Mathématique
Programme de colle semaine S16
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Séries de fonctions
Rappel : les séries entières sont connues, on peut donc maintenant faire des études au bord du disque de convergence.
- Prière de réviser les séries entières, rayon de convergence,propriétés de convergence
- Types de convergence pour les séries de fonctions
- Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
- La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]
- Pour une série entière de rayon R, convergence normale sur le disque fermé de rayon r < R
- Adaptation des théorèmes d'interversion aux séries : continuité, dérivabilité, intégration sur un segment
- Les théorèmes d'interversion série-intégrale sont connus
- Théorème interversion limite somme [admis], utilisation pour la non convergence uniforme d'une série
Formules de Taylor, convexité en analyse
- Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
- Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b]
- Taylor-Young
- Emploi de ces formules
- Fonction convexe sur un intervalle I de R
- Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique
- L'application pente d'origine fixée est croissante
- Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I
- Caractérisation de la convexité des applications C2
Produits scalaires réels, projection orthogonale
- Définition d'un produit scalaire réel, produits canoniques
- Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski, cas d'égalité [C]
- Norme associée à un produit scalaire
- Indépendance linéaire pour les familles orthogonales, espaces en somme directe orthogonale.
- Orthogonal d'un sous-espace vectoriel, supplémentaire orthogonal
- Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
- Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
- Procédé d'orthonormalisation de Schmidt : existence, algorithme [C]
- Cas d'un espace euclidien : interprétation euclidienne des formes linéaires [C], expression des coordonnées
- Changement de base orthonormale : caractérisation de la matrice de passage [C]
