Derniers contenus

Programme de colle semaine S5

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Séries entières

• Définition
• Lemme d'Abel [C]
• Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
• Rayon de ∑ n^α xⁿ
• Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
• Comparaison du rayon de deux séries
• Rayon de ∑na_nxⁿ [C]
• Somme et produit de deux séries entières
• Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle)
• Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
• Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)^α
• Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)^α) [C]

Illustration : calculs pour des variables aléatoires sur N

• Germe de probabilité, définition provisoire des probabilités sur N, des v.a. entières
• Fonction de répartition.
• Espérance
• Pour une v.a. entière expression de l'espérance à l'aide de la "fonction d'antirépartition"
• Fonction génératrice d'une v.a. entière ; propriétés de base
• La fonction génératrice caractérise la loi [C],
• Utilisation de la fonction génératrice pour obtenir l'espérance et de la variance [non exigible]
• Fonction génératrice d'une somme de v.a. indépendantes
• Lois de Bernoulli, binomiale, espérance, variance
• Loi géométrique, espérance et variance [C]
• Loi de Poisson, espérance et variance [C]

Révisions d'algèbre linéaire

• Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau [C]
• Conséquences : théorème du rang, représentation d'une application linéaire de rang r par la matrice J_r [C]
• Problèmes linéaires u(x)=b, expression générale de la solution [C]
• Représentation matricielle, formules de changement de base

Document de 95 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S4 (5 octobre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'analyse

• Relations de comparaison o, O, ∼
• Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
• Méthodes pour les suites récurrentes u_n+1=f(u_n)
• Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
• Techniques de base pour le calcul des primitives

Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue

• Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
• Calculs connus : géométrique [C], télescopique
• Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
• Convergence des intégrales en +∞, exemples
• Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
• Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
• Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
• Séries de référence : Riemann [C]
• Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
• Règle de d'Alembert [C]
• Correspondance suite-série télescopique.
• Formule de Stirling [C, hormis la valeur de la constante]

Séries entières

• Définition
• Lemme d'Abel [C]
• Rayon de convergence et propriétés de convergence simple, uniforme sur des disques fermés [C]
• Rayon de ∑ n^α xⁿ
• Fonction somme, continuité sur le disque ouvert de convergence [C]
• Comparaison du rayon de deux séries
• Rayon de ∑na_nxⁿ [C]
• Somme et produit de deux séries entières
• Dérivation terme à terme sur ]-R,R[ (variable réelle)
• Fonction développable en série entière au voisinage de 0 ; unicité [C]
• Développements en série entière usuels : exp, cos, sin, ch, sh, ln(1+x), (1+x)^α
• Méthode de l'équation différentielle (illustrée par le calcul du DSE de (1+x)^α) [C]

Document de 108 ko, dans Mathématique/DS

Document de 132 ko, dans Mathématique/DL

Programme de colle semaine S3 (28 septembre)

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Révisions d'analyse

• Relations de comparaison o, O, ∼
• Révision demandée : pratique du calcul asymptotique et DL usuels
• Méthodes pour les suites récurrentes u_n+1=f(u_n)
• Quelques inégalités classiques (majorer |sin x|, ln(1+x), un produit |xy|)
• Techniques de base pour le calcul des primitives

Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions

• Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
• Convergence simple d'une suite de fonctions
• Convergence uniforme d'une suite de fonctions
• Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
• Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
• Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
• Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
• La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].

Exercices-type

Peuvent être donnés en question de cours

• Borne supérieure de {||AX||_∞/||X||_∞,X∈Rⁿ, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |A_i,j|
• Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
• Types de convergence pour nxexp(-nx²) sur différents intervalles
• continuité de ∑1/(n^x) sur ]1,+∞[

Séries numériques et intégrales jusqu'en +∞, généralités et convergence absolue

• Vocabulaire des séries, et de la convergence, divergence grossière [C]
• Calculs connus : géométrique [C], télescopique
• Série exponentielle [C, via l'inégalité de Taylor]
• Convergence des intégrales en +∞, exemples
• Exemple de fonction continue, positive, d'intégrale convergente, sans limite nulle en l'infini [C]
• Séries ou intégrales à termes positifs, théorème de comparaison [C]
• Comparaison série-intégrale dans le cas positif décroissant : même nature [C]
• Séries de référence : Riemann [C]
• Absolue convergence entraîne convergence (pour les séries/les intégrales) [C]
• Règle de d'Alembert [C]
• Correspondance suite-série télescopique.

