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Mère de toutes les sciences, [les mathématiques] sont un bâtisseur d'imagination, un tisseur de schémas de pensée, un rêveur intuitif, un poète. L'étude des mathématiques ne peut être remplacée par aucune autre activité qui formera et développera les facultés purement logiques de l'homme au même niveau de rationalité.

Cletus O. Oakley (1899-1990), "Mathematics", The American Mathematical Monthly (1949)

Les mathématiques sont la clarté cristallisée, la précision personnifiée, la beauté distillée et rigoureusement sublimée.

Cletus O. Oakley (1899-1990), "Mathematics", The American Mathematical Monthly (1949)

De l'avis général, les mathématiques sont l'entreprise intellectuelle la plus réussie de l'humanité. Tout problème mathématique est résolu, tôt ou tard. Une fois résolu, un problème mathématique est fini pour toujours : aucun événement ultérieur ne pourra réfuter une solution correcte.

Gian-Carlo Rota (1932-1999), Indiscrete Thoughts (1997)

Le mystère et la gloire des mathématiques ne résident pas tant dans le fait que des théories abstraites s'avèrent utiles pour résoudre des problèmes, mais dans le fait que - merveille des merveilles - une théorie conçue pour un type de problème est souvent le seul moyen de résoudre des problèmes d'une nature totalement différente, des problèmes pour lesquels la théorie n'est pas prévue. Ces coïncidences se produisent si fréquemment qu'elles doivent faire partie de l'essence même des mathématiques.

Gian-Carlo Rota (1932-1999), Indiscrete Thoughts (1997)

Sans un minimum d'ouverture à la beauté des choses, j'aurais été bien incapable de "fonctionner" comme mathématicien, même à un régime des plus modestes - et je doute que quiconque puisse faire un travail utile en mathématiques, s'il ne reste vivant en lui, un tant soit peu, ce sens de la beauté.

Alexandre Grothendieck (1928-2014), Récoltes et semailles (1986)

En sciences, l'autorité de l'opinion de mille personnes ne vaut pas l'étincelle de raison d'une seule.

Galilée (15664-1642), dans une lettre à Markus Welser (1612), Istoria e dimonstrazioni intorno alle macchie solari e loro accidenti [...] (1613)

Les mathématiques, c'est l'étude de tout ce qui obéit aux règles de la logique, en utilisant les règles de la logique.

Eugenia Cheng, How to Bake Pi : An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics (2015)

Les maths, comme les recettes de cuisine, ont à la fois des ingrédients et un mode opératoire. Et de la même façon qu'une recette serait un peu inutile si elle omettait la préparation, on ne peut pas comprendre ce que sont les maths à moins de parler de la manière dont elles sont faites, et pas seulement des choses qu'elles étudients.

Eugenia Cheng, How to Bake Pi : An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics (2015)

Tout livre de mathématiques qui vaut quelque chose doit être lu "en faisant des allers-retours"

George Chrystal (1851-1911), Algebra, vol.2 (1889)

Bien que nous "fassions" des mathématiques à l'école, l'enseignement en reste trop souvent aux aspects utilitaires et ne nous initie par à cette dimension [la beauté des mathématiques]. L'apprentissage de l'orthographe et de la grammaire ne nous ouvre pas les yeux sur la beauté de la poésie. Pour cela, il faut juste la côtoyer et s'y abandonner. Il en est de même pour la beauté des mathématiques.

Jean-Philippe Uzan (1969-), Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan et Vincent Moncorgé, La maison des mathématiques (2014)

Une bonne notation a une subtilité et une suggestivité que la font partois presque ressembler à un professeur. Des irrégularités de notation sont souvent le premier signe d'erreurs philosophiques, et une notation parfaite serait un substitut de la pensée.

Bertrand Russel (1872-1970), Intoduction du *Tractatus Logico-Philosophicus* de Ludwig Wittgenstein (1922)

Le véritable sentiment de joie, l'exaltation, la sensation d'être plus qu'humain, qui est la pierre de touche de la plus haute excellence, se trouvent dans les mathématiques aussi sûrement que dans la poésie.

