Pour cette première colle de l'année, les exercices porteront principalement sur les thèmes suivants:
Négation d'une assertion avec quantificateurs
Réciproque, contraposée et négation d'une assertion
Raisonnement par récurrence (simple ou double)
Calculs de sommes (à l'aide des sommes de référence, de sommes géométriques, de sommes télescopiques)
La notion de factorielle d'un entier, et celle de coefficient binomial, sont au programme de cette colle. Mais pas encore la formule du binôme de Newton (au programme de la colle 2 donc).
En fin de colle, si toutes les notions précédentes ont été testées, on peut poser un exercice de logique et de théorie des ensembles "abstrait" (style: montrer que A union B = B SSI A contenu dans B): mais ce n'est pas du tout un objectif prioritaire de cette colle.
Les exercices pourront porter sur les sommes (révisions de la colle 1), et particulièrement sur les applications du binôme de Newton, qui n'était pas au programme de la colle 1.
En trigonométrie, une grande dextérité n'est pas exigée à ce stade de l'année, mais "juste" une parfaite connaissance du cours, notamment:
Connaissance des valeurs remarquables (cos, sin, tan)
Connaissance du formulaire de trigonométrie
Résolution d'équations trigonométriques du programme (cos(a)=cos(b), sin(a)=sin(b), cos(a)=sin(b), a*cos(x)+b*sin(x)=c
En début de colle, il pourra être demandée une ou deux formules du formulaire de trigonométrie.
Et les exercices pourront porter notamment sur les thèmes suivants:
les propriétés algébriques des modules et arguments
les propriétés algébriques des complexes de module 1
savoir passer de la forme exponentielle (ou trigo) à la forme algébrique, et réciproquement
connaître les formules d'Euler et de Moivre, et savoir les appliquer à la linéarisation, la délinéarisation et la technique de l'angle-moitié
la résolution de exp(z) = Z, en écrivant les formes exponentielles des 2 termes, et en comparant modules et arguments
Les notions de racine carrée d'un complexe (a fortiori celle de racine n-ème), la résolution des équations du 2nd degré à coeffs complexes, et les similitudes directesne sont pas au programme de cette colle: elles seront étudiées un peu plus tard, après le chapitre sur les fonctions usuelles (chap 5).
les complexes (un exo obligatoire), avec une grosse préférence pour les calculs de racine(s) carrée(s), en utilisant les formes expos "racines carrées de - 16i ?", les formes algébriques "racines carrées de 2 + 3i ?", ou au détour d'une équation de degré 2 à coeffs complexes
les valeurs absolues, l'exo générique étant la résolution d'inéquations du genre "résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation: $\left|2x-1\right| \leqslant \left|3x+2\right|$"
une étude de dérivabilité en utilisant la définition avec le taux d'accroissement
les calculs de limites utilisant les DL à l'ordre 1 en 0 des fonctions usuelles (DL cités précédemment). Le changement de variable h=1/n peut être utilisé pour un calcul de limite en $+\infty$
ATTENTION, les notions suivantes ne sont pas encore au programme
Dans les complexes, les notions de racines de l'unité et de similitude directe (le "reliquat" du chapitre sur les complexes sera vu après celui sur les fonctions). Dans les fonctions, les dérivées n-èmes (avec n>1...) et les fonctions puissances/expo de base qcque seront au programme de la prochaine colle. Les fonctions arccos, arcsin et arctan ne sont pas encore connues (juste avant la Toussaint sans doute); les DL à l'ordre 2 ou plus seront vus au printemps 2024.
Prévisions pour la colle 5: fin du chapitre 5 (fonctions) et chapitre 4-bis (le retour des complexes)
Ce programme porte sur les fonctions usuelles et sur les nombres complexes.
