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On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité.

Henri Poincaré (1854-1912),

Science et méthodes (1908)

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C'est par la logique qu'on démontre, c'est pas l'intuition qu'on invente.

Henri Poincaré (1854-1912),

Science et méthode (1908)

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[L'invention mathématique] ne consiste par à faire de nouvelles combinaisons avec des êtres mathématiques déjà bien connus. Cela, n'importe qui pourrait le faire, mais les combinaisons que l'on pourrait former ainsi seraient en nombre infini, et le plus grand nombre serait absolument dépourvu d'intérêt. Inventer, cela consiste précisément à ne pas construire les combinaisons inutiles et à construire celles qui sont utilse et qui ne sont pas qu'une infime minorité. Inventer, c'est discerner, c'est choisir.

Henri Poincaré (1854-1912),

Science et méthode (1908)

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Longtemps, les objets dont s'occupent les mathématiciens étaient pour la plupart mal définis ; on croyait les connaître parce qu'on se les représentait avec les sens ou l'imagination ; mais on n'en avait qu'une image grossière et non une idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise.

Henti Poincaré (1854-1912),

Conférence donnée au Congrès internationale des mathématiciens, Paris, 1900

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Les mathématiciens attachent une grande importance à l'élégance de leurs méthodes et de leurs résultats [...]. Qu'est-ce qui nous donne en effet dans une solution, dans une démonstration, le sentiment de l'élégance ? C'est l'harmonie des diverses parties, leur symétrie, leur heureux balancement ; c'est en un mot tout ce qui y met de l'ordre, tout ce qui leur donne de l'unité, ce qui nous permet par conséquent d'y voir clair et d'en comprendre l'ensemble en même temps que les détails.

Henri Poincaré (1854-1912),

Science et méthode (1908)

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L'analyse nous déroule des perspectives infiines que l'arithmétique ne soupçonne pas ; elle vous montre d'un coup d'oeil un ensemble grandiose, dont l'ordonnance est simple et symétrique ; au contraire, dans la théorie des nombres, où règne l'imprévu, la vue est pour ainsi dire arrêtée à chaque pas.

Henri Poincaré (1854-1912),

La valeur de la science (1905)

Contigu à l'espace et contemporain du temps, tel est le royaume des mathématiques ; à l'intérieur de ce domaine, sa domination est suprême ; rien ne peut exister autrement que son son ordre ; rien ne peut se passer en contradiction avec ses lois. Sur son mystérieux parchemin est écrit, pour ceux qui savent le lire, ce qui a été, ce qui est, et ce qui est à venir.

William Spottiswoode (1825-1883),

Allocution donnée le 14 août 1878, "Adress of William Spottiswoode, president", Report of the 48th Meeting of the British Association for the Advancement of Science (1878)

La pensée mathématique est belle parce qu'elle est possible n'importe où. Tout ce dont vous avez besoin, c'est d'un peu de paix et beaucoup de patience, le tout accompagné d'une volonté de regarder au-delà des idées reçues.

Daniel Tammet (1979-),

Embracing the Wide Sky (2009)

J'ai photographié beaucoup de gens : des artistes, des écrivains et des scientifiques, entre autres. En parlant de leur travail, les mathématiciens utilisent les mots "élégances", "vérité" et "beauté" plus que tous les autres réunis.

Mariana Cook (1955-),

Mathematicians : An Outer View of the Inner World (2009)

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Les mathématiciens ont la capacité de percevoir le monde de manière abstraite à un niveau de sophistication remarquable, en déplaçant souvent dans leur tête pendant des années, des douzaines de ce qu'ils appellent des "objets mathématiques", tout en travaillant sur un seul problème.

Mariana Cook (1955-),

Mathematicians : An Outer View of the Inner World (2009)

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À l'âge de douze ans, ma fille m'a demandé si je pensais qu'il pouvait y avoir une autre galaxie dans laquelle la vie telle que nous la connaissons existe. Je lui ai répondu que je pensais que c'était possible. Et, si cela arrive un jour, il y a une chose dont je suis absolument certaine : les individus pensants qui seront capables de communiquer entre les galaxies seront les mathématiciens. Pourquoi ? Parce qu'ils ont développé un langage de notations pour représenter des idées qui tentent d'expliquer des vérités. [...] Les "mathématiciens" de chaque galaxie seront capables de voir des structures dans le langage de l'autre. Ils déchiffreront les symboles et échangeront sous peu des idées.

