Programme de colle semaine S19
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Topologie dans un espace vectoriel normé
- Rappel : point adhérent, définition, caractérisation séquentielle, adhérence d'une partie, parties fermées
- Point intérieur, intérieur d'une partie
- Une boule ouverte est ouvrte, un sous-espace vectoriel est d'intérieur vide (sauf si c'est E lui-même) [C]
- Le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire [C]
- Parties ouvertes : propriété d'union quelconque et d'intersection finie [C]
- Image réciproque d'un fermé par une application continue, d'un ouvert par une application continue (continues sur E entier, pas de notion d'ouvert ou de fermé relatif) [C]
Fonctions à plusieurs variables
Pour le moment, pas d'extrema.
- Dérivée partielle, DL partiel
- Dérivée en un point selon un vecteur
- Caractère C1 : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C1
- Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
- Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
- Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
- Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
- Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
- Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
- Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient
