Mathématique
Programme de colle semaine S17
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Produits scalaires réels, projection orthogonale
- Définition d'un produit scalaire réel, produits canoniques
- Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski, cas d'égalité [C]
- Norme associée à un produit scalaire
- Indépendance linéaire pour les familles orthogonales, espaces en somme directe orthogonale.
- Orthogonal d'un sous-espace vectoriel, supplémentaire orthogonal
- Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
- Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
- Procédé d'orthonormalisation de Schmidt : existence, algorithme [C]
- Cas d'un espace euclidien : interprétation euclidienne des formes linéaires [C], expression des coordonnées
- Changement de base orthonormale : caractérisation de la matrice de passage [C]
coordonnées
Variables aléatoires discrètes
- Rappels : v.a.d., loi, espérance, théorème du transfert
- Couple de v.a.d., loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles
- Linéarité de l'espérance [C]
- Positivité de l'espérance, avec cas d'annulation quand X est nulle presque sûrement
- Théorème de comparaison : si |X|<|Y| et Y d'espérance finie, X aussi
- Indépendance pour une suite finie ou infinie de v.a.
- Lemme des coalitions
- Espérance d'un produit de v.a. indépendantes [C]
- Rappel fonction génératrice d'une v.a. entière, fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes [C].
- Espace L2 des v.a. ayant un moment d'ordre 2, c'est un espace vectoriel contenant L1 [C]
- Forme bilinéaire E(XY), Cauchy Schwarz
- Covariance, bilinéarité
- Variance, variance de aX+b, d'une somme de v.a. indépendantes deux à deux [C]
- Rappel lien entre espérance, variance et fonction génératrice
- Inégalité de Markov [C]
- Inégalité de Bienaymé Tchebychev [C]
- Loi faible des grands nombres
