Mathématique
Colles de maths semaine S21 (dernière semaine de colles)
[C] : question de cours "type", mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques
- Définition
- Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
- Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
- Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
- Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
- Théorème spectral [C]
- Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]
Extrema pour les fonctions à plusieurs variables
- Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
- Pour une fonction C1 sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
- Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive [C]
- Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
- Exemples d'études d'extrema
Isométries vectorielles
- Définition des isométries vectorielles par conservation de la norme, du produit scalaire, du caractère orthonormal des bases [C]
- Matrices orthogonales, différentes définitions équivalentes [C]
- Correspondance entre matrices orthogonales et isométries vectorielles en base orthonormale
- Déterminant, valeurs propres réelles des matrices orthogonales
- Orientation d'un R-espace vectoriel, orientations compatibles de deux supplémentaires
- Changements de bases orthonormales, de bases orthonormales directes
- Isométries directes, caractérisation par l'image d'une base orthonormale directe
- Symétries orthogonales, réflexions
- Produit mixte en dimension n
Dimension 2 et 3
- Matrice de rotation Rθ, description de SO2(R), utilisation des complexes pour le calcul de composées
- Rotation du plan euclidien orienté (définie comme ayant pour matrice Rθ dans une / toute base orthonormée directe) [C]
- Classification des isométries vectorielles en dimension 2 : rotations, réflexions
- Produit vectoriel en dimension 3 : définition, bilinéarité, antisymétrie [C]
- Description géométrique du produit vectoriel, cas d'annulation,calcul en base orthonormée directe
- Description de l'application x → k ∧ x pour k unitaire
- Rotation d'angle θ et d'axe dirigé par k, représentation en base adaptée, calcul de l'image d'un vecteur orthogonal à l'axe
- Classification : toute isométrie vectorielle directe de l'espace est une rotation, les autres sont leurs opposées