Bertrand Russel (1872-1970), The study of mathematics, Philosophical Essays (1910)

Les mathématiques nous emmènent encore plus loin de ce qui est humain, dans la région de l'absolue nécessité, à laquelle non seulement le monde, mais tous les mondes possibles, doivent se conformer.

Bertrand Russel (1872-1970), "The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

Qu'est-ce que l'infini ? Si l'on avait demandé à un philosophe une définition de l'infini, il aurait peut-être produit quelque charabia inintelligible, mais n'aurait certainement pas été capable de donner une définition qui ait le moindre sens. [...] Dedekind et Cantor ont posé cette question et, ce qui est plus remarquable, ils y ont répondu.

Bertrand Russel (1872-1970), "Recent Work on the Principles of Mathematics", The International Monthly 4 (1901)

L'une des principales fins des mathématiques, quand elles sont correctement enseignées, est d'éveiller chez l'apprenant la foi en la raison, la confiance dans la vérité de ce qui a été démontré et dans la valeur de la démonstration.

Bertran Russell (1872-1970), "The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

La littérature concrétise ce qui est général dans des circonstances particulières, dont la signification universelle brille à travers leur habillage individuel ; mais les mathématiques s'efforcent de présenter ce qui est le plus général dans sa forme la plus pure, sans aucune parure hors de propos.

Bertrand Russell (1872-1970), "The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

L'excellence caractéristique des mathématiques ne se trouve que là où le raisonnement est rigoureusement logique : les règles de la logique sont au mathématiques ce que celles de la construction sont à l'architecture

Bertrand Russell (1872-1970), "The Study of Mathematics", Philosophical Essays (1910)

Guidés uniquement par leur sens de la symétrie, de la simplicité et de la généralité, ainsi que par un sens indéfinissable de la justesse des choses, les mathématiciens créatifs sont, aujourd'hui comme hier, inspirés par l'art des mathématiques plutôt que par la perspective d'une utilité ultime.

Eric Temple Bell (1883-1960), The Queen of the Sciences (1931)

Le calcul des probabilités qui n'avait d'abord pour objet que la considération des jeux de hasard, prit bientôt un essor plus élevé ; il prêta sa lumière à l'homme d'état pour régler les élections, pour examiner les modes d'organisation des tribunaux les plus avantageux : il guida la marche de l'observateur dans ses recherches sur les naissances et les décès ; fixa les bases des sociétés d'assurances, jeta un nouveau jour sur le système de notre univers et donna naissant à la statistique, cet arsenal redoutable où l'orateur, en montant à la tribune, va prendre aujourd'hui ses armes les plus sûres.

Adolphe Quetelet (1796-1874), Introductions populaires sur le calcul des probabilités (1828)

L'emploi des signes mathématiques est chose naturelle toutes les fois qu'il s'agit de discuter des relations entre des grandeurs ; et lors même qu'ils ne seraient pas rigoureusement nécessaires, s'ils peuvent faciliter l'exposition, la rendre plus concise, mettre sur la voie de développements plus étendus, prévenir les écarts d'une vague argumentation, il serait peu philosophique de les rebuter parce qu'ils ne sont pas également familiers à tous les lecteurs et qu'on s'en est quelquefois servi à faux.

Antoine Augustin Cournot (1801-1877), Recherches sur les principes mathématiques et la théorie des richesses (1838)

Ma cohabitation passionnée avec les mathématiques m'a laissé un amour fou pour les bonnes définitions, sans lesquelles il n'y a que des à-peu-près.

Henri Beyle Stendhal (1783-1842), Vie de Henry Brulard

De plus j'aimais, et j'aime encore, les mathématiques pour elles-mêmes, comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion.

