Mathématique
Programme de colle semaine S14
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Polynômes de matrices ou d'endomorphismes
- Notation P(u),P(M), calcul de (PQ)(u) [C]
- Pour x vecteur propre de u, x est vecteur propre de P(u) [C]
- Si A et B sont semblables, comparaison de P(A) et P(B)
- Polynôme annulateur, les valeurs propres font partie des racines [C]
- Existence d'un polynôme annulateur non nul en dimension finie [C]
- CNS de diagonalisation, deux versions (existence d'un annulateur scindé simple/ le produit des (X-vp) est annulateur [C]
- Théorème de Cayley Hamilton [NE]
Dérivée d'une fonction à valeurs vectorielles
- Cadre : f de I intervalle de R dans E ev de dim finie
- Dérivabilité et DL1, vecteur dérivé, interprétation cinématique
- Caractère Ck
- Opérations : linéarité, dérivée d'une application u rond f avec u linéaire [C]
- Opérations : dérivée d'une xpression B(f(t),g(t)) avec B bilinéaire [C]
- Opérations : dérivée de f rond φ avec φ fonction numérique
- Applications aux systèmes X'=AX+b(t) (aucune propriété à connaître)
Théorème des séries alternées (enfin !), nature des séries de fonctions
Petits exercices d'application/assimilation.
- Théorème des séries alternées, majoration du reste [C]
- Techniques d'estimation du reste (TSA, comparaison série intégrale)
- Rappel sur les suites de fonctions : convergence uniforme, interversions
- Types de convergence pour les séries de fonctions
- Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
- La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]
