Programme de colle semaine S13
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Algèbre linéaire : sommes directes et combinaisons linéaires
- Combinaisons linéaires, familles libres ou génératrices : extension aux familles infinies
- Intersection de sev, sev engendré par une partie
- La réunion de deux sev n'est en général pas un sev [C]
- Somme d'un nombre fini de sev, propriétés
- Sommes directes, caractérisation
- En dimension finie, dimension d'une somme et caractérisation des sommes directes par la dimension [C]
- Partition et regroupement de bases
- Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions à des espaces supplémentaires
- Interprétation des représentations matricielles par blocs
- Représentations matricielles des vecteurs, applications linéaires, endomorphismes.
- Changement de base : retrouver la formule du changement de bases pour les applications linéaires à partir de celle pour les vecteurs [C]
- Représentation matricielle des applications linéaires en dimension finie, matrice canonique Jr [C]
Réduction des endomorphismes
- Rappel : valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres
- Rappel : polynôme caractéristique, coefficients, racines
- Matrices semblables, comparaison de leurs éléments propres [C]
- Trace d'un endomorphisme [C], propriétés, exemples
- Caractérisation matricielle de la stabilité
- Comparaison entre dimension de l'espace propre et multiplicité [C]
- Indépendance linéaire pour les vecteurs propres [C], somme directe pour les espaces propres
- Diagonalisabilité, interprétation, caractérisation par les dimensions et multiplicités
- Pratique de la diagonalisation
- CNS de trigonalisabilité [C], pratique de la trigonalisation
- Si u et v comment, Ker u, Im u et tout espace propre de u sont stables par v [C]
- Introduction rapide de la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles, exemples de "systèmes différentiels"
Polynômes de matrices ou d'endomorphismes
- Notation P(u),P(M), calcul de (PQ)(u) [C]
- Pour x vecteur propre de u, x est vecteur propre de P(u) [C]
- Si A et B sont semblables, comparaison de P(A) et P(B)
- Polynôme annulateur, les valeurs propres font partie des racines [C]
- Existence d'un polynôme annulateur non nul en dimension finie [C]
- CNS de diagonalisation, deux versions (existence d'un annulateur scindé simple/ le produit des (X-vp) est annulateur [C : cette version])
- Théorème de Cayley Hamilton [NE]
