Mathématique
Programme de colle semaine S4
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Simples calculs pour des variables aléatoires sur N
Cadre très restreint pour mener les calculs sur espérance, variance, fonction génératrice. Pas de théorème du transfert, pas de travail sur la modélisation. Je suis resté délibérément cantonné à l'angle "gestion des calculs usuels".
- Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
- Fonction de répartition.
- Espérance
- Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
- Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
- La fonction génératrice caractérise la loi [C],
- Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
- Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
- Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
- Loi géométrique, espérance et variance [C]
- Loi de Poisson, espérance et variance [C]
Révisions d'algèbre linéaire
- Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
- Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice, propriétés
- Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
- Opérations élémentaires, interprétation matricielle
- Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
- Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants
- Systèmes linéaires, échelonnement
- Les hyperplans sont les noyaux des formes linéaires non nulles ([C], en dimension finie)
Déterminant
Le groupe symétrique et la formule du déterminant, la comatrice et la formule de l'inverse, les formules de Cramer ne sont pas au programme.
- Déterminant d'une matrice carrée, propriétés
- Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés
- Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, propriétés
- Déterminant triangulaire par blocs (lemme compris) [C]
- Développement par rapport à une ligne ou colonne
- Déterminant de Vandermonde [C]
Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice
Pas de somme directe, pas de changement de base. Pour l'instant, les problèmes de valeurs et vecteurs propres servent de support de révisions pour le déterminant, rang, systèmes, problèmes linéaires.
- Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
- Exemples : valeurs propres de la dérivation des polynômes [C], de la dérivation sur C∞ [C]
- Éléments propres d'une matrice carrée
- Utilisation du déterminant (les valeurs propres sont racines du polynôme caractéristique ; ses propriétés seront au programme prochain)