Henri Beyle Stendhal (1783-1842), Vie de Henry Brulard, tome premier (1913)

Les mathématiques ne sont pas vraiment la science des nombres, elles sont la science des relations : elles décrivent les liens et les échanges entre différentes entités en s'efforçant d'oublier de quoi ces entités sont faites, en les rendant abstraites sous forme de lettres, de fonctions, de vecteurs, de points et de surfaces.

Paolo Giordano (1982-), Nel contagio, Traduit de l'italien par Nathalie Bauer (Contagions

Auguste Comte (1798-1857), Cours de Philosophie Positive, vol.1 (1830)

La mathématique n'est pas l'arithmétique. Bien que la mathématique puisse être issue des pratiques de comptage et de mesure, elle traite en réalité du raisonnement logique dans le lequel des théorèmes [...] peuvent être déduits des hypothèses de départ. C'est, peut-être, la plus pire et la plus rigoureuse des activités intellectuelles, et elle est souvent considérée comme la reine des sciences.

Erik Christopher Zeeman (1925-2016), "Private Games", A Passion for Science (1988)

Pour traduire une phrase de l'anglais vers le français, deux choses sont nécessaires. Premièrement, il faut comprendre parfaitement la phrase anglaise. Deuxièmement, il faut être familier avec les formes d'expression propres à la langue française. La situation est très similaire lorsque nous essayons d'exprimer en symboles mathématiques une condition présentée avec des mots. Premièrement, il faut comprendre parfaitement la condition. Deuxièmement, il faut être familier vaec les formes d'expressions mathématique.

George Pólya (1887-1985), How to Solve It : A New Aspect of Mathematical Mehtod (1945)

L'élégance d'un théorème est directement proportionnelle au nombre d'idées qu'on peut y voir et inversement proportionnelle à l'effort qu'il faut faire pour les voir.

George Pólya (1887-1985), cité par George A. W. Boehm, dans : The New World of Math (1959)

Le souci de précision des mathématiques modernes est nécessaire à l'exactitude. [...] Il est nécessaire à la recherche. Il amène clarté de la pensée, et par conséquent audace de la réflexion et fécondité des essaies de nouvelles combinaisons d'idées.

Alfred North Whitehead (1861-1947), An Introduction to Mathematics (1911)

Lorsque les affirmations initiales sont vagues et bâclées, à chaque étape ultérieure de la réflexion, le bon sens doit intervenir pour limiter les applications et expliquer les significations. Or, pour la pensée créative, le bon sens est un mauvais maître. son seul critère de jugement est que les nouvelles idées doivent ressemble aux anciennes. En d'autres termes, il ne peut agir qu'en supprimant l'originalité.

Algred North Whitehead (1861-1947), An Introduction to Mathematics (1911)

Toute science, à mesure qu'elle progresse vers la perfection, devient mathématique dans ses idées.

Alfred North Whitehead (1861-1947), An Introduction to Mathematics (1911)

En mathématiques, d_s lors que l'on accord une attention sérieuse aux idées mathématiques, le symbolisme est invariablement une immense simplification. Il est non seulement d'une utilité pratique, mais aussi d'un grand intérêt. Car il représente une analuse des idées du siget et une représentation presque picturale de leurs relations naturelles.

Alfred North Whitehead (1861-1947), An Introduction to Mathematics (1911)

En soulageant le cerveau de tout travail inutile, une bonne notation lui permet de se concentrer sur des problèmes plus avancés, et en fait, augmente la puissance mentale.

Alfred Whitehead (1861-1947), An Introduction to Mathematics (19111)

[Les idées intuitives], selon les formalistes, sont si solidement ancrées dans la pensée mathématique qu'en dépit de la plus grande circonspection dans le choix des mots, le sens caché derrière ces mots peut influencer notre raisonnement. Car le problème des mots humains est qu'ils possèdent un contenu, alors que le but des mathématiques est de construire des formes pures de pensée.

Tobias Dantzig (1884-1956, Number, the Language of Science (1933)

Comment doit-on juger de la validité des concepts mathématiques ? On ne doit point les juger ! La mathématique est le juge suprême ; ses décisions sont sans appel.