Concernant les fonctions, le contenu du programme précédent est toujours à connaître (jusqu'à la fin de la Spé d'ailleurs), et notamment:
les propriétés de toutes les fonctions usuelles (exp, ln, sin, cos, tan, ch, sh): définition, dérivée, sens de variation, allure de la courbe représentative (voir ici)
Dans l'idéal, les exos sur les fonctions porteront sur les notions nouvelles par rapport au programme précédent, explicitement:
les dérivées n-èmes usuelles (le formulaire, à connaître, est ici)
la formule de Leibniz
les fonctions puissances, et par-dessus tout la formule
$\forall\,(a,b)\in\,\mathbb{R}^{\ast}_+\times\mathbb{R},\quad a^b=\text{e}^{b\ln(a)}$
Concernant les complexes, les exos porteront de préférence sur les notions de racine carrée (révision) et surtout de racine n-ème.
Pratiquement, des exos-types pour évaluer la maîtrise pratique du cours lors de cette colle 5 peuvent être:
Calculer une dérivée n-ème par récurrence (ex: dérivée n-ème de $\cos(3x+1)$)
Calculer une dérivée n-ème avec la formule de Leibniz (ex: dérivée n-ème de $(x^2-1)\text{e}^{-x}$)
Résoudre une équation avec des puissances (ex: résoudre $4^x <2^{5x-4}$)
Etudier une fonction définie avec des puissances (ex: étude de $f(x)=x^{1/x}$)
Utiliser des croissances comparées pour lever une indétermination dans un calcul de limite
Et toujours, utiliser des DL1 en 0 pour lever une indétermination dans un calcul de limite
Utiliser les racines n-èmes de l'unité pour résoudre une équation (ex: $(1+z)^6=(1-z)^6$, voire $(1+z)^n=(1-z)^n$); l'intérêt étant de vérifier que la description des éléments de $\mathbb{U}_n$ est connue, ainsi que la technique de l'angle-moitié)
Utiliser les racines n-èmes de l'unité pour déterminer les racines n-èmes d'un complexe non-nul (ex: déterminer les racines 4-èmes de $4-4\text{i}$)
ATTENTION, les notions suivantes ne sont pas encore au programme
Dans les complexes, la notion de similitude directe. Les fonctions arccos, arcsin et arctan ne sont pas encore connues (juste après la Toussaint sans doute).
Prévisions pour la colle 6: chapitre 6 (applications)
Essentiellement, les questions incontournables de cette colle sont:
Savoir prouver qu'une application est injective, surjective, bijective
Savoir justifier qu'une application n'est pas injective, n'est pas surjective (à l'aide d'un "contre-exemple")
Déterminer l'expression de la bijection réciproque d'une application (bijective...) "directement" (ex: montrer que l'application $f:(x,y)\in\,\mathbb{R}^2\longmapsto (x+y,x-y)\in\,\mathbb{R}^2$ est bijective et déterminer sa réciproque)
Déterminer l'expression de la bijection réciproque d'une application (bijective...) en utilisant la formule donnant la bijection réciproque d'une composée (ex: montrer que l'application $f:x\in\,\mathbb{R}\longmapsto \text{e}^{2x-1}\in\,\mathbb{R}_+^{\ast}$ est bijective et déterminer sa réciproque)
Savoir reconnaître une involution
Savoir utiliser son cours pour traiter des exos "abstraits" comme: "$g\circ f$ injective $\Rightarrow f$ injective'', ou tout énoncé de la même famille
Un résumé des méthodes connues à ce jour pour établir qu'une application est in-sur-bi-jective se trouve ici.
Les exos relatifs à ce chapitre sont ici, leurs corrigés sont là.
Prévisions pour la colle 7: fonctions circulaires réciproques
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours)
Au programme de cette semaine: calcul d'intégrales/de primitives à l'aide du formulaire des primitives usuelles, d'une intégration par parties, ou d'un changement de variable.
Remarque: les MPSI n'ont pas encore vu en cours les "primitives particulières" (polynômes trigo, fractions rationnelles), et ne connaissent pas encore les primitives des fonctions complexes. De même, les propriétés des intégrales de Wallis n'ont pas encore été étudiées. Ces notions seront au programme de la colle 9, la semaine du 27 novembre.
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours), puis une EDL1
Au programme de cette semaine:
* Révisions sur les calculs d'intégrales/de primitives à l'aide du formulaire des primitives usuelles, d'une intégration par parties, ou d'un changement de variable.