Mariana Cook (1955-),

Mathematicians : An Outer View of the Inner World (2009)

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Les mathématiciens sont contraints à l'équité. Quiconque résout un problème exceptionnel avec un crayon et un bout de papier (sans distinction d'âge, de race, de nationalité ou de situation économique) peut être catapulté du jour au lendemain dans les hautes sphères de la communauté mathématique. Contrairement au scientifique, un laboratoire n'est pas requis pour faire ce travail. Les mathématiques sont peyt-être l'activité créative la plus démocratique qui soit.

Mariana Cook (1955-),

Mathematicians : An Outer View of the Inner World (2009)

En affrontant passionnément les énigmes qui nous entourent, en considérant et en analysant les observations que j'avais faites, j'ai fini par me retrouver dans le domaine des mathématiques.

MC. Escher (1898-1972),

The Graphic Work of M.C. Escher, 2eme édition (1967)

Si l'esprit d'un homme est sujet à errance, qu'il étudie les mathématiques ; car dans les démonstrations, pour peu que son esprit ait un moment de distraction, il doit recommencer.

Francis Bacon (1561-1626),

The Work of Francis Bacon, vol.6 (1858)

La mathématique est la plus exacte des sciences, et ses conclusions sont appuyées par une preuve absolue. Mais il en est ainsi uniquement parce que la mathématique ne cherche pas à tirer des conclusions absolues. Toutes les conclusions mathématiques sont relatives, conditionnelles.

Charles Proteus Steinmetz (1865-1923),

Four Lectures on Relativity and Space (1923)

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Il n'est pas correct de dire : "La somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés", mais l'énoncé correct de ce théorème mathématique est : "Si certaines prémisses ou hypothèses (les "axiomes") sont choisies comme étant valides, alors la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés". Mais que ces prémisses ou axiomes soient "vraies" - c'est-à-dire qu'ils soient en accord avec l'expérience physique - ou non, ne fait pas partie des mathématiques. Les seules exigences sont que le nombre d'axiomes soit suffisamment grand pour que l'on puisse en tirer des conclusions ou "théorèmes", et qu'ils soient cohérents entre eux, c'est-à-dire sans que l'un soit en contradiction avec un autre.

Charles Proteus Steinmetz (1865-1923),

Four Lectures on Relativity and Space (1923)

Il n'y a aucun moyen de vraiment procéder en mathématiques sans deviner. [...] Vous devez avoir un jugement intuitif sur ce qui pourrait se passer. Mais vous devez ensuite être prêt à vérifier votre conjecture. Vous devez savoir que le simple fait de penser qu'elle pourrait juste ne la rend pas juste.

Leon Henkin (1921-2006),

cité dans : Teaching Teachers, Teaching Students. Reflections on Mathematical Education, sous la direction de Lynn Arthur Steen et Donald J? Albers (1981)

Une bonne notation a une subtilité et une suggestivité que la font partois presque ressembler à un professeur. Des irrégularités de notation sont souvent le premier signe d'erreurs philosophiques, et une notation parfaite serait un substitut de la pensée.

Bertrand Russel (1872-1970),

Intoduction du *Tractatus Logico-Philosophicus* de Ludwig Wittgenstein (1922)

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Le véritable sentiment de joie, l'exaltation, la sensation d'être plus qu'humain, qui est la pierre de touche de la plus haute excellence, se trouvent dans les mathématiques aussi sûrement que dans la poésie.

Bertrand Russel (1872-1970),

The study of mathematics, Philosophical Essays (1910)

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Les mathématiques nous emmènent encore plus loin de ce qui est humain, dans la région de l'absolue nécessité, à laquelle non seulement le monde, mais tous les mondes possibles, doivent se conformer.

Bertrand Russel (1872-1970),

"The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

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Qu'est-ce que l'infini ? Si l'on avait demandé à un philosophe une définition de l'infini, il aurait peut-être produit quelque charabia inintelligible, mais n'aurait certainement pas été capable de donner une définition qui ait le moindre sens. [...] Dedekind et Cantor ont posé cette question et, ce qui est plus remarquable, ils y ont répondu.

Bertrand Russel (1872-1970),

"Recent Work on the Principles of Mathematics", The International Monthly 4 (1901)

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L'une des principales fins des mathématiques, quand elles sont correctement enseignées, est d'éveiller chez l'apprenant la foi en la raison, la confiance dans la vérité de ce qui a été démontré et dans la valeur de la démonstration.

