraîne la convergence [C], fonctions "intégrables" sur I
- Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
- Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
- Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
- Intégration dans le cas continu par morceaux
Intégration : interversions
Rappel : on n'a PAS vu le théorème des séries alternées encore.
- Théorème de convergence dominée (admis)
- Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
- Ex-type [C] : limite de $\int_0^{\sqrt n} (1-\frac {t^2} n)^n dt$
- Ex-type [C] : pour a>0, montrer $\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x^b} d x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{nb+a}$
- Sommes de Riemann par la convergence dominée
- Composition de limites, caractérisation séquentielle d'une limite de fonction [C : l'implication "si pour toute suite..."]
- Convergence dominée à paramètre continu, continuité sous intégrale
- Dérivation sous intégrale (pour le cas Ck il suffit de dominer la dernière dérivée partielle)
- Utilisation de la localisation du paramètre
- Ex type : la fonction $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{t-1} dx$ est C∞ sur ]0,+∞ [ [C]