* Intégrales de Wallis: thème largement étudié dans les questions de cours, et la banque d'exos de cette colle.
* Nouveauté du chapitre 8 - Calculs de "primitives particulières":
fractions rationnelles de la forme $\displaystyle\int\,\displaystyle\frac{1}{x^2+ax+b}\,\text{d}x$ avec $(a,b)\in\,\mathbf{R}^2$ (distinction de 3 cas suivant le nombres de racines réelles du dénominateur, càd suivant la valeur de $\Delta$)
fonctions à valeurs complexes (essentiellement, voire exclusivement pour le calcul de $\displaystyle \int \text{e}^{ax}\cos(bx)\,\text{d}x$ ou de $\displaystyle \int \text{e}^{ax}\sin(bx)\,\text{d}x$ avec $(a,b)\in\,\mathbf{R}^2$)
fonctions nécessitant le chgt de variable $u=\tan\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)$ (eg: $\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{\cos(x)}\,\text{d}x)$
polynômes trigonométriques: $\displaystyle \int \cos^n(x)\sin^q(x)\,\text{d}x$ avec chgt de variable $u=\sin(x)$ si $n$ impair, $u=\cos(x)$ si $q$ impair
* Résolution des EDL1 sur un intervalle
En particulier, recherche d'une solution particulière par la méthode de variation de la constante. Les exercices relatifs à ce chapitre sont ici, et les corrigés sont ici.
Remarque: les problèmes de recollement des solutions ne sont pas au programme à ce stade, et on se "restreint" donc à la résolution des EDL1 sur une partie connexe de $\mathbf{R}$.
Prévisions pour la colle 10: EDL1 (révisions) + EDL2
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours)
Au programme de cette semaine:
EDL1
Résolution de l'équation homogène associée (formule du cours)
Recherche d'une solution particulière grâce à: 1/ l'intuition --- 2/ la méthode de variation de la constante
Conclusion: ``SG = $f_p+f_H$''
Remarque: les notions de limites et de continuité n'ayant pas encore été étudiées, les EDL1 ne pourront être résolues que sur des intervalles, sans problème de recollement.
EDL2 (à coefficients constants)
Résolution de l'équation homogène associée (formules du cours)
Recherche d'une solution particulière avec comme second membre $\text{e}^{\alpha x}$, avec $\alpha\in\,\mathbb{C}$, en particulier:
$y''+ay'+by=K$ (existence d'une SP constante)
$y''+ay'+by=K\text{e}^{\alpha x}$ avec $\alpha\in\,\mathbb{R}$
$y''+ay'+by=K\cos(v x)$ ou $y''+ay'+by=K\sin(v x)$ avec $v\in\,\mathbb{R}$ (en utilisant les complexes)
$y''+ay'+by=K\text{e}^{ux}\cos(v x)$ ou $y''+ay'+by=K\text{e}^{ux}\sin(v x)$ avec $(u,v)\in\,\mathbb{R}^2$ (en utilisant les complexes)
Eventuellement: $y''+ay'+by=P(x)\text{e}^{\alpha x}$ avec $\alpha\in\,\mathbb{C}$, avec $P$ polynôme de degré raisonnable...
Définition "epsilon-esque" de limite finie; définition avec quantificateurs de limite + ou - infini
Généralités sur les limites finies: opérations algébriques; stabilité des inégalités larges par passage à la limite; une suite convergeant vers un réel non nulle est de signe constant à partir d'un certain rang
Limites et inégalités: théorème de comparaison; théorème d'encadrement (ou des gendarmes); le produit d'une suite bornée par une suite de limite 0 converge vers 0
Limites et sens de variation: théorème de la limite monotone, théorème des suites adjacentes
Sans que ce soit systématique, les exos pourront porter sur les suites d'intégrales.
