Programme de colle semaine S6
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice
Pas de somme directe, pas de changement de base. Pour l'instant, on n'a parlé que des propriétés algébriques des valeurs et vecteurs propres des matrices. J'ai prouvé le théorème spectral (strictement sous la forme "une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres"), démo non exigible.
- Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
- Éléments propres d'une matrice carrée
- Polynôme caractéristique, degré, coefficients d'ordre 0,n-1,n
- Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
- Comparaison de M et de sa transposée [C]
- Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
- Matrices triangulaires
- Cas où l'on a une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
- Matrices symétriques réelles :
- les valeurs propres sont toutes réelles [C],
- les espaces propres sont orthogonaux[C].
- Résultat signalé avec une première démo non exigible : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE].
Dénombrabilité, utilisation de familles sommables
Les familles sommables ne sont pas franchement au programme, ni franchement en dehors :) . Vous pouvez donner un calcul vraiment simple en insistant sur la séparation justification/calcul.
- Dénombrabilité, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable
- N2 est dénombrable [C], un produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable
- Dénombrabilité ou non de Z,Q, R
- Pour une série de réels positifs, on peut permuter l'ordre des termes sans changer la nature ni la somme [NE]
- Somme d'une famille dénombrable de réels positifs,finie ou non, sommation par paquets, sommes doubles [NE]
- Définition ad hoc des familles sommables de complexes : quand il est possible de les voir comme une série absolument convergente
- sommation par paquets, sommes doubles [NE]
- Rejustifier le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes à partir de la théorie des familles sommables [C]
Espace probabilisé
Sur l'espérance je n'a donné que la définition, le théorème de transfert et le cas des v.a. entières qui avait été vu auparavant.
- Définition d'une tribu
- Définition d'un espace probabilisé
- Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
- Sous-additivité [C]
- Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
- Probabilités composées
- Système complet (ou quasi complet) d'événements, formule des probabilités totales
- Formule de Bayes
- Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer au(x) complémentaire(s)
- Définition d'une variable aléatoire discrète
- Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
- Espérance d'une v.a. numérique : définition, transfert
- Rappel : lois usuelles (uniquement les formules, l'interprétation en termes de modèles probabilistes sera vue à la rentrée)
- Rappel : fonctions génératrices de v.a. entières, application au calcul d'espérance
