Colles du 21/09 en Mathématique (mise à jour)
Publication le 16/09 à 16h42 (publication initiale le 16/09 à 16h40)
Programme de colle semaine S2
[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].
Déterminant d'une matrice carrée
Le groupe symétrique et la formule du déterminant, la comatrice et la formule de l'inverse, les formules de Cramer ne sont pas au programme.
- Application déterminant sur les matrices carrées
- Propriétés usuelles
- Déterminant triangulaire par blocs [C]
- Développement par rapport à une ligne ou colonne
- Déterminant de Vandermonde [C]
Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice
Attention : on n'a pas parlé de somme directe, ni de changement de base. J'ai justifié algébriquement la situation de diagonalisation quand on a une base de vecteurs propres : AP=PD.
- Éléments propres d'une matrice carrée
- Polynôme caractéristique, degré, coefficients d'ordre 0,n-1,n
- Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
- Comparaison de M et de sa transposée [C]
- Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
- Matrices triangulaires
- Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes [C]
- La dimension de l'espace propre est inférieure à la multiplicité [admis provisoirement]
- Diagonalisation = existence d'une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
- CNS de diagonalisation : la somme des dim des espaces propres vaut n / le polynôme caractéristique est scindé et chaque dim = multiplicité
Matrices symétriques réelles
- Préalable : matrice orthogonale. Caract : ssi les colonnes forment une BON
- les valeurs propres sont toutes réelles [C],
- les espaces propres sont orthogonaux[C].
- Version du thm spectral admise provisoirement : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE]. Formulation matricielle A=PDPT
- Matrice symétrique positive (resp. définie positive), caractérisation par le spectre [C]
- Propriété à savoir réétablir : encadrement de XTAX à l'aide de la plus grosse et plus petite valeur propre [C]
Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions
Je n'ai pas fait plus que ce qui est là : pas encore de séries de fonctions en tant que telles (juste des convergences normales), pas de théorème général d'interversion de limites, pas de dérivation des suites ou séries. Pour cette semaine se limiter à cours et exercices d'application directe
- Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
- Convergence simple d'une suite de fonctions
- Convergence uniforme d'une suite de fonctions
- Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
- Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
- Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
- Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
- La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].
Exercices-type
Peuvent être donnés en question de cours
- Borne supérieure de {||AX||∞/||X||∞,X∈Rn, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |Ai,j|
- Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
- Types de convergence pour nxexp(-nx2) sur différents intervalles
- continuité de ∑1/(nx) sur ]1,+∞[