Questions classiques sur ce thème: montrer qu'une suite d'intégrales $(I_n)$ est convergente en établissant qu'elle est décroissante et positive, établir une relation de récurrence à l'aide d'une IPP, utiliser une telle relation pour déterminer l'expression de $(I_n)$ en fonction de $n$ (comme pour les intégrales de Wallis, mais pas seulement!)
Les notions suivantes n'ont pas encore été vues en cours, et feront donc l'objet de la colle 12:
Suites extraites: propriété fondamentale, théorème de Bolzano-Weierstrass)
Suites complexes: prétexte pour étudier la suite de terme général $\text{e}^{\text{i}n\theta}$
Définition "epsilon-esque" de limite finie; définition avec quantificateurs de limite + ou - infini
Généralités sur les limites finies: opérations algébriques; stabilité des inégalités larges par passage à la limite; une suite convergeant vers un réel non nulle est de signe constant à partir d'un certain rang
Limites et inégalités: théorème de comparaison; théorème d'encadrement (ou des gendarmes); le produit d'une suite bornée par une suite de limite 0 converge vers 0
Limites et sens de variation: théorème de la limite monotone, théorème des suites adjacentes
Suites extraites: propriété fondamentale, théorème de Bolzano-Weierstrass. Particulièrement utile pour établir qu'une suite n'admet pas de limite (par ex: les suites de terme général $u_n=(-1)^n$ ou $u_n=\cos(n)$)
Suites complexes: essentiellement un prétexte pour étudier la suite de terme général $\text{e}^{\text{i}n\theta}$
Suites ``particulières'': arithmétiques, géométriques, arithmético-géométrique, récurrentes linéaires d'ordre 2. Un peu plus dans le détail:
Suites géométriques: une suite géométrique de raison $q\in\,\mathbb{C}$ a pour limite $0$ si $|q|<1$
Suites arithmético-géométriques: suite définie par une relation $u_{n+1}=au_n+b$. Si une telle suite converge, alors sa limite $\ell$ est telle que $\ell=a\ell+b$ (conséquence de la PFSE). Dans tous les cas, la suite de terme général $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$
SRL2: il suffit de connaître les formules (2 dans le cas complexes, 3 dans le cas réel) donnant l'expression du terme général selon la valeur du discriminant (ex incontournable: la suite de Fibonacci)
Survol des suites ``du type $u_{n+1}=f(u_n)'': thème très rapidement vu en cours. Dans cette colle, le plan d'étude général d'une telle suite n'est pas attendu. La seule propriété exigible est celle donnant le lien entre la monotonie de $f$ et celle de $(u_n)$ (ou celles de $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$). Un exercice sur ce thème peut être donné, à condition d'être jalonné par des indications. Ces suites seront revues dans le chapitre portant sur la continuité (pour avoir la propriété de continuité séquentielle, et ``$\ell=f(\ell)$''); et dans celui portant sur la dérivabilité (avec les fonctions $k<1$-lipschitziennes)
Pour finir, les exos sur les suites sont ici, et les corrigés sont ici.