Bertrand Russell (1872-1970),

"The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

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La littérature concrétise ce qui est général dans des circonstances particulières, dont la signification universelle brille à travers leur habillage individuel ; mais les mathématiques s'efforcent de présenter ce qui est le plus général dans sa forme la plus pure, sans aucune parure hors de propos.

Bertrand Russell (1872-1970),

"The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

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L'excellence caractéristique des mathématiques ne se trouve que là où le raisonnement est rigoureusement logique : les règles de la logique sont au mathématiques ce que celles de la construction sont à l'architecture

Bertrand Russell (1872-1970),

"The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

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Toute étude important n'est pas seulement une fin en soi, mais aussi un moyen de créer et de maintenait une haute habitude mentale ; et cet objectif devrait toujours être agrdé à l'esprit tout au long de l'enseignement et de l'apprentissage des mathématiques.

Bertrand Russel (1872-1970),

"The Study of Mathematics". Philosophical Essays (1910)

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L'habitude de fonder les convictions sur des preuves, et de ne leur donner que le degré de certitudes que ces preuves garantissent, permettrait, si elle se généralisait, de guérir la plupart des maux dont souffre le monde.

Bertrand Russel (1872-1970),

Why I Am Not a Christia, And Other Essays on Religion and Related Subjects (1957)

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Le dix-neuvième siècle, qui s'est enorgueilli de l'invention de la machine à vapeur et de la théorie de l'évolution, aurait pu tirer de gloire plus légitime de la découverte des mathématiques pures.

Bertrand Russel (1872-1970),

"Recent Work on the Principles of Mathematics", The Irrationality Monthly, 4 (1901)

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La démonstration de proposition évidentes peut sembler, au yeux des non-initiés, une occupation quelque peut frivole. À cela on pourrait répondre qu'il n'est souvent pas flagrant qu'une proposition évidente découle d'une autre proposition évidente [...]. Mais une réplique plus intéressante est que, depuis que les gens ont essayé de prouver des propositions évidentes, ils ont découvert que beaucoup d'entre elles sont fausses. L'évidence n'est souvent qu'un simple feu follet, qui ne peut que nous égarer si nous le prenons pour guide.

Bertrand Russel (1872-1970),

"Recent Work on the Principles of Mathematics". The International Monthly 4 (1901)

Retirez les développements mathématiques de l'histoire de la science, et vous supprimez le squelette qui soutenait et maintenait ensemble tout le reste.

George Sarton (1884-1956),

The Study of the History of Mathematics (1936)

Les mathématiques sont un lieu où vous pouvez faire des choses que vous ne pouvez pas faire dans le monde réel.

Marcus du Sautoy (1965-),

Interview dans The Guardian (2008)

Que l'on considère les mathématiques du point de vue utilitaire, selon lequel l'élève doit acquérir la facilité d'utilisation d'un outil puissant, ou du point de vue purement logique, selon lequel il doit acquérir la puissance de l'inférence logique, il est clair que le but principal de l'étude des mathématiques doit être de faire réfléchir l'élève.

John Wesley Young (1879-1932),

Lectures on Fundamental Concepts of Algebra and Geometry (1911)

Le souci de précision des mathématiques modernes est nécessaire à l'exactitude. [...] Il est nécessaire à la recherche. Il amène clarté de la pensée, et par conséquent audace de la réflexion et fécondité des essaies de nouvelles combinaisons d'idées.

Alfred North Whitehead (1861-1947),

An Introduction to Mathematics (1911)

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Lorsque les affirmations initiales sont vagues et bâclées, à chaque étape ultérieure de la réflexion, le bon sens doit intervenir pour limiter les applications et expliquer les significations. Or, pour la pensée créative, le bon sens est un mauvais maître. Son seul critère de jugement est que les nouvelles idées doivent ressemble aux anciennes. En d'autres termes, il ne peut agir qu'en supprimant l'originalité.

Algred North Whitehead (1861-1947),

An Introduction to Mathematics (1911)

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Toute science, à mesure qu'elle progresse vers la perfection, devient mathématique dans ses idées.

Alfred North Whitehead (1861-1947),

An Introduction to Mathematics (1911)

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En mathématiques, dès lors que l'on accord une attention sérieuse aux idées mathématiques, le symbolisme est invariablement une immense simplification. Il est non seulement d'une utilité pratique, mais aussi d'un grand intérêt. Car il représente une analyse des idées du siget et une représentation presque picturale de leurs relations naturelles.