Tobias Dantzig (1884-1956), Number, the Language of Science (1933)

L'esprit a ses illusions, comme le sens de la vue ; et de même que le toucher corrige celles-ci, la réflexion et le calcul corrigent les premières. [...] Nos passions, nos préjugés et les opinions dominantes, en exagérant les probabilités qui leur sont favorables, et en atténuant les probabilités contraires, sont des sources abondantes d'illusions dangereuses.

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), Essai philosophique sur les probabilités (6ème édition, 1840)

La théorie des probabilités n'est, au fond, que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier avec exactitude ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre, toutes les fois que l'on peut, à son moyen, déterminer le choix le plus avantageux. Par là, elle devient le supplément le plus heureux à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Essais philosophique sur les probabilités, (6eme ed, 1840)

Les mathématiques associent de nouvelles images mentales à des abstractions physiques ; ces images sont presque tangibles pour l'esprit entraîné, mais elles sont très éloignées de celles qui sont données directement par la vie et l'expérience physique.

Yuri Manin (1937-2023), Mathematics as Metaphor. Selected Essays of Yuri I. Manin (2007)

Cette tradition d'organisation des savoirs mathématiques et héritée des Grecs, en particulier des Éléments d'Euclide. Le but d'une définition est d'introduire un objet mathématique. Le but d'un théorème est d'énoncer certaines de ses propriétés, ou des interrelations entre divers objets. Le but d'une preuve est de rendre une telle affirmation convaincante [...].

Yuri Manin (1937-2023), "Mathematical Knowledge ; Internal, Social, and Cultural Aspects". Mathematics as Metaphor : Selected Essays of Yuri I. Manin (2007)

Les structures du mathématicien, comme celles du peintre ou du poète, doivent être belles ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s'assembler de façon harmonieuse. La beauté est le premier test : il n'y a pas de place permanente dans ce monde pour des mathématiques laides.

Godfrey Harold Hardy (1877-1947), A Mathematician's Apology (1940)

Les mathématiques pures sont dans l'ensemble nettement plus utiles que les mathématiques appliquées [...]. Car ce qui est utile avant tout, c'est la technique, et la technique mathématique est enseignée principalement par les mathématiques pures.

Godfery Harolf Hardy (1877-1947), A Mathematician's Apology (1940)

Les mathématiques ne sont pas une matière contemplative mais créative.

Godfreau Harold Hardy (1877-1947), A Mathematician's Apology (1940)

Les mathématiques s'intéressent à un monde idéal de formes et de relations. Elles construisent de nouveaux mondes et étudient leurs propriétés. Elles entreprennent de tirer toutes les conclusions nécessaires à partir des données fournies, et d'indiquer quelles autres propositions sont cohérentes avec ces données.

James Byrnie Shaw (1866-1948), "The Spirit of Research", The Monist, 32.4 (1932)

Partout où une hypothèse est posée et des conclusions déduites, les mathématiques sont à l'œuvre. Partout où le scientifique va au-delà des faits observes, en introduisant des concepts tels que énergie, champ [...], il devient un mathématicien. Les mathématiques sont un mode de pensée fondamental, impossible à éluder.

James Byrnie Shaw (1866-1948), "The Spirit of Research", The Monist, 32.4 (1932)

[La recherche mathématique] est impersonnelle, sans émotion, non influencée par l'amour ou la haine, la joie ou les larmes. Ses mondes sont éternels, même s'ils évoluent comme des nuages de fumée dans le vent volontaire.

James Byrnie Shaw (1866 - 1948), "The Spirit of Research", The Monist, 32.4 (1932)

On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité.

Henri Poincaré (1854-1912), Science et méthodes (1908)

C'est par la logique qu'on démontre, c'est pas l'intuition qu'on invente.