Prévisions pour la colle 13: ``cocktail'' de maths (révisions en vue du CB1) la semaine du 8 au 12/01 (pas de colle la semaine suivante)
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours)
Au programme de cette semaine: TOUT (ou presque) depuis le début de l'année
Un peu plus dans le détail:
Analyse
Sommes (en particulier télescopiques et géométriques); coefficients binomiaux et binôme de Newton
Trigonométrie
Dérivation: dérivées usuelles, opérations sur les dérivées, DL1 en 0 usuels (eg: $\sin(x)=x+x\varepsilon(x)$), DL1 en $+\infty$ usuels (eg: $\sin\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)=\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n}\varepsilon\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)$), limites (sans quantificateurs), croissances comparées, dérivées n-èmes (usuelles et opérations algébriques; notamment formule de Leibniz pour la dérivée n-ème d'un produit)
Fonctions trigos réciproques
Méthodes de calcul intégral: primitives usuelles, IPP, changement de variable, intégrales de Wallis, calcul de $\displaystyle\int\frac{\text{d}t}{t^2+at+b}$ et de $\displaystyle\int\text{e}^{\alpha t}\cos\left(\beta t\right)\,\text{d}t$
Equations différentielles linéaires: EDL1 sur un intervalle, EDL2 à coefficients constants avec 2nd membre de la forme $P(x)\text{e}^{\alpha x}$ ($P$ polynôme de degré "pas trop grand", et $\alpha\in\,\mathbb{C}$)
Nombres réels: partie entière d'un réel. La notion de partie dense de $\mathbb{R}$ a été vue en cours, mais ne peut pas encore donner lieu à des exercices en colle à ce stade de l'année (éventuellement à l'issue du chapitre sur la continuité)
Suites réelles et complexes: "tout" sur les suites réelles (comparaison, gendarmes, limite monotone, suites adjacentes, suites extraites, suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d'ordre 2, équivalents...). "Peu" sur les suites complexes: une suite $(u_n)\in\,\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ converge SSI les suites réelles $(\text{Re}(u_n))$ et $(\text{Im}(u_n))$ convergent (appli: la suite de terme général $\text{e}^{\text{i}n\theta}$ converge SSI $\theta=0\,[2\pi]$). Un exo sur les suites du type "$u_{n+1}=f(u_n)$" peut être posé, à condition d'être très jalonné (en sachant que la propriété de continuité séquentielle n'est pas encore connue)
Algèbre
Nombres complexes: équations du second degré à coeffs complexes, racines carrées d'un complexe, racines n-èmes de l'unité et d'un complexe non-nul, formules d'Euler et de Moivre, technique de l'angle-moitié, linéarisation/délinéarisation
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours)
Au programme de cette semaine:
Groupes-anneaux et calcul matriciel
Remarque à l'attention des colleurs: à ce stade l'année, les notions de groupes et d'anneaux ne sont introduites que pour anticiper le chapitre consacré au calcul matriciel. Par exemple, la définition d'anneau intègre est donnée en ayant en tête que $\text{M}_2(\mathbb{R})$ ne l'est pas; la définition d'élément nilpotent est donnée en pensant très fort à la matrice élémentaire $\text{E}_{12}+\text{E}_{23}$ de $\text{M}_3(\mathbb{R})$; et on énonce la formule du binôme de Newton dans un anneau pour préparer le calcul de $(\lambda\text{I}_n+N)^p$ (avec $N\in\,\text{M}_n(\mathbb{R})$); etc... Les exemples et exercices faits en classe ont donc été posés dans cette optique, et peu d'exos "abstraits" sur les groupes et anneaux ont été traités.
1/ Groupes
Genéralités: loi de composition interne, élément neutre, éléments inversibles
Groupes usuels: groupes de nombres $(\mathbb{C},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{C}^{\ast},\times)$, $(\mathbb{R}^{\ast},\times)$; de fonctions $(\mathscr{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}),+)$, $(\mathscr{C}^1(\mathbb{R}_+^{\ast},\mathbb{C}),+)$, $(\mathscr{C}^\infty(]-1,1[,\mathbb{K}),+)$; de suites $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},+)$, $(\mathbb{C}^{\mathbb{N}},+)$, $(\mathbb{K}^{\mathbb{N}},+)$; de matrices $(\text{M}_2(\mathbb{R}),+)$, $(\text{M}_{np}(\mathbb{K}),+)$, $(\text{GL}_2\mathbb{R},\times)$
