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Document de 211 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS/XENSPC2023 Perron Frobenius en norme 1

Programme de colle semaine S9

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Intégration : interversions

• Théorème de convergence dominée (admis)
• Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
• Ex-type [C] : limite de $\int_0^{\sqrt n} (1-\frac {t^2} n)^n dt$
• Ex-type [C] : pour a>0, montrer $\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x^b} d x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{nb+a}$
• Sommes de Riemann par la convergence dominée
• Convergence dominée à paramètre continu, continuité sous intégrale
• Dérivation sous intégrale (pour le cas C^k il suffit de dominer la dernière dérivée partielle)
• Utilisation de la localisation du paramètre
• Ex type : la fonction $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{t-1} dx$ est C^∞ sur ]0,+∞ [ [C]

Normes, limites dans les espaces vectoriels

• Norme sur un espace vectoriel, distance, boules. Les boules sont convexes [C]
• Normes standard sur Kⁿ, comparaisons [C]
• Normes standard sur C([a,b]), comparaisons [C]
• Parties bornées
• Applications lipschitziennes entre deux evn
• Convergence d'une suite de vecteurs pour une norme donnée, unicité de la limite
• Equivalence des normes en dimension finie [admis], conséquence sur la convergence pour n'importe quelle norme ou n'importe quelle base
• Suites extraites d'une suite convergente, linéarité de la limite
• Point adhérent à une partie, adhérence
• Adhérence d'une boule [C]
• Partie fermée, partie dense
• En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés [C]
• Limite d'une fonction en un point adhérent, limites étendues, continuité
• caractérisation séquentielle de la limite [C]
• Les applications lipschitziennes sont continues [C]
• En dimension finie, les applications linéaires sont lipschitziennes donc continues [C], les applications multilinéaires sont continues
• opérations sur les limites : linéarité, produits, composée

Document de 72 ko, dans Mathématique/DL

Document de 81 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS/XPC2004 Polynômes unitaires de norme minimale

Document de 83 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires/Sujets Type XENS/XPC2004 Polynômes unitaires de norme minimale

Document de 93 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S8

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Convergence d'intégrales.

• Intégrale d'une fonction continue sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
• Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
• Théorème de changement de variables (hypothèse C¹ bijectif)
• Linéarité, positivité, croissance
• Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
• Intégration par parties généralisée
• Théorème de comparaison des fonctions positives [C]
• L'absolue convergence entraîne la convergence [C], fonctions "intégrables" sur I
• Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
• Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
• Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
• Intégration dans le cas continu par morceaux

Intégration : interversions

• Théorème de convergence dominée (admis)
• Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]
• Ex-type [C] : limite de $\int_0^{\sqrt n} (1-\frac {t^2} n)^n dt$
• Ex-type [C] : pour a>0, montrer $\int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x^b} d x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{nb+a}$
• Sommes de Riemann par la convergence dominée
• Composition de limites, caractérisation séquentielle d'une limite de fonction [C : l'implication "si pour toute suite..."]
• Convergence dominée à paramètre continu, continuité sous intégrale
• Dérivation sous intégrale (pour le cas C^k il suffit de dominer la dernière dérivée partielle)
• Utilisation de la localisation du paramètre
• Ex type : la fonction $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty} e^{-x}x^{t-1} dx$ est C^∞ sur ]0,+∞ [ [C]

Document de 123 ko, dans Mathématique/DS

Document de 1 ko, dans Informatique/TP et exos/TP06 - Programmation dynamique 2

Document de 590 ko, dans Informatique/Sujets supplémentaires (an dernier)

Document de 88 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S7

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Espace probabilisé

• Définition d'une tribu
• Définition d'un espace probabilisé
• Continuité croissante [C] et son corollaire ; continuité décroissante
• Sous-additivité [C]
• Probabilité conditionnelle ; c'est une probabilité [C]
• Probabilités composées
• Système complet (ou quasi complet) d'événements, formule des probabilités totales
• Formule de Bayes
• Indépendance d'une famille d'événements ; possibilité de passer au(x) complémentaire(s)
• Définition d'une variable aléatoire discrète
• Fonction de répartition d'une v.a. réelle, limites en l'infini [C]
• Espérance d'une v.a. numérique : définition uniquement
• Etudes de situations : tirage avec ou sans remise, tirage simultané
• Rappel des lois usuelles : binomiale, géométrique et de Poisson avec leur espérance

Convergence d'intégrales.

• Intégrale d'une fonction continue sur [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ ; compatibilité avec l'intégration sur segment
• Intégrales de référence sur ]0,1] ou [1,+∞[ : puissances, logarithme, exponentielle [C]
• Théorème de changement de variables (hypothèse C¹ bijectif)
• Linéarité, positivité, croissance
• Stricte positivité (si la fonction est continue positive d'intégrale nulle elle est nulle)
• Intégration par parties généralisée
• Théorème de comparaison des fonctions positives [C]
• L'absolue convergence entraîne la convergence [C], fonctions "intégrables" sur I
• Continuité par morceaux sur un segment, sur un intervalle
• Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée [C]
• Continuité de x -> intégrale de a à x de f [C]
• Intégration dans le cas continu par morceaux

Début des interversions

• Théorème de convergence dominée (admis)
• Théorème d'intégration terme à terme si $\sum \int |f_n|$ converge [admis]

Document de 58 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires