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Document de 0 ko, dans Informatique/TP et exos/TP05 - Programmation dynamique 1

Document de 261 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S5

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'algèbre linéaire

• Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
• Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice, propriétés
• Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
• Opérations élémentaires, interprétation matricielle
• Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
• Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants
• Systèmes linéaires, échelonnement
• Les hyperplans sont les noyaux des formes linéaires non nulles ([C], en dimension finie)

Déterminant

• Déterminant d'une matrice carrée, propriétés
• Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés
• Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, propriétés
• Déterminant triangulaire par blocs [C]
• Développement par rapport à une ligne ou colonne
• Déterminant de Vandermonde [C]

Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice

• Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
• Exemples : valeurs propres de la dérivation des polynômes [C], de la dérivation sur C^∞ [C]
• Éléments propres d'une matrice carrée
• Polynôme caractéristique, degré, coefficients d'ordre 0,n-1,n
• Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
• Comparaison de M et de sa transposée [C]
• Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
• Matrices triangulaires
• Cas où l'on a une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
• Matrices symétriques réelles :
  • les valeurs propres sont toutes réelles [C],
  • les espaces propres sont orthogonaux[C].
  • Résultat signalé avec une première démo non exigible : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE].

Programme de colle semaine S4

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Simples calculs pour des variables aléatoires sur N

• Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
• Fonction de répartition.
• Espérance
• Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
• Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
• La fonction génératrice caractérise la loi [C],
• Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
• Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
• Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
• Loi géométrique, espérance et variance [C]
• Loi de Poisson, espérance et variance [C]

Révisions d'algèbre linéaire

• Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
• Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice, propriétés
• Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
• Opérations élémentaires, interprétation matricielle
• Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
• Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants
• Systèmes linéaires, échelonnement
• Les hyperplans sont les noyaux des formes linéaires non nulles ([C], en dimension finie)

Déterminant

• Déterminant d'une matrice carrée, propriétés
• Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés
• Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, propriétés
• Déterminant triangulaire par blocs (lemme compris) [C]
• Développement par rapport à une ligne ou colonne
• Déterminant de Vandermonde [C]

Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice

• Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
• Exemples : valeurs propres de la dérivation des polynômes [C], de la dérivation sur C^∞ [C]
• Éléments propres d'une matrice carrée
• Utilisation du déterminant (les valeurs propres sont racines du polynôme caractéristique ; ses propriétés seront au programme prochain)

Document de 89 ko, dans Mathématique/DL

Document de 6 ko, dans Informatique/TP et exos/TP04 - Exercices récursifs

Ils sont dans la rubrique math/documents à télécharger (ou info). Il y a les sujets de l'an dernier qui sont "du même calibre" que ce que vous aurez en DS. C'est un outil de préparation possible mais ils ne constituent pas pour autant une priorité.

Je mets aussi des sujets complémentaires, thématiques, ou de niveau élevé (X ENS) en fonction des demandes. C'est totalement en plus, il n'y a rien d'anormal à ne pas avoir le temps de traiter ces derniers.

Ceci concerne uniquement les colles de math de M. Lembrez.

Attention l'horaire collectif indiqué dans le colloscope de début d'année est caduc et doit être remplacé par celui-ci : planning des colles Lembrez

• Colloscope
• Programme de colles en math : voir la rubrique adaptée
• Colles Lembrez individuelles à partir de la semaine 3

Document de 44 ko, dans Général/plannings

Programme de colle semaine S3 (29 septembre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Séries entières

• Définition
• Lemme d'Abel [C]
• Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
• Rayon de ∑ n^α xⁿ
• Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
• Comparaison du rayon de deux séries
• Rayon de ∑na_nxⁿ [C]
• Somme et produit de deux séries entières
• Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle)
• Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
• Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)^α
• Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)^α) [C]

Illustration : calculs pour des variables aléatoires sur N

• Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
• Fonction de répartition.
• Espérance
• Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
• Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
• La fonction génératrice caractérise la loi [C],
• Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
• Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
• Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
• Loi géométrique, espérance et variance [C]
• Loi de Poisson, espérance et variance [C]

Révisions d'algèbre linéaire

• Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
• Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
• Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
• Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants

Document de 0 ko, dans Physique/Capacités numériques/CN1 - Oscillateur

Document de 268 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Autres sujets

Document de 105 ko, dans Mathématique/DL

Document de 122 ko, dans Mathématique/DS

Programme de colle semaine S2 (22 septembre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'analyse

• Relations de comparaison o, O, ∼
• Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
• Méthodes pour les suites récurrentes u_n+1=f(u_n)
• Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
• Techniques de base pour le calcul des primitives

Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions

• Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
• Convergence simple d'une suite de fonctions
• Convergence uniforme d'une suite de fonctions
• Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
• Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
• Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
• Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
• La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].

Exercices-type

Peuvent être donnés en question de cours

• Borne supérieure de {||AX||_∞/||X||_∞,X∈Rⁿ, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |A_i,j|
• Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
• Types de convergence pour nxexp(-nx²) sur différents intervalles
• continuité de ∑1/(n^x) sur ]1,+∞[

Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue

• Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
• Calculs connus : géométrique [C], télescopique
• Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
• Convergence des intégrales en +∞, exemples
• Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
• Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
• Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
• Séries de référence : Riemann [C]
• Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
• Règle de d'Alembert [C]
• Correspondance suite-série télescopique.
• Formule de Stirling [C, hormis la valeur de la constante]

Séries entières

• Définition
• Lemme d'Abel [C]
• Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
• Rayon de ∑ n^α xⁿ
• Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
• Comparaison du rayon de deux séries
• Rayon de ∑na_nxⁿ [C]
• Somme et produit de deux séries entières
• Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle)
• Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
• Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)^α
• Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)^α) [C]

Programme de colle semaine S1 (15 septembre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'analyse

• Relations de comparaison o, O, ∼
• Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
• Méthodes pour les suites récurrentes u_n+1=f(u_n)
• Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
• Techniques de base pour le calcul des primitives

Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions

• Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
• Convergence simple d'une suite de fonctions
• Convergence uniforme d'une suite de fonctions
• Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
• Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
• Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
• Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
• La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].

Exercices-type

Peuvent être donnés en question de cours

• Borne supérieure de {||AX||_∞/||X||_∞,X∈Rⁿ, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |A_i,j|
• Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
• Types de convergence pour nxexp(-nx²) sur différents intervalles
• continuité de ∑1/(n^x) sur ]1,+∞[

Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue

• Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
• Calculs connus : géométrique [C], télescopique
• Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
• Convergence des intégrales en +∞, exemples
• Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
• Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
• Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
• Séries de référence : Riemann [C]
• Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
• Règle de d'Alembert [C]