Sous-groupes: caractérisation ((SG1): inclusion; (SG2): neutre; (SG3): LCI; (SG4): stabilité par passage à l'inverse). Sous-groupe trivial: $(\left\{\text{e}_{\text{G}}\right\},\times)$. Quelques sous-groupes usuels, notamment: $(\mathbb{U}_n,\times)$ sous-groupe de $(\mathbb{U},\times)$ sous-groupe de $(\mathbb{C}^{\ast},\times)$
Morphismes de groupes: définition et quelques propriétés: si $f:(G,\ast)\mapsto (H,\sharp)$ morphisme de groupes, alors $\varphi(\text{e}_{\text{G}})=\text{e}_{\text{H}}$, et pour tout $g\in\,G$: $f(g^{-1})=(f(g))^{-1}$. Noyau et image d'un morphisme de groupes; $\ker f$ et $\text{im }f$ sont des sous-groupes (de $G$ et $H$ respectivement)
2/ Anneaux
Genéralités: $(A,+,\times)$ est un anneau si $(A,+)$ est un groupe abélien, et si $\times$ est une LCI associative possédant un élément neutre, et est raisonnablement compatible avec la loi $+$ (notamment: distributivité et $0_{\text{A}}\times a=0_{\text{A}}$)
Anneaux usuels: anneaux de nombres $(\mathbb{C},+,\times)$, $(\mathbb{R},+,\times)$, $(\mathbb{Q},+,\times)$, $(\mathbb{Z},+,\times)$; de fonctions $(\mathscr{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}),+,\times)$, $(\mathscr{C}^1(\mathbb{R}_+^{\ast},\mathbb{C}),+,\times)$, $(\mathscr{C}^\infty(]-1,1[,\mathbb{K}),+,\times)$; de suites $(\mathbb{R}^{\mathbb{N}},+,\times)$, $(\mathbb{C}^{\mathbb{N}},+,\times)$; de matrices $(\text{M}_2(\mathbb{R}),+,\times)$, $(\text{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\times)$. L'anneau $(\text{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\times)$ n'est pas commutatif; les anneaux de nombres, suites, fonctions évoqués plus haut sont commutatifs
Formule du binôme de Newton: si $a$ et $b$ sont tels que $ab=ba$, alors $(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\displaystyle\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$
Diviseurs de zéro et éléments nilpotents: définition, exemples. Anneaux intègres.
Questions "incontournables" sur les thèmes de cette colle
Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$
Variante de la précédente: montrer que $H$ est un groupe, en prouvant que $H$ est un sous-groupe d'un groupe usuel
Exemples de matrices $A$ et $B$ dans $\text{M}_2(\mathbb{R})$ illustrant la non-commutativité et/ou la non-intégrité de $\text{M}_2(\mathbb{R})$
Montrer qu'une partie de $\text{M}_n(\mathbb{R})$ est stable par produit (exemples: $\text{T}_n^{+}(\mathbb{R})$, $\text{D}_n(\mathbb{R})$,...)
Calculer $A^N$ pour $A\in\,\text{M}_n(\mathbb{R})$: conjecture + récurrence ou formule de l'énoncé + récurrence ou $A=B+C$ avec $B$ et $C$ bien choisies et binôme de Newton
Calculer $P^{-1}$ avec $P\in\,\text{GL}_n(\mathbb{R})$: formule si $n=2$, résolution du système $PX=B$ si $n>2$
Prouver par récurrence que si $A$ et $B$ sont semblables, alors $A^p$ et $B^p$ sont semblables (+ utilisation pour le calcul de $A^p$ si $B^p$ est "facile" à déterminer)
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours)
Au programme de cette semaine:
Limites et continuité
Questions "incontournables" sur les thèmes de cette colle
Calcul de limites (révisions sur les limites usuelles, croissances comparées, DL1 usuels en 0)
Utilisation de la propriété de limite séquentielle (par ex pour établir que sinus n'admet pas de limite en $+\infty$)
Utilisation de la propriété de continuité séquentielle (par ex comme dans l'exo 4 de la banque, ou comme en cours pour déterminer les fonctions continues sur $\mathbb{R}$ transformant sommes en produits)
Utilisation du TVI pour prouver l'existence d'une solution à une équation
Utilisation du théorème de la bijection pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à une équation
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours)
Au programme de cette semaine: "Tout" sur l'arithmétique
