Derniers contenus

Ordre des priorités

• Se détendre, vraiment !
• Etre au point sur le cours actuel (espaces euclidiens, extrema)
• Réviser les hypothèses des théorèmes d'interversion
• Commencer à mettre en place une révision générale du cours (qui se poursuivra jusqu'aux écrits bien sûr)

Car la priorité c'est le cours !!

Pour s'organiser : demandez aux grands spé ou aux très grands Anciens

Pour se fixer des priorités : le bestOf2526

Les QCM pour accompagner les révisions :

• les fiches préparer la colle feuille A, feuille B , feuille C, feuille D
• Le reste des QCM et fiches de révision avec le best of des démos et exos
• Plus les corrigés correspondants : ils sont dans ce dossier

Bonne stratégie : se quizzer 48h après avoir revu le cours correspondant, confronter ses résultats avec une autre personne)

N'hésitez pas à me contacter !

Maîtrisez bien vos théorèmes d'interversion: car, rappelez-vous

Un exemple de carte mentale (David PSI* 2018-19, X19) CarteMentaleInterversions - si quelqu'un le met à jour car les énoncés ont légèrement changé, c'est top :)

Programme de colle semaine S20 (avant-dernière semaine de colles)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Fonctions à plusieurs variables

• Dérivée partielle, DL partiel
• Dérivée en un point selon un vecteur
• Caractère C¹ : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C¹
• Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
• Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
• Fonction C^k, théorème de Schwarz [NE]
• Hessienne, DL à l'ordre 2
• Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
• Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
• Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
• Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
• Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient

Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques

• Définition
• Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
• Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
• Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
• Théorème spectral [C]
• Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]

Extrema pour les fonctions à plusieurs variables

• Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
• Pour une fonction C¹ sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive [C].
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
• Exemples d'études d'extrema

Document de 101 ko, dans Mathématique/DS

Document de 1 Mo, dans Informatique/TP et exos/TP12 - Bases de données II Jonctions

Document de 1 ko, dans Informatique/TP et exos/TP12 - Bases de données II Jonctions

Programme de colle semaine S19

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Topologie dans un espace vectoriel normé

• Rappel : point adhérent, définition, caractérisation séquentielle, adhérence d'une partie, parties fermées
• Point intérieur, intérieur d'une partie
• Une boule ouverte est ouvrte, un sous-espace vectoriel est d'intérieur vide (sauf si c'est E lui-même) [C]
• Le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire [C]
• Parties ouvertes : propriété d'union quelconque et d'intersection finie [C]
• Image réciproque d'un fermé par une application continue, d'un ouvert par une application continue (continues sur E entier, pas de notion d'ouvert ou de fermé relatif) [C]

Fonctions à plusieurs variables

• Dérivée partielle, DL partiel
• Dérivée en un point selon un vecteur
• Caractère C¹ : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C¹
• Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
• Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
• Fonction C^k, théorème de Schwarz [NE]
• Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
• Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
• Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
• Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
• Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient

Programme de colle semaine S16

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Séries de fonctions

• Prière de réviser les séries entières, rayon de convergence,propriétés de convergence
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]
• Pour une série entière de rayon R, convergence normale sur le disque fermé de rayon r < R
• Adaptation des théorèmes d'interversion aux séries : continuité, dérivabilité, intégration sur un segment
• Les théorèmes d'interversion série-intégrale sont connus
• Théorème interversion limite somme [admis], utilisation pour la non convergence uniforme d'une série

Formules de Taylor, convexité en analyse

• Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
• Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b]
• Taylor-Young
• Emploi de ces formules
• Fonction convexe sur un intervalle I de R
• Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique
• L'application pente d'origine fixée est croissante
• Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I
• Caractérisation de la convexité des applications C²

