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Programme de colle semaine S17

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Produits scalaires réels, projection orthogonale

• Définition d'un produit scalaire réel, produits canoniques
• Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski, cas d'égalité [C]
• Norme associée à un produit scalaire
• Indépendance linéaire pour les familles orthogonales, espaces en somme directe orthogonale.
• Orthogonal d'un sous-espace vectoriel, supplémentaire orthogonal
• Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Procédé d'orthonormalisation de Schmidt : existence, algorithme [C]
• Cas d'un espace euclidien : interprétation euclidienne des formes linéaires [C], expression des coordonnées

coordonnées

• Changement de base orthonormale : caractérisation de la matrice de passage [C]

Variables aléatoires discrètes

• Rappels : v.a.d., loi, espérance, théorème du transfert
• Couple de v.a.d., loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles
• Linéarité de l'espérance [C]
• Positivité de l'espérance, avec cas d'annulation quand X est nulle presque sûrement
• Théorème de comparaison : si |X|<|Y| et Y d'espérance finie, X aussi
• Indépendance pour une suite finie ou infinie de v.a.
• Lemme des coalitions
• Espérance d'un produit de v.a. indépendantes [C]
• Rappel fonction génératrice d'une v.a. entière, fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes [C].
• Espace L² des v.a. ayant un moment d'ordre 2, c'est un espace vectoriel contenant L¹ [C]
• Forme bilinéaire E(XY), Cauchy Schwarz
• Covariance, bilinéarité
• Variance, variance de aX+b, d'une somme de v.a. indépendantes deux à deux [C]
• Rappel lien entre espérance, variance et fonction génératrice
• Inégalité de Markov [C]
• Inégalité de Bienaymé Tchebychev [C]
• Loi faible des grands nombres

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Programme de colle semaine S16

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Séries de fonctions

• Prière de réviser les séries entières, rayon de convergence,propriétés de convergence
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]
• Pour une série entière de rayon R, convergence normale sur le disque fermé de rayon r < R
• Adaptation des théorèmes d'interversion aux séries : continuité, dérivabilité, intégration sur un segment
• Les théorèmes d'interversion série-intégrale sont connus
• Théorème interversion limite somme [admis], utilisation pour la non convergence uniforme d'une série

Formules de Taylor, convexité en analyse

• Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
• Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b]
• Taylor-Young
• Emploi de ces formules
• Fonction convexe sur un intervalle I de R
• Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique
• L'application pente d'origine fixée est croissante
• Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I
• Caractérisation de la convexité des applications C²

Produits scalaires réels, projection orthogonale

• Définition d'un produit scalaire réel, produits canoniques
• Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski, cas d'égalité [C]
• Norme associée à un produit scalaire
• Indépendance linéaire pour les familles orthogonales, espaces en somme directe orthogonale.
• Orthogonal d'un sous-espace vectoriel, supplémentaire orthogonal
• Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Procédé d'orthonormalisation de Schmidt : existence, algorithme [C]
• Cas d'un espace euclidien : interprétation euclidienne des formes linéaires [C], expression des coordonnées
• Changement de base orthonormale : caractérisation de la matrice de passage [C]

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Programme de colle semaine S14

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Polynômes de matrices ou d'endomorphismes

• Notation P(u),P(M), calcul de (PQ)(u) [C]
• Pour x vecteur propre de u, x est vecteur propre de P(u) [C]
• Si A et B sont semblables, comparaison de P(A) et P(B)
• Polynôme annulateur, les valeurs propres font partie des racines [C]
• Existence d'un polynôme annulateur non nul en dimension finie [C]
• CNS de diagonalisation, deux versions (existence d'un annulateur scindé simple/ le produit des (X-vp) est annulateur [C]
• Théorème de Cayley Hamilton [NE]

Dérivée d'une fonction à valeurs vectorielles

• Cadre : f de I intervalle de R dans E ev de dim finie
• Dérivabilité et DL1, vecteur dérivé, interprétation cinématique
• Caractère C^k
• Opérations : linéarité, dérivée d'une application u rond f avec u linéaire [C]
• Opérations : dérivée d'une xpression B(f(t),g(t)) avec B bilinéaire [C]
• Opérations : dérivée de f rond φ avec φ fonction numérique
• Applications aux systèmes X'=AX+b(t) (aucune propriété à connaître)

Théorème des séries alternées (enfin !), nature des séries de fonctions

• Théorème des séries alternées, majoration du reste [C]
• Techniques d'estimation du reste (TSA, comparaison série intégrale)
• Rappel sur les suites de fonctions : convergence uniforme, interversions
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]

Programme de colle semaine S15

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Dérivée d'une fonction à valeurs vectorielles

• Cadre : f de I intervalle de R dans E ev de dim finie
• Dérivabilité et DL1, vecteur dérivé, interprétation cinématique
• Caractère C^k
• Opérations : linéarité, dérivée d'une application u rond f avec u linéaire [C]
• Opérations : dérivée d'une xpression B(f(t),g(t)) avec B bilinéaire [C]
• Opérations : dérivée de f rond φ avec φ fonction numérique
• Applications aux systèmes X'=AX+b(t) (aucune propriété à connaître)

Théorème des séries alternées, séries de fonctions

• Prière de réviser les séries entières, rayon de convergence,propriétés de convergence
• Théorème des séries alternées, majoration du reste [C]
• Techniques d'estimation du reste (TSA, comparaison série intégrale, majoration par autre série)
• Rappel sur les suites de fonctions : convergence uniforme, interversions
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]
• Pour une série entière de rayon R, convergence normale sur le disque fermé de rayon r < R
• Adaptation des théorèmes d'interversion aux séries : continuité, dérivabilité, intégration sur un segment
• Les théorèmes d'interversion série-intégrale sont connus
• Théorème interversion limite somme [admis], utilisation pour la non convergence uniforme d'une série

Formules de Taylor, convexité en analyse

• Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
• Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b]
• Taylor-Young
• Emploi de ces formules
• Fonction convexe sur un intervalle I de R
• Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique
• L'application pente d'origine fixée est croissante
• Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I
• Caractérisation de la convexité des applications C²

Document de 86 ko, dans Mathématique/DL

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Document de 3 ko, dans Informatique/TP et exos/TP09 - JeuxI_Attracteurs