Henri Poincaré (1854-1912), Science et méthode (1908)

[L'invention mathématique] ne consiste par à faire de nouvelles combinaisons avec des êtres mathématiques déjà bien connus. Cela, n'importe qui pourrait le faire, mais les combinaisons que l'on pourrait former ainsi seraient en nombre infini, et le plus grand nombre serait absolument dépourvu d'intérêt. Inventer, cela consiste précisément à ne pas construire les combinaisons inutiles et à construire celles qui sont utilse et qui ne sont pas qu'une infime minorité. Inventer, c'est discerner, c'est choisir.

Henri Poincaré (1854-1912), Science et méthode (1908)

Longtemps, les objets dont s'occupent les mathématiciens étaient pour la plupart lal définis ; on croyait les connaître parce qu'on se les représentait avec les sens ou l'imagination ; mais on n'en avait qu'une image grossière et non une idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir prise.

Henti Poincaré (1854-1912), Conférence donnée au Congrès internationale des mathématiciens, Paris, 1900

Pour avoir de l'attrait, un problème mathématique doit être difficile, mais non pas inabordable, sinon il se rit de nos efforts ; il doit au contraire être un véritable fil conducteur à travers les dédales du labyrinthe vers les vérités cachées, et nous récompenser de nos efforts par la joie que nous procure la découverte de la solution.

David Hilbert (1862-1943), Conférence devant le Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900, Sur les problèmes futurs des mathématiques (1902)

Du paradis que Cantor a créé pour nous, nul ne pourra nous chasser.

Davil Hilbert (1862-1943), à propos de la théorie des ensembles et des nombres transfinis de Cantor, dans une conférence donnée le 4 juin 1925, "Über das Unendliche", Mathematische Annalen

Certains problèmes mathématiques semblent simples, on essaie pendant un an, puis on essaie pendant une centaine d'années, et il s'avère qu'ils sont extrêmement difficiles à résoudre. Il n'y a aucune raison pour que ces problèmes ne soient pas faciles, et pourtant ils s'avèrent extrêmement complexes. Le dernier théorème [de Fermat] en est le plus bel exemple.

Andrew Wiles (1953-), Interview publiée sur le site de l'émission NOVA (émission The Proof, 1997)

Une chose que j'ai apprise, c'est qu'il est important de choisir un problème en fonction de l'importance qu'il revêt pour vous. Aussi impénétrable qu'il puisse paraître, si vous ne vous y essayez pas, vous ne le résoudrez jamais. Essayez toujours le problème qui vous tien le plus à coeur.

Andrew Wiles (1953-), Interview publiée sur le site de l'émission NOVA (épisode The Proof, 1997)

Un mathématicien ne dit pas "je sais" mais "je sais que telle hypothèse entraîne telle conclusion". Il ne se contente pas de dire "je sais", il le démontre.

Claire Voisin (1962 - ), Faire des mathématiques (2019)

Un trait spécifique des mathématiques est le fait qu'elles fonctionnent en corps à corps avec le langage, qui y joue un rôle fondamental et apparaît dans l'organisation de la démarche mathématique à toutes les étapes : la définition, l'hypothèse, la démonstration, et le théorème.

Claire Voisin (1962-), Faire des mathématiques (2019)>/p>

Dans les mathématiques, la censure et la critique ne peuvent pas être permises à tout le monde comme dans les autres sciences [...] ; les discours des rhéteurs ou les défenses des avocats n'y sont d'aucune utilité.

François Viète (1540-1603), In artem analyticem Isagore (Introduction à l'Art Analytique) (1591), traduit du latin par Frédéric Ritter : Cahiers de François Viète, série I, n°7, (2004)

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Roger Mansuy, enseignant de maths en PSI* au lycée Saint-Louis, a fait une série de questionnaires Vrai/Faux sur sa page web. Merci à lui. Certaines questions sont assez faciles, d'autres nécessite de bien réfléchir. Ce qui en fait un très bon test de connaissances en autonomie. Certaines questions sont faciles et se font de têtes, d'autres sont des petits exos et nécessitent de prendre un papier et un crayon.

