Mathématique
Programme de colle semaine S8
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Normes, limites dans les espaces vectoriels
On a traité uniquement les choses sous l'angle des limites de suites : la topologie se limite donc à "point adhérent à une partie", "partie dense" ou "parties fermées". Pour les fonctions, ne pas traiter de fonctions 'à plusieurs variables' pour l'instant, juste des 'écritures vectorielles' pour une norme donnée.
- Norme sur un espace vectoriel, distance, boules. Les boules sont convexes [C]
- Normes standard sur Kn, comparaisons
- Normes standard sur C([a,b]), comparaisons [C]
- Parties bornées
- Applications lipschitziennes entre deux evn
- Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée, unicité de la limite
- Equivalence des normes en dimension finie [admis], conséquence sur la convergence pour n'importe quelle norme ou n'importe quelle base
- Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite
- Point adhérent à une partie, adhérence
- Adhérence d'une boule [C]
- Partie fermée, partie dense
- En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés [C]
- L'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A [C]
- Limite d'une fonction en un point adhérent, limites étendues, continuité
- caractérisation séquentielle de la limite [C]
- Les applications lipschitziennes sont continues [C]
- En dimension finie, les applications linéaires sont lipschitziennes donc continues [C], les applications multilinéaires sont continues
- opérations sur les limites : linéarité, produits, composée
- Théorème des bornes atteintes (admis) pour une fonction continue sur une partie fermée bornée en dimension finie
- Exo-type : en dimension finie, distance d'un point à une partie fermée bornée non vide, à une partie fermée non vide [C]
Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2
Equations différentielles : le wronskien est hors programme. Aucune méthode de résolution effective n'est vraiment au programme.
- Equations linéaires scalaires d'ordre 1, résolution [C] (pour information je parle de "facteur intégrant")
- Equations scalaires d'ordre 2 Cauchy-Lipschitz [admis]
- Ordre 2 : structure de l'ensemble solution de l'équation homogène [C]
- Pour l'équation homogène d'ordre 2 principe de résolution quand on a une solution connue
- Cas à coefficients constants
- Equations différentielles sous forme non résolue, raccordement
- Utilisation des séries entières ou des intégrales à paramètres pour les équations différentielles
- "hors programme" : pour l'équation homogène d'ordre 2 : wronskien et équation du wronskien
Dérivée des fonctions à valeurs vectorielles
- Définition, équivalence avec l'existence d'un DL1,interprétation cinématique
- Dérivée de u°f pour u linéaire [C]
- Dérivée d'un "produit" B(f(x),g(x)) avec B bilinéaire [C]
- Mention des systèmes différentiels X'=AX - même si officiellement rien n'est à savoir - cas où l'on connaît une valeur propre et un vecteur propre