Questions "incontournables"
Divisibilité: définition et propriétés (relation d'ordre non-total dans $\mathbb{N}$, relation de pré-ordre dans $\mathbb{Z}$)
Théorème de la division euclidienne dans $\mathbb{Z}$
Calcul du PGCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide
Déterminer un couple de coefficients de Bezout en "remontant" l'algorithme d'Euclide
Résolution d'une équation diophantienne $ax+by=c$ (lemme de Gauss notamment)
Congruences
Propriétés algébriques des congruences
Montrer que $n$ divise $a$ en utilisant les congruences
Calculer $a^N$ mod $n$
Cas particulier: lorsque $p$ est premier, calculer $a^N$ mod $p$ en utilisant le petit th. de Fermat, ou son corollaire
Déterminer si un entier $a$ est inversible modulo $b$; dans l'affirmative, déterminer un inverse de $a$ mod. $b$ (à l'aide de coefficients de Bezout)
Calcul du PPCM, en utilisant: $(a\wedge b)\times(a\vee b) = \left|ab\right|$
Lemme de Gauss
Nombres premiers
Définition (admet exactement 2 diviseurs dans $\mathbb{N}$)
Caractérisation: 1/ est premier avec tout entier qu'il ne divise pas; ou 2/ est premier avec tout entier naturel non nul qui lui est strictement inférieur
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours, un exercice extrait de la 'banque' (qui se trouve à la fin des questions de cours)
Au programme de cette semaine: 100% Développements limités
A savoir:
Formulaire des DL usuels (tous, sauf arcsin et arccos qu'il suffit de connaître à l'ordre 1)
Corollaire immédiat: équivalents usuels en 0 (ex: $\sin(x)\sim_0 x$), ou en $+\infty$ (ex: $\arctan(1/n)\sim_{+\infty}1/n$)
A savoir faire:
Construire le DL d'un produit (ex: DL à l'ordre 3 en 0 de $\text{e}^x\sqrt{1+x}$)
Construire le DL d'une composée (ex: DL à l'ordre 4 en 0 de $\ln(\cos(x))$)
Construire le DL d'un quotient, en se ramenant à celui d'un produit (ex: DL à l'ordre 3 en 0 de $\displaystyle\frac{\text{ch}(x)}{1-x}$)
Remarque à l'attention des colleurs: la méthode de division suivant les puissances croissantes pour obtenir le DL d'un quotient est hors programme, et on doit donc se ramener systématiquement à un produit...
Applications
Calculs de limites en 0 (ex: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+x-2\sqrt{1+x}}{x^2}$)
Calculs de limites en $+\infty$ (ex: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n-n^2\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$)
Equivalents en 0 (ex: équivalent en 0 de $\displaystyle\frac{2+x-2\sqrt{1+x}}{x^2}$)
Equivalent en $+\infty$ (ex: équivalent en $+\infty$ de $n-n^2\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$)
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours:
un exercice extrait de la 'banque'
ET, exceptionnellement, un exercice portant sur un calcul simple de DL (eg: DL à l'ordre 3 en 0 de $\text{e}^{-x}\ln(1+x^2)$). L'objectif est de poser une question rapide permettant de tester que les dévoppements limités ne sont pas connus que très superficiellement
Au programme de cette semaine: polynômes (le début) et développements limités (révisions)
A savoir cette semaine encore:
Formulaire des DL usuels (tous, sauf arcsin et arccos qu'il suffit de connaître à l'ordre 1)
Corollaire immédiat: équivalents usuels en 0 (ex: $\sin(x)\sim_0 x$), ou en $+\infty$ (ex: $\arctan(1/n)\sim_{+\infty}1/n$)
A savoir faire cette semaine encore:
Construire le DL d'un produit (ex: DL à l'ordre 3 en 0 de $\text{e}^x\sqrt{1+x}$)
Construire le DL d'une composée (ex: DL à l'ordre 4 en 0 de $\ln(\cos(x))$)
Construire le DL d'un quotient, en se ramenant à celui d'un produit (ex: DL à l'ordre 3 en 0 de $\displaystyle\frac{\text{ch}(x)}{1-x}$)
Concernant les polynômes:
Formule donnant le produit de deux polynômes
Propriétés du degré, utilisation pour la résolution d'équations polynomiales (comme dans l'exo 4 de la banque)
Division euclidienne dans $\mathbb{K}[X]$
Pour finir, concernant les polynômes encore, les notions suivantes ne sont pas au programme de cette colle, mais seront au programme de la colle 21:
