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Colles de maths semaine S21 (dernière semaine de colles)

[C] : question de cours "type", mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques

• Définition
• Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
• Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
• Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
• Théorème spectral [C]
• Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]

Extrema pour les fonctions à plusieurs variables

• Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
• Pour une fonction C¹ sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive.
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
• Exemples d'études d'extrema

Isométries vectorielles

• Définition des isométries vectorielles par conservation de la norme, du produit scalaire, du caractère orthonormal des bases [C]
• Matrices orthogonales, différentes définitions équivalentes [C]
• Correspondance entre matrices orthogonales et isométries vectorielles en base orthonormale
• Déterminant, valeurs propres réelles des matrices orthogonales
• Orientation d'un R-espace vectoriel, orientations compatibles de deux supplémentaires
• Changements de bases orthonormales, de bases orthonormales directes
• Isométries directes, caractérisation par l'image d'une base orthonormale directe
• Symétries orthogonales, réflexions
• Produit mixte en dimension n

Dimension 2 et 3

• Matrice de rotation R_θ, description de SO₂(R), utilisation des complexes pour le calcul de composées
• Rotation du plan euclidien orienté (définie comme ayant pour matrice R_θ dans une / toute base orthonormée directe) [C]
• Classification des isométries vectorielles en dimension 2 : rotations, réflexions
• Produit vectoriel en dimension 3 : définition, bilinéarité, antisymétrie [C]
• Description géométrique du produit vectoriel, cas d'annulation,calcul en base orthonormée directe
• Description de l'application x → k ∧ x pour k unitaire
• Rotation d'angle θ et d'axe dirigé par k, représentation en base adaptée, calcul de l'image d'un vecteur orthogonal à l'axe
• Classification : toute isométrie vectorielle directe de l'espace est une rotation, les autres sont leurs opposées

Programme de colle semaine S20 (avant-dernière semaine de colles)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Fonctions à plusieurs variables

• Dérivée partielle, DL partiel
• Dérivée en un point selon un vecteur
• Caractère C¹ : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C¹
• Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
• Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
• Fonction C^k, théorème de Schwarz [NE]
• Hessienne, DL à l'ordre 2
• Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
• Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
• Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
• Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
• Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient

Endomorphismes autoadjoints, matrices symétriques

• Définition
• Correspondance entre endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques en base orthonormale [C]
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux [C]
• Rappel : le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé [C]
• Si F stable par u autoadjoint alors l'orthogonal aussi et les endom induits sont autadjoints [C]
• Théorème spectral [C]
• Matrices symétriques positives, définies positives, caractérisation spectrale [C]

Extrema pour les fonctions à plusieurs variables

• Rappel : une fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes
• Pour une fonction C¹ sur un ouvert, tout extremum local est un point critique
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique positive.
• Condition nécessaire pour un minimum local en un point critique : hessienne symétrique définie positive.
• Exemples d'études d'extrema

Programme de colle semaine S19

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Topologie dans un espace vectoriel normé

• Rappel : point adhérent, définition, caractérisation séquentielle, adhérence d'une partie, parties fermées
• Point intérieur, intérieur d'une partie
• Une boule ouverte est ouvrte, un sous-espace vectoriel est d'intérieur vide (sauf si c'est E lui-même) [C]
• Le complémentaire de l'intérieur est l'adhérence du complémentaire [C]
• Parties ouvertes : propriété d'union quelconque et d'intersection finie [C]
• Image réciproque d'un fermé par une application continue, d'un ouvert par une application continue (continues sur E entier, pas de notion d'ouvert ou de fermé relatif) [C]

Fonctions à plusieurs variables

• Dérivée partielle, DL partiel
• Dérivée en un point selon un vecteur
• Caractère C¹ : existence du DL à l'ordre 1, opérations sur les fonctions C¹
• Fonction lue le long d'un arc, dérivée [C].
• Application : caractérisation des constantes sur un ouvert convexe [C]
• Fonction C^k, théorème de Schwarz [NE]
• Méthodes pour les EDP (pas de difféomorphisme, les changements de variables doivent être indiqués)
• Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau
• Tangente à une courbe plane donnée par une équation F(x,y)=0 en un point régulier
• Plan tangent à une surface de l'espace donnée par une équation F(x,y,z)=0 en un point régulier
• Toutes les courbes tracées sur la surface précédente ont une tangente orthogonale au gradient