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 2526DL4Symplectique

Publication le 10/10 à 14h15

Document de 261 ko, dans Mathématique/DL

 Colles du 13/10 en Mathématique (mise à jour)

Publication le 08/10 à 22h03 (publication initiale le 08/10 à 22h02)

Programme de colle semaine S5

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'algèbre linéaire

  • Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
  • Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice, propriétés
  • Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
  • Opérations élémentaires, interprétation matricielle
  • Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
  • Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants
  • Systèmes linéaires, échelonnement
  • Les hyperplans sont les noyaux des formes linéaires non nulles ([C], en dimension finie)

Déterminant

Le groupe symétrique et la formule du déterminant, la comatrice et la formule de l'inverse, les formules de Cramer ne sont pas au programme.
  • Déterminant d'une matrice carrée, propriétés
  • Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés
  • Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, propriétés
  • Déterminant triangulaire par blocs [C]
  • Développement par rapport à une ligne ou colonne
  • Déterminant de Vandermonde [C]

Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice

Attention : pas de somme directe, pas de changement de base. Pour l'instant, on n'a parlé que des propriétés algébriques des valeurs et vecteurs propres des matrices. J'ai justifié algébriquement la situation de diagonalisation quand on a une base de vecteurs propres : AP=PD. J'ai prouvé le théorème spectral (strictement sous la forme "une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres"), démo non exigible.
  • Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
  • Exemples : valeurs propres de la dérivation des polynômes [C], de la dérivation sur C [C]
  • Éléments propres d'une matrice carrée
  • Polynôme caractéristique, degré, coefficients d'ordre 0,n-1,n
  • Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
  • Comparaison de M et de sa transposée [C]
  • Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
  • Matrices triangulaires
  • Cas où l'on a une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
  • Matrices symétriques réelles :
    • les valeurs propres sont toutes réelles [C],
    • les espaces propres sont orthogonaux[C].
    • Résultat signalé avec une première démo non exigible : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE].

 Colles du 6/10 en Mathématique

Publication le 02/10 à 17h33

Programme de colle semaine S4

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Simples calculs pour des variables aléatoires sur N

Cadre très restreint pour mener les calculs sur espérance, variance, fonction génératrice. Pas de théorème du transfert, pas de travail sur la modélisation. Je suis resté délibérément cantonné à l'angle "gestion des calculs usuels".
  • Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
  • Fonction de répartition.
  • Espérance
  • Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
  • Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
  • La fonction génératrice caractérise la loi [C],
  • Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
  • Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
  • Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
  • Loi géométrique, espérance et variance [C]
  • Loi de Poisson, espérance et variance [C]

Révisions d'algèbre linéaire

  • Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
  • Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice, propriétés
  • Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
  • Opérations élémentaires, interprétation matricielle
  • Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
  • Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants
  • Systèmes linéaires, échelonnement
  • Les hyperplans sont les noyaux des formes linéaires non nulles ([C], en dimension finie)

Déterminant

Le groupe symétrique et la formule du déterminant, la comatrice et la formule de l'inverse, les formules de Cramer ne sont pas au programme.
  • Déterminant d'une matrice carrée, propriétés
  • Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base, propriétés
  • Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie, propriétés
  • Déterminant triangulaire par blocs (lemme compris) [C]
  • Développement par rapport à une ligne ou colonne
  • Déterminant de Vandermonde [C]

Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice

Pas de somme directe, pas de changement de base. Pour l'instant, les problèmes de valeurs et vecteurs propres servent de support de révisions pour le déterminant, rang, systèmes, problèmes linéaires.
  • Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres d'un endomorphisme
  • Exemples : valeurs propres de la dérivation des polynômes [C], de la dérivation sur C [C]
  • Éléments propres d'une matrice carrée
  • Utilisation du déterminant (les valeurs propres sont racines du polynôme caractéristique ; ses propriétés seront au programme prochain)