Alfred North Whitehead (1861-1947),

An Introduction to Mathematics (1911)

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En soulageant le cerveau de tout travail inutile, une bonne notation lui permet de se concentrer sur des problèmes plus avancés, et en fait, augmente la puissance mentale.

Alfred Whitehead (1861-1947),

An Introduction to Mathematics (19111)

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La mathématique est souvent considérée comme une science difficile et mystérieuse, en raison des nombreux symboles qu'elle emploie. Bien sûr, rien n'est plus incompréhensible qu'un symbolisme qu'on ne comprend pas. [...] De la même manière, les termes techniques d'une profession ou d'un métier sont incompréhensibles pour ceux qui n'ont jamais été formés à les utiliser. Au contraire, ils ont invariablement été introduits pour faciliter les choses.

Alfred North Whitehead (1861-1947),

An Introduction to Mathematics (1911)

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L'humanité a été amenée à rechercher une description mathématique des propriétés de l'univers, car c'est seulement de cette façon que peut être formée une idée générale du cours des évènements, débarrassée de toute référence à des personnes, ou des types de sensations, spécifiques.

Alfred North Whitehead (1861-1947),

An Introduction to Mathematics (1911)

Les mathématiques sont un art polyvalent ; elles peuvent être appliquées à des fins très différentes. Les maths n'ont pas de moralité ; elle ne se soucient pas de ce qu'elles comptent ou de ce qu'elles prouvent.

Brian Stableford (1948-2024),

"Ashes and Tombstones", dans : Peter Crowther (dir.) Moon Shots (1999)

L'esprit a ses illusions, comme le sens de la vue ; et de même que le toucher corrige celles-ci, la réflexion et le calcul corrigent les premières. [...] Nos passions, nos préjugés et les opinions dominantes, en exagérant les probabilités qui leur sont favorables, et en atténuant les probabilités contraires, sont des sources abondantes d'illusions dangereuses.

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827),

Essai philosophique sur les probabilités (6ème éd., 1840)

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La théorie des probabilités n'est, au fond, que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier avec exactitude ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre, toutes les fois que l'on peut, à son moyen, déterminer le choix le plus avantageux. Par là, elle devient le supplément le plus heureux à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827),

Essai philosophique sur les probabilités, (6ème éd, 1840)

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[Les] questions les plus importantes de la vue [ne sont], pour la plupart, que des problèmes de probabilité.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827),

Essai philosophique sur les probabilités (6ème éd., 1840)

La rigueur n'a jamais eu pour objet que de sanctionner et légitimer les conquêtes de l'intuition.

Jacques Hadamard (1865-1963),

dans une lettre à Émile Borel. Leçons sur la Théorie des Fonctions, 2ème édition (1914)

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Les bons mathématiciens, quand ils font [des erreurs], ce qui n'est pas rare, s'en aperçoivent et les corrigent. Quant à moi (et mon cas st celui de beaucoup de mathématiciens), j'en fais beaucoup plus que mes élèves ; seulement, je les corrige toujours de sorte qu'il n'en reste aucune trace dans le résultat final.

Jacques Hadamard (1865-1963),

An Essay on the Psychology oof Invention in the Mathematical Field (1945)

Messieurs, [$e^{\pi/2}=\sqrt[i]{i}$] est sûrement vrai, c'est absolument paradoxal, nous ne pouvons pas le comprendre, et nous ne savons pas ce que cela signifie, mais nous l'avons démontré, et par conséquent nous savons que cela doit être la vérité.

Benjamin Peirce (1809-1980),

à propose de la relation $e^{\pi/2}=\sqrt[i]{i}$ qu'il venait de démontrer. Rapporté par W.E. Byerly (élève de Peirce) dans "Benjamin Peirce. Reminiscences." The american Mathematical Monthly, 32.1 (1925)

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La mathématique ne découvre pas des lois, car elle n'est pas l'induction ; elle n'élabore pas non plus des théories, car elle n'est pas l'hypothèse ; mais elle est le juge de l'une et de l'autre, et elle est l'arbitre auquel chacune doit soumettre ses affirmations ; et aucune loi ne peut régir ni aucune théorie expliquer sans la sanction de la mathématique.

Benjamin Peirce (1809-1880),

Linear Associative Algebra, Mémoire lu devant l'Académie Nationale des Sciences à Washington (1870)

Si l'on accepte l'existence d'une réalité mathémtiques indépendante de l'homme, il faut nettement distinguer cette réalité et la manière dont elle est appréhendée. Il est clair que, pour la percevoir, notre cerveau utilise une imagerie cérébrale proche de la physique, du moins pour la géométrie ordinaire fondée sur les nombres réels et l'espace euclidien. Cependant, la métjode axiomatique, pour ne citer qu'elle, permet au mathématicien de s'aventurer bien au-delà de cette contrée familière.

