Semaine du lundi 5 octobre 2026
Programme de colle semaine S4 (5 octobre)
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Révisions d'analyse
Sans excès de technicité, on vérifiera que les réflexes de base sont bien présents et mobilisables.
- Relations de comparaison o, O, ∼
- Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
- Méthodes pour les suites récurrentes un+1=f(un)
- Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
- Techniques de base pour le calcul des primitives
Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue
Je présente en parallèle séries et intégrales, ces dernières uniquement pour des fonctions continues sur [a,+∞[. Je n'ai fait que ce qui figure ci-dessous, notamment PAS de séries alternées, PAS vu sin(t)/t.
- Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
- Calculs connus : géométrique [C], télescopique
- Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
- Convergence des intégrales en +∞, exemples
- Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
- Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
- Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
- Séries de référence : Riemann [C]
- Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
- Règle de d'Alembert [C]
- Correspondance suite-série télescopique.
- Formule de Stirling [C, hormis la valeur de la constante]
Séries entières
Rappel du cadre : je n'ai pas traité le théorème des séries alternées.
- Définition
- Lemme d'Abel [C]
- Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
- Rayon de ∑ nα xn
- Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
- Comparaison du rayon de deux séries
- Rayon de ∑nanxn [C]
- Somme et produit de deux séries entières
- Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle)
- Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
- Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)α
- Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)α) [C]