Je vous recommande donc fortement de faire ces questionnaires à la fin des chapitres.

Attention, tous les questionnaires ne sont pas faisables. Ils portent sur les chapitres de MPSI et de PSI. Comme il y a plusieurs chapitres qui ne sont pas au programme, pour le moment, vous pouvez faire :

• Chap 1 - Calculs algébriques : Il y a quelques notations que nous n'avons pas encore vues. Notamment le $\lfloor n\rfloor$, que nous verrons un peu plus tard.
• Chap 2 - Complexes : Le questionnaire est très complet et beaucoup de questions ne sont pas faciles. Techniquement, vous avez tout ce qu'il faut pour pouvoir répondre à toutes les questions. Ce pendant, il y en a certaines que nous étudierons un peu plus précisément plus tard et donc auxquelles nous apporterons bientôt des réponses un peu plus générales.
• Chap 3 - Ensembles, Applications, Relations d'Équivalence : Par contre, il n'y a rien sur les relations d'équivalences. On ne peut pas tout mettre.
• Chap 4 - Fonctions de références : attention, il y a plusieurs questions auxquelles il n'est pas encore possible de répondre. Les questions avec les limites sont, pour le moment, encore difficiles ; les questions avec $\lfloor x\rfloor$ ne peuvent pas être traitées pour le moment non plus, ce sera pour dans deux semaines ; et les questions sur les bornes sup de fonctions sont encore trop délicates pour le moment. Ce sera pour dans deux semaines aussi.
• Chap 5 - Equations différentielles : il y a quelques questions vaches et vicieuses (notamment les deux premières). On les aime beaucoup. A faire du temps, du papier et les neurones bien reposés.
• Chap 7 - Suites première partie. Certaines questions ne sont pas faciles du tout. Notamment les questions en liens avec les valeurs d'adhérences qui constituent des exercices complets à tout seul, vu que la notion est hors programme. La question avec les sommes $\sum_{k=1789}^n \frac{1}{k}$ nécessite une astuce que nous n'avons pas encore vue. Avec une bonne dose de malice, ça reste jouable.
• Chap 9 et 11 : EV et Applications linéaires : ce questionnaire regroupe les deux chapitres sur les espaces vectoriels et les applications linéaires. Les questions sur les polynômes (dès qu'il y a du $X$) ne peuvent pas encore être traités. On a pas encore vu les polynômes.
• Chap 10 : Dimension finie : Évidemment, ce questionnaire reprend aussi les applications linéaires. Mais en dimension finie. Et là, tout est faisable.
• Chap 12 : Continuité : Ce questionnaire comporte beaucoup de questions hors programme (certaines sur l'uniforme continuité d'autres sur les homéomorphismes etc). Mais il est globalement fortement recommandé de le faire (aux questions hors programmes près)
• Chap 13 : Dérivabilité : C'est un bon questionnaire sur la dérivabilité. Les 4 dernières questions sur la convexité/concavité sont hors programme. La troisième question avec la dérivée d'une fonction intégrale n'est pas faisable pour le moment non plus. Nous n'avons pas encore vu le théorème fondamental de l'analyse.
• Chap 15 et 16 : Polynômes - Fractions Rationnelles : Questionnaire difficile sur les fractions rationnelles. Il existe aussi un questionnaire pour les polynômes, mais beaucoup de questions ne sont pas accessibles (toutes questions portant sur les idéaux, les valuations, ou les polynômes qui ne sont pas à coefficients dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
• Chap 18 : Développements Limités : Ce questionnaire fait un bon résumé de toute l'analyse asymptotique, y compris pour les suites. Attention toutefois, une ou deux questions ont des énoncés un peu court et donc avec quelques sous-entendus.
• Chap 19 et 20 : Matrices et Représentation matricielle : Ce questionnaire porte sur les deux chapitres. C'est un bon entraînement. Comme d'habitude.

Maj : 29/03/2025