Mathématique
Programme de colle semaine 7
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Applications linéaires
- Image, noyau, problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution
- Représentation matricielle, formules de changement de base
- Lien entre formes linéaires et hyperplans (en dim finie), équations d'hyperplans
- Système, échelonnement, solutions
- Suite linéaire récurrente d'ordre 2 à coefficients constants : l'ensemble solution est de dimension 2, description
- Polynôme d'interpolation de Lagrange, base de Lagrange
- Propriétés du rang
- Notations par blocs
Convexité géométrique
Il y a très peu de choses explicitement au programme. J'ai néanmoins mentionné la notion de barycentre à coefficients positifs et l'associativité des barycentres.
- Segment dans un espace vectoriel, définition d'une partie convexe
- Les parties convexes de R sont les intervalles
- Les boules sont convexes et la sphère ne l'est pas [C]
Normes, limites dans les espaces vectoriels
On a traité uniquement les choses sous l'angle des limites de suites : la topologie se limite donc à "point adhérent à une partie", "partie dense" ou "parties fermées". Pour les fonctions, ne pas traiter de fonctions 'à plusieurs variables' pour l'instant, juste des 'écritures vectorielles' pour une norme donnée.
- Norme sur un espace vectoriel, distance, boules. Les boules sont convexes [C]
- Normes standard sur Kn, comparaisons
- Normes standard sur C([a,b]), comparaisons [C]
- Parties bornées
- Applications lipschitziennes entre deux evn
- Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée, unicité de la limite
- Equivalence des normes en dimension finie [admis], conséquence sur la convergence pour n'importe quelle norme ou n'importe quelle base
- Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite
- Point adhérent à une partie, adhérence
- Adhérence d'une boule [C]
- Partie fermée, partie dense
- En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés [C]
- L'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A [C]
- Limite d'une fonction en un point adhérent, limites étendues, continuité
- caractérisation séquentielle de la limite [C]
- Les applications lipschitziennes sont continues [C]
- En dimension finie, les applications linéaires sont lipschitziennes donc continues [C], les applications multilinéaires sont continues
- opérations sur les limites : linéarité, produits, composée
- Théorème des bornes atteintes (admis) pour une fonction continue sur une partie fermée bornée en dimension finie
