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Document de 113 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S8

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Convergence d'intégrales.

• Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
• Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
• Intégration sur un segment dans le cas continu par morceaux
• Intégrale d'une fonction continue pm sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
• Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
• Théorème de changement de variables (hypothèse C¹ bijectif)
• Linéarité, positivité, croissance
• Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
• Intégration par parties généralisée
• Théorème de comparaison des fonctions positives [C, sur [a,+∞[]
• L'absolue convergence entraîne la convergence [C, sur [a,+∞[], fonctions "intégrables" sur I
• Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
• La fonction sin (t) / t a une intégrale convergente [C] mais non absolument convergente [C]

Intégration : interversions

• Théorème de convergence dominée (admis)
• Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
• Ex-type [C] : limite de $\int_0^{\sqrt n} (1-\frac {t^2} n)^n dt$
• Ex-type [C] : pour a>0, montrer $\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x^b} d x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{nb+a}$
• Sommes de Riemann par la convergence dominée
• Composition de limites, caractérisation séquentielle d'une limite de fonction [C : l'implication "si pour toute suite..."]
• Convergence dominée à paramètre continu,
• continuité sous intégrale [C]
• Dérivation sous intégrale (pour le cas C^k il suffit de dominer la dernière dérivée partielle)
• Utilisation de la localisation du paramètre
• Ex type : la fonction $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{t-1} dx$ est C^∞ sur ]0,+∞ [ [C]

Programme de colle semaine S7

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Dénombrabilité, utilisation de familles sommables

• Dénombrabilité, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable
• N² est dénombrable [C], un produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable
• Dénombrabilité ou non de Z,Q, R
• Pour une série de réels positifs, on peut permuter l'ordre des termes sans changer la nature ni la somme [NE]
• Somme d'une famille dénombrable de réels positifs,finie ou non, sommation par paquets, sommes doubles [NE]
• Définition ad hoc des familles sommables de complexes : quand il est possible de les voir comme une série absolument convergente
• sommation par paquets, sommes doubles [NE]
• Rejustifier le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes à partir de la théorie des familles sommables [C]

Espace probabilisé

• Définition d'une tribu
• Définition d'un espace probabilisé
• Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
• Sous-additivité [C]
• Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
• Probabilités composées
• Système complet (ou quasi complet) d'événements, formule des probabilités totales
• Formule de Bayes
• Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer au(x) complémentaire(s)
• Définition d'une variable aléatoire discrète
• Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
• Espérance d'une v.a. numérique : définition, transfert
• Rappel : fonctions génératrices de v.a. entières, application au calcul d'espérance
• Etudes de situations : tirage avec ou sans remise, tirage simultané
• Rappel des lois usuelles : binomiale, géométrique et de Poisson avec leur espérance

Convergence d'intégrales.

• Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
• Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
• Intégration sur un segment dans le cas continu par morceaux
• Intégrale d'une fonction continue pm sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
• Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
• Théorème de changement de variables (hypothèse C¹ bijectif)
• Linéarité, positivité, croissance
• Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
• Intégration par parties généralisée
• L'absolue convergence entraîne la convergence [C, faire sur [a,+infini[], fonctions "intégrables" sur I
• Théorème de comparaison des fonctions positives [C, faire sur [a,+infini[]

Document de 1 ko, dans Informatique/TP et exos/TP06 - Programmation dynamique 2

Document de 109 ko, dans Mathématique/DL

Document de 130 ko, dans Mathématique/DS

Il est publié sur scei

13 avril début des écrits

• X et ENS du lundi 13 au vendredi 17 avril
• CCINP du lundi 20 au vendredi 24 avril
• Mines du lundi 27 avril au jeudi 30 avril
• Centrale du lundi 4 au jeudi 7 mai

Calendrier scei

Document de 387 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires

• Se reposer et revenir bien frais !
• Avancer TIPE, citations de français
• En maths
  • Avant tout travailler le cours, exos-type, méthodes type
  • travailler le 2526DL4Symplectique qui est un bon sujet, mais avec des questions qui peuvent être difficiles : y passer un temps raisonnable
  • Il y a des sujets en plus dans la rubrique sujets supplémentaires (notamment mines PSI017, et aussi le DL5 de l'an dernier), j'en ajoute à la demande si besoin
  • On m'a demandé une petite sélection d'exercices plus importants que les autres. Les exercices les plus importants sont les "exercices type" qui apparaissent dans le cours (cf polys). J'en cite quelques uns en plus, le moins possible : le 19 et le 42 de convergence uniforme, pour les séries J3, J4, 16 et 63, pour les séries entières 3,34 et 51. Problèmes linéaires numéro 6, endomorphismes 2,8,20,27, probabilités 57
• En info
  • Bien revoir sur la programmation dynamique puisqu'on va continuer sur ce thème important en cours et en TP : voir la projection vidéo V06Dynamique1 (ou la partie de poly associée)
  • Relire l'ensemble du cours ne fait pas de mal
  • Vous pouvez faire le sujet Sac à dos - Mines 2025 (pas la partie 1, bases de données)

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