 2526DL3_Matrices Bibinaires

Publication le 01/10 à 08h15

Document de 89 ko, dans Mathématique/DL

 TP03RecAtelecharger

Publication le 28/09 à 22h02

Document de 6 ko, dans Informatique/TP et exos/TP04 - Exercices récursifs

 Sujets supplémentaires

Publication le 27/09 à 21h25

Ils sont dans la rubrique math/documents à télécharger (ou info). Il y a les sujets de l'an dernier qui sont "du même calibre" que ce que vous aurez en DS. C'est un outil de préparation possible mais ils ne constituent pas pour autant une priorité.

Je mets aussi des sujets complémentaires, thématiques, ou de niveau élevé (X ENS) en fonction des demandes. C'est totalement en plus, il n'y a rien d'anormal à ne pas avoir le temps de traiter ces derniers.

 Colles individuelles en math à partir du 30/09

Publication le 27/09 à 21h25

Ceci concerne uniquement les colles de math de M. Lembrez.

Attention l'horaire collectif indiqué dans le colloscope de début d'année est caduc et doit être remplacé par celui-ci : planning des colles Lembrez

 Colloscope, programmes de colle [Planning, contact, colles] (mise à jour)

Publication le 27/09 à 21h24 (publication initiale le 12/09 à 22h25)

 passagescollesMaths

Publication le 27/09 à 21h24

Document de 44 ko, dans Général/plannings

 Colles du 29/09 en Mathématique (mise à jour)

Publication le 25/09 à 15h21 (publication initiale le 25/09 à 07h27)

Programme de colle semaine S3 (29 septembre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Séries entières

Rappel du cadre : je n'ai pas traité le théorème des séries alternées, je n'ai donné que la convergence normale, et sa conséquence sur la continuité et l'intégrale sur segment.
  • Définition
  • Lemme d'Abel [C]
  • Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
  • Rayon de ∑ nα xn
  • Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
  • Comparaison du rayon de deux séries
  • Rayon de ∑nanxn [C]
  • Somme et produit de deux séries entières
  • Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle)
  • Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
  • Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)α
  • Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)α) [C]

Illustration : calculs pour des variables aléatoires sur N

Cadre très restreint pour mener les calculs sur espérance, variance, fonction génératrice. Pas de théorème du transfert, pas de travail sur la modélisation. Je suis resté délibérément cantonné à l'angle "gestion des calculs usuels".
  • Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
  • Fonction de répartition.
  • Espérance
  • Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
  • Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
  • La fonction génératrice caractérise la loi [C],
  • Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
  • Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
  • Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
  • Loi géométrique, espérance et variance [C]
  • Loi de Poisson, espérance et variance [C]

Révisions d'algèbre linéaire

  • Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
  • Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
  • Interpolation de Lagrange [C], base des polynômes d'interpolation élémentaire
  • Suites linéaires récurrentes d'ordre 2 à coefficients constants

 CN1EnonceACompleter

Publication le 23/09 à 21h24

Document de 0 ko, dans Physique/Capacités numériques/CN1 - Oscillateur

 DS1 bis CentraleSupélec_2011_MP

Publication le 20/09 à 08h53

Document de 268 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Autres sujets

 2526DL2_Lambert

Publication le 20/09 à 08h51

Document de 105 ko, dans Mathématique/DL

 2526DS1_vitCVthmtauberien

Publication le 20/09 à 08h50

Document de 122 ko, dans Mathématique/DS

 Colles du 22/09 en Mathématique

Publication le 19/09 à 10h12

Programme de colle semaine S2 (22 septembre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'analyse

Sans excès de technicité, on vérifiera que les réflexes de base sont bien présents et mobilisables.
  • Relations de comparaison o, O, ∼
  • Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
  • Méthodes pour les suites récurrentes un+1=f(un)
  • Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
  • Techniques de base pour le calcul des primitives

Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions

Je n'ai pas fait plus que ce qui est là : pas encore de séries de fonctions en tant que telles (juste des convergences normales), pas de théorème général d'interversion de limites, pas de dérivation des suites ou séries
  • Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
  • Convergence simple d'une suite de fonctions
  • Convergence uniforme d'une suite de fonctions
  • Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
  • Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
  • Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
  • Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
  • La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].

