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Document de 113 ko, dans Mathématique/DL

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Programme de colle semaine S16

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Séries de fonctions

• Prière de réviser les séries entières, rayon de convergence,propriétés de convergence
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]
• Pour une série entière de rayon R, convergence normale sur le disque fermé de rayon r < R
• Adaptation des théorèmes d'interversion aux séries : continuité, dérivabilité, intégration sur un segment
• Les théorèmes d'interversion série-intégrale sont connus
• Théorème interversion limite somme [admis], utilisation pour la non convergence uniforme d'une série

Formules de Taylor, convexité en analyse

• Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
• Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b]
• Taylor-Young
• Emploi de ces formules
• Fonction convexe sur un intervalle I de R
• Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique
• L'application pente d'origine fixée est croissante
• Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I
• Caractérisation de la convexité des applications C²

Produits scalaires réels, projection orthogonale

• Définition d'un produit scalaire réel, produits canoniques
• Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski, cas d'égalité [C]
• Norme associée à un produit scalaire
• Indépendance linéaire pour les familles orthogonales, espaces en somme directe orthogonale.
• Orthogonal d'un sous-espace vectoriel, supplémentaire orthogonal
• Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie [C]
• Procédé d'orthonormalisation de Schmidt : existence, algorithme [C]
• Cas d'un espace euclidien : interprétation euclidienne des formes linéaires [C], expression des coordonnées
• Changement de base orthonormale : caractérisation de la matrice de passage [C]

Document de 5 ko, dans Informatique/TP et exos/TP10 - JeuxII_Minmax

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Programme de colle semaine S14

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Polynômes de matrices ou d'endomorphismes

• Notation P(u),P(M), calcul de (PQ)(u) [C]
• Pour x vecteur propre de u, x est vecteur propre de P(u) [C]
• Si A et B sont semblables, comparaison de P(A) et P(B)
• Polynôme annulateur, les valeurs propres font partie des racines [C]
• Existence d'un polynôme annulateur non nul en dimension finie [C]
• CNS de diagonalisation, deux versions (existence d'un annulateur scindé simple/ le produit des (X-vp) est annulateur [C]
• Théorème de Cayley Hamilton [NE]

Dérivée d'une fonction à valeurs vectorielles

• Cadre : f de I intervalle de R dans E ev de dim finie
• Dérivabilité et DL1, vecteur dérivé, interprétation cinématique
• Caractère C^k
• Opérations : linéarité, dérivée d'une application u rond f avec u linéaire [C]
• Opérations : dérivée d'une xpression B(f(t),g(t)) avec B bilinéaire [C]
• Opérations : dérivée de f rond φ avec φ fonction numérique
• Applications aux systèmes X'=AX+b(t) (aucune propriété à connaître)

Théorème des séries alternées (enfin !), nature des séries de fonctions

• Théorème des séries alternées, majoration du reste [C]
• Techniques d'estimation du reste (TSA, comparaison série intégrale)
• Rappel sur les suites de fonctions : convergence uniforme, interversions
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]

Programme de colle semaine S15

[C] : question de cours "type",mais on peut en poser d'autres. En revanche ne pas demander la démonstration des points non exigibles [NE].

Dérivée d'une fonction à valeurs vectorielles

• Cadre : f de I intervalle de R dans E ev de dim finie
• Dérivabilité et DL1, vecteur dérivé, interprétation cinématique
• Caractère C^k
• Opérations : linéarité, dérivée d'une application u rond f avec u linéaire [C]
• Opérations : dérivée d'une xpression B(f(t),g(t)) avec B bilinéaire [C]
• Opérations : dérivée de f rond φ avec φ fonction numérique
• Applications aux systèmes X'=AX+b(t) (aucune propriété à connaître)

Théorème des séries alternées, séries de fonctions

• Prière de réviser les séries entières, rayon de convergence,propriétés de convergence
• Théorème des séries alternées, majoration du reste [C]
• Techniques d'estimation du reste (TSA, comparaison série intégrale, majoration par autre série)
• Rappel sur les suites de fonctions : convergence uniforme, interversions
• Types de convergence pour les séries de fonctions
• Si une série converge uniformément son terme général converge uniformément vers la fonction nulle [C]
• La convergence normale entraîne les convergences simple et uniforme [C]
• Pour une série entière de rayon R, convergence normale sur le disque fermé de rayon r < R
• Adaptation des théorèmes d'interversion aux séries : continuité, dérivabilité, intégration sur un segment
• Les théorèmes d'interversion série-intégrale sont connus
• Théorème interversion limite somme [admis], utilisation pour la non convergence uniforme d'une série

Formules de Taylor, convexité en analyse

• Formule de Taylor reste intégral à l'ordre n sur [a,b] [C]
• Inégalité de Taylor à l'ordre n sur [a,b]
• Taylor-Young
• Emploi de ces formules
• Fonction convexe sur un intervalle I de R
• Inégalité de convexité pour n points, application moyenne arithmétique et géométrique
• L'application pente d'origine fixée est croissante
• Une application convexe est dérivable à droite et à gauche en chaque point intérieur à I
• Caractérisation de la convexité des applications C²

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Document de 73 ko, dans Mathématique/Sujets supplémentaires

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Passez de bonnes fêtes et revenez bien en forme pour faire des flammes à la rentrée !

N'oubliez pas de vous inscrire sur scei

Avant tout : se reposer !

Proposition de travail "minimum" : reprendre les cours, notamment bien être au point en algèbre pour le DS de rentrée. Et revoir les DS

J'ai mis des sujets supplémentaires type X pour ceux qui y tiennent

Je mets en ligne un document pour absorber, assimiler, dominer le cours en autonomie et préparer le DS de la rentrée : préparer la colle feuille C et son préparer la colle feuille C cor

En info : relire/reprendre le DM et les DS est suffisant. Mais si vous préférez travailler sur du matériau nouveau : voir les sujets de l'an dernier (les deux DM et les deux DS). J'ai aussi mis en ligne le sujet X2025 pour ceux qui n'en auraient pas eu assez avec Logimage... Attention : il est pire et en plus il est mal écrit. Mais j'ai mis des commentaires pour ceux qui voudraient quand même s'y frotter !

Vignette prise sur l'excellent site xkcd