Produits scalaires réels, projection orthogonale

• Définition d'un produit scalaire réel, produits canoniques
• Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski, cas d'égalité [C]
• Norme associée à un produit scalaire
• Indépendance linéaire pour les familles orthogonales, espaces en somme directe orthogonale.
• Orthogonal d'un sous-espace vectoriel, supplémentaire orthogonal
• Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Procédé d'orthonormalisation de Schmidt : existence, algorithme [C]
• Cas d'un espace euclidien : interprétation euclidienne des formes linéaires [C], expression des coordonnées

Programme de colle semaine S17

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Produits scalaires réels, projection orthogonale

• Définition d'un produit scalaire réel, produits canoniques
• Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski, cas d'égalité [C]
• Norme associée à un produit scalaire
• Indépendance linéaire pour les familles orthogonales, espaces en somme directe orthogonale.
• Orthogonal d'un sous-espace vectoriel, supplémentaire orthogonal
• Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Procédé d'orthonormalisation de Schmidt : existence, algorithme [C]
• Cas d'un espace euclidien : interprétation euclidienne des formes linéaires [C], expression des coordonnées

coordonnées

Variables aléatoires discrètes

• Rappels : v.a.d., loi, espérance, théorème du transfert
• Couple de v.a.d., loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles
• Linéarité de l'espérance [C]
• Positivité de l'espérance, avec cas d'annulation quand X est nulle presque sûrement
• Théorème de comparaison : si |X|<|Y| et Y d'espérance finie, X aussi
• Indépendance pour une suite finie ou infinie de v.a.
• Lemme des coalitions
• Espérance d'un produit de v.a. indépendantes [C]
• Rappel fonction génératrice d'une v.a. entière, fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes [C].
• Espace L² des v.a. ayant un moment d'ordre 2, c'est un espace vectoriel contenant L¹ [C]
• Forme bilinéaire E(XY), Cauchy Schwarz
• Covariance, bilinéarité
• Variance, variance de aX+b, d'une somme de v.a. indépendantes deux à deux [C]
• Rappel lien entre espérance, variance et fonction génératrice
• Inégalité de Markov [C]
• Inégalité de Bienaymé Tchebychev [C]
• Loi faible des grands nombres

Programme de colle semaine S18

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Variables aléatoires discrètes

• Rappels : v.a.d., loi, espérance, théorème du transfert
• Couple de v.a.d., loi conjointe, lois marginales, lois conditionnelles
• Linéarité de l'espérance [C]
• Positivité de l'espérance, avec cas d'annulation quand X est nulle presque sûrement
• Théorème de comparaison : si |X|<|Y| et Y d'espérance finie, X aussi
• Indépendance pour une suite finie ou infinie de v.a.
• Lemme des coalitions
• Espérance d'un produit de v.a. indépendantes [C]
• Rappel fonction génératrice d'une v.a. entière, fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes [C].
• Espace L² des v.a. ayant un moment d'ordre 2, c'est un espace vectoriel contenant L¹ [C]
• Forme bilinéaire E(XY), Cauchy Schwarz
• Covariance, bilinéarité
• Variance, variance de aX+b, d'une somme de v.a. indépendantes deux à deux [C]
• Rappel lien entre espérance, covariance et fonction génératrice
• Inégalité de Markov [C]
• Inégalité de Bienaymé Tchebychev [C]
• Loi faible des grands nombres

Topologie dans un espace vectoriel normé

• Rappel : point adhérent, définition, caractérisation séquentielle, adhérence d'une partie, parties fermées
• Point intérieur, intérieur d'une partie
• Une boule ouverte est ouvrte, un sous-espace vectoriel est d'intérieur vide (sauf si c'est E lui-même) [C]
• Le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire [C]
• Parties ouvertes : propriété d'union quelconque et d'intersection finie [C]
• Image réciproque d'un fermé par une application continue, d'un ouvert par une application continue (continues sur E entier, pas de notion d'ouvert ou de fermé relatif) [C]

Document de 110 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires

Document de 1 Mo, dans Informatique/TP et exos/TP11 - Bases de données I Tables

Document de 3 Mo, dans Informatique/TP et exos/TP11 - Bases de données I Tables

Document de 124 ko, dans Mathématique/DL