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Colles de maths semaine S21 (dernière semaine de colles)

[C] : question de cours "type", mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques

• Définition
• Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
• Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
• Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
• Théorème spectral [C]
• Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]

Extrema pour les fonctions à plusieurs variables

• Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
• Pour une fonction C¹ sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive [C]
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
• Exemples d'études d'extrema

Isométries vectorielles

• Définition des isométries vectorielles par conservation de la norme, du produit scalaire, du caractère orthonormal des bases [C]
• Matrices orthogonales, différentes définitions équivalentes [C]
• Correspondance entre matrices orthogonales et isométries vectorielles en base orthonormale
• Déterminant, valeurs propres réelles des matrices orthogonales
• Orientation d'un R-espace vectoriel, orientations compatibles de deux supplémentaires
• Changements de bases orthonormales, de bases orthonormales directes
• Isométries directes, caractérisation par l'image d'une base orthonormale directe
• Symétries orthogonales, réflexions
• Produit mixte en dimension n

Dimension 2 et 3

• Matrice de rotation R_θ, description de SO₂(R), utilisation des complexes pour le calcul de composées
• Rotation du plan euclidien orienté (définie comme ayant pour matrice R_θ dans une / toute base orthonormée directe) [C]
• Classification des isométries vectorielles en dimension 2 : rotations, réflexions
• Produit vectoriel en dimension 3 : définition, bilinéarité, antisymétrie [C]
• Description géométrique du produit vectoriel, cas d'annulation,calcul en base orthonormée directe
• Description de l'application x → k ∧ x pour k unitaire
• Rotation d'angle θ et d'axe dirigé par k, représentation en base adaptée, calcul de l'image d'un vecteur orthogonal à l'axe
• Classification : toute isométrie vectorielle directe de l'espace est une rotation, les autres sont leurs opposées