Polynômes interpolateurs de Lagrange
Dérivées formelles d'un polynôme
Multiplicité d'une racine
Formule de Taylor dans $\mathbb{K}[X]$
Polynômes irréductibles (description, et décomposition en irréductibles)
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours: un exercice extrait de la 'banque'
Au programme de cette semaine: polynômes
Les connaissances de la colle précédente (formule du produit, propriétés du degré/coeff dominant, équations polynomiales, division euclidienne) pourront toujours être évaluées, mais l'accent sera mis sur les notions vues en fin de chapitre, explicitement:
Majoration du nombre de racines par le degré
Application à l'interpolation polynomiale, notamment polynômes interpolateurs de Lagrange
Dérivées successives formelles d'un polynôme, formule de Taylor dans $\mathbb{K}[X]$
Multiplicité d'une racine, lien avec les dérivées successives
Polynômes irréductibles: définition, description des irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et de $\mathbb{R}[X]$, décomposition en irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$. A cette fin: réviser les propriétés des racines $n$-èmes de l'unité
Liste non-exhaustive de questions standards relatives au programme de cette colle
DPI de $X^4-1$ ou de $X^3+X^2+X+1$ dans $\mathbb{C}[X]$ et/ou $\mathbb{R}[X]$ (corollaire: bien se souvenir des propriétés de $\mathbb{U}_n$)
Déterminer les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $(X^2+X+1)^3(X-1)^4(X^4-1)^2$ ainsi que leurs multiplicités
Utiliser le lien entre multiplicité d'une racine et les dérivées successives (eg: déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $P=aX^{n+1}+bX^n+1$ soit divisible par $(X-1)^2$)
Appliquer le principe du prolongement algébrique à l'interpolation polynomiale (eg: montrer qu'il existe un unique polynôme $P\in\,\mathbb{R}_3[X]$ tel que $P(0)=0$, $P(1)=2$, $P(2)=1$, $P(3)=3$)
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours: un exercice extrait de la 'banque'
Au programme de cette semaine: espaces vectoriels et applications linéaires
2 compétences essentielles pour ce premier chapitre d'algèbre linéaire
Compétence 1: parfaitement connaître son cours (notamment: énoncés des définitions et propriétés)
Compétence 2: connaître et savoir appliquer les méthodes permettant de traiter les questions standards suivantes
Montrer que ``quelquechose'' est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel $E$:
En utilisant les axiomes ``(SEVx)'' (exo 1 de la banque)
En utilisant ``un Vect'' (exo 2 de la banque)
En utilisant ``un ker'' (exo 3 de la banque)
Déterminer une famille génératrice d'un sev (répétition du point 1.b, exo 4 de la banque)
Montrer qu'une application est linéaire (ou est un endomorphisme) (exo 5 de la banque)
Déterminer le noyau d'une application linéaire (résolution de $f(\vec{v})=\vec{0}$, exo 6 de la banque)
Déterminer l'image d'une application linéaire (en utilisant: $f\left(\text{Vect}\left(\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\right)\right)=\text{Vect}\left(f(\vec{v}_1),\ldots,f(\vec{v}_n)\right)$, exo 7 de la banque)
Montrer qu'une application linéaire est un isomorphisme/automorphisme (exo 8 de la banque)
Montrer que deux sev sont supplémentaires dans un ev $E$ (exo 9 de la banque)
Merci aux colleurs de poser, suite à la question de cours: un exercice extrait de la 'banque'
2 thèmes pour cette semaine:
Fractions rationnelles (question de cours + exercice de la banque)
Algèbre linéaire 1 (exercices)
En ce qui concerne l'algèbre linéaire, les exigences restent les mêmes que lors de la colle précédente: la connaissance du cours et les méthodes permettant de traiter les "questions standards" de la colle 22.
Attention: les notions de base, de famille libre/liée, de dimension, de rang et de matrice d'une application linéaire ne sont pas encore au programme (il faudra attendre la semaine suivante pour la dimension, le mois de mai pour le rang d'une app. lin.)