Alain Connes (1947-), Jean-Pierre Changeux et Alain Connes.

Matières à pensée (1989)

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Il me semble important de dépasser le domaine particulier de la biologie pour étudier le cerveau. Pour ce faire, les mathématiques fournissent un terrain beaucoup plus propice que d'autres. Parce qu'elles sont absolues, universelles, et donc indépendantes de toute influence culturelle.

Alain Connes (1947-), Jean-Pierre Changeux et Alain Connes.

Matières à pensée (1989)

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Il me semble que les notions que chaque langue exprime dépendant de données mal définies, parce qu'influencées par la culture. Au contraire, les objets mathématiques [...] ont une pureté beaucoup plus grande. Ils sont dégagés de cette gangue culturelle, et doivent donc premettre de mieux tester notre compréhension du fonctionnement du cerveau.

Alain Connes (1947-). Jean-Pierre Changeux et Alain Connes.

Matières à pensée (1989)

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Chez le mathématicien, on peut distinguer deux types d'activité. L'une consiste à résoudre des problèmes déjà posés. Et l'autre, à l'occasion d'un problème déjà posé ou d'une réflexion, à créer des outils de pensée, qui n'existaient pas dans le corpus établi et qui permettent de dévoiler une partie encore inexplorée de la réalité mathématique.

Alain Connes (1947-), Jean-Pierre Changeux et Alain Connes.

Matières à pensée (1989)

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Un des traits essentiels du travail du mathématicien est de reconnaître la cohérence interne et le caractère génératif propre à certains concepts. Des concepts très simples arrivent à engendrer toutes sortes d'autres idées ou d'autres modèles. De proche en proche, on a vraiment l'impression d'explorer un monde ... et d'atteindre une cohérence qui montre qu'on en a exploré entièrement une région. Dans ces conditions, comment ne pas sentir que ce monde a une existence indépendante ?

Alan Connes (1947-), Jean-Pierre Changeux et Alain Connes.

Matières à pensée (1989)

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Pour devenir vraiment mathématicien, l'étape clé est de réaliser qu'à un moment donné vous devez arrêter de lire des livres. Vous devez penser par vous-même. Vous devez devenir votre propre autorité [...]. À un moment donné, vous devez réaliser que le fait que quelque chose soit écrit dans un livre ou non n'a pas d'importance. Ce qui compte, c'est de savoir si vous avez une preuve et si vous en êtes sûr. Le reste n'a pas d'importance.

Alain Connes (1947-),

dans : Marianna Cook, Mathematicians : An Outer View of the Inner World (2009)

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L'activité mathématique exige une pratique quotidienne. Si l'on s'interrompt trop longtemps, le savoir-faire s'érode, les automatismes se perdent. C'est heureusement transitoire.

Alain Connes (1947-),

Dans : Alain Connes et Jean-Christophe Yoccoz, "Qu'y a-t-il de nouveau aujourd'hui dans le travail d'une mathématicien ?".

La lettre du Coll_ge de FRance 33 (octobre 2012)

La pensée formelle [...] est le moyen de toute connaissance exacte ; et une compréhension correcte des principales sciences formelles, la logique et les mathématiques, est le fondement approprié, et le seul sûr, d'une éducation scientifique.

Arthur Lefevre,

Number and Its Algebra (1896)

Nous autres, mathématiciens, devons faire beaucoup plus d'efforts pour communiquer les idées mathématiques. Pour ce faire, nous devons accorder beaucoup plus d'attention à la communication non seulement de nos définitions, théorèmes et preuves, mais aussi de notre façon de penser.

William Thurston (1946-2012),

"Proof and Progress in Mathematics", Bulletin of the American Mathemetical Society, 30.2 (avril 1994)

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Dans les mathématiques, il ne s'agit pas de nombres, d'équations, de calculs ou d'algorithmes : il s'agit de comprendre.

Willima Thruston (1946-2012),

dans Marianna Cook, Mathematicians : An Outer View of the Inner World (2009)

L'ensemble des documents de mathématiques ont été archivés. Ils sont accessibles à l'adresse : https://cahier-de-prepa.fr/2025/mpsi-loges/ avec un identifiant et mot de passe valide de l'année 2025-2026.