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Document de 92 ko, dans Mathématique/DL

Document de 1 ko, dans Physique/Capacités numériques/CN3 - Spectre de Fourier

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Programme de colle semaine S11

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Normes, limites dans les espaces vectoriels

• Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée
• Equivalence des normes en dimension finie [admis], conséquence sur la convergence pour n'importe quelle norme ou n'importe quelle base
• Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite
• Point adhérent à une partie, adhérence
• Adhérence d'une boule [C]
• Partie fermée, partie dense
• En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés [C]
• L'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A [C]
• Limite d'une fonction en un point adhérent, limites étendues, continuité
• caractérisation séquentielle de la limite [C]
• Les applications lipschitziennes sont continues [C]
• En dimension finie, les applications linéaires sont lipschitziennes donc continues [C], les applications multilinéaires sont continues
• opérations sur les limites : linéarité, produits, composée
• Théorème des bornes atteintes (admis) pour une fonction continue sur une partie fermée bornée en dimension finie
• Exo type : en dim finie, la distance de x à une partie fermée non vide est atteinte [C]

Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2

• Equations linéaires scalaires d'ordre 1, résolution [C] (pour information je parle de "facteur intégrant")
• Equations scalaires d'ordre 2 Cauchy-Lipschitz [admis]
• Ordre 2 : structure de l'ensemble solution de l'équation homogène [C]
• Pour l'équation homogène d'ordre 2 principe de résolution quand on a une solution connue
• Cas à coefficients constants
• Equations différentielles sous forme non résolue, raccordement
• Utilisation des séries entières ou des intégrales à paramètres pour les équations différentielles
• "hors programme" : pour l'équation homogène d'ordre 2 : wronskien et équation du wronskien
• Dérivées partielles, EDP sans changement de variable (sur un produit d'intervalles, sans regarder de questions de régularité)

Document de 4 ko, dans Informatique/TP et exos/TP07 - kMoyennes

Programme de colle semaine S10

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Convexité géométrique

• Segment dans un espace vectoriel, définition d'une partie convexe
• Les parties convexes de R sont les intervalles
• Les boules sont convexes et la sphère ne l'est pas [C]

Normes, limites dans les espaces vectoriels

• Norme sur un espace vectoriel, distance, boules. Les boules sont convexes [C]
• Normes standard sur Kⁿ, comparaisons
• Normes standard sur C([a,b]), comparaisons [C]
• Parties bornées
• Applications lipschitziennes entre deux evn
• Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée, unicité de la limite
• Equivalence des normes en dimension finie [admis], conséquence sur la convergence pour n'importe quelle norme ou n'importe quelle base
• Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite
• Point adhérent à une partie, adhérence
• Adhérence d'une boule [C]
• Partie fermée, partie dense
• En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés [C]
• L'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A [C]
• Limite d'une fonction en un point adhérent, limites étendues, continuité
• caractérisation séquentielle de la limite [C]
• Les applications lipschitziennes sont continues [C]
• En dimension finie, les applications linéaires sont lipschitziennes donc continues [C], les applications multilinéaires sont continues
• opérations sur les limites : linéarité, produits, composée
• Théorème des bornes atteintes (admis) pour une fonction continue sur une partie fermée bornée en dimension finie

Rappel : équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1

• Equations linéaires scalaires d'ordre 1, résolution [C] (pour information je parle de "facteur intégrant")
• Equations différentielles sous forme non résolue, raccordement

Document de 87 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Autres sujets/Intégrales à paramètres voir aussi révision 5

Programme de colle semaine S9

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Intégration : interversions

• Exemple type pour les questions d'intégrabilité : la fonction sin (t) / t a une intégrale convergente [C] mais non absolument convergente [C]
• Théorème de convergence dominée (admis)
• Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
• Ex-type [C] : limite de $\int_0^{\sqrt n} (1-\frac {t^2} n)^n dt$
• Ex-type [C] : pour a>0, montrer $\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x^b} d x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{nb+a}$
• Sommes de Riemann par la convergence dominée
• Composition de limites, caractérisation séquentielle d'une limite de fonction [C : l'implication "si pour toute suite..."]
• Convergence dominée à paramètre continu,
• continuité sous intégrale [C]
• Dérivation sous intégrale (pour le cas C^k il suffit de dominer la dernière dérivée partielle)
• Utilisation de la localisation du paramètre
• Ex type : la fonction $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{t-1} dx$ est C^∞ sur ]0,+∞ [ [C]