Programme de colle semaine S2

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Déterminant d'une matrice carrée

• Application déterminant sur les matrices carrées
• Propriétés usuelles
• Déterminant triangulaire par blocs [C]
• Développement par rapport à une ligne ou colonne
• Déterminant de Vandermonde [C]

Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice

• Éléments propres d'une matrice carrée
• Polynôme caractéristique, degré, coefficients d'ordre 0,n-1,n
• Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
• Comparaison de M et de sa transposée [C]
• Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
• Matrices triangulaires
• Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes [C]
• La dimension de l'espace propre est inférieure à la multiplicité [admis provisoirement]
• Diagonalisation = existence d'une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
• CNS de diagonalisation : la somme des dim des espaces propres vaut n / le polynôme caractéristique est scindé et chaque dim = multiplicité

Matrices symétriques réelles

• Préalable : matrice orthogonale. Caract : ssi les colonnes forment une BON
• les valeurs propres sont toutes réelles [C],
• les espaces propres sont orthogonaux[C].
• Version du thm spectral admise provisoirement : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE]. Formulation matricielle A=PDP^T
• Matrice symétrique positive (resp. définie positive), caractérisation par le spectre [C]
• Propriété à savoir réétablir : encadrement de X^TAX à l'aide de la plus grosse et plus petite valeur propre [C]

Borne sup, introduction de la convergence uniforme des suites de fonctions

• Rappel : maximum et borne supérieure pour des parties de R
• Convergence simple d'une suite de fonctions
• Convergence uniforme d'une suite de fonctions
• Passage de la continuité à la limite uniforme [C]
• Intégrale sur un segment pour une suite de fonctions continues qui converge uniformément [C]
• Mention de l'intérêt de la convergence uniforme "sur tout segment"
• Séries de fonctions : mention rapide de la convergence uniforme et de la convergence normale
• La convergence normale d'une série entraîne les convergences simple et uniforme [C].

Exercices-type

Peuvent être donnés en question de cours

• Borne supérieure de {||AX||_∞/||X||_∞,X∈Rⁿ, X≠0} : elle vaut le max sur i de la somme sur j des |A_i,j|
• Borne supérieure de {∫f, f∈C([0,1],[0,1]), f(0)=0}
• Types de convergence pour nxexp(-nx²) sur différents intervalles
• continuité de ∑1/(n^x) sur ]1,+∞[

Programme de colle semaine S1

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Déterminant d'une matrice carrée

• Application déterminant sur les matrices carrées
• Propriétés usuelles
• Déterminant triangulaire par blocs [C]
• Développement par rapport à une ligne ou colonne
• Déterminant de Vandermonde [C]

Valeurs propres, polynôme caractéristique d'une matrice

• Éléments propres d'une matrice carrée
• Polynôme caractéristique, degré, coefficients d'ordre 0,n-1,n
• Multiplicité des valeurs propres, lien avec la trace et le déterminant
• Comparaison de M et de sa transposée [C]
• Matrices réelles : valeurs propres vs valeurs propres complexes
• Matrices triangulaires
• Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes [C]
• La dimension de l'espace propre est inférieure à la multiplicité [admis provisoirement]
• Diagonalisation = existence d'une base de vecteurs propres : écriture PD=AP, justification "en colonnes" [C]
• CNS de diagonalisation : la somme des dim des espaces propres vaut n / le polynôme caractéristique est scindé et chaque dim = multiplicité

Matrices symétriques réelles

• Préalable : matrice orthogonale. Caract : ssi les colonnes forment une BON
• les valeurs propres sont toutes réelles [C],
• les espaces propres sont orthogonaux[C].
• Version du thm spectral admise provisoirement : une matrice symétrique réelle admet une base orthonormale de vecteurs propres [NE]. Formulation matricielle A=PDP^T
• Matrice symétrique positive (resp. définie positive), caractérisation par le spectre [C]
• Propriété à savoir réétablir : encadrement de X^TAX à l'aide de la plus grosse et plus petite valeur propre [C]