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DM1 : autour de la règle d'Abel (CCINP 2011 TPC)

DM2 : perturbations de séries alternées

DM3 : polynômes orthogonaux (Centrale 2026 PSI, 2ème épreuve)

DM4 : étude d'une série de fonctions

Intégrales généralisées

Séries numériques

Algèbre linéaire

Espaces préhilbertiens

Normes

Suites et séries de fonctions

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DS1 : une intégrale à paramètre (Écricome ECS 2009) ; sommes de Riemann généralisées (Mines-Ponts 2024 PSI, début de la deuxième épreuve).

DS2 : algèbre linéaire (e3a 2014, MP, épreuve B, exercice 1) et séries de restes de séries alternées (e3a 1999, MP, 3ème épreuve)

DS3 : un exercice sur les normes (CCINP 2012, MP, 2ème épreuve) ; un produit scalaire sur $\mathbf{R}_2[X]$ (e3a 2020, PC) et un opérateur intégral sur un espace préhilbertien de fonctions (Centrale 2022, PSI, 2ème épreuve)

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• espaces vectoriels normés
• suites et séries de fonctions (le début, jusqu'à la proposition 1)

Questions de cours possibles :

1. normes usuelles sur $\mathbf{R}^n$
2. convexité des boules
3. unicité de la limite
4. convergence uniforme et combinaisons linéaires
5. conséquence de la convergence normale pour une série de fonctions

Intégrales généralisées : résumé du cours et feuille d'exercices

Séries numériques : résumé du cours et feuille d'exercices

Rappels et compléments d'algèbre linéaire : résumé du cours et feuille d'exercices

Espaces préhilbertiens réels : résumé du cours et feuille d'exercices

Normes sur un espace vectoriel : résumé du cours et feuille d'exercices

Suites et séries de fonctions : résumé du cours et feuille d'exercices

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Colle8

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DS4 Mécanique des fluides, chimie des solutions.

• espaces préhilbertiens réels
• normes sur un espace vectoriel

Questions de cours possibles :

1. identités de polarisation
2. matrice d'un endomorphisme dans une base orthonormée
3. orthogonalisation de Gram-Schmidt
4. normes usuelles sur $\mathbf{R}^n$
5. convexité des boules
6. unicité de la limite

• déterminants, déterminants par blocs
• interpolation de Lagrange et matrice de Vandermonde
• espaces préhilbertiens réels

Questions de cours possibles :

1. définition et propriétés des polynômes d'interpolation de Lagrange
2. définition de la matrice de Vandermonde et justification de son inversibilité
3. valeur du déterminant de Vandermonde, avec preuve
4. identités de polarisation
5. matrice d'un endomorphisme dans une base orthonormée
6. orthogonalisation de Gram-Schmidt

Colle7

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