Convexité géométrique

• Segment dans un espace vectoriel, définition d'une partie convexe
• Les parties convexes de R sont les intervalles
• Les boules sont convexes et la sphère ne l'est pas [C]

Normes

• Norme sur un espace vectoriel, distance, boules. Les boules sont convexes [C]
• Normes standard sur Kⁿ, comparaisons
• Normes standard sur C([a,b]), comparaisons [C]
• Parties bornées
• Applications lipschitziennes entre deux evn
• Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée, unicité de la limite
• Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite

Document de 113 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S8

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Convergence d'intégrales.

• Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
• Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
• Intégration sur un segment dans le cas continu par morceaux
• Intégrale d'une fonction continue pm sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
• Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
• Théorème de changement de variables (hypothèse C¹ bijectif)
• Linéarité, positivité, croissance
• Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
• Intégration par parties généralisée
• Théorème de comparaison des fonctions positives [C, sur [a,+∞[]
• L'absolue convergence entraîne la convergence [C, sur [a,+∞[], fonctions "intégrables" sur I
• Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
• La fonction sin (t) / t a une intégrale convergente [C] mais non absolument convergente [C]

Intégration : interversions

• Théorème de convergence dominée (admis)
• Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
• Ex-type [C] : limite de $\int_0^{\sqrt n} (1-\frac {t^2} n)^n dt$
• Ex-type [C] : pour a>0, montrer $\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x^b} d x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{nb+a}$
• Sommes de Riemann par la convergence dominée
• Composition de limites, caractérisation séquentielle d'une limite de fonction [C : l'implication "si pour toute suite..."]
• Convergence dominée à paramètre continu,
• continuité sous intégrale [C]
• Dérivation sous intégrale (pour le cas C^k il suffit de dominer la dernière dérivée partielle)
• Utilisation de la localisation du paramètre
• Ex type : la fonction $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{t-1} dx$ est C^∞ sur ]0,+∞ [ [C]

Programme de colle semaine S7

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Dénombrabilité, utilisation de familles sommables

• Dénombrabilité, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable
• N² est dénombrable [C], un produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable
• Dénombrabilité ou non de Z,Q, R
• Pour une série de réels positifs, on peut permuter l'ordre des termes sans changer la nature ni la somme [NE]
• Somme d'une famille dénombrable de réels positifs,finie ou non, sommation par paquets, sommes doubles [NE]
• Définition ad hoc des familles sommables de complexes : quand il est possible de les voir comme une série absolument convergente
• sommation par paquets, sommes doubles [NE]
• Rejustifier le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes à partir de la théorie des familles sommables [C]

Espace probabilisé

• Définition d'une tribu
• Définition d'un espace probabilisé
• Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
• Sous-additivité [C]
• Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
• Probabilités composées
• Système complet (ou quasi complet) d'événements, formule des probabilités totales
• Formule de Bayes
• Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer au(x) complémentaire(s)
• Définition d'une variable aléatoire discrète
• Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
• Espérance d'une v.a. numérique : définition, transfert
• Rappel : fonctions génératrices de v.a. entières, application au calcul d'espérance
• Etudes de situations : tirage avec ou sans remise, tirage simultané
• Rappel des lois usuelles : binomiale, géométrique et de Poisson avec leur espérance

Convergence d'intégrales.

• Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
• Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
• Intégration sur un segment dans le cas continu par morceaux
• Intégrale d'une fonction continue pm sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
• Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
• Théorème de changement de variables (hypothèse C¹ bijectif)
• Linéarité, positivité, croissance
• Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
• Intégration par parties généralisée
• L'absolue convergence entraîne la convergence [C, faire sur [a,+infini[], fonctions "intégrables" sur I
• Théorème de comparaison des fonctions positives [C, faire sur [a,+infini[]

Document de 1 ko, dans Informatique/TP et exos/TP06 - Programmation dynamique 2