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Programme de colle semaine S20 (avant-dernière semaine de colles)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Fonctions à plusieurs variables

• Dérivée partielle, DL partiel
• Dérivée en un point selon un vecteur
• Caractère C¹ : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C¹
• Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
• Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
• Fonction C^k, théorème de Schwarz [NE]
• Hessienne, DL à l'ordre 2
• Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
• Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
• Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
• Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
• Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient

Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques

• Définition
• Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
• Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
• Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
• Théorème spectral [C]
• Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]

Extrema pour les fonctions à plusieurs variables

• Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
• Pour une fonction C¹ sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive.
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
• Exemples d'études d'extrema

Programme de colle semaine S19

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Topologie dans un espace vectoriel normé

• Rappel : point adhérent, définition, caractérisation séquentielle, adhérence d'une partie, parties fermées
• Point intérieur, intérieur d'une partie
• Une boule ouverte est ouvrte, un sous-espace vectoriel est d'intérieur vide (sauf si c'est E lui-même) [C]
• Le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire [C]
• Parties ouvertes : propriété d'union quelconque et d'intersection finie [C]
• Image réciproque d'un fermé par une application continue, d'un ouvert par une application continue (continues sur E entier, pas de notion d'ouvert ou de fermé relatif) [C]

Fonctions à plusieurs variables

• Dérivée partielle, DL partiel
• Dérivée en un point selon un vecteur
• Caractère C¹ : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C¹
• Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
• Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
• Fonction C^k, théorème de Schwarz [NE]
• Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
• Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
• Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
• Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
• Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient

Document de 106 ko, dans Mathématique/DL

Document de 94 ko, dans Mathématique/DL

Pour s'organiser : demandez aux anciens

Pour se fixer des priorités : le bestOf2425

Le poly de méthodes

Les QCM de révision pour accompagner les révisions (bonne stratégie : se quizzer 48h après avoir revu le cours correspondant, confronter ses résultats avec une autre personne)

Pour bien utiliser les annales de l'an dernier : le best-of 23-24

N'hésitez pas à me contacter !

Document de 105 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS

Document de 1 Mo, dans Informatique/TP et exos/TP12 - Bases de données II Jonctions

Maîtrisez bien vos théorèmes d'interversion : car, rappelez-vous

Un exemple de carte mentale (David PSI* 2018-19, X19) CarteMentaleInterversions - si quelqu'un le met à jour car les énoncés ont légèrement changé, c'est top :)

Document de 124 ko, dans Mathématique/DS

Document de 128 ko, dans Mathématique/DS

Programme de colle semaine S18

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Variables aléatoires discrètes

• Rappels : v.a.d., loi, espérance, théorème du transfert
• Couple de v.a.d., loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles
• Linéarité de l'espérance [C]
• Positivité de l'espérance, avec cas d'annulation quand X est nulle presque sûrement
• Théorème de comparaison : si |X|<|Y| et Y d'espérance finie, X aussi
• Indépendance pour une suite finie ou infinie de v.a.
• Lemme des coalitions
• Espérance d'un produit de v.a. indépendantes [C]
• Rappel fonction génératrice d'une v.a. entière, fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes [C].
• Espace L² des v.a. ayant un moment d'ordre 2, c'est un espace vectoriel contenant L¹ [C]
• Forme bilinéaire E(XY), Cauchy Schwarz
• Covariance, bilinéarité
• Variance, variance de aX+b, d'une somme de v.a. indépendantes deux à deux [C]
• Rappel lien entre espérance, covariance et fonction génératrice
• Inégalité de Markov [C]
• Inégalité de Bienaymé Tchebychev [C]
• Loi faible des grands nombres

Topologie dans un espace vectoriel normé

• Rappel : point adhérent, définition, caractérisation séquentielle, adhérence d'une partie, parties fermées
• Point intérieur, intérieur d'une partie
• Une boule ouverte est ouvrte, un sous-espace vectoriel est d'intérieur vide (sauf si c'est E lui-même) [C]
• Le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire [C]
• Parties ouvertes : propriété d'union quelconque et d'intersection finie [C]
• Image réciproque d'un fermé par une application continue, d'un ouvert par une application continue (continues sur E entier, pas de notion d'ouvert ou de fermé relatif) [C]