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Document de 590 ko, dans Informatique/Sujets supplémentaires (an dernier)

Document de 88 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S7

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Espace probabilisé

• Définition d'une tribu
• Définition d'un espace probabilisé
• Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
• Sous-additivité [C]
• Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
• Probabilités composées
• Système complet (ou quasi complet) d'événements, formule des probabilités totales
• Formule de Bayes
• Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer au(x) complémentaire(s)
• Définition d'une variable aléatoire discrète
• Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
• Espérance d'une v.a. numérique : définition uniquement
• Etudes de situations : tirage avec ou sans remise, tirage simultané
• Rappel des lois usuelles : binomiale, géométrique et de Poisson avec leur espérance

Convergence d'intégrales.

• Intégrale d'une fonction continue sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
• Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
• Théorème de changement de variables (hypothèse C¹ bijectif)
• Linéarité, positivité, croissance
• Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
• Intégration par parties généralisée
• Théorème de comparaison des fonctions positives [C]
• L'absolue convergence entraîne la convergence [C], fonctions "intégrables" sur I
• Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
• Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
• Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
• Intégration dans le cas continu par morceaux

Début des interversions

• Théorème de convergence dominée (admis)
• Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]

Document de 58 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires

Document de 92 ko, dans Informatique/Sujets de devoirs/DM Toussaint Enveloppe de convexe X2015MPPC

Programme de colle semaine S6

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice

• Comparaison de M et de sa transposée [C]
• Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
• Matrices triangulaires
• Cas où l'on a une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
• Matrices symétriques réelles :
  • les valeurs propres sont toutes réelles [C],
  • les espaces propres sont orthogonaux[C].
  • Résultat signalé avec une première démo non exigible : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE].

Dénombrabilité, utilisation de familles sommables

• Dénombrabilité, une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable
• N² est dénombrable [C], un produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable
• Dénombrabilité ou non de Z,Q, R
• Pour une série de réels positifs, on peut permuter l'ordre des termes sans changer la nature ni la somme [NE]
• Somme d'une famille dénombrable de réels positifs,finie ou non, sommation par paquets, sommes doubles [NE]
• Définition ad hoc des familles sommables de complexes : quand il est possible de les voir comme une série absolument convergente
• sommation par paquets, sommes doubles [NE]
• Rejustifier le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes à partir de la théorie des familles sommables [C]

Espace probabilisé

• Définition d'une tribu
• Définition d'un espace probabilisé
• Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
• Sous-additivité [C]
• Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
• Probabilités composées
• Système complet (ou quasi complet) d'événements, formule des probabilités totales
• Formule de Bayes
• Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer au(x) complémentaire(s)
• Définition d'une variable aléatoire discrète
• Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
• Espérance d'une v.a. numérique : définition uniquement
• Etudes de situations : tirage avec ou sans remise, tirage simultané
• Rappel des lois usuelles : binomiale, géométrique et de Poisson avec leur espérance