Mathématique
Programme de colle semaine S20 (avant-dernière semaine de colles)
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Fonctions à plusieurs variables
- Dérivée partielle, DL partiel
- Dérivée en un point selon un vecteur
- Caractère C1 : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C1
- Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
- Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
- Fonction Ck, théorème de Schwarz [NE]
- Hessienne, DL à l'ordre 2
- Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
- Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
- Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
- Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
- Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient
Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques
- Définition
- Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
- Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
- Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
- Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
- Théorème spectral [C]
- Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]
Extrema pour les fonctions à plusieurs variables
- Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
- Pour une fonction C1 sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
- Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive [C].
- Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
- Exemples d'études d'extrema
