Mathématique
Programme de colle semaine S7
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Espace probabilisé
- Définition d'une tribu
- Définition d'un espace probabilisé
- Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
- Sous-additivité [C]
- Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
- Probabilités composées
- Système complet (ou quasi complet) d'événements, formule des probabilités totales
- Formule de Bayes
- Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer au(x) complémentaire(s)
- Définition d'une variable aléatoire discrète
- Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
- Espérance d'une v.a. numérique : définition uniquement
- Etudes de situations : tirage avec ou sans remise, tirage simultané
- Rappel des lois usuelles : binomiale, géométrique et de Poisson avec leur espérance
Convergence d'intégrales.
Pour les élèves : cela signifie savoir refaire les questions de cours vues dans le chapitre II (sur [a,+∞[).
- Intégrale d'une fonction continue sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
- Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
- Théorème de changement de variables (hypothèse C1 bijectif)
- Linéarité, positivité, croissance
- Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
- Intégration par parties généralisée
- Théorème de comparaison des fonctions positives [C]
- L'absolue convergence entraîne la convergence [C], fonctions "intégrables" sur I
- Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
- Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
- Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
- Intégration dans le cas continu par morceaux
Début des interversions
Pour l'instant plutôt des exemples d'application directe ; pas de borne mobile. Rappel : on n'a PAS vu le théorème des séries alternées encore.
- Théorème de convergence dominée (admis)
- Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
