Document de 219 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS

Document de 96 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Autres sujets

Colles de maths semaine S21 (dernière semaine de colles)

[C] : question de cours "type", mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques

• Définition
• Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
• Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
• Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
• Théorème spectral [C]
• Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]

Extrema pour les fonctions à plusieurs variables

• Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
• Pour une fonction C¹ sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive [C]
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
• Exemples d'études d'extrema

Isométries vectorielles

• Définition des isométries vectorielles par conservation de la norme, du produit scalaire, du caractère orthonormal des bases [C]
• Matrices orthogonales, différentes définitions équivalentes [C]
• Correspondance entre matrices orthogonales et isométries vectorielles en base orthonormale
• Déterminant, valeurs propres réelles des matrices orthogonales
• Orientation d'un R-espace vectoriel, orientations compatibles de deux supplémentaires
• Changements de bases orthonormales, de bases orthonormales directes
• Isométries directes, caractérisation par l'image d'une base orthonormale directe
• Symétries orthogonales, réflexions
• Produit mixte en dimension n

Dimension 2 et 3

• Matrice de rotation R_θ, description de SO₂(R), utilisation des complexes pour le calcul de composées
• Rotation du plan euclidien orienté (définie comme ayant pour matrice R_θ dans une / toute base orthonormée directe) [C]
• Classification des isométries vectorielles en dimension 2 : rotations, réflexions
• Produit vectoriel en dimension 3 : définition, bilinéarité, antisymétrie [C]
• Description géométrique du produit vectoriel, cas d'annulation,calcul en base orthonormée directe
• Description de l'application x → k ∧ x pour k unitaire
• Rotation d'angle θ et d'axe dirigé par k, représentation en base adaptée, calcul de l'image d'un vecteur orthogonal à l'axe
• Classification : toute isométrie vectorielle directe de l'espace est une rotation, les autres sont leurs opposées

Ordre des priorités

• Se détendre, vraiment !
• Etre au point sur le cours actuel (espaces euclidiens, extrema)
• Réviser les hypothèses des théorèmes d'interversion
• Commencer à mettre en place une révision générale du cours (qui se poursuivra jusqu'aux écrits bien sûr)

Car la priorité c'est le cours !!

Pour s'organiser : demandez aux grands spé ou aux très grands Anciens

Pour se fixer des priorités : le bestOf2526

Les QCM pour accompagner les révisions :

• les fiches préparer la colle feuille A, feuille B , feuille C, feuille D
• Le reste des QCM et fiches de révision avec le best of des démos et exos
• Plus les corrigés correspondants : ils sont dans ce dossier

Bonne stratégie : se quizzer 48h après avoir revu le cours correspondant, confronter ses résultats avec une autre personne)

N'hésitez pas à me contacter !

Maîtrisez bien vos théorèmes d'interversion: car, rappelez-vous

Un exemple de carte mentale (David PSI* 2018-19, X19) CarteMentaleInterversions - si quelqu'un le met à jour car les énoncés ont légèrement changé, c'est top :)

Programme de colle semaine S20 (avant-dernière semaine de colles)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Fonctions à plusieurs variables

• Dérivée partielle, DL partiel
• Dérivée en un point selon un vecteur
• Caractère C¹ : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C¹
• Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
• Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
• Fonction C^k, théorème de Schwarz [NE]
• Hessienne, DL à l'ordre 2
• Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
• Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
• Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
• Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
• Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient

Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques

• Définition
• Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
• Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
• Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
• Théorème spectral [C]
• Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]

Extrema pour les fonctions à plusieurs variables

• Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
• Pour une fonction C¹ sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive [C].
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
• Exemples d'études d'extrema

Document de 101 ko, dans Mathématique/DS