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Programme de colle semaine S14

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Réduction des endomorphismes

• Rappel : valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres
• Rappel : polynôme caractéristique, coefficients, racines
• Matrices semblables, comparaison de leurs éléments propres [C]
• Trace d'un endomorphisme [C], propriétés, exemples
• Caractérisation matricielle de la stabilité
• Comparaison entre dimension de l'espace propre et multiplicité [C]
• Indépendance linéaire pour les vecteurs propres [C], somme directe pour les espaces propres
• Diagonalisabilité, interprétation, caractérisation par les dimensions et multiplicités
• Pratique de la diagonalisation
• CNS de trigonalisabilité [C], pratique de la trigonalisation
• Si u et v comment, Ker u, Im u et tout espace propre de u sont stables par v [C]
• Introduction rapide de la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles, exemples de "systèmes différentiels"

Polynômes de matrices ou d'endomorphismes

• Notation P(u),P(M), calcul de (PQ)(u) [C]
• Pour x vecteur propre de u, x est vecteur propre de P(u) [C]
• Si A et B sont semblables, comparaison de P(A) et P(B)
• Polynôme annulateur, les valeurs propres font partie des racines [C]
• Existence d'un polynôme annulateur non nul en dimension finie [C]
• CNS de diagonalisation, deux versions (existence d'un annulateur scindé simple/ le produit des (X-vp) est annulateur [C]
• Théorème de Cayley Hamilton [NE]

Théorème des séries alternées (enfin !), nature des séries de fonctions

• Théorème des séries alternées, majoration du reste [C]
• Techniques d'estimation du reste (TSA, comparaison série intégrale)
• Rappel sur les suites de fonctions : convergence uniforme, interversions
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]

Programme de colle semaine S13

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Algèbre linéaire : sommes directes et combinaisons linéaires

• Combinaisons linéaires, familles libres ou génératrices : extension aux familles infinies
• Intersection de sev, sev engendré par une partie
• La réunion de deux sev n'est en général pas un sev [C]
• Somme d'un nombre fini de sev, propriétés
• Sommes directes, caractérisation
• En dimension finie, dimension d'une somme et caractérisation des sommes directes par la dimension [C]
• Partition et regroupement de bases
• Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions à des espaces supplémentaires
• Interprétation des représentations matricielles par blocs
• Représentations matricielles des vecteurs, applications linéaires, endomorphismes.
• Changement de base : retrouver la formule du changement de bases pour les applications linéaires à partir de celle pour les vecteurs [C]
• Représentation matricielle des applications linéaires en dimension finie, matrice canonique J_r [C]

Réduction des endomorphismes

• Rappel : valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres
• Rappel : polynôme caractéristique, coefficients, racines
• Matrices semblables, comparaison de leurs éléments propres [C]
• Trace d'un endomorphisme [C], propriétés, exemples
• Caractérisation matricielle de la stabilité
• Comparaison entre dimension de l'espace propre et multiplicité [C]
• Indépendance linéaire pour les vecteurs propres [C], somme directe pour les espaces propres
• Diagonalisabilité, interprétation, caractérisation par les dimensions et multiplicités
• Pratique de la diagonalisation
• CNS de trigonalisabilité [C], pratique de la trigonalisation
• Si u et v comment, Ker u, Im u et tout espace propre de u sont stables par v [C]
• Introduction rapide de la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles, exemples de "systèmes différentiels"

Polynômes de matrices ou d'endomorphismes [début]

• Notation P(u),P(M), calcul de (PQ)(u) [C]
• Pour x vecteur propre de u, x est vecteur propre de P(u) [C]
• Si A et B sont semblables, comparaison de P(A) et P(B)
• Polynôme annulateur, les valeurs propres font partie des racines [C]
• Existence d'un polynôme annulateur non nul en dimension finie [C]
• CNS de diagonalisation, version 1 (existence d'un annulateur scindé simple), version 2 le produit des (X-vp) est annulateur [C]

Petit compte à rebours

Document de 104 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS/XPC2012Linéarisation(admettreCauchyLipschVectoriel)

Document de 112 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS/XENSPSI2018DiscrétisationProblèmeAuxLimites

Document de 3 ko, dans Informatique/TP et exos/TP09 - JeuxI_Attracteurs

Continuez à passer de bonnes fêtes et revenez bien en forme pour faire des flammes à la rentrée !

Proposition de travail et bestOf des TD

DL2 MinesInfo2024 (sauf base de données)

Vignette prise sur l'excellent site xkcd

Document de 459 ko, dans Informatique/Sujets de devoirs

Il est publié sur scei

15 avril début des écrits

• X et ENS du lundi 14 au vendredi 18 avril
• Mines du mardi 22 au vendredi 25 avril
• Centrale du lundi 28 avril au vendredi 2 mai
• CCINP du lundi 5 au vendredi 9 mai

Calendrier scei

Les inscriptions aux concours se feront sur le site du SCEI du 7 décembre au 13 janvier 2025 à 17h (donc compter le 12 !!) en suivant le lien scei. Rendez-vous dès à présent sur le site afin de préparer au mieux votre inscription.

Pour les demandes d'aménagement d'épreuves consultez la page correspondante et préparez tous les documents nécessaires. Vous pouvez commencer dès à présent à télécharger les documents nécessaires : suivre ce lien. Vous devez obligatoirement envoyer votre dossier médical complet au Service des Concours au plus tard le 13 janvier 2024 afin de permettre au médecin référent du [SCEI] d´établir son avis.

Pour toute hésitation sur les écoles à présenter, demandez à vos enseignants.

Programme de colle semaine S12

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Formules de Taylor, convexité en analyse

• Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
• Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b]
• Taylor-Young
• Emploi de ces formules
• Fonction convexe sur un intervalle I de R
• Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique
• L'application pente d'origine fixée est croissante
• Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I
• Caractérisation de la convexité des applications C²

Algèbre linéaire : sommes directes et combinaisons linéaires

• Combinaisons linéaires, familles libres ou génératrices : extension aux familles infinies
• Intersection de sev, sev engendré par une partie
• La réunion de deux sev n'est en général pas un sev [C]
• Somme d'un nombre fini de sev, propriétés
• Sommes directes, caractérisation
• En dimension finie, dimension d'une somme et caractérisation des sommes directes par la dimension [C]
• Partition et regroupement de bases
• Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions à des espaces supplémentaires
• Interprétation des représentations matricielles par blocs
• Représentations matricielles des vecteurs, applications linéaires, endomorphismes.
• Changement de base : retrouver la formule du changement de bases pour les applications linéaires à partir de celle pour les vecteurs [C]
• Représentation matricielle des applications linéaires en dimension finie, matrice canonique J_r [C]

Réduction des endomorphismes

• Rappel : valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres
• Rappel : polynôme caractéristique, coefficients, racines
• Matrices semblables, comparaison de leurs éléments propres [C]
• Trace d'un endomorphisme [C], propriétés, exemples
• Caractérisation matricielle de la stabilité
• Comparaison entre dimension de l'espace propre et multiplicité [C]
• Indépendance linéaire pour les vecteurs propres [C], somme directe pour les espaces propres
• Diagonalisabilité, interprétation, caractérisation par les dimensions et multiplicités