Exercices-type

Peuvent être donnés en question de cours

  • Borne supérieure de {||AX||/||X||,X∈Rn, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |Ai,j|
  • Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
  • Types de convergence pour nxexp(-nx2) sur différents intervalles
  • continuité de ∑1/(nx) sur ]1,+∞[

Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue

Je présente en parallèle séries et intégrales, ces dernières uniquement pour des fonctions continues sur [a,+∞[. Je n'ai fait que ce qui figure ci-dessous, notamment PAS de séries alternées, PAS vu sin(t)/t.
  • Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
  • Calculs connus : géométrique [C], télescopique
  • Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
  • Convergence des intégrales en +∞, exemples
  • Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
  • Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
  • Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
  • Séries de référence : Riemann [C]
  • Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
  • Règle de d'Alembert [C]
  • Correspondance suite-série télescopique.
  • Formule de Stirling [C, hormis la valeur de la constante]

Séries entières

Rappel du cadre : je n'ai pas traité le théorème des séries alternées.
  • Définition
  • Lemme d'Abel [C]
  • Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
  • Rayon de ∑ nα xn
  • Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
  • Comparaison du rayon de deux séries
  • Rayon de ∑nanxn [C]
  • Somme et produit de deux séries entières
  • Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle)
  • Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
  • Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)α
  • Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)α) [C]

 Colles du 15/09 en Mathématique (mise à jour)

Publication le 19/09 à 10h12 (publication initiale le 05/09 à 23h17)

Programme de colle semaine S1 (15 septembre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'analyse

Sans excès de technicité, on vérifiera que les réflexes de base sont bien présents et mobilisables.
  • Relations de comparaison o, O, ∼
  • Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
  • Méthodes pour les suites récurrentes un+1=f(un)
  • Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
  • Techniques de base pour le calcul des primitives

Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions

Je n'ai pas fait plus que ce qui est là : pas encore de séries de fonctions en tant que telles (juste des convergences normales), pas de théorème général d'interversion de limites, pas de dérivation des suites ou séries
  • Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
  • Convergence simple d'une suite de fonctions
  • Convergence uniforme d'une suite de fonctions
  • Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
  • Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
  • Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
  • Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
  • La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].

Exercices-type

Peuvent être donnés en question de cours

  • Borne supérieure de {||AX||/||X||,X∈Rn, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |Ai,j|
  • Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
  • Types de convergence pour nxexp(-nx2) sur différents intervalles
  • continuité de ∑1/(nx) sur ]1,+∞[

Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue

Je présente en parallèle séries et intégrales, ces dernières uniquement pour des fonctions continues sur [a,+∞[. Je n'ai fait que ce qui figure ci-dessous, notamment PAS de séries alternées, PAS vu sin(t)/t.
  • Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
  • Calculs connus : géométrique [C], télescopique
  • Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
  • Convergence des intégrales en +∞, exemples
  • Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
  • Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
  • Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
  • Séries de référence : Riemann [C]
  • Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
  • Règle de d'Alembert [C]

 1920DL2 - formules de Taylor et séries

Publication le 17/09 à 12h31

Document de 122 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Autres sujets

 2122DL2 - deux problèmes sur les séries

Publication le 17/09 à 12h30

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 X2007PSIPartiel

Publication le 17/09 à 12h28

Document de 96 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS/XENSPSI2007 Analyse Séries besoin du thm des séries alternées et sa majoration

 X-Cachan_2007_PSI_énoncé d'origine (pour info)

Publication le 17/09 à 12h28

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Publication le 12/09 